2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(13立体几何初步)

12008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全

（13立体几何初步）

一、选择题：

1．（2008安徽文\理）已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，

下列命题中正确的是（ D ） A ．,,m n m n αα若则‖‖‖

B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖

C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖

D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖

2． (2008福建文、理)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC

1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（D

）

A.

3

B. 5

C . 5 D. 5

3．(2008广东文、理)将正三棱柱截去三个角（如图1所示A ，B ，C 分别是△GHI 三边的中点）得到几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为(A )

4、(2008海南、宁夏文)已知平面α⊥平面β，α∩β= l ，点A ∈α，A ?l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．

成立的是（ D ） A. AB ∥m

B. AC ⊥m

C. AB ∥β

D. AC ⊥β 5、(2008海南、宁夏理)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（ C ）

A. 22

B. 32

C. 4

D. 52

6．(2008湖北文、理)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的休积为（B ） A.38π B. 328π C.π28 D. 3

32π

7．(2008湖南文).已知直线m,n 和平面βα,满足βα⊥⊥⊥,,a m n m ,则( D )

.A n β⊥ ,//.βn B 或β?n α⊥n C . D ,//.αn 或α?n

8. (2008湖南理)设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是(D. )

A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥n

B.若m ?α,n ?α,m ∥β,n ∥β,则α∥β

C.若α⊥β，m ?α,则m ⊥β

D.若α⊥β，m ⊥β，m ?α,则m ∥α

9．(2008湖南文、理) 长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3， 11=AA ，则顶点A 、B 间的球面距离是( B ) A ．

42π B ．22π C

．π

2 D ．2π2

10．(2008江西理)连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别

等于27、43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：

①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N

③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为l

其中真命题的个数为（ C ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

11．(2008江西文) 设直线m 与平面α相交但不．

垂直，则下列说法中正确的是（ B ） A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直

B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直

C ．与直线m 垂直的直线不．

可能与平面α平行 D ．与直线m 平行的平面不．

可能与平面α垂直

12．(2008辽宁文、理) 在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱1AA ，1CC 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（ D ）

A ．不存在

B ．有且只有两条

C ．有且只有三条

D ．有无数条

13．(2008全国Ⅱ卷理)已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ C ）

A ．

13 B

．3 C

．3 D ．23

14．(2008全国Ⅱ卷文)正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为?60，则该棱锥的体积为（ B ）

A ．3

B ．6

C ．9

D ．18

15．(2008全国Ⅱ卷文、理)已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ C ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．2

16．(2008全国Ⅰ卷文)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ B ）

A ．13 B

．3 C

．3 D ．23

17．(2008山东文、理)右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ D ）

(A)9π （B ）10π (C)11π (D) 12π

18.(2008陕西文)长方体1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为1的球面上,

其中

1::AB AD AA =则两,A B 点的球面距离为( C )

A ．4π

B ．3π

C ．2

π D ．23π 俯视图

正(主)视图 侧(左)视图

19.(2008陕西文、理) 如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈，，，，，到l 的距离分别是a 和

b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和?，AB 在αβ，内的射影 分别是m 和n ，若a b >，则（ D ）

A ．m n θ?>>，

B ．m n θ?><，

C ．m n θ?<<，

D ．m n θ?<>，

20．(2008四川文)设M 是球心O 的半径OP 的中点，分别过,M O 作垂直于OP 的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：( D )

（Ａ）41 （Ｂ）12 （Ｃ）23 （Ｄ）34

21．(2008四川文) 若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为060的

菱形，则该棱柱的体积等于( B )

（Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）21．【解】：如图在三棱柱111ABC A B C -中，设0111160AA B AA C ∠=∠=，

由条件有011160C A B ∠=，作111AO A B C ⊥面于点O ，

则0111011

cos cos60cos cos cos30AA B AAO B AO ∠∠====∠ ∴1sin AA O ∠=

∴11sin AO AA AAO =?∠= ∴1111110122sin 602AO ABC A B C A B C V S AO -?=?=???= 故选B 【点评】：此题重点考察立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考察空间想象能力；

【突破】：具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键；

22．(2008四川理) 设,M N 是球心O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过,,N M O 作垂线于OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( D )

（Ａ）3,5,6 （Ｂ）3,6,8 （Ｃ）5,7,9 （Ｄ）5,8,9

22．【解】：设分别过,,N M O 作垂线于OP 的面截球得三个圆的半径为123,,r r r ，球半径为R ，则：

22222222222212325182,,39393r R R R r R R R r R R R ??????=-==-==-= ? ? ???????

∴222123::5:8:9r r r = ∴这三个圆的面积之比为：5,8,9 故选D

【点评】：此题重点考察球中截面圆半径，球半径之间的关系；

【突破】：画图数形结合，提高空间想象能力，利用勾股定理；

23．(2008四川文、理)设直线l ?平面α，过平面α外一点A

与,l α都成030角的直线有且只有：( B )

（Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条

24．(2008天津文、理)设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是（ C ）

(A) βαβα⊥⊥,//,b a (B) βαβα//,,⊥⊥b a

(C) βαβα//,,⊥?b a (D) βαβα⊥?,//,b a

A B a b l

α β

25．（2008浙江文）对两条不相交的空间直线a 与b ,必存在平面α,使得（ B ）

（A ）αα??b a , （B ）b a ,α?∥α （C ）αα⊥⊥b a , (D)αα⊥?b a ,

26．(2008重庆理)如解（9）图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形

的4个顶点.V 1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V 2为大球内、

小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是 (D )

（A ）V 1=2V (B) V 2=2

V （C ）V 1> V 2 （D ）V 1< V 2

27． (2008重庆文)如题（11）图，模块①－⑤均由4个棱长为1的

小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块

①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的

大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为 ( A )

(A)模块①，②，⑤ (B)模块①，③，⑤

(C)模块②，④，⑥ (D)模块③，④，⑤

二、填空题：

1．（2008安徽文、理）已知点,,,A B C D 在同一个球面上,,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB =

AC =8AD =,则,B C 两点间的球面距离是

43π

2.( 2008福建文、理)

，则其外接球的表面积是9π.

3、(2008海南、宁夏文、理)

一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点，底面周长为3，那么这个球的体积为 ___43

π__.

4．(2008江西文)连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB CD 、

的长度分别等于

、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为 5 ．

5．(2008江西理)如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实

心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P (图2)．有下列四个命题：

A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半

B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P

C ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好

经过点P

D ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满

其中真命题的代号是 BD ．(写出所有真命题的代号)

．

6．(2008辽宁文、理)在体积为的球的表面上有A ，B ，C 三点，AB =1，BC ，A ，C 两点

的球面距离为3π，则球心到平面ABC 的距离为___32 ．

7．(2008全国Ⅰ卷文)已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=，沿对角线BD 将ABD △折起，

使二面角A BD C --为120，则点A 到BCD △所在平面的距离等于 ．

8．(2008陕西理)长方体1111ABCD A B C D -的各顶点都在球O 的球面上，其中

1::AB AD AA =A B ，两点的球面距离记为m ，1A D ，两点的球面距离记为n ，则m n 的值为

12 ．

9．(2008四川理)，且对角线与底面所成角的余弦值为

3

，则该正四棱柱的体积等于_______2_________。

9．【解】：如图可知：∵1113

AC AC A =∠=

∴1112AC AA == ∴正四棱柱的体积等于211112AC AA ?=2 【点评】：此题重点考察线面角，解直角三角形，以及求正四面题的体积；

【突破】：数形结合，重视在立体几何中解直角三角形，熟记有关公式。

10．(2008天津文)若一个球的体积为，则它的表面积为 12π ．

11.(2008天津理)一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积为π34，则该正方体的表面积为 24 .

12．解析：由343

R π=得R =2a =，表面积为2624a =.

12.（2008浙江文、理）如图，已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC 。 AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 的体积等于 2

9π 。 关键是找出球心，从而确定球的半径。由题意，三角形DAC,三角形DBC 都是直角三角形，且有公

共斜边。所以DC 边的中点就是球心（到D 、A 、C 、B 四点距离相等），所以球的半径就是线段DC 长度的一半。

三、解答题：

1. (2008广东文)如图5 所示,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形,其中BD 是

圆的直径, ∠ABD=60o ,∠BDC=45o .△ADP ∽△BAD.

(1)求线段PD 的长;

(2)若R PC 11=，求三棱锥P-ABC 的体积.

1、解：（1）BD 是圆的直径，∴90BAD ∠=?， 又ADP △∽BAD △， ∴2223

4(sin 60)4,31sin 3022

R AD DP AD BD DP R BA AD BA BD R ?

?=====??. （2）在Rt BCD ?

中，cos 45CD BD =?=.

∵2222229211PD CD R R R PC +=+= ∴PD CD ⊥

又90PDA ∠=?,即PD DA ⊥，而CD DA D =

∴PD ⊥底面ABCD

211sin sin(6045)221122ABC S AB BC ABC AB BC R =??∠=???+?=+=??△ 故三棱锥P ABC -的体积为

23111133344P ABC ABC V S PD R R R -=??=??=△.

2. (2008广东理)如图5 所示,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形,其中BD 是圆的直径, ∠ABD=60°，∠BDC=45o

.PD 垂直底面ABCD ，PD=R 22. E,F 分别是PB,CD 上的点,且FC

DF EB PE =,过点E 作BC 的平行线交PC 于G. (1)求BD 与平面ABP 所成角θ的正切值;

(2)证明: △EFG 是直角三角形;

(3)当2

1=EB PE 时,求△EFG 的面积.

2.解法1：∵PD ⊥底面ABCD

∴PD ⊥AB ，

∵BD 是圆的直径,

∴A D ⊥AB ，

又PD ∩AD=D

∴AB ⊥平面ADP

又AB ?平面ABP

∴平面ABP ⊥平面ADP ，且平面ABP ∩平面ADP=PA.

在平面ADP 内作DH ⊥PA,垂足为H,则DH ⊥平面ABP,

连结BH,则∠DBH 就是BD 与平面ABP 所成角,即∠DBH=θ.

在Rt △ABD 中，BD=2R ，所以AD=3R.

在Rt △ADP 中，DH ⊥PA, PD=22R ，AD=3R, 则AP=R 11

∴ DH=R AP DP AD 1162=?

,

在Rt △BHD 中，BD=2R ，DH=R 11

6

2,所以 BH=R R R DH BD 1152112442222=-=- ∴ 5

30tan ==BH DH θ. (2)证明: ∵EG ∥BC,

∴GC PG EB PE =, 又已知FC

DF EB PE = ∴ FC

DF GC PG = ∴GF ∥PD

又由PD ⊥底面ABCD,可知PD ⊥BC ，

∴ EG ⊥GF

∴△EFG 是直角三角形.

(3)当

21=EB PE 时,由平行线截割定理可知,31==PB PE BC EG ,32===BP BE CP CG PD GF , 在△BCD 中,∠BDC=45o BD=2R,所以BC=2R, 又PD=22R ，

∴EG=3

2R, GF=324R. 所以△EFG 的面积为294324322121R R R GF EG S EFG =??=?=?. 解法2：以A 为原点，分别以AB 、AD 所在的直线为x 、y 轴，建立空间直角坐标系.(略)

3、(2008海南、宁夏文)如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）。（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG 。

3．解：（Ⅰ）如图

········································································

· 3分

（俯视图） （正视图） （侧视图）

正视图

E

（Ⅱ）所求多面体体积

V V V =-长方体正三棱锥

1144622232??=??-???? ??? 2284(cm )3

=． ························································· 7分 （Ⅲ）证明：在长方体ABCD A B C D ''''-中， 连结AD '，则AD BC ''∥．

因为E G ，分别为AA '，A D ''中点， 所以AD EG '∥，

从而EG BC '∥．又BC '?平面EFG ，

所以BC '∥面EFG ． ··················································································· 12分

4．(2008江苏) 在四面体ABCD 中，CB= CD, AD ⊥BD ，且E ,F 分别是AB,BD 的中点， 求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；

（Ⅱ）面EFC ⊥面BCD ．

4. 【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置

关系的判定．

（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点，

∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，

∵EF ?面ACD ，AD ? 面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ．

（Ⅱ）∵ AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴ EF ⊥BD.

∵CB=CD, F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD.

又EF CF=F ，∴BD ⊥面EFC ．∵BD ?面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD

5.(2008山东文) 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面

⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==

（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ；

（Ⅱ）求四棱锥P ABCD

-的体积．

5．（Ⅰ）证明：在ABD △中，

由于4AD =，8BD =，AB = 所以222AD BD AB +=．

故AD BD ⊥．

又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，

BD ?平面ABCD ，

所以BD ⊥平面PAD ，

又BD ?平面MBD ，

故平面MBD ⊥平面PAD ．

（Ⅱ）解：过P 作PO AD ⊥交AD 于O ，

由于平面PAD ⊥平面ABCD ，

所以PO ⊥平面

ABCD ．

因此

PO 为四棱锥P ABCD -的高，

又PAD △是边长为4的等边三角形． 因此4PO == 在底面四边形ABCD 中，AB DC ∥，2AB DC =， A C D E F G A ' B ' C ' D '

A B C M P D

O

A B C M P D

所以四边形ABCD 是梯形，在Rt ADB △中，斜边AB

= 此即为梯形ABCD 的高， 所以四边形ABCD

的面积为2425

S =?=．

故1

243

P ABCD V -=

??=

6．(2008上海文、理) 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

6. 【解】过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF . ∵ EF ⊥平面ABCD ，

∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……………4分 由题意，得EF =11

1.2

CC = ∵

1

1,2

CF CB DF =

=∴=..8分 ∵ EF ⊥DF ， ∴

tan EF EDF DF ∠==……………..10分 故直线DE 与平面ABCD

所成角的大小是arctan .12分

7.．(2008天津文、理)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形．已知3AB =，2AD =，

2PA =

，PD =60PAB =∠． （Ⅰ）证明AD ⊥平面PAB ；

（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角P BD A --的大小．

7.本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间相角能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．

（Ⅰ）证明：在PAD △中，由题设2PA =，2AD =

，PD =，可得2

2

2

PA AD PD +=，于是AD PA ⊥．在矩形ABCD 中，AD AB ⊥，又PA AB A =，所以AD ⊥平面PAB ． （Ⅱ）解：由题设，BC AD ∥，所以PCB ∠（或其补角）是异面直线PC 与AD 所成的角．

在PAB △中，由余弦定理得

PB =

．

由（Ⅰ）知AD ⊥平面PAB ，PB ?平面PAB ，

所以AD PB ⊥，因而BC PB ⊥，于是PBC △是直角三角形，

故tan PB PCB BC ==． 所以异面直线PC 与AD

所成的角的大小为arctan ． （Ⅲ）解：过点P 作PH AB ⊥于H ，过点H 作HE BD ⊥于E ，连结PE ．

因为AD ⊥平面PAB ，PH ?平面PAB ，所以AD PH ⊥．又AD AB A =，因而PH ⊥平面ABCD ，故HE 为PE 在平面ABCD 内的射影．由三垂线定理可知，BD PE ⊥．从而PEH ∠是二面角P BD A --的平面角．

A B

C

D

P H E

由题设可得，

sin 603PH PA ==cos601AH PA ==，

2BH AB AH =-=，BD = 13

AD HE BH BD ==

于是在Rt PHE △中，tan 4

PH PEH HE ==．

所以二面角P BD A --的大小为arctan 4

．

8. (2008重庆文) 如图（20）图， αβ和为平面，,,,l A B α?β=∈α∈βAB =5,A ,B 在棱l 上的射影分别为A ′，B ′，AA ′＝3，BB ′＝2.若二面角l α--β的大小为23

π，

求：

（Ⅰ）点B 到平面α的距离;

（Ⅱ）异面直线l 与AB 所成的角（用反三角函数表示）.

8. （本小题12分）

解：（1）如答（20）图，过点B ′C ∥A ′A 且使B ′C=A ′A .过点B

作BD ⊥CB ′，交CB ′的延长线于D .

由已知AA ′⊥l ，可得DB ′⊥l ，又已知BB ′⊥l ，故l ⊥平面BB ′D ，得BD ⊥l 又因BD ⊥CB ′，从而BD ⊥平面α,

BD 之长即为点B 到平面α的距离.

因B ′C ⊥l 且BB ′⊥l ，故∠BB ′C 为二面角α-l-β的平面角.由

题意，

∠BB ′C =3

2π. 因此在Rt △BB ′D 中，BB ′=2,∠BB ′D =π-∠BB ′C =3

π,

BD=BB ′·sinBB ′.

（Ⅱ）连接AC 、BC .因B ′C ∥A ′A ，B ′C=A ′A,AA ′⊥l ,知A ′ACB ′为矩形，故AC ∥l .所以∠BAC 或其补角为异面直线l 与AB 所成的角.

在△BB ′C 中，B ′B =2，B ′C =3，∠BB ′C =3

2π，则由余弦定理，

BC =因BD ⊥平面α，且DC ⊥CA ，由三策划线定理知AC ⊥BC.

故在△A BC 中，∠BCA=2

π，sin BAC =BC AB =因此，异面直线l 与AB 所成的角为arcsin

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