九年级数学上学期第一次月考试卷（含解析）新人教版7

2016-2017学年福建省宁德市霞浦一中九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题

1．下列给出的方程：①（x+1）（x﹣1）﹣x2=0；②x2+1=0；③y2﹣2y﹣1=0；④x2﹣1=．其中是一元二次方程的是（ ）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．②③

2．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（ ）

x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09 A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24

C．3.24＜x＜3.25

D．3.25＜x＜3.26

3．下列一元二次方程中，有实数根的方程是（ ） A．x﹣x+1=0 B．x﹣2x+3=0

2

2

C．x+x﹣1=0 D．x+4=0

22

4．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（ ）

A． cm B．2cm C．2cm D．4cm

5．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a的值为（ ） A．2

B．﹣2 C．2或﹣2 D．0

6．如图，在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是（ ）

A．10 B．12 C．15 D．20

7．把方程x﹣6x+2=0配方成（x+p）=q的形式后，p与q的值分别是（ ） A．3，7 B．﹣3，7 C．9，7 D．﹣3，9

8．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（ ）

2

2

A．4 B．6 C．8 D．10

9．关于x的一元二次方程（m﹣6）x2﹣6x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m满足（ ） A．m≥﹣3 B．m＞﹣3且m≠6

C．m≥﹣3且m≠6

D．m≠6

10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（ ）

A．

B． C． D．

二、填空题

11．一元二次方程3x（x﹣3）=2x+1化为一般形式为 ．

12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=8，E是AB的中点，则OE的长等于 ．

2

13．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为 ．

14．已知矩形两边长分别是方程x2﹣50x+35=0的两根，则矩形的面积为 ．

15．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB的中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠CDE的度数为 ．

16．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：

①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+其中正确的序号是 （把你认为正确的都填上）．

．

三、解答题（共6题，共52分） 17．解下列方程 （1）x2﹣2x+1=0 （2）x+3x+1=0

（3）x2﹣6x﹣18=0（配方法） （4）x（5x+4）=5x+4．

18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD．求证：EF=CD．

2

19．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．

20．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？

21．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长．

22．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个

单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF． （1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由． （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

2016-2017学年福建省宁德市霞浦一中九年级（上）第一次月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

1．下列给出的方程：①（x+1）（x﹣1）﹣x2=0；②x2+1=0；③y2﹣2y﹣1=0；④x2﹣1=．其中是一元二次方程的是（ ）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．②③ 【考点】一元二次方程的定义．

【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程．

由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

【解答】解：①由（x+1）（x﹣1）﹣x=0得到：﹣1=0，不是方程，且不成立，故错误； ②x+1=0；③y﹣2y﹣1=0符合一元二次方程的定义，故正确； ④x﹣1=属于分式方程，故错误； 故选：D．

【点评】本题考查了一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．这是一个需要识记的内容．

2．根据下列表格的对应值，判断方程ax+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（ ）

x 3.23 3.24 3.25 3.26 2

22

2

2

ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09 A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24

C．3.24＜x＜3.25

D．3.25＜x＜3.26

【考点】图象法求一元二次方程的近似根．

【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个解的范围．

【解答】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根， 函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；

12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=8，E是AB的中点，则OE的长等于 4 ．

【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．

【分析】由在菱形ABCD中，AB=8，E是AB的中点，易求得BC的长，证得OE是△ABC的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可求得答案． 【解答】解：∵在菱形ABCD中，AB=8， ∴BC=AB=8，OA=OC， ∵E是AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE=BC=4． 故答案为：4．

【点评】此题考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质．注意证得OE是△ABC的中位线是关键．

13．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为 14 ．

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线．

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8， ∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4， ∵点E为AC的中点，

∴DE=CE=AC=5，

∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14． 故答案为14．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

14．已知矩形两边长分别是方程x﹣50x+35=0的两根，则矩形的面积为 35 ． 【考点】根与系数的关系．

【分析】设方程x﹣50x+35=0的两根分别为a，b，根据根与系数的关系可得出a+b=50、ab=35，再根据矩形的面积公式即可得出结论．

【解答】解：设方程x2﹣50x+35=0的两根分别为a，b， 则：a+b=50，ab=35， ∵a、b是矩形两边， ∴矩形的面积为35． 故答案为：35．

【点评】本题考查了根与系数的关系以及矩形的面积公式，熟练掌握“两根之积为”是解题的关键．

15．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB的中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠CDE的度数为 45° ．

2

2

【考点】翻折变换（折叠问题）；菱形的性质．

【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A=60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，进而求出∠PDC=90°，由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°．

【解答】解：连接BD，

∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，

∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°， ∵P为AB的中点，

∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°， ∴∠PDC=90°，

∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45° 故答案为：45°

【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．

16．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：

①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+

．

其中正确的序号是 ①②④ （把你认为正确的都填上）．

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【专题】压轴题．

【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，

∵△AEF是等边三角形， ∴AE=AF，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF， ∵BC=DC， ∴BC﹣BE=CD﹣DF， ∴CE=CF， ∴①说法正确； ∵CE=CF，

∴△ECF是等腰直角三角形， ∴∠CEF=45°， ∵∠AEF=60°， ∴∠AEB=75°， ∴②说法正确；

如图，连接AC，交EF于G点， ∴AC⊥EF，且AC平分EF， ∵∠CAF≠∠DAF， ∴DF≠FG， ∴BE+DF≠EF， ∴③说法错误； ∵EF=2， ∴CE=CF=

，

设正方形的边长为a， 在Rt△ADF中， AD2+DF2=AF2，即a2+（a﹣解得a=

，

）2=4，

则a2=2+， ，

S正方形ABCD=2+

④说法正确， 故答案为：①②④．

【点评】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．

三、解答题（共6题，共52分） 17．解下列方程 （1）x2﹣2x+1=0 （2）x+3x+1=0

（3）x﹣6x﹣18=0（配方法） （4）x（5x+4）=5x+4．

【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．

【分析】（1）左边利用完全平方公式进行因式分解，然后通过开平方解方程； （2）利用配方法把左边配成完全平方式，右边化为常数；

（3）把常数项﹣18移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方； （4）先移项，然后利用提取公因式（5x+4）进行因式分解． 【解答】解：（1）由原方程，得 （x﹣1）=0， 解得x1=x2=1；

（2）移项得 x2+3x=﹣1，

配方得 x2+3x+（）2=﹣1+（）2， 即（x+）2=，

222

开方得x+=±∴x1=

，

．

，x2=

（3）由原方程移项，得 x﹣6x=18，

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得 x2﹣6x+9=27， 配方，得 （x﹣3）2=27， 开方，得 x﹣3=±3

，

，x2=3﹣3

．

2

解得，x1=3+3

（4）由原方程，得 （x﹣1）（5x+4）=0， 则x﹣1=0或5x+4=0， 解得，x1=1，x2=﹣

【点评】此题考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤： （1）形如x+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．

（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．

18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD．求证：EF=CD．

2

【考点】矩形的判定与性质；三角形中位线定理． 【专题】证明题．

【分析】由DE、DF是△ABC的中位线，可证得四边形DECF是平行四边形，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，可证得四边形DECF是矩形，根据矩形的对角线相等，即可得EF=CD． 【解答】证明：∵DE、DF是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DF∥AC，

∴四边形DECF是平行四边形， 又∵∠ACB=90°， ∴四边形DECF是矩形， ∴EF=CD．

【点评】此题考查了矩形的判定与性质以及三角形中位线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

19．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．

【考点】菱形的判定． 【专题】证明题．

【分析】由已知易得四边形AEDF是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得∠FAD=∠FDA，根据等角对等边可得AF=DF，再根据邻边相等的四边形是菱形可得结论． 【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD=∠FAD， ∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF， ∴∠FAD=∠FDA， ∴AF=DF，

∴四边形AEDF是菱形．

【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．

20．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？

【考点】一元二次方程的应用． 【专题】几何图形问题．

【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．

【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得

x（25﹣2x+1）=80， 化简，得x﹣13x+40=0， 解得：x1=5，x2=8，

当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12， 答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．

【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．

21．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长．

2

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】利用勾股定理列式求出AC，根据翻折变换的性质可得AC⊥EF，OC=AC，然后利用∠ACB的正切列式求出OF，再求出△AOE和△COF全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF． 【解答】解：∵AB=6cm，BC=8cm， ∴AC=

=

=10cm，

∵折叠后点C与点A重合， ∴AC⊥EF，OC=AC=×10=5cm， ∵tan∠ACB=∴

=，

，

=

，

解得OF=

∵矩形对边AD∥BC， ∴∠OAE=∠OCF， 在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE=OF=∴折痕EF=

， +

=

．

【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．

22．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5

，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个

单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF． （1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由． （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

【考点】菱形的性质；含30度角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形． 【专题】几何图形问题；压轴题；动点型．

【分析】（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，由已知条件求证；

（2）求得四边形AEFD为平行四边形，若使?AEFD为菱形则需要满足的条件及求得； （3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．在直角三角形AED中求得AD=2AE即求得． ②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，则得∠ADE=∠DEF=90°，求得AD=AE?cos60°列式得． ③∠EFD=90°时，此种情况不存在．

【解答】（1）证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t， ∴DF=t． 又∵AE=t， ∴AE=DF．

（2）解：能．理由如下： ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF． 又AE=DF，

∴四边形AEFD为平行四边形． ∵AB=BC?tan30°=5

=5，

∴AC=2AB=10． ∴AD=AC﹣DC=10﹣2t．

若使?AEFD为菱形，则需AE=AD， 即t=10﹣2t，t=即当t=

．

时，四边形AEFD为菱形．

（3）解：①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形． 在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°， ∴AD=2AE．

即10﹣2t=2t，t=．

②∠DEF=90°时，由（2）四边形AEFD为平行四边形知EF∥AD， ∴∠ADE=∠DEF=90°． ∵∠A=90°﹣∠C=60°， ∴AD=AE?cos60°． 即10﹣2t=t，t=4．

③∠EFD=90°时，此种情况不存在．

综上所述，当t=秒或4秒时，△DEF为直角三角形．

【点评】本题考查了菱形的性质，考查了菱形是平行四边形，考查了菱形的判定定理，以及菱形与矩形之间的联系．难度适宜，计算繁琐．

∴AC=2AB=10． ∴AD=AC﹣DC=10﹣2t．

若使?AEFD为菱形，则需AE=AD， 即t=10﹣2t，t=即当t=

．

时，四边形AEFD为菱形．

（3）解：①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形． 在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°， ∴AD=2AE．

即10﹣2t=2t，t=．

②∠DEF=90°时，由（2）四边形AEFD为平行四边形知EF∥AD， ∴∠ADE=∠DEF=90°． ∵∠A=90°﹣∠C=60°， ∴AD=AE?cos60°． 即10﹣2t=t，t=4．

③∠EFD=90°时，此种情况不存在．

综上所述，当t=秒或4秒时，△DEF为直角三角形．

【点评】本题考查了菱形的性质，考查了菱形是平行四边形，考查了菱形的判定定理，以及菱形与矩形之间的联系．难度适宜，计算繁琐．

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