第四章 刚体的转动

普通物理学 程守珠 第五版 第四章课件

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4-1 刚体的平动、转动和定轴转动1、刚体一种特殊的质点系统，无论它在多大的外力作用下，系统 内任何两质点的距离始终保持不变。

2、平动和转动平动：当刚体转动时，刚体内的任何一条给定直线，在运动中 始终保持它的方向不变。 转动：当刚体转动时，刚体的各个质点在运动中都绕同一直线 作圆周运动。 这一直线叫做转轴。 转轴固定不动的转动称为定轴转动。

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刚体的一般转动都可以看作是平动和转动的叠加。2013-7-26 3

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3、刚体的定轴转动刚体定轴转动时：

1、轴本身的空间位置不变；2、每个质点都在垂直于转轴的某个平面 内作圆周运动；

3、同一时间内各点转过的弧长不尽相同；4、同一时间内各点半径扫过的角度相同； 我们就利用这个转角描述刚体的运动(角位移)

d d , dt dt2013-7-26

S R , v R , at R ,4

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4、角速度矢量角速度也是一个矢量，它的方向这样规定：

v r

这样就可以同时表述加速度和线速度之间的方向 上和量值上的关系。 角速度的方向总是沿着转轴的，因此，只要规定了 正负就可以用标量进行计算。2013-7-26 5

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4-2 刚体的角动量 转动动能 转动惯量1、刚体的角动量把细棒分成许多质点，第i个质点对 O的角动量为：

Li Ri mi vi 因为Ri与vi方向垂直

Li mi Ri vi刚体对O点的角动量等于各个质点角动量的矢量和。由图可见总 角动量的方向与每个质点的角动量方向是一致的，但与角速度方向 (转轴方向)不一致。2013-7-26 6

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对于定轴转动，我们只研究总角动量沿转轴的分量Lz, 叫做刚体绕定轴的角动量。这个分量就是各质点的角动量沿转 轴的分量 Lz之和。

Liz Li cos Lz Li cos mi Ri vi cos mi ri vi mi ri 2 转动惯量

J mi ri2013-7-26

2

Lz J 7

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2、刚体的转动动能刚体在转动时的动能，是组成刚体的各个质点的动能之和。

设第i个质点的质量为 mi,速度大小为vi,则该质 点的动能为： 1

2

m v

2 i i

结合：

vi ri

得整个刚体的转动动能为：

1 1 2 2 2 EK mi vi mi ri 2 2 1 2 E K J 22013-7-26 8

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3、转动惯量的计算转动惯量定义式：

J ri 2 miJ r dm2

刚体的质量是连续分布的，故

dm为质元 的质量，r为质元到转轴的距离。

比较：

平动： 转动：

平动动能 转动动能

1 2 mv 2 1 2 J 2

线动量 角动量

mvJ

质量是平动中惯性大小的量度，转动惯量是转动 中惯性大小的量度。2013-7-26 9

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与转动惯量有关的因素：

刚体的总质

量、质量的分布(刚体的形状)、转轴的位置单个质点的转动惯量 质点系的转动惯量 质量连续分布的 刚体的转动惯量

J mi rin i 1

2

J (mi ri 2 )J r dm2 m

刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质 量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。国际单位制中转动惯量的单位为千克· 2(kg· 2) 米 m

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质量为线分布质量为面分布

dm dl

其中 、 、 分别为质量的线密度、 面密度和体密度。

dm dsdm dV

质量为体分布

线分布

面分布

体分布

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例4-3、求长为l、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。解：取如图坐标，dm= dx

J O r 2 dmX

Al/2 A

Ol/2

x 2 dx ml 2 / 12

L 2 L 2

J A r 2 dml X

A B

hx X

x 2 dx ml 2 / 30

L

J B r 2 dm

l h 2 l h 2

x 2 dx ml 2 / 12 mh2

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平行轴定理用x表示棒上质点对O轴(过质心的轴)的距离，有r表示 它对B轴的距离，按照转动惯量的定义：

J B= r dm x h dm2 2

x 2 dm h 2 dm 2h xdm

J C mh2 0结论：若有任一轴与过质心的轴平行，相距为h,刚体对其转

动惯量为J,则有：J=JC+mh2。这个结论称为平行轴定理。

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例4-4、求质量为m、半径为R的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘 平面垂直并通过盘心。 解：取半径为r宽为dr的薄圆环,

ZO

dm dS 2 rdr

dJ r dm 2 r dr2 3

R

J dJ

R

0

1 2 r dr R 4 23

m 1 J mR 2 R 2 2

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求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂 直并通过圆心。

解:

J r dm2

R dm R dm mR2 2

2

O

R dm

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例题4-4,求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯 量，设圆盘的半径为R、质量为m,密度均匀。解：取半径为r宽为dr的圆环,

ZO

dm dS 2 rdrJ r dm 2 R

R

0

1 4 2 r dr R 23

m 1 J mR 2 R 2 2

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求质量为m、半径为R、厚为l的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘 平面垂直并通过盘心。解：取半径为r宽为dr的薄圆环,

ZO

dm dV J r dm 2

2 rdr lR

0

1 2 lr dr R 4l 23

R

m 1 J mR 2 R 2l 2

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2013-7-26

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