2006初中数学竞赛

2 006年全国初中数学竞赛试题

考试时间 2006年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120分

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分）

1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ） （A）36 （B）37 （C）55 （D）90

2．已知m?1?2，n?1?2，且(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)=8，则a的值等于（ ）

（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9 3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y?x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ）

（A）h<1 （B）h=1 （C）12

4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ） （A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007 5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则

QC的值为（ ） QAD C （A）23?1

O （B）23 （C）3?2

1

Q A P （第5题图）

B （D）3?2

二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）

6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a

A 大值为 ．

7．如图，面积为ab?c的正方形DEFG内接于 面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c为整数， 且b不能被任何质数的平方整除，则等于 ．

a?c的值 bD G

B E F C （第7题图）

8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．

1??2?29???9．已知0

30??30?30??? ．(?x?表示不超过x的最大整数)

10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．已知x?

b

，a，b为互质的正整数（即a，b是正整数，且它们的最大公约a

数为1），且a≤8，2?1?x?3?1． （1） 试写出一个满足条件的x； （2） 求所有满足条件的x．

2

12．设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式

b2?c2?2a2?16a?14 ① bc?a2?4a?5 ②

求a的取值范围．

13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB．

3

P K E A O B C

（第13题）

14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．

4

2006年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分）

1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）

（A）36 （B）37 （C）55 （D）90 答：C．

解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36=55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处．

故选C．

2．已知m?1?2，n?1?2，且(7m?14m?a)(3n?6n?7)=8，则a的值等于（ ）

（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9 答：C．

解：由已知可得m?2m?1，n?2n?1．又

2222(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)=8，所以 (7?a)(3?7)?8 解得a=－9

故选C．

3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y?x上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ）

（A）h<1 （B）h=1 （C）12 答：B．

解：设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（|c|<|a|），则点B的坐标为

5

2

（－a，a2），由勾股定理，得AC2?(c?a)2?(c2?a2)2，

BC2?(c?a)2?(c2?a2)2， AC2?BC2?AB2

所以 (a2?c2)2?a2?c2．

由于a?c，所以a2－c2=1，故斜边AB上高h= a2－c2=1 故选B．

4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）

（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007 答：B．

解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k次后，可得(k＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k＋1)×360°．

因为这(k＋1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×(62－2)×180°=34×60×180°，其余多边形有(k＋1)－34= k－33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k－33) ×180°．所以(k＋1)×360°≥34×60×180°＋(k－33)×180°，解得k≥2005．

当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了 58＋33＋33×58=2005（刀）．

故选B．

6

22

5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则

QC的值为（ ） QAD C （A）23?1

O （B）23 （C）3?Q 2

A P （第5题图）

B （D）3?2 答：D．

解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r＋m， QA=r－m．

在⊙O中，根据相交弦定理，得QA·QC=QP·QD． 即 (r－m)(r＋m)=m·QD ，所以 QD=

D C r?m． m22O Q A P （第5题图）

B 连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2＋QO2，

?r2?m2即 ??m?所以，

?322??r?m， 解得m?r ?3?2QCr?m3?1???3?2 QAr?m3?1故选D．

二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）

6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a

答：5013．

解：由a?b?2006，c?a?2005，得 a?b?c?a?4011．

7

因为a?b?2006，a

7．如图，面积为ab?c的正方形DEFG内接于 面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c为整数， 且b不能被任何质数的平方整除，则等于 ．

答：?A D G

a?c的值 bB E F C

20． 3（第7题图）

解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则m?243，

3m?xx2由△ADG∽△ABC，可得?， 解得x?(23?3)m m3m2于是 x2?(23?3)2m2?283?48， 由题意，a?28，b?3，c?48，所以

a?c20??． b38．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．

答：104．

解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x

400x=368x米．于是368(x－1)＋800－400(x－1)>400， 50400?13?104． 所以，12.5≤x<13.5． 故x=13，此时t?50米，乙走了46×

9．已知0

8

答：6． 解：因为0

3所以 0?a?10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ．

答：282500．

解：设原来电话号码的六位数为abcdef，则经过两次升位后电话号码的八位数为

2a8bcdef．根据题意，有81×abcdef=2a8bcdef．

记x?b?104?c?103?d?102?e?10?f，于是 81?a?10?81x?208?10?a?10?x， 解得x=1250×(208－71a) ．

因为0≤x＜10，所以0≤1250×(208－71a)＜10，故

55556128208?a≤． 7171 因为a为整数，所以a=2．于是x=1250×(208－71×2)=82500． 所以，小明家原来的电话号码为282500．

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．已知x?

b

，a，b为互质的正整数（即a，b是正整数，且它们的最大公约数为a

9

1），且a≤8，2?1?x?3?1．

（1）试写出一个满足条件的x； （2）求所有满足条件的x．

1

满足条件． ……………5分 2b

（2）因为x?，a，为互质的正整数，且a≤8，所以

ab2?1??3?1， 即 (2?1)a?b?(3?1)a．

a解：（1）x?

当a=1时，(2?1)?1?b?(3?1)?1，这样的正整数b不存在．

1． 22当a=3时，(2?1)?3?b?(3?1)?3，故b=2，此时x?．

3当a=2时，(2?1)?2?b?(3?1)?2，故b=1，此时x?当a=4时，(2?1)?4?b?(3?1)?4，与a互质的正整数b不存在． 当a=5时，(2?1)?5?b?(3?1)?5，故b=3，此时x?3． 5当a=6时，(2?1)?6?b?(3?1)?6，与a互质的正整数b不存在． 当a=7时，(2?1)?7?b?(3?1)?7，故b=3，4，5此时x?当a=8时，(2?1)?8?b?(3?1)?8，故b=5，此时x?所以，满足条件的所有分数为

345，，． 7775 81233455，，，，，，．………………15分 235777812．设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式

b2?c2?2a2?16a?14 ① bc?a2?4a?5 ②

求a的取值范围．

解法一：由①－2×②得(b?c)?24(a?1)?0，所以a>－1．

当a>－1时， b?c?2a?16a?14=2(a?1)(a?7)?0．………………10分

2222 10

22又当a?b时，由①，②得 c?a?16a?14， ③

ac?a2?4a?5 ④

将④两边平方，结合③得a2(a2?16a?14)?(a2?4a?5)2

化简得 24a?8a?40a?25?0， 故 (6a?5)(4a2?2a?5)?0，

32解得a??51?21，或a?． 6451?21，a?．………………………15分 642所以，a的取值范围为a>－1且a??222解法二：因为b?c?2a?16a?14，bc?a?4a?5，所以

(b?c)2?2a2?16a?14?2(a2?4a?5)?4a2?8a?4?4(a?1)2，

所以 b?c??2(a?1)． 又bc?a?4a?5，所以b，c为一元二次方程

2x2?2(a?1)x?a2?4a?5?0 ⑤

的两个不相等实数根，故??4(a?1)2?4(a2?4a?5)?0，所以a>－1．

当a>－1时， b?c?2a?16a?14=2(a?1)(a?7)?0．………………10分 另外，当a?b时，由⑤式有 a2?2(a?1)a?a2?4a?5?0，

2即 4a?2a?5?0 或 ?6a?5?0，解得，a?22251?21或a??．

64当a?c时，同理可得a??51?21或a?． 6451?21，a?．………………………15分 64所以，a的取值范围为a>－1且a??13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB．

11

P 证明：因为AC∥PB，所以∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切线， 所以∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，于是

△KPE∽△KAP， 所以

KPKE2?， 即 KP?KE?KA． KAKP2 由切割线定理得 KB?KE?KA

所以 KP?KB． …………………………10分

因为AC∥PB，△KPE∽△ACE，于是

PEKPPEKB?? 故 ， CEACCEAC即 PE·AC=CE·KB． ………………………………15分

14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．

解：设10个学生为S1，S2，…，S10，n个课外小组G1，G2，…，Gn．

首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为S1，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾． ………………………………5分

若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设S1恰好参加G1，G2，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与S1没有同过组，矛盾．

所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n个课外小组G1，G2，…，Gn的

人数之和不小于3×10=30．

另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n个课外小组G1，G2，…，Gn的人数不超过5n， 故 5n≥30， 所以n≥6． ……………………………10分

下面构造一个例子说明n=6是可以的．

12

G1??S1,S2,S3,S4,S5?，G2??S1,S2,S6,S7,S8?，G3??S1,S3,S6,S9,S10?， G4??S2,S4,S7,S9,S10?，G5??S3,S5,S7,S8,S9?，G6??S4,S5,S6,S8,S10?． 容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．

所以，n的最小值为6． ……………………………15分

13

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