高数上期末试题及答案

高等数学期末及答案

一、 填空题（每小题3分，本题共15分）

2x1、lim(1?3x)x?0?______.。

x?x?0?e2、当k 时，f(x)??2在x?0处连续．

??x?kx?03、设y?x?lnx,则

dx?______ dy4、曲线y?ex?x在点（0，1）处的切线方程是 5、若

?f(x)dx?sin2x?C，C为常数，则f(x)? 。

二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）

1、若函数f(x)?xx，则limf(x)?（ ）

x?0A、0 B、?1 C、1 D、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）

A. ln1(x?0?) B. lnx(x?1) C. cosx (x?0) D. xx?2(x?2) x2?43、满足方程f?(x)?0的x是函数y?f(x)的（ ）．

A．极大值点 B．极小值点 C．驻点 D．间断点 4、下列无穷积分收敛的是（ ）

A、

???0sinxdx B、?e?2xdx C、?0????0??11dx D、?dx

0xx5、设空间三点的坐标分别为M（1，1，1）、A（2，2，1）、B（2，1，2）。则?AMB=

1

A、

??? B、 C、 D、? 342三、 计算题（每小题7分，本题共56分）

1、求极限 limx?04?x?2 。

sin2x2、求极限 lim(x?011?x) xe?1?te?dt12cosx3、求极限 limx?0x2

4、设y?e5?ln(x?1?x2)，求y?

?x?ln(1?t2)d2y5、设f?y(x)由已知?，求 2dx?y?arctant6、求不定积分 7、求不定积分

12sin(?x2x?3)dx

?excosxdx

?1??1?ex8、设f(x)???1??1?x四、 应用题（本题7分）

x?0， 求

x?0?20f(x?1)dx

求曲线y?x与x?y所围成图形的面积A以及A饶y轴旋转所产生的旋转体的体积。

五、 证明题（本题7分）

若f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)?f(1)?0，f()?1，证明：

在(0,1)内至少有一点?，使f?(?)?1。

2212

2

参考答案

一。填空题（每小题3分，本题共15分） 1、e 2、k =1 ． 3、

6x 4、y?1 5、f(x)?2cos2x 1?x二．单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1、D 2、B 3、C 4、B 5、A 三．计算题（本题共56分，每小题7分） 1.解：limx?0x12x14?x?2?lim?lim? 7分 x?0sin2xsin2x(4?x?2)2x?0sin2x(4?x?2)811ex?1?xex?1ex12.解 ：lim(?x )?lim?lim?lim?xxxxxxx?0xx?0x?0x?02e?1x(e?1)e?1?xee?e?xe7分

cosx?t?edt123、解： limx?0x2?sinxe?cos?limx?02x2x??1 2e4、解： y??1x?1?x?2(1?11?x2)……………………… …...4分

11?x2 ……………………………………… …...7分

1dy1?t215、解： ?? （4分）

2tdx2t1?t2dyddy?()2dtdxdx2dxdt??12t21?t2??3 （7分） 2t4t21?t6、解：

1212212sin(?3)dx??sin(?3)d(?3)?cos(?3)?C （7分） ?x2x2?x32x7、 解：

xxecosxdx?cosxde ??

3

?excosx??exsinxdx ?excosx??sinxdex

?excosx?exsinx??excosxdx

?ex(sinx?cosx)?C

8、解：

?20f(x?1)dx??f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

?1?101dx0dxex1????(1?)dx?ln1(?x) ?01?x??11?ex0?11?ex0101?1?ln(1?ex)0?1?ln2

?1?ln(1?e?1)?ln(1?e)

四．

应用题（本题7分）

解：曲线y?x2与x?y2的交点为（1，1）， 于是曲线y?x与x?y所围成图形的面积A为

22211 A??(x?x)dx?[x2?x2]1 ?03330213A绕y轴旋转所产生的旋转体的体积为：

?y2y5?324???? V???(y)?ydy???5?010?201??1五、证明题（本题7分）

证明： 设F(x)?f(x)?x， 2分

显然F(x)在[,1]上连续，在(,1)内可导， 且 F()?

1212121?0，F(1)??1?0. 24

零点定理知存在x1?[,1]，使F(x1)?0. 4分 由F(0)?0，在[0,x1]上应用罗尔定理知，至少存在一点

12??(0,x1)?(0,1)使F?(?)?f?(?)?1?0，即f?(?)?1 … …7分

2006-2007第一学期高数试题

一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

1）函数f?x??2）limx2?x?1??arcsin92。

x?1的定义域为32?x?4或x?0。

1?cos3x?2x?0x3）设y??x?xe，则y???xln??exe?1。

a2?x2xa?0?，dy?4）设y?22?a?x5）若a?0,?a2?x22?dx。

?dxa2?x2??arcsinx?C。 a二、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）

4x2?5x?11）极限lim?（ D ）

x??2x?3 A、2 B、?2 C、?2 D、不存在

2）下列函数f?x?在??1,1?上适合罗尔中值定理条件的是（ B ） A、f?x??3x2 B、f?x??x2x

C、f?x??arccosx D、f?x??cot?x2

3）下列函数中，哪一个不是sin2x的原函数（ C ） A、sinx B、?cosx

C、?cos2x D、5sinx?4cosx 4）设P?2222?21lnxdx,Q??ln2xdx,R??12211?x2dx，则下列不等式正确的是

（ D ）

A、P?Q?R B、Q?R?P

5

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