高中数学一轮复习理数通用版：课时达标检测(三十五) 空间点、直线、平面之间的位置关系 含解析

课时达标检测（三十五）

空间点、直线、平面之间的位置关系

[小题对点练——点点落实]

对点练(一)平面的基本性质

1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有()

A．4个B．3个

C．2个D．1个

解析：选A首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．

2．若直线上有两个点在平面外，则()

A．直线上至少有一个点在平面内

B．直线上有无穷多个点在平面内

C．直线上所有点都在平面外

D．直线上至多有一个点在平面内

解析：选D根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内．

3.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直线AB∩l＝M，过A，

B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过()

A．点A

B．点B

C．点C但不过点M

D．点C和点M

解析：选D因为AB?γ，M∈AB，所以M∈γ.

又α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.

根据公理3可知，M在γ与β的交线上．

同理可知，点C也在γ与β的交线上．

4.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的

棱有________条．

解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平

行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的

棱有5条．

答案：5

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对点练(二)空间两直线的位置关系

1．已知异面直线a，b分别在平面α、β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()

A．与a、b都相交

B．只能与a、b中的一条相交

C．至少与a、b中的一条相交

D．与a、b都平行

解析：选C如果c与a、b都平行，那么由平行线的传递性知a、b平行，与异面矛盾．故选C.

2．已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()

A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面

解析：选B在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．

3．(·兰州市高考实战模拟)已知长方体ABCD -A1B1C1D1中，AA1＝AB＝3，AD＝1，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()

A.

6

4 B.

6

3

C.

2

6 D.

3

6

解析：选A如图，连接A1D，A1C1，由题易知B1C∥A1D，∴∠C1DA1是异面直线B1C与C1D所成的角，又AA1＝AB＝3，AD＝1，∴A1D＝2，

DC1＝6，A1C1＝2，由余弦定理，得cos∠C1DA1＝C1D2＋A1D2－A1C21

2×C1D×A1D

＝

6

4，

故选A.

4．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对．

解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，

CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与

GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF

平行．故互为异面直线的有3对．

答案：3

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第3页 共6页 5．已知a ，b ，c 为三条不同的直线，且a ?平面α，b ?平面β，α∩β＝c .

①若a 与b 是异面直线，则c 至少与a ，b 中的一条相交；

②若a 不垂直于c ，则a 与b 一定不垂直；

③若a ∥b ，则必有a ∥c ；

④若a ⊥b ，a ⊥c ，则必有α⊥β.

其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的序号)

解析：①中若a 与b 是异面直线，则c 至少与a ，b 中的一条相交，故①正确；②中平面α⊥平面β时，若b ⊥c ，则b ⊥平面α，此时不论a ，c 是否垂直，均有a ⊥b ，故②错误；③中当a ∥b 时，则a ∥平面β，由线面平行的性质定理可得a ∥c ，故③正确；④中若b ∥c ，则a ⊥b ，a ⊥c 时，a 与平面β不一定垂直，此时平面α与平面β也不一定垂直，故④错误．

答案：①③

6.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD

的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23

，则下列说法正确的是________．(填写所有正确说法的序号)

①EF 与GH 平行；

②EF 与GH 异面；

③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上；

④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．

解析：连接EH ，FG (图略)，依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 共面．

因为EH ＝12BD ，FG ＝23

BD ，故EH ≠FG ， 所以EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，

设交点为M .因为点M 在EF 上，

故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，

∴点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，

又AC 是这两个平面的交线，

所以点M 一定在直线AC 上．

答案：④

7．(·武汉调研)在正四面体ABCD 中，M ，N 分别是BC 和DA 的中点，则异面直线MN 和CD 所成角的余弦值为________．

解析：取AC 的中点E ，连接NE ，ME ，由E ，N 分别为AC ，AD 的中点，知NE ∥CD ，故MN 与CD 所成的角即MN 与NE 的夹角，即∠MNE .设正四面体的棱长为2，可得NE

第4页 共6页 ＝1，ME ＝1，MN ＝2，故cos

∠MNE ＝NE 2＋MN 2－ME 22NE ·MN ＝22

. 答案：22

8．如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．

解析：如图所示，连接DN ，取线段DN 的中点K ，连接MK ，

CK .∵M 为AD 的中点，∴MK ∥AN ，∴∠KMC (或其补角)为异面直

线AN ，CM 所成的角．∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，N

为BC 的中点，由勾股定理易求得AN ＝DN ＝CM ＝22，∴MK ＝ 2.

在Rt △CKN 中，CK ＝ (2)2＋12＝ 3.在△CKM 中，由余弦定理，得cos ∠KMC ＝(2)2＋(22)2－(3)22×2×22

＝78，所以异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是78. 答案：78

[大题综合练——迁移贯通]

1.如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，

AD

的中点．

(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；

(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．

解：(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．

(2)取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则AC ∥FG ，EG ∥BD ，

所以相交直线EF 与EG 所成的角，

即为异面直线EF 与BD 所成的角．

又因为AC ⊥BD ，则FG ⊥EG .

在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12

AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.

2.如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知

第5页 共6页 ∠BAC ＝π2

，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求： (1)三棱锥P -ABC 的体积；

(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．

解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P -ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13

×23×2＝433

. (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，

所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE

中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34

. 故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34

. 3.如图所示，三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面是边长为2的正三角形，侧棱

A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，B

B 1上的点，点M 是线段A

C 上

的动点，EC ＝2FB ＝2.

(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?

(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值．

解：(1)法一：如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM

⊥AC 于点M .

因为侧棱A 1A ⊥底面ABC ，

所以侧面A 1ACC 1⊥底面ABC .

又因为EC ＝2FB ＝2，

所以OM ∥FB ∥EC 且OM ＝12

EC ＝FB ， 所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF .

因为OF ?平面AEF ，BM ?平面AEF ，

故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．

法二：如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，

BQ .

因为EC ＝2FB ＝2，

所以PE 綊BF ，

所以PQ ∥AE ，PB ∥EF ，

所以PQ ∥平面AFE ，PB ∥平面AEF ，

因为PB∩PQ＝P，PB，PQ?平面PBQ，

所以平面PBQ∥平面AEF.

又因为BQ?平面PBQ，

所以BQ∥平面AEF.

故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．

(2)由(1)知，BM与EF异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角．

易求AF＝EF＝5，MB＝OF＝3，OF⊥AE，

所以cos∠OFE＝OF

EF＝

3

5

＝

15

5，

所以BM与EF所成的角的余弦值为15

5.

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