数学建模论文 车灯线光源的优化设计

车灯线光源的优化设计

国防科技大学

问题的重述

安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。

该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。

（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。 （2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。 （3）讨论该设计规范的合理性。

基本假设

1、旋转抛物面反射系数为1，无反射衰减

2、线光源上每个点的发光强度相同，功率相同 3、不考虑光在传播过程中的干涉等其他现象

4、灯丝所用材料为当前汽车前照灯一般所使用的材料，即卤素钨丝灯，其发 光效率约为20流明/瓦

符号说明

η：点光源的发光效率，为一常数

Eib:点光源

i发射的光线在b点产生的光强

Ф：点光源发射的光通量 p: 单位长度线光源的功率 P: 线光源的功率

I: 点光源的发光强度 L: 线光源的长度

ɑ： 光线与测试屏的夹角

车灯线光源的优化设计

模型的建立

1． 线光源的功率

由于线光源是均匀分布的，因此我们将其看成由许多功率相同的点光源组成。那么可将线光源分为若干个长度为dl的小段，每段视为一个点光源。假设单位长度线光源的功率为p，则每个点光源的功率为pdl,由此可得：

l线光源的功率：P??22?lpdl。

2． 点光源i在某点b附近产生的光照度Eib:

某点的光照度与射到这点附近单位面积上的光通量数值成正比，即:

E?d?ds

而点光源单位时间内发射的总光通量为???pdl，故其发光强度

I?d?d???4???p4?

容易导出从点光源i发出立体角为d?的光束以角度?射到与其距离为r的一点b附近产生光斑的面积为:ds?ribd?2cos?ib

由此可知点光源在与其距离为r的表面产生的光照度是.

Eib?即: Eib?d?ds?Id?ds?Icos?ibrib22??pdlcos?ib4?.rib2

?pdlcos?ib4?.rib

3． 测试屏上任意一点b的光强

对于点光源发射的光线经过旋转抛物面反射后到达测试屏的情况，因为不考虑反射衰减，所以我们可将其看作是这个点所成的虚像发射的光线。同样可以用上面给出的光照度公式进行计算。

那么点光源i对于测试屏上一点b的光强的影响是这个光源直射光在b点产

'生的光照度Eib及反射光对b点产生的光照度Eib之和。则b点的光强为线光源上

所有点对其产生的光照度的叠加。有

l Eb??22?l(Eib'?pcos?ibcos?ib?E)??l()dl 2?'2?rrib24?ib'ibl2 因此我们可以建立单目标优化模型如下：

车灯线光源的优化设计

l()? minP

l?22?lpdl

EB??l22?l(EiB'?pcos?iBcos?iB?E)??l()dl?2k 2?'2?riBriB24?'iBl2l s.t. EC?

?22?l(EiC'?pcos?iCcos?iC?E)??l()dl?k 2?'2?rriC24?iC'iC2模型的求解

将B点的光强公式进行如下变形：

'?pcos?iBcos?iBEB??l()dl?2?'2?rriB24?iBl2?pcos?iB2dl???l24?riBl2?pcos?'iBdl ??l24?'2riBl2 可以看出B点的光强是线光源上所有的点光源直射光产生的照度的积分及放射光产生的照度的积分之和。因此我们可分别求出所有点光源的直射光和所有点光源的反射光对测试屏上任一点的照度产生的影响，然后将它们进行叠加，就得到线光源对测试屏一点的照度的影响。 （1）直射光的处理

对于直射光，由于点光源的位置确定，因此可用上面推导的光强计算公式算出在测试屏上直射产生的光强，即Eib??pdlcos?ib4?.ribl22那么线光源所有

?pcos?iB的直射光对测试屏上某点b产生的照度为??l对于这个积分的计2dl，

r24?iB算，我们可以取一个较小的dl，将线光源分为n=dll段，将每段视为一个点光源，然后用Eib??pdlcos?ib4?.rib2求出它在b点产生的光强，再将这n个光强叠

加，就得到了线光源直射光在这点产生的光强。

n Eb直射??i?1?pdlcos?ib4?.rib2

由此可以得到线光源在测试屏上的直射光光强分布

（2）反射光的处理

对于反射光，由于我们不知道点光源所成虚像的位置，因此反射光在B、C两点的入射角度及虚像与B、C两点的距离都不容易求，这样用平方反比定律求 光照度不是很方便。因此我们用光通转移法求解反射光对B、C两点的光照度

车灯线光源的优化设计

光通转移法的原理（如图一）是基于照射到一块反射面上的光通量，在不考虑反射损耗的话，将完全照射到所对应的测试屏上。由此我们可以算出照射到测试屏上的光通量为： ??I???Ir???r??r2cos???p????cos?4?

其中 ? 入射线与面元法线的夹角

入射线与光轴的夹角?的变化量 ?? 抛物线旋转角度?的变化量

??那么照射到测试屏上的照度E??s??p????cos?4?.s

（S是测试屏上对应的面积）

由照度计算公式，对于给定位置的点光源，我们以较小的步长变化ɑ、θ，就可以得到测试屏上对应区间的光照度分布。取一个较小的dl，将线光源分为n=dll段，每段可视为一个点光源，然后用E??s??p????cos?4?.s求出它在测试

屏上产生的光强分布，将这n个点光源的光强分布叠加，就近似得到线光源反射光在测试屏产生的光强分布。 （3）对问题一的求解

问题一要求对于测试屏上指定位置的两点B、C，点C的光强不小于某个额定值，点B的光强不小于这个额定值的两倍，求满足要求的功率最小的线光源的长度。

假设额定值为1坎德拉。对于长度为L的线光源，若要B、C点满足要求，则每个点光源的总光通量?必须大于某个值。

由上面的推导，我们可以算出线光源在B点和C点产生的光强

EB?EB直射?EB反射，EC?EC直射?EC反射，而EB?2Cd，EC?1Cd。有这两个不

等式我们就可以求出该长度下每个点光源最少应产生的光通量min(?)，从而得到单位长度功率的最小值pmin? Pmin?pmin?L

于是我们可以通过改变L的大小来搜索线光源功率的最小值。因为过焦点

min(?)?。由此得到该线光源的最小功率

车灯线光源的优化设计

的线光源的最长长度为60mm，所以我们以0.1mm为步长让L的值从0.1mm增加到60mm，计算不同长度下的最小功率值，其中最小的那个功率值为问题的解。 计算机搜索出L=3.7mm，线光源的功率最小。 此时C点的光强为：1Cd

B点的光强为：2.0454Cd

线光源功率随长度的变化关系图 （4）对问题二的求解

由第一问得到的灯丝长度为3.7mm,将这段灯丝分成长度为dl的若干小段,每段可视为一个点光源。

因为是求反射线的亮区，所以我们只需考虑与旋转抛物面相交的发射光线对于给定坐标(x0,y0,z0)的点光源，我们可以以一定步长遍历抛物面上的点，对于抛物面上的任意一个点(x1,y1,z1)，我们可以推导出点光源经过该点的反射光线方程（推导过程见附录），于是可以求出反射光线与测试屏的交点，知道每条入射光线反射后射到测试屏的位置，我们就可以用光通转移法求出点光源的反射光线在测试屏这个小区间上产生的光强，然后对所有点光源产生的光强进行叠加，得到测试屏上的反射光光强分布图如下：

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