高三数学第二轮专题复习系列(6)-- 不等式

高三数学第二轮专题复习系列(6)-- 不等式

一、大纲解读

从考试大纲的要求看，本专题的主要考点就是：解一元二次不等式、简单的线性规划、基本不等式在求最值中的应用、合情推理（主要是归纳和类比）、综合法与分析法、反证法、数学归纳法、复数的概念和代数形式的四则运算及其集合意义。

二、高考预测

本专题的不等式部分在高考中往往是一到两个小题，重点考查简单的线性规划问题和基本不等式在求最值中的应用，解答题一般没有纯粹不等式的题目，而，会穿插在其他试题中进行综合考查；推理与证明部分可能有一个题目以选择或填空题的方式考查归纳推理或类比推理，在试卷的各个部分都有推理与证明，可能还会在解答题里的一个小问题上考查反证法或数学归纳法的应用；复数部分一般是一个小题，主要的考查点是复数的概念和复数代数形式的四则运算，试题难度中等偏下。整个专题在高考试卷中大约有20分，占整个试卷的15%。 三、 重点剖析

重点1.解一元二次不等式 例1 不等式f(x)?ax2?x?c?0的解集为{x|?2?x?1}，则函数y?f(?x)的图象为（ ）

分析：结合所给的不等式的解集和二次函数的图象，可以知道函数f?x?图象是开口向下的抛物线，并且与x的两个交点的横坐标是?2,1，而函数y?f??x?与函数y?f?x?的图象关于y轴对称，那么y?f??x?的图象也是开口向下的抛物线并且与x轴的两个交点的横坐标是?1,2，由此就可以确定选C。由于题目中只涉及到两个待定的参数，也可以根据题目的条件将这两个参数求出来，再作具体的判断。

?f(?2)?4a?2?c?0?a??1解析： 由?解得?，则选C.

?f(1)?a?1?c?0?c??2点评：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间关系密切，是高中数学中数形结合的典范，其中的关键点就是二次函数图象与x交点的横坐标（如果有交点的话），它是相应的不等式解集的端点，是相应方程的两个根，是函数的零点。本题中的函数

y?f??x?是在函数y?f?x?中以?x代替x得到的，这样的两个函数图象关于y轴对称（还可以总结什么样的两个函数图象关于x轴对称、关于坐标原点对称等）。三个二次

历年来都是高考的热点，特别是新课标引进函数零点的概念和对不等式的解只要求会解一元二次不等式的时候，要仔细体会着三个二次之间的关系。 重点2.简单的线性规划 例2

已知集合M???x,y?y?ax,a,x,y?R?，

2集合N???x,y?x?2?y?2?1,x,yR?，若M?N??，则a的取值范围

?是 ．

分析：题目中的两个集合可以看作是平面上的两个区域，题目要解决的是这两个区域有公共点的问题，可以借助于数形结合的方法去探究问题的答案。

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解析：集合N所表示的平面区域是由区域

??x,y?x?y?1,x,y?R?将中心?0,0?平

移到中心?2,2?得到的，要使M?N??，结合图象可以知道，曲线y?ax2必需经过点

?3,2?和点?1,2?，代入得a?9和a?2，故a的取值范围是??

22?

,2?．如图。 9??

点评：本题的主题是借助于“线性规划的思想方法”考查数形结合的思想意识以及分析问

题和解决问题的能力。高考对二元一次不等式组所表示的平面区域的考查，已经不在局限于目标函数是线性的了，目标函数越来越丰富多彩，但要记住解决问题的基本思想仍然是解决目标函数是线性的思想。本题的区域M可以看作区域N???x,y?x?y?1?先向右

平移2个单位，再向上平移2个单位的结果，而区域是四条线段

x?y?1?x?0,y?0?,?x?y?1?x?0,y?0?,?x?y?1?x?0,y?0?,x?y?1?x?0,y?0?所围成的一个边长为2的正方形，对这个区域考生要熟悉。

重点3.基本不等式的应用 例3

设 0＜t＜?2，a是大于0的常数，函数f(t)?1a，若f?t??16恒?cost1?cost成立，则a的取值范围是 （ ）

A.?1,??? B.?4,??? C.?9,??? D.?9,???

分析：实际上就是函数f?t?的最小值大于或等于16。函数f?t?的特点是变量在分母上，且两个分式的分母之和为常数1，这样就可以使用常数代换的方法解决函数f?t?的最小值。 解析：

f(t)?

1aa?1?costacost?1???cost?1?cost?????1?a?2a??1?a?cost1?costcost1?costcost1?cost??由1?a?2a?1?a??2?16，解得a?9，选D。

点评：基本不等式在必修部分的要求就是两个正数的算术、几何平均值不等式，这个不等

式的主要应用就是求一些函数或式子的最值，值得注意的是其使用条件，可以概括为“一正、二定、三相等”。在使用基本不等式求最值时，常数代换是经常使用的方法，要注意体会。 例4 已知x?0，y?0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则

(a?b)2的最小值是（ ） cdＡ．0 Ｂ．1 Ｃ．2

Ｄ．4

分析：在等差、等比数列中，若涉及数列的多项，可考虑运用等差（比）数列的性质减少项。本题考查性质：若m+n=p+q，则在等差数列中am?an?ap?aq；在等比数列中

am?an?ap?aq。

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解：由题知a?b?x?y,cd?xy，x?0，y?0，

2xy?x?y?(a?b)则＝?cdxyxy22??2?4，当且仅当 x=y时取等号。故选D。

点评：（1）本题关键是运用等差、等比数列的性质将结论转化为用x，y表示，然后用基

本不等式解决问题。

（2）注意观察代数式的结构特征，合理选用不等式

a?b?2ab?a?0,b?0?,a2?b2?2ab进行和式与积式的转化。

(a?b)2变式：若x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的范围

cd是 。

xy(a?b)2?x?y????2。 解：由题知a?b?x?y,cd?xy，则＝

xyyxcd2(a?b)2xy当xy?0时，?2??2?4，当且仅当 x=y时取等号。

cdyx?xy?(a?b)2当xy?0时，＝??????2??2?2?0，当且仅当x=-y时取等号。

cd?yx?(a?b)2综上范围为???,0???4,???

cd 点评：运用不等式a?b?2ab?a?0,b?0?求最值时，注意三个条件一正：即a,b

两数为正时方可运用上述不等式；二定：即求和的最值须构造积为定值，求积的最值须构造和为定值；三相等：即验证等号成立的条件是否存在。 重点四.合情推理

a2?b，a1?a，例5 已知数列?am?满足an?1?an?an?1(n≥2)，记Sn?a1?a2???an，则下列结论正确的是（ ）

Ａ．a100??a，S100?2b?a Ｂ．a100??b，S100?2b?a Ｃ．a100??b，S100?b?a Ｄ．a100??a，S100?b?a

分析：通过观察选择支的特点和题目的已知条件，可知本题易于使用归纳的方法探究问题的答案。

解析：a3?a2?a1?b?a，S3?a1?a2?a3?2b；a4?a3?a2??a，S4?S3?a4?2b?a；

a5?a4?a3??b，S5?S4?a5?b?a；a6?a5?a4?a?b，S6?S5?a6?0 a7?a6?a5?a，S7?S6?a7?a．

通过观察、分析，知an，Sn都是每隔6项重复。

所以由归纳推理，得a100?a4??a，S100?16S6?S4?S4?2b?a．故此题选Ａ． 点评：数列问题有它的特殊性，在一些规律不明显的情况下，通过解决数列的前几项归纳猜测其一般规律的方法是经常使用的，在数列问题中蕴含着可以使用合情推理解决的大量问题，高考中合情推理的题目主要的知识依托就是数列、不等式和立体几何。 重点五.综合法与分析法 例6 若sin??cos??1，求证：sin6??cos6??1．

分析：从结论和条件两个方面入手，寻找恰当的“中间结果”，实现问题的沟通，分析法和综合法联合使用，达到证明的目的。

)(sin4??sin2?·cos2??cos4?) 证明：sin6??cos6??(sin2?)3?(cos2?)3?(sin2??cos2?·?sin4??2sin2?·cos2??cos4??3sin2?·cos2??1?3sin2?·cos2?.

??1·cos2??0．由sin??cos要证sin6??cos6??1，只需证sin2?，两边平方得

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2sin?·cos??0，∴3sin2?·cos2??0，∴sin6??cos6??1．

点评：综合法和分析法并用实际上是解决数学问题的一般思维方式，在解决数学问题的过程中分析和综合往往是相互伴随的，综合的过程离不开对问题的分析，分析的结果离不开综合的表达，因此在选择数学证明方法时，一定要有“综合性选取”的意识，要明确数学证明方法不是孤立的，是相互联系，他们在同一个问题中往往交互使用。 重点六.反证法

例7 如果a,b,c是不全相等的实数，若a,b,c成等差数列，求证：

111,,不成等差数列。 abc分析：所证是一个否定性的结论，直接证明不好入手，可考虑用反证法。

111211a?c,,成等差数列，则???。 abcbacac2a?c2b2?由于a,b,c成等差数列，故2b?a?c??①，那么?，即b?ac??②.

bacac111由①、②得a?b?c，与a,b,c是不全相等的实数矛盾，故,,不成等差数列。

abc证明：假设

点评：当出现下列几种情况时可考虑用反证法：①命题用否定形式叙述的；②命题用“至多、至少”等文字叙述的；③当命题成立非常明显，而要直接证明，所用的理论较少，且不容易说明白时（如证明2是无理数等）；④惟一性命题；⑤从正面证明比较难入手的问题。

重点七.数学归纳法

例8用数学归纳法证明2n?n2?1对n?n0的自然数都成立时，第一步中的起始值n0的最佳值应取为（ ）

A．1 B．3 C．5 D．6

分析：指数的增长具有“爆炸性”，故在一定的“地方”必然会超过二次多项式的值，只要从前几个值检验即可。

解析：当n?1时不等式成立，当n?2．n?3和n?4时不等式不成立，而当n?5以后不等式恒成立，故用数学归纳法证明时最佳起始值应取为5，选C．

点评：用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，第一个自然数的选取至关重要，它是起始值，是结论成立的开始，在用数学归纳法证明问题时首先要证明问题对这个值成立。 重点八.复数的概念与运算及其几何意义 例9 复数z??cos45??isin45??1?i2的共轭复数所对应的点位于复平面的 （ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

分析：将所给的复数具体计算出来，根据共轭复数的概念求出这个共轭复数，再根据复数的几何意义确定问题的答案。

解析：z??cos45??isin451?i?2??22??i??22?i?1?i11???????i，故

1?i1?i222211z???i．

22点评：高考对复数的考查集中在复数的概念和代数形式的四则运算方面，复数的几何意义和共轭复数也是值得关注的考点。本题将复数的运算、概念和几何意义融为一体，体现了高考命题的综合性。 四 扫雷先锋

易错点1.忽视基本不等式成立的条件

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4的值域 。 x44错解：?x??2x??4（仅当x?2时取等号），所以值域为?4,???。

xx剖析：这里错误在于使用均值定理a?b?2ab时忽略了条件：a,b?R?

例1 求函数y?x?正解：(1)当x?0时,x?44?2x??4(当x?2时取等号)； xx44(2)当x?0时,?x?0,而(?x)?(?)?2(?x)(?)?4(当x??2时取等号),xx

4?x???4.x所以函数的值域是?yy??4或y?4?。

点评：在用基本不等式时一定要注意其使用条件，正数。

易错点2.忽视等号成立的条件

例2 设a,b,x,y?R,且有a2?b2?3,x2?y2?6,求ax?by的最大值 错解

：

a?b?ab成立的条件是a,b为2a2?b2x2?y219?ax?,bx??ax?by?(a2?b2?x2?y2)???(1)

22229所以ax?by的最大值为。

2剖析：这里（1）取等号的条件是仅当x?a,y?b；由条件知这是不可能的，所以不

可能取到上述的最大值。

正解：?a2y2?b2x2?2aybx,?(a2?b2)(x2?y2)?(ax?by)2仅当ay?bx时取

?ay?bx?22等，所以ax?by?3?6?32仅当?a?b?3时取等。

?x2?y2?6?如取a?b?6,x?y?3,(ax?by)max?32 2点评：使用基本不等式求最值时一定要检验其等号成立与否，不然极易出错。 易错点3.盲目类比 例3 函数y?|tanx|的最小正周期是____________. 错解：因为函数y＝tanx的最小正周期是?，所以函数y?|tanx|的最小正周期是

?. 2剖析：先前研究过函数y?|sinx|的周期性，由其图象（图1）可知它的最小正周期是y＝sinx周期的一半，由此类比；认为y?|tanx|的周期就是y＝tanx周期的一半。

正解：现作出y?|tanx|的图象（图2），易见其最小正周期仍为?.

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点评：类比的结论不一定正确，在类比时要做到合情又合理。 易错点4.忽视两个复数如果不都是实数它们之间不能比较大小。

42422例4 设a是实数，z1＝a?a＋a?3a?2i，z2＝4a?3＋a?5a?4i，那

????么使z1＞z2的a的集合是_____________，使z1＜z2的a的集合是_____________。

错解：由于两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，因此所求集合是空集。 剖析：未理解“两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小”的意义。因为复数z可以表示虚数或实数，当z1、z2不全为实数时，它们不能比较大小；当z1、z2均为实数时，当然可以比较大小。

42??a?3a?2?0,正解：由题意可知z1、z2均为实数，所以?4解方程组得a＝±1。因2??a?5a?4?0.22为z1＞z2，所以a?a＞4a?3，解得a＝－1。当z1＜z2时，a?a＜4a?3，解得a＝1。所以使z1＞z2的a的集合是{－1}，使z1＜z2的a的集合是{1}。

点评：解决数学问题是对数学概念的理解要准确，不要以偏概全。 五、规律总结

1.几个重要的不等式：

a2?b2?a?b??a?b?c?abc ① ab≤?≤ ②≤???；

223????a?ba2?b22③如果a,b?R，则≥≥ab≥

1122?ab23

2.最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和

有最小值。

3.如何正确选择综合法、分析法、反证法

（1）综合法常用于由已知推结论较易找到思路时．

（2）分析法常用于条件复杂，思考方向不明确，运用综合法较难证明时．

（3）单纯应用分析法证题并不多见，常常是用分析法找思路，用综合法写过程，因为综合法宜于表达，条理清晰．

（4）注意分析法的表述方法：“要证明?，只需证明?，因为?成立，所以?成立”，“为了证明?，只需证明?，即?，因此只需证明?”．

（5）在证明一些否定性命题，惟一性命题，或含有“至多”，“至少”等字句的命题时，正面证明较难，则考虑反证法，即“正难则反”．

（6）利用反证法证题时注意：①必须先否定结论，当结论的反面呈现多样性时，必须列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的．②反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．

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4．i的乘方规律：i2??1,i3??i,i4?1?? 5．特殊式的化简：(1?i)2?2i,(1?i)2??2i；六、能力突破：

例1若直线ax?by?2?0（a?0，b?0）被圆x2?y2?2x?4y?1?0截得的弦长为4，则

A．

1?i1?i?i，??i 1?i1?i11?的最小值为 ab

D．

13 B．2 C．?2 42分析：找出a,b的关系后用基本不等式解决。

解析：圆的直径是4，说明直线过圆心??1,2?，

3?22 2故

111?1??11?3ba3a?b?1，???a?b?????????2，选C。 2ab?2ab2a2b2???点评：本题所用的方法称为“常数代换法”，是使用基本不等式求最值时所常用的方

法，要注意体会。

反思：高考中对基本不等式的考查主要就集中在用其求最值上，在复习中要注意这个特点。

例2 已知数列{an}满足a1?2，an?1?2(1?)2an，n?Ν． （1）求数列{an}的通项公式；

nan（2）设bn?，求?bi；

ni?1nn17（3）设cn?，求证?ci＜．

an24i?11n*分析：（1）通过对递推式的变换将问题转化为两类基本数列解决；（2）求出数列的通项公式后，结合数列?bn?和?cn?的特点探求解决的方法。

解析：（1）由已知，得∴

an?1an?an??2?，∴首项为a1?2． ?2?是公比为2的等比数列，

(n?1)2n2?n?an2nn?1，a?n2． ?2?2n2nnann （2）bn??n2． ?bi=1?21?2?22?3?23???n?2n， ①

ni?1 =

2?bi= 1?22?2?23???(n?1)?2n?n?2n?1， ②

i?1n①-②，得 -?bi=21?22?23???2n?n?2n?1，

i?1n∴?bi=2(1?2n)?n?2n?1=(n?1)2n?1?2．

i?1nnn?1n?1111?＜=． ?n=

ann2n(n?1)2nn(n?1)2n(n?1)2n?1n2nnnn11111??(i?1?i) ∴?ci=c1?c2??c3??ci=??2824i?42(i?1)2ii?4i?1（3）当n?2时，cn?1111117＜． ????28243?23n2n24第7页（共19页）

点评：解决递推数列的基本方法就是通过变换递推式将其转化为两类基本数列，本题第（1）问也可采用迭代法来完成，还可使用数学归纳法来实施；第（2）问是一个用“错位相减法”求数列的前n和问题； 第（3）问是将数列中的项放大后，将其拆为能“正负

3．则所提4i?111供的解法中，只须保留原来的两项，或者也可以直接将，从第3项起，放大为．解nnn?22相消”的方式解决的，本题是从第四项开始放大的，若将结论减弱为?ci＜

决数列类不等式时最容易出现的问题就是在放大的时候找不到恰当的“标准”，找不到11?“放大点”，本题考生即使找到了放缩关系式cn?，若从n?2就开始放

(n?1)2n?1n2nn111??n?1，这样就没有办法证明题目所要求的结论了，当考生碰22n2i?1到这种情况时，就要有调整“放大点”的意识。

反思：高考对递推数列的考查主要是能把所给的递推数列转化为两类基本数列的类型，新课标高考很注意数列的地位，往往把数列知识和函数、方程、不等式等知识相互综合，形成一个重在考查数学思想方法，检测考生综合数学素养的综合性解答题，2008年课标区的数列试题充分说明了这个特点。

七 高考风向标

考点1.一元二次不等式

例 （08年高考海南宁夏卷理6）已知a1?a2?a3?0，则使得(1?aix)2?1(i?1,2,3)大，结果是?ci?都成立的x取值范围是（ ）

A．（0，

n1） a1 B． （0，

2） a1 C． （0，

12） D． （0，） a3a3分析：本题考查一元二次不等式的解法。“(1?aix)2?1(i?1,2,3)都成立的x取值范围”

??1?a1x?2?1?2?本质上是一个不等式组??1?a2x??1的解集，由于这几个不等式结构一样，其中解集“最

?21?ax?1??3??小”的一个不等式的解集即是不等式组的解集。，

解析：(1?aix)2?1即ai2x2?2aix?0，即aix?aix?2??0，由于ai?0，这个不等式可以化为x?x???2ai?22，即，若对每个应最小，即ai应最大，也即是0?x??0?aiai?0?x?2，选A。 a1点评：把一元二次不等式解错，或是对“都成立”理解错误，都可能解错本题。 考点2. 简单的线性规划

?x?y?2≥0，??5x?y?10≤0，例2（08年高考山东卷文16）设x，y满足约束条件?则z?2x?y的最

?x≥0，?y≥0，?大值为 ．

分析：本题考查简单的线性规划问题。在线性规划问题中目标函数的最值一般是在可行域的顶点上取得，特殊情况下在可行域的边界上取得，即使是在可行域的边界上取得，也是

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在顶点处取得，故解答此类高考试题，找出可行域的顶点，直接代入目标函数式检验就可以得到问题的答案。

解析：约束条件是一个四边形区域，其四个顶点是?0,0?,?2,0?,?0,2?,?3,5?，根据目标函数取最值是在区域的顶点上（本题不会在边界上），检验知当x?3,y?5时，目标函数取最大值11。

点评：不了解二元一次不等式所表示的半平面的确定方法，画错可行域，或是算错可行域的顶点，或是把目标函数的最小值当成了最大值等。 考点3.基本不等式的应用

y2例3 （08年高考江苏卷11） 设x,y,z为正实数，满足x?2y?3z?0，则的最小值

xz是 。

分析：将三个字母消掉一个，将三元的问题转化为二元，用基本不等式探究问题的答案。

2x?3z?x?3z??x?3?9z?2x?9z?3?3，当且仅当y解析： y?，故?2xz4xz4z24x4z4x2x?3z时取等号。

2点评：本题在一个新的环境下考查利用基本不等式求最值，解题的关键是根据已知条件消掉目标式中的y，通过对目标式的变形，转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的情景。 例4 （2008高考广东文17）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

购地总费用（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）

建筑总面积解析：根据题意，

平均综合费用y?560?48x?21600000225?560?48（x?）(x?10,x?Z)，由于

2000xx225225225?2x??30，等号当且仅当x?，即x?15时成立，故为了使每平方

xxx米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层。 答案：该楼房应建为15层。 x?【点评：本题考查数学建模和求解能力，解题的关键是正确理解题目中所给出的数学模型，根据这个模型建立函数关系式。 考点4.合情推理

y A F P E x B O C 例5（08年高考江苏卷9）如图，在平面直角坐标

)在线段AO上系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点P(0,p的一点（异于端点），这里a,b,c,p均为非零实数，设直线BP,CP分别与边AC,AB交于

11??11?点E,F，某同学已正确求得直线OE的方程为?请你完成直线OF??y?0，???x?????bc??pa?第9页（共19页）

的方程： ( )x????11????y?0。 pa??分析：根据图形和直线方程的对称性类比解决。

11xy?．事实上，由截距式可得直线AB：??1，cbbaxy?11??11?直线CP：??1 ，两式相减得???x????y?0，显然直线AB与CP 的交

cp?bc??pa?解析：画草图，由对称性可猜想填

点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．

点评：本题以直线与方程为依托考查类比推理，是一道设计巧妙，难度合适的考查合情推理的试题。“观察、类比”是解决本题的基本思想，由于直线OE,OF在图形上的“对称性”，在其方程上也不然有某种“对称性”，观察直线OE的方程和题目给出的直线OF的部分方程，他们的共性是y的系数一样，那就只有x的系数具备“对称性”，这样就不难知道问题的答案了。 考点5.复数的概念和运算

例6(08年高考山东卷理2文2)设z的共轭复数是z，若z?z?4，z?z?8，则

z等于z（ ）

A．i B．?i C．?1 D．?i

分析：本题考查复数的概念、共轭复数的概念、复数的除法运算等基础知识，考查方程、分类讨论等数学思想，考查运算能力。解题的关键是利用方程的思想，求出复数z。

22解析：方法一：设z?a?bi?a,b?R?，则z?z?2a?4，得a?2，又zz?a?b?8，

得

b??2，

2故

z?2?2i，

2所以

?1?i??2i?i或z?2?2i?1?i??1?i???2i??iz2?2i1?i???z2?2i1?i?1?i??1?i?2z2?2i1?i?1?i??1?i?2，故选D.

方法二：z?z?4，两端平方得z2?2zz?z?16，又zz?8，所以z2?z?0，

222?z?z即????1，所以??i，故选D.

z?z?点评：概念模糊，不能正确地求出复数z；或是不能根据问题的情景，分情况解决；或是

对复数的除法运算法则认识不清等，是本题出错的主因。

八、沙场练兵： 一、选择题

1．实数满足log3x?1?sin?,则x?1?x?9的值为

（ ） A．8 B．-8 C．8或-8 D．与?无关

1. A 提示：由条件1?x?9去绝对值得8． 2．若函数f(x)是奇函数，且在（0,??），内是增函数，f(?3)?0，则不等式

x?f(x)?0

的解集为

（ ）

A．{x|?3?x?0或x?3} B．{x|x??3或0?x?3} C．{x|x??3或x?3} D．{x|?3?x?0或0?x?3}

第10页（共19页）

2.D 提示：由题意作y?f(x)的图象，易得?3?x?0或0?x?3 3．若a?b?0，则下列不等式中一定成立的是 （ ）

11bb?1112a?baA、a??b? B、? C、a??b? D、?

baaa?1baa?2bb11113.A 提示：∵a?b?0，∴?，∴a??b?。

baba

224．双曲线x?y?4的两条渐近线及过（3，0）且平行其渐近线的一条直线与x=3围

成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是 （ ）

?x?y?0?x?y?0?x?y?0?x?y?0?x?y?0?x?y?0?x?y?0?x?y?0????A、? B、? C、? D、?

x?y?3?0x?y?3?0x?y?3?0x?y?3?0?????????0?x?3?0?x?3?0?x?3?0?x?34.A 提示：双曲线x2?y2?4的两条渐近线方程为y??x，过（3，0）且平行于y??x的直线是y?x?3和y??x?3，∴围成的区域为A。

5．给出平面区域如下图所示，其中A（5，3），B（1，1），C（1，5），若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（ ）

A．

132 B． C．2 D． 32211提示：kAC??,??a??，

221。 2?y?x，表示的区域为D，点P1（0，-2），P2（0，0），则

?x?y?1?y??3?5.B 即a?6.不等式组?

（ ）

A．P1?D且P2?D B．P1?D且P2?D C．P1?D且P2?D D．P1?D且P2?D 6.C 7．若a,b均为大于1的正数，且ab＝100，则lga2lgb的最大值是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 7. B

提示：lga?lgb?(lga?lgb2)?1。 25 28．在a?0，b?0的条件下，三个

22①

222aba?b，②a?b?a?b， ?a?b222③b?a?a?b，其中正确的个数是

ab（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3 8.D 提示：可以证明3个不等式都成立。 9．给定集合A、B，定义A?B?{x|x?m?n,m?A,n?B}，若A={4,5,6},B={1,2,3},

A?B则集合中的所有元（ ）

A.15 B.14 C.27 D.-14

9.A 提示：A?B?{1,2,3,4,5}，1+2+3+4+5＝15。

第11页（共19页）

素之和为

10．观察式子：1?A、1?C、1?10.C

1212??1321322231151117，?，则可归纳出式子为（ ） ,1???,1????222223232232424111111 B、1?2?2??2? ??2?2n?12n?1n23n12n?11112n D、1?2?2??2? ??2?n2n?1n23n?1提示：用n=2代入选项判断。

11.(理) 复数lg(m2?2m?1)?(m2?3m?2)i是纯虚数，则实数m的值是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

?lg(m2?2m?1)?011. (理) A 提示：?，解得m?0，故选A ． 2?m?3m?2?0?77，777，?7777，?的一个通项公式是（ ） 11（文）．写出数列7，7Ａ．an?7n Ｂ．an?(10n?1)

977Ｃ．an?(?1)n?1(10n?1) Ｄ．an?(?1)n(10n?1)

9911（文）．Ｃ 提示：即可以直接归纳也可以用选择支的通项公式检验，重在考查合情推理解决问题的意识。

12．(理)已知复数z?a2?(b?2)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a、b的值分

别是（ ）

5 51 A．2、B．2、C．?2、1 D．?2、212. (理) C 提示：由a?2且b?2?3解得，选C． 12（文）．若四面体ABCD的四个顶点为

A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，D(x4，y4，z4)，类比平面直角坐标系中三角形的重心，可得此四面体的重心为（ ）

?x?x2?x3?x4y1?y2?y3?y4?，Ａ．?1? 22???x?x2?x3?x4y1?y2?y3?y4?，Ｂ．?1? 33???x?x2?x3?x4y1?y2?y3?y4?，Ｃ．?1? 44???x?x2?x3?x4y1?y2?y3?y4?，Ｄ．?1? 55??

12（文）．Ｃ 提示：若三角形三顶点的坐标是?x1,y1?,?x2,y2?,?x3,y3?，则三角形的重心坐标是??x1?x2?x3y1?y2?y3?,?，有理由猜测四面体的重心是33???x1?x2?x3?x4y1?y2?y3?y4?，??。 44??二、填空题

13．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，??叫做三角数，它有一定的规律性，第30个三角数与第28个三角数的差为 。

13.59 提示：记这一系列三角数构成数列an，则由a2?a1?2,a3?a2?3,a4?a3?4,???归纳猜测a30?a29?30,a29?a28?29，两式相加得a30?a28?59。或由

a1?1,a2?1?2,a3?1?2?3，猜测an?1?2???n。

第12页（共19页）

?x?y?5,?3x?2y?12,14．设x,y满足?则使得目标函数z?6x?5y的值最大的点(x,y)??0?x?3,??0?y?4.是 ．

14.(2,3)

提示：作出可行域即可发现。

15．若a、b、c、d均为实数，使不等式

ac>>0和ad

15.(2,1,-3,-2) 提示：只需保证a、b、c、d的值满足a、b同号，c、d同号且满足其他条件即可.

16．若规定

a b?ad?bc，则不等式logc d21 1?0的解集为 。 1 x216.(0,1)?(1,2) 提示：log21 1?0，∴log1 x|x?1|?0,?0?|x?1|?1,?0?x?1或

1?x?2。

九、实战演习

一、 选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.

1．命题甲：(x?2)(x?3)?0，命题乙：则命题甲是乙的 （ ） (x?1)(x?2)?0．

xA．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 C．既非充分又非必要条件 答案: B。解析：(x?2)(x?3)?0的解集为x??2或0?x?3,(x?1)(x?2)?0的

x解集为1?x?2，∴乙?甲。

2．若f(x)是偶函数，且当x?[0,??)时,f(x)?x?1,则f(x?1)?0的解集是（ ） A．（－1，0） B．（－∞，0）∪（1，2） C．（1，2） D．（0，2）

答案： D．解析：由题意作y?f(x)的图象由图象易得0?x?2。

3．不等式ax+bx+2＞0的解集是(?2

11,)，则a+b的值是 ( ) 23A． 10 B．–10 C． 14 D． –14

11?b??????a??1211?a232答案：D 。解析：ax?bx?2?0的两根为?,，∴?，∴?，

2123b??2?????6?a∴a?b??14。

4．设集合A?{(x,y)|x,y,1?x?y?是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域

(( )

第13页（共19页）

不含边界的阴影部分)是

1?x?y??2?x?y?1?x?y?1??答案:A。解析：?x?y?1?x?y,??x?，故选A

2?y?x?1?x?y??1?y??2?5.（理）记n边形的内角和是f?k?，则凸n?1边形的内角和是

f?k?1??f?k?? . A、

?3? B、? C、 D、2?

225.B 提示：从n边形到n?1中，可利用归纳或对多边形分割，则多出一个三角形的内角和，

所以f?k?1??f?k???.

5．（文）设点P(x,y)，其中x,y?N，满足x?y?3的点P的个数为

（ ）

A、10个 B、9个 C、3 个 D、无数个 答案:A。解析：x,y可取0，1，2，3且满足条件即可。

6．若关于x的方程9?(4?a)?3?4?0有解，则实数a的取值范围是（ ） A．(??，?8]?[0，??) B．(??，?4)

C．[?8，4)

?4????4,?a??8。 3x?xxD．(??，?8]

x答案：D。解析：4?a????3?7．设x、y?R?且xy?(x?y)?1，则 （ ） A．x?y?2(2?1) C．x?y?(2?1)2

2B．xy?2?1

D．xy?2(2?1)

?x?y?2答案：A。解析：xy?1?(x?y)?? ?,?(x?y)?4(x?y)?4?0,?x?y?2(2?1)。

?2?????????5?18．如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当FB?AB时,其离心率为,此类

2椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率y e等于 （ ）

B 5?15?1 A. B. 22F O A x C.5?1 D.5?1

5?1.事实上对直角△2222ABF应用勾股定理,得AF?BF?AB,即有(a?c)2?(b2?c2)?(a2?b2),

答案：A。解析： 猜想出“黄金双曲线”的离心率e等于

第14页（共19页）

注意到b2?c2?a2,e?c5?1,变形得e2?e?1?0,从而e?. a29．平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分

成f(n)块区域，有f(1)?2,f(2)?4,f(3)?8，则f(n)的表达式为 （ ）

A、2n B、n2?n?2 C、2n?(n?1)(n?2)(n?3) D、n3?5n2?10n?4

答案：B。解析：由f(2)?f(1)?2,f(3)?f(2)?4,f(4)?f(3)?6,?猜测f(n?1)?f(n)?2n，利用累加法，得f(n)?n2?n?2。

10．用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反设正确的是（ ）

A、假设三内角都不大于60度； B、 假设三内角都大于60度；

C、假设三内角至多有一个大于60度； D、 假设三内角至多有两个大于60度。 答案：B。解析：“至少有n个”的否定是“最多有n-1个”。。

1?i10)的值是（ ） 1?iA．?1 B．1 C．?32 D．32

1?i10?2i10)?()?(?i)10??1.故选A． 解析：(1?i211.复数(答案：A。 12.设复数???13?i，则1??等于（ ） 221 (D)

(A)?? (B)?2 (C)?1??2?13??13??i?i????22221311?????答案：C. 解：1????i????．

22?1313?i??i22222

2

2

11（文）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB+AC=BC”

拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则可得” （ ）

22222 22222(A)AB+AC+ AD=BC+ CD+ BD (B)S?ABC?S?ACD?S?ADB?S?BCD

2222222222(C)S?(D)AB3AC3AD=BC 3CD 3BD ABC?S?ACD?S?ADB?S?BCD

222解析:S?。 ABC?S?ACD?S?ADB?S?BCD，故选（C）

2答案:C.

11112（文）．设a，b，c都是正数，则三个数a?，b?，c?（ ）

bcaＡ．都大于2

Ｂ．至少有一个大于2 Ｃ．至少有一个不大于2 Ｄ．至少有一个不大于2

1??1??1??1??1??1??答案：Ｃ。解析：?a????b????c????a????b????c???6，即三个

b??c??a??a??b??c??111数a?，b?，c?中至少有一个不小于2。

bca二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案直接填在题中横线上.

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13．设x、y是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy的最大值是_______________________. 答案：2-4lg2。解析：∵x>0,y>0,5=x+y≥2xy,∴xy≤(等号成立. 故lgx+lgy=lgxy≤lg(

525). 当且仅当x=y=时2252

)=2-4lg2. 2a?2a2?3a3???nan14．数列{an}是正项等差数列，若bn?1，则数列{bn}也

1?2?3???n为等差数列. 类比上述结论，写出正项等比数列{cn}，若dn= ，则数列{dn}也为等比数列.

23答案：(c1?c2?c3????c)1n1?2?3???nn。

15． ?ABC的三个顶点坐标分别为A(0,4),B(?2,0),C(2,0)，则?ABC内任意一点(x,y)所满足的条件为 ．

?y?0 答案: ??2x?y?4??。解析：分别计算三边的直线方程，然后结合图形可得。

?2x?y?4?0?16．若方程x2?2x?lg(2a2?a)?0有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围是__________________．

11答案：。解析：(?,0)?(,1)22?1??1?lg(2a2?a)?0,?0?2a2?a?1,?a???,0???,1?。

?2??2?三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

12125)?(b?)2?． ab2a?b111? ∴ab? ∴?4 解析：∵ab?224ab17.设a>0, b>0，且a + b = 1，求证：(a?

11???11?a??b????1?a?b?1212ab∴(a?)?(b?)?2???2??

ab22????????????1??a?b??21?1?????25?1?4?abab ?2????2???2??2222??????????????2222

18．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180 t支援物资的任务，该公司有8辆载重为6 t的A型卡车和4辆载重为10 t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低．

解析:设每天调出A型车x辆，B型车y辆，公司所花的成本为z元

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?x?8?y?4???x?y?10 ?4x?6?3y?10?180??x?0,x?Z???y?0,y?Z

作出上述不等式组所确定的平面区域如图阴影所示即可行域．

由图易知，当直线z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点（5，2）使z＝320x＋504y取得最小值，zmin＝32035＋50432＝2608．

∴每天调出A型车5辆，B型车2辆，公司所花成本最低．

z＝320x＋504y（其中x，y∈Z）

19.国际上钻石的重量计量单位为克拉。已知某种钻石的价值V（美元）与其重量?(克拉)

的平方成正比，且一颗为3克拉的该种钻石的价值为54000美元。 （1）写出V关于?的函数关系式；

（2）若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率； （3）试用你所学的数学知识证明：把一颗钻石切割成两颗时，按重量比为1∶1切割，价值损失的百分率最大. （价值损失的百分率=

原有价值?现有价值?100%；切割中重量损耗不计）

原有价值19．解：（1）V?6000?2 （2）37.5％

(3)若把一颗钻石按重量比为m∶n切割，价值损失率为

m?n2)n2?2mn1?m221??()?()?=??，当且仅当m=n时取等号， 22m?n?(m?n)(m?n)2?m?n2(即重量比为1∶1时，价值损失率最大.

20．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)??2x的解集为（1，3）.

（1）若方程f(x)?6a?0有两个相等的根，求f(x)的解析式； （2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.

(1,3).f(x)?2x?a(x?1)(x?3),且a?0。 解析：（1）?f(x)?2x?0的解集为因而f(x)?a(x?1)(x?3)?2x?ax?(2?4a)x?3a.①

2第17页（共19页）

由方程f(x)?6a?0得ax2?(2?4a)x?9a?0. ② 因为方程②有两个相等的根，所以??[?(2?4a)]2?4a?9a?0，

1解得a?1或a??.

51由于a?0,舍去a?1.将a??代入①得f(x)的解析式

5163f(x)??x2?x?.

5551?2a2a2?4a?12)? （2）由f(x)?ax?2(1?2a)x?3a?a(x? aaa2?4a?1. 及a?0,可得f(x)的最大值为?a?a2?4a?1?0,??由? 解得 a??2?3或?2?3?a?0. a?a?0,?2即 5a?4a?1?0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(??,?2?3)?(?2?3,0).

x222.已知函数f(x)?(x?1)。

2(x?1)（1）试求函数f(x)的单调区间；

（2）已知各项不为零的数列

?an?满足4Sn?f(1?)an，1求证：

?1n?11?ln??； an?1nan1（3）设bn??，Tn为数列?bn?的前n项和，求证：T2008?1?ln2008?T2007。

an2x?2(x?1)?x2?2x2?2x解析：（1）f?(x)?， ?224(x?1)2(x?1)由f?(x)?0得x?0或x?2； 由f?(x)?0得0?x?1或1?x?2

故函数f(x)的单调递增区间为(??,0)和(2,??)，单调减区间为(0,1)和(1,2)。 （2）由已知可得2Sn?an?an2，

当n?2时，2Sn?1?an?1?an?12，两式相减得(an?an?1)(an?an?1?1)?0

∴an??an?1或an?an?1??1

当n?1时，2a1?a1?a12?a1??1，若an??an?1，则a2?1这与an?1矛盾 ∴an?an?1??1 ∴an??n 。

1n?11?ln?。 n?1nn1x?11?ln?,x?0 为此，我们考虑证明不等式

x?1xx11令1??t,x?0,则t?1，x?

xt?1于是，待证不等式即为

第18页（共19页）

再令g(t)?t?1?lnt，g?(t)?1? 由t?(1,??)知g?(t)?0 ∴当t?(1,??)时，g(t)单调递增 ∴g(t)?g(1)?0 于是t?1?lnt

1t1x?1?ln,x?0 ① xx111t?1令h(t)?lnt?1?，h?(t)??2?2 由t?(1,??)知h?(t)?0

tttt即

∴当t?(1,??)时，h(t)单调递增 ∴h(t)?h(1)?0 于是lnt?1?

1tx?11?,x?0 ② xx?11x?11?ln?,x?0 由①、②可知

x?1xx1n?111n?11?ln?，即1??ln所以，?? n?1nnannan1111（3）由（2）可知bn? 则Tn?1?????

n23n1n?11?ln?中令n?1,2,3,?,2007，并将各式相加得 在

n?1nn111232008111?ln?ln???ln?1????? ????

232008122007232007即T2008?1?ln2008?T2007 。

即ln

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