高三数学二轮复习 第2部分 必考补充专题 专题限时集训3 专题1 突

专题限时集训(三) 平面向量

建议A、B组各用时：45分钟]

A组 高考达标]

一、选择题

→→→

1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则DA＝( ) A．(2,4) C．(1,1)

B．(3,5) D．(－1，－1)

→→→→

C DA＝CB＝AB－AC＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．]

→→→

2．(2016·河北联考)在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M为BC的中点，则AM＝( ) 1→1→A.AB＋AD 223→1→C.AB＋AD 44

3→1→

B．AB＋AD 421→3→D.AB＋AD 24

→→→→→1→→1→→

B 因为AB＝－2CD，所以AB＝2DC.又M是BC的中点，所以AM＝(AB＋AC)＝(AB＋AD＋

22→

DC)＝(AB＋AD＋AB)＝AB＋AD，故选B.]

3?→?31?→?1

3．已知向量BA＝?，?，BC＝?，?，则∠ABC＝( )

?22??22?A．30° C．60°

B．45° D．120°

1→

2

→

1→23→1→42

3333?→?31?→?1→→→→→

A 因为BA＝?，?，BC＝?，?，所以BA·BC＝＋＝.又因为BA·BC＝|BA442?22??22?3→

||BC|cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC2＝30°.故选A.]

→→→

4．(2016·武汉模拟)将OA＝(1,1)绕原点O逆时针方向旋转60°得到OB，则OB＝( ) A.?C.?

?1－31＋3?

，?

2??2

?－1－3－1＋3?，?

2?2?

B.?D.?

?1＋31－3?

，?

2??2

?－1＋3－1－3?，?

2?2?

6?1－3?2→

A 由题意可得OB的横坐标x＝2cos(60°＋45°)＝2?－?＝，纵坐标y24??4

1

＝2sin(60°＋45°)＝2?

2?1＋3?6→?1－31＋3?

，则OB＝?＋?＝，?，故选A.] 24?2??4?2

→1→→→→→

5．△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足AO＝(AB＋AC)，|AO|＝|AC|，则向量BA在

2→

BC方向上的投影等于( )

【导学号：85952018】

A．－3C. 2

3 2

B．

3 2

D．3

→1→→→→→C 由AO＝(AB＋AC)可知O是BC的中点，即BC为外接圆的直径，所以|OA|＝|OB|＝|OC2→→

|.又因为|AO|＝|AC|＝1，故△OAC为等边三角形，即∠AOC＝60°，由圆周角定理可知∠ABC3→→→→

＝30°，且|AB|＝3，所以BA在BC方向上的投影为|BA|·cos∠ABC＝3×cos 30°＝，

2故选C.]

二、填空题

6．在如图3-2所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则的值为________．

xy

图3-2

6

设e1，e2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝5

2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(x a＋y b)，∴e1－2e2＝2λ(x－y)e1??λ＋λ(x－2y)e2，∴?

?λ?

x－2y＝1，

x－2y＝－2，

3

x＝，??λ∴?5

y＝??2λ，

x6

则的值为.] y5

→→→→→→→→→7．已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，

2

则实数λ的值为________．

7→→→→

∵AP⊥BC，∴AP·BC＝0， 12

→→→

∴(λAB＋AC)·BC＝0，

→→→→→→→2→2→→

即(λAB＋AC)·(AC－AB)＝λAB·AC－λAB＋AC－AC·AB＝0. →→→→

∵向量AB与AC的夹角为120°，|AB|＝3，|AC|＝2， 7

∴(λ－1)×3×2×cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.]

12

→→

8．(2016·湖北七州联考)已知点O是边长为1的正三角形ABC的中心，则OB·OC＝__________.

1

－ ∵△ABC是正三角形，O是其中心，其边长AB＝BC＝AC＝1，∴AO是∠BAC的平分6线，且AO＝

3→→→→→→→→→→→→→2

，∴OB·OC＝(AB－AO)·(AC－AO)＝AB·AC－AO·AC－AO·AB＋AO＝3

331?3?2

×1×cos 30°－×1×cos 30°＋??＝－.] 336?3?

1×1×cos 60°－三、解答题

?π?9．设向量a＝(3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈?0，?.

2??

(1)若|a|＝|b|，求x的值；

(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值． 解] (1)由|a|＝(3sin x)＋(sin x)＝4sin x， |b|＝(cos x)＋(sin x)＝1， 及|a|＝|b|，得4sinx＝1.4分 1?π?又x∈?0，?，从而sin x＝，

2?2?π

所以x＝.6分

6

(2)f(x)＝a·b＝3sin x·cos x＋sin x ＝

311sin 2x－cos 2x＋ 222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

π?1?＝sin?2x－?＋，9分

6?2?

π?π?π??当x＝∈?0，?时，sin?2x－?取最大值1.

2?6?3??

3

3

所以f(x)的最大值为.12分

2

→→

10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知BA·BC＝2，cos B1

＝，b＝3.求： 3

(1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值．

→→

解] (1)由BA·BC＝2得cacos B＝2.1分 1

因为cos B＝，所以ac＝6.2分

3由余弦定理，得a＋c＝b＋2accos 又b＝3，所以a＋c＝9＋2×2＝13.

??ac＝6，解?22

?a＋c＝13，?

2

22

2

2

B．

得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.4分

因为a>c，所以a＝3，c＝2.6分 (2)在△ABC中，sin B＝1－cos B＝

2?1?222，7分

1－??＝

3?3?

c22242

由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.8分

b339

因为a＝b>c，所以C为锐角，因此cos C＝1－sin C＝

21－??42?27

?＝.10分 ?9?9

17224223

于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝.12分

393927

B组 名校冲刺]

一、选择题

1．(2016·石家庄一模)已知A，B，C是圆O上的不同的三点，线段CO与线段AB交于→→→

点D，若OC＝λOA＋μOB(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )

A．(0,1) C．(1，2]

B．(1，＋∞) D．(－1,0)

→→→→

B 由题意可得OD＝k OC＝kλOA＋kμOB(0

＝1，则λ＋μ＝>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.]

k 4

1

2．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(t m＋n)，则实数t3的值为( )

A．4 9C. 4

B．－4 9D．－ 4

2

B ∵n⊥(tm＋n)，∴n·(t m＋n)＝0，即tm·n＋|n|＝0， ∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|＝0. 3212

又4|m|＝3|n|，∴t×|n|×＋|n|＝0，

43解得t＝－4.故选B.]

2

图3-3

→→→→

3．如图3-3，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·FE等于( ) 3A．－ 41C．－ 4

→→

B ∵BF＝2FO，圆O的半径为1， 1→

∴|FO|＝，

3

8→→→→→→→2→→→→→?1?2

∴FD·FE＝(FO＋OD)·(FO＋OE)＝FO＋FO·(OE＋OD)＋OD·OE＝??＋0－1＝－.]

9?3?4．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积：a?b＝(a1，a2)?(b1，b2)＝(a1b1，

8

B．－ 94D．－ 9

????a2b2)．已知向量m＝?，4?，n＝?，0?，点P在y＝cos x的图象上运动，点Q在y＝f(x)26

?

?

?

?

→?ππ?的图象上运动，且满足OQ＝m?OP＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)在区间?，?上的

?63?最大值是( )

【导学号：85952019】

A．4

1π

B．2

5

C．22 D．23

A 因为点P在y＝cos x的图象上运动，所以设点P的坐标为(x0，cos x0)，设Q点的1?π???，4坐标为(x，y)，则OQ＝m?OP＋n?(x，y)＝??(x0，cos x0)＋?，0??(x，y)＝??2??6?

→

→

1π??x＝x，0＋1π?x0＋，4cos x0???26?2?6???

?y＝4cos x0，

π???x0＝2??x－6?，??即???y＝4cos x0

π???y＝4cos ?2x－?，

3??

π??即f(x)＝4cos?2x－?，

3??当x∈?

?π，π?时， ??63?

πππ2πππ由≤x≤?≤2x≤?0≤2x－≤， 633333π?π?1??所以≤cos ?2x－?≤1?2≤4cos ?2x－?≤4，

3?3?2??所以函数y＝f(x)在区间?二、填空题

π

5．(2016·广州二模)已知平面向量a与b的夹角为，a＝(1，3)，|a－2b|＝23，

3则|b|＝__________.

2 由题意得|a|＝1＋

2

?π，π?上的最大值是4，故选A.]

??63?

3

2

＝2，则|a－2b|＝|a|－4|a||b|cos〈a，b〉＋4|b|

222

π22

＝2－4×2cos|b|＋4|b|＝12，解得|b|＝2(负舍)．]

3

→??→ABAC?→→→→→?＋6．已知非零向量AB与AC满足·BC＝0, 且|AB－AC|＝23，点D是△ABC→??|→

?AB||AC|?→→

中BC边的中点，则AB·BD＝________.

6

→??→ABAC?→→→＋－3 由?·BC＝0得BC与∠A的角平分线所在的向量垂直，所以AB＝AC，BC→??|→

?AB||AC|?→→→

⊥AD.又|AB－AC|＝23，

→

所以|CB|＝23， →

所以|BD|＝3， →

AB·BD＝－BA·BD＝－|BD|2＝－3.]

三、解答题

2π????7．已知向量a＝?2sin?ωx＋?，0?，b＝(2cos ωx,3)(ω>0)，函数f(x)＝a·b的3????

→→→→

图象与直线y＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π.

(1)求ω的值；

(2)求函数f(x)在0,2π]上的单调递增区间．

2π????解] (1)因为向量a＝?2sin?ωx＋?，0?，b＝(2cos ωx,3)(ω>0)，所以函数f(x)

3????2π?13???＝a·b＝4sin?ωx＋?cos ωx＝4?sin ωx·?－?＋cos ωx·?cos ωx＝??3??2??2??π??2

23·cosωx－2sin ωxcos ωx＝3(1＋cos 2ωx)－sin 2ωx＝2cos?2ωx＋?＋3，4

6??分

由题意可知f(x)的最小正周期为T＝π， 2π

所以＝π，即ω＝1.6分

2ω

π?π?π?π?(2)易知f(x)＝2cos?2x＋?＋3，当x∈0,2π]时，2x＋∈?，4π＋?，8分 6?6?6?6?ππ

故2x＋∈π，2π]或2x＋∈3π，4π]时，函数f(x)单调递增，10分

66所以函数f(x)的单调递增区间为?

?5π，11π?和?17π，23π?.12分

???12??1212??12

→→→

8．已知△ABC的周长为6，|BC|，|CA|，|AB|成等比数列，求： (1)△ABC面积S的最大值； →→

(2)BA·BC的取值范围．

→→→2

解] 设|BC|，|CA|，|AB|依次为a，b，c，则a＋b＋c＝6，b＝ac.2分

a2＋c2－b2a2＋c2－ac2ac－ac1π

在△ABC中，cos B＝＝≥＝，故有0＜B≤，4分

2ac2ac2ac23

7

又b＝ac≤

a＋c6－b2＝2

，从而0＜b≤2.6分

1121ππ2

(1)S＝acsin B＝bsin B≤·2·sin ＝3，当且仅当a＝c，且B＝，即△ABC22233为等边三角形时面积最大，即Smax＝3.8分

a＋c－b→→

(2)BA·BC＝accos B＝＝

222

a＋c2

－2ac－b＝2

－b－3b2

＝－(b＋3)＋

22

2

2

2

27.10分

∵0＜b≤2，∴2≤→BA·→

BC＜18， 即→BA·→

BC的取值范围是2,18).12分

8

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