《数学分析》第四章 多元函数微分学

第四章 多元函数微分学

一、本章知识脉络框图

重极限与累次极限 极限存在的判别方法 极 限 极限与连续 基本概念 连 续 有 界 性 基本性质 极值和最值 介 值 性 多元函数微分学 偏 导 数 概念 可 微 性 可微和连续 可微的必要条件 可微的充分条件 df=fxdx+fydy+fzdz 全微分（三元为

1

例） 复合函数微分 计 算 隐函数微分 参数方程微分 高阶导数与微分 应 用 多元极值 泰勒公式 条件极值 切线、法线、法平面、切平面

二、本章重点及难点

本章需要重点掌握以下几个方面内容： ?

偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式. ? ? ?

隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线. 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.

三、本章的基本知识要点

(一)平面点集与多元函数

1.任意一点A与任意点集E的关系.

1) 内点. 若存在点A的某邻域U?A?，使得U?A??E，则称点A是点集E的内点。 2) 外点. 若存在点A的某邻域U?A?，使得U?A??E??，则称点A是点集E的外点。

3) 界点（边界点）. 若在点A的任何邻域内既含有属于E得的点，又含有不属于E的点，则称点A是点集E的界点。 4) 聚点. 若在点A的任何空心邻域Uo?A?内部都含有E中的点，则称点A是点集E的聚点。

5) 孤立点. 若点A?E，但不是E的聚点，则称点A是点集E的孤立点。 2. 几种特殊的平面点集.

1) 开集. 若平面点集E所属的每一点都是E的内点，则称E为开集。

2）闭集. 若平面点集E的所有聚点都属于E，则称E为闭集。 3) 开域. 若非空开集E具有连通性，即E中任意两点之间都可用一条完全含于E得有限折线相连接，则称E为开域。

4）闭域. 开域连同其边界所成的点集称为闭域。

5）区域. 开域、闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集，统称为区域。 3.R2上的完备性定理.

21) 点列收敛定义：设?Pn??R为平面点列，P0?R为一固定点。若对任给的正数?，

2存在正整数N，使得当n?N时，有Pn?U?P0,??，则称点列?Pn?收敛于点P0，记作

limPn?P0 或 Pn?P0,?n???.

n?? 2）点列收敛定理（柯西准则）平面点列?Pn?收敛的充要条件是：任给正数?，存在正整

2

数N，使得当n?N时，对一切自然数k，都有??Pn,Pn?k???. 3）闭区域定理. 设?Dn?是R2中的闭域列，它满足：

(i) Dn?Dn?1,n?1,2,...;(ii) dn?d?Dn?,limdn?0.

n??则存在唯一的点P0?Dn,n?1,2,....

4) 聚点定理. 设E?R2为有界无限点集，则E在R2中至少有一个聚点。

5) 有限覆盖定理. 设D?R2为一有界闭域，????为一开域族，它覆盖了D（即，则在????中必存在有限个开域?1,?2,...?m，它们同样覆盖了D（即D????）

?mD????）。

i?14. 二元函数

定义：设平面点集D?R2，若按照某对应法则f，D中每一点P?x,y?都有唯一确定的实数z与之对应，则称f为定义在D上的二元函数（或称f为D到R的一个映射），记作

f:D?R,

P?z，

且称D为f的定义域，P?D所对应的z为f在点P的函数值，记作z?f?P?或z?f?x,y?。（注：其它多元函数与二元函数相似）。

（二）二元函数的极限。

1. 定义 设f为定义在D?R2上的二元函数，P0为D的一个聚点，A是一个确定的实数，若对???0，都存在一个??0，使得P?U fo?P0,???D时，都有

?P??A??.

则称f在D上当P?P0时，以A为极限，记作limf?P??A。有时简记为

P?P0P?DP?P0limf?P??A。

limf当P、P0分别用?x,y?,?x0,y0?表示时，上式也可写作2. 重要定理及推论.

?x,y???x0,y0??x,y??A.

1）limf?P??A的充要条件：对于D的任一子集E，只要P0是E的聚点就有

P?P0P?D3

P?P0P?Elimf?P??A。

2）设E1?D，P0是E1的聚点，若limf?P?不存在，则limf?P?也不存在。

P?P0P?E1P?P0P?D3）设E1、E2?D，P0是它们的聚点。若limf?P??A1，limf?P??A2，但A1?A2，

P?P0P?E1P?P0P?E2则limf?P?不存在。

P?P0P?D4）极限limf?P?存在的充要条件是：对于D中任一满足条件Pn?P0的点列?Pn?，它所

P?P0P?D对应的函数列?f?Pn??都收敛。

3. 二元函数函数极限的四则运算.

若 1)

?x,y???x0,y0?limf?x,y??A，

?x,y???x0,y0?limg?x,y??B。则

?x,y???x0,y0??lim?f?x,y??g?x,y????A?B；2) f?x,y?g?x,y?AB,?B?0?.

?x,y???x0,y0?limf?x,y?g?x,y??A?B;

3)

?x,y???x0,y0?lim?4. 累次极限.

1) 定义：对于函数f?x,y?，若固定y?y0,limf?x,y????y?存在，且lim??y??Ax?x0y?y0也存在，则称A为f?x,y?在P0??x0,y0?处先对x后对y的累次极限，记为

limlimfy?y0x?x0?x,y?，类似可定义xlim?xlimf0y?y0limf?x,y?。

2) 重要定理及推论. ① 若

?x,y???x0,y0??x,y?与xlim?x?x,y?，xlim?x0y?y0limf?x,y?（或ylim?y?x,y?和ylim?y0x?x0limf?x,y?）都存在，则它们

相等； ② 若

?x,y???x0,y0?limf0y?y0limf0x?x0limf ?x,y?都存在，则三者相等；

limf③ 若limlimf?x,y?与limlimf?x,y?都存在但不相等，则

x?x0y?y0y?y0x?x0?x,y???x0,y0??x,y?不

存在。

（三）二元函数的连续性

1. 定义 设f为定义在点集D?R2上的二元函数，P0?D，若对???0，都存在一个

??0，只要P?U?P0,???D，就有

f?P??f?0P???

则称f关于集合D在点P0连续。若f在D上任何点都连续，则称f为D上的连续函数。

4

若lim?则称f?x,y?在P0??x0,y0?处关于y连续。同理可定f?x0,y??f?x0,y0????0，y?y?0义关于x连续。

2. 复合函数的连续性定理 设二元函数u???x,y?和v???x,y?在P0??x0,y0?点连续，函数z?f?u,v?在点?u0,v0?处连续，其中??x0,y0?,v0???x0,y0?，则复合函数z?f???x,y?,??x,y??在点P0连续。

3. 有界闭域上连续函数的性质.

1）若函数f在有界闭域D?R2上连续，则f在D上有界，且能取得最大值与最小值； 2）若函数f在有界闭域D?R2上连续，则f在D上一致连续；

3）若函数f在有界闭域D?R2上连续,对任意的P1、P2?D，且f?P1??f?P2?，则对任何满足不等式f?P1????f?P2?的实数?，必存在点P0?D，使得f?P0???。 4. n元函数唯一存在与连续可微性定理。

0000若1）函数F(x1,x2,...,xn,y)在以P(x1,x2,...,xn,y)为内点的n?1维空间区域D内连续；

2）偏导数Fx1,Fx2,...,Fxn,Fy在D内存在且连续；

00003）F(x1,x2,...,xn,y)?0；

''''4）Fy(x1,x2,...,xn,y)?0；

则在P的某一邻域U(P)内，方程F(x1,x2,...,xn,y)?0唯一地确定了一个定义在

Q(x1,x2,...,xn,y)的邻域U(Q)上的n元连续函数y?f(x1,x2,...,xn)使得:

0000'0000①(x1,x2,...,xn,f(x1,x2,...,xn))?U(P),(x1,x2,...,xn)?U(Q);

F(x1,x2,...,xn,f(x1,x2,...,xn))?0,(x1,x2,...,xn)?U(Q),y0?f(x1,...,xn).

00②y?f(x1,x2,...,xn)在U(Q)内连续偏导数：f,f,...,fFx2F'y''x1'x2'xn而且f'x1??Fx1F'y',

fx2??',...,fxn??'FxnFy''.

5. 由方程组确定的隐函数（隐函数组定理）

若：1）F(x,y,u,v)与G(x,y,u,v)在以点P0(x0,y0,u0,v0)为内点的区域V?R内连续；

45

2）F(x0,y0,u0,v0)?0,G(x0,y0,u0,v0)?0（为初始条件）； 3）在V内F,G具有一阶连续偏导数； 4）J??(F,G)?(U,V)在点P0处不等于零。

则在点P0的某一（四维空间）邻域U(P0)?V内，方程组

?F(x,y,u,v)?0唯一地确定了定义在点Q0(x0,y0)的某一（二维空间）邻域U(Q0)内的两?G(x,y,u,v)?0?个二元隐函数u?f(x,y),v?g(x,y), 使得：

①u0?f(x0,y0),v0?g(x0,y0),且当(x,y)?U(Q0)时，

(x,y,f(x,y),g(x,y))?U(P0),

F(x,y,f(x,y),g(x,y))?0, G(x,y,f(x,y),g(x,y))?0,

②f(x,y),g(x,y)在U(Q0)内连续；

③f(x,y),g(x,y)在U(Q0)内有一阶连续偏导数，且 ?u?x?u??1?(F,G)?v1?(F,G),??,J?(x,v)?xJ?(u,x)1?(F,G)?v1?(F,G)??,??,?yJ?(y,v)?yJ?(u,y)

6. （反函数组定理）若函数组??u?u(x,y)?v?v(x,y),满足如下条件：

1）u(x,y),v(x,y)均是有连续的偏导数； 2）

?(u,v)?(x,y)?0.

则此函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组

x?x(u,v),y?y(u,v),且

?(u,v)?(x,y).?1.

?(x,y)?(u,v)

6

(四) 多元微分学的应用

1. 泰勒定理

1) 若f(x,y)在点P0(x0,y0)的邻域U(P0)内存在n?1阶连续的偏导数，则，有?(x0?h,y?k)?U(0P) 0f(x0?h,y0?k)?f(x0,y0)?(h???12!1n!(h(h1(n?1)!??x??x?k??y)f(x0,y0)??x??x?k?k???y??y)f(x0,y0)?...2

)f(x0,y0)??y)n?1n(h?xm?kf(x0??h,y0??k)m其中(h?k??y)f(x0,y0)??cp?0pmhm?pkp?f?xm?pm?yp|P0

2) 当x0?0,y0?0时，相应二元函数f(x,y)的麦克劳林公式为

f(x,y)?f(0,0)?(x??1n!(x1(n?1)!??x?y??x??yn??x?y??y)f(0,0)?...)f(0,0)??y)n?1

(x?yf(?x,?y).2．极值

1）定义 设函数z?f(x,y)在点P0?(x0,y0)的某邻域U(P0)内有定义，如果

?(x,y)?U(P0) 满足f(x,y)?f(x0,y0)(f(x,y)?f(x0,y0))，则称f(x0,y0)为f(x,y)的极大值（极小值），此时点P0称为f(x,y)的极大值点（极小值点）。极大值，极小值统称极值。

2）函数f(x,y)在点P0的偏导数存在，则f在点P0取得极值的必要条件为：fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，满足上述条件的点P0称为稳定点或驻点。

''3）极值的充分条件: 设函数f(x,y)在点P0?(x0,y0)的某邻域U(P0)内具有二阶连续的偏导数，且P0是f的稳定点。

记A?fxx(P0),B?fxy(P0),C?fyy(P0)则

7

''''''

① 当B2?AC?0时，函数f在P0取得极值，若A?0，则取得极大值，若A?0，则取得极小值；

② 当B2?AC?0时，函数f在点P0不取极值； ③ 当B2?AC?0时，不能判断f在点P0是否极值；

3．条件极值

1）求条件极值的方法有两种：一种将条件极值化为无条件极值的问题来求解；并一种是用拉格朗日乘数法求解。

2）拉格朗日乘数法求二元函数z?f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的极值步骤如下： ①作相应的拉格朗日函数

L(x,y,?)?f(x,y)???(x,y).

②令Lx?Ly?L??0.即

'?fx'(x,y)???x(x,y)?0,?''?fy(x,y)???y(x,y)?0, ???(x,y)?0.'''③求解上述方程组，得稳定点P0?(x0,y0)。

④判定该点是否为条件极值：如果是实际问题，可由问题本身的性质来判定，如不是实际问题，可用二阶微分判别。

3) 对于条件极值的一般情形，求函数z?f(x1,x2,...,xn)在约束条件 ??1(x1,x2,...,xn)?0,? ?.......??(x,x,...,x)?0.n?m12（其中f,?1,?2,...,?m均具有一阶连续偏函数，且雅可比（Jacobi）矩阵

???1??x1??...???m????x1.........??1??xm??...?的秩为m)下的极值步骤如下：

???m??xm?? ①作拉格朗日函数

L?f??1?1??2?2?...??m?m.

②分别令Lx?Lx?...?Lx?L??L??...?L??0.得到相应的方程组。

12n12m''''''8

③解上述方程组得到可能的条件极值点，再对这些点进行判定。

(五)多元函数几何应用

1. 平面曲线的切线与法线

平面曲线由方程F(x,y)?0给出，它在点P0?(x0,y0)的切线与法线的方程为： 切线方程：Fx(x0,y0)(x?x0)?Fy(x0,y0)(y?y0)?0， 法线方程：Fy(x0,y0)(x?x0)?Fx(x0,y0)(y?y0)?0。 2. 空间曲线的切线与法平面

1) 空间曲线L由参数方程L:x?x(t),y?y(t),z?z(t),t?[?,?],表出，

'''假定x(t0),y(t0),z(t0)不全为零，则曲线L在P0?(x0,y0,z0)处的切线方程式为：

''''x?x0x(t0)'?y?y0y(t0)'?z?z0z(t0)';

曲线L在P0?(x0,y0,z0)处的法平面方程式为：

x(t0)(x?x0)?y(t0)(y?y0)?z(t0)(z?z0)?0.

'''2) 空间曲线L由方程式组L:??F(x,y,z)?0?G(x,y,z)?0给出.

当

?(F,G)?(F,G)?(F,G)中至少一个不为零时， ,,?(x,y)?(z,x)?(y,z)曲线L在点P0的切线方程为：

(x?x0)?(F,G)?(y,z)|P0(y?y0)?(F,G)?(z,x)|P0(z?z0)?(F,G)?(x,y)|P0??，

曲线L在点P0的法平面方程为： ?(F,G)?(y,z)|P0(x?x0)??(F,G)?(z,x)|P0(y?y0)??(F,G)?(x,y)|P0(z?z0)?0。

3. 空间曲线的切平面与法线

设曲面由方程F(x,y,z)?0给出，P0?(x0,y0,z0)是曲面上一点，并设函数F(x,y,z)在偏导数在该点连续，且不同时为零，则

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曲面上点P0处的切平面方程为：

Fx(P0)(x?x0)?Fy(P0)(y?y0)?Fz(P0)(z?z0)?0，

'''曲面上点P0处的法线方程为： x?x0F(P0)'x?y?y0F(P0)'y?z?z0F(P0)'z。

四、基本例题解题点击

【例1】设f(x,y) 是区域D:x?1,y?1上有界的k次齐次函数（k?1）。问极限lim[f(x,y)?(x?1)e]是否存在？若存在，试求其值。

x??y??y【提示】f(x,y) 是k次齐次函数是指f(rx,ry)?rkf(x,y)

【解】 令x?rcos?,y?rsin?。同时设f(x,y)?M,(x,y)?D。 则f(x,y)?f(rcos?,rsin?)?rkr?0x??y??kf(cos?,sin?)?rM.

k因limrM?0，故limf(x,y)?limf(rcos?,rsin?)?0.

r?0从而lim[f(x,y)?(x?1)ey]=lim(x?1)ey??1.

x??y??x??y??【例2】证明f(x,y)?xy 在点(0,0)两个偏导数存在，但在点(0,0)不可微。

f(x,0)?f(0,0)x【证明】显然，fx(0,0)?lim'x?0?0，fy(0,0)?lim'f(0,y)?f(0,0)yy?0 ?0。

因此f(x,y)?微，则有

xy在点(0,0)两个偏导数存在且等于零.若f(x,y)?xy在点(0,0)可

f(x,y)?f(0,0)?fx(0,0)x?fy(0,0)y??(x?y).

''22即f(x,y)?xy??(x?y)((x,y)?0)，但如果沿直线y?x趋于零，有

22limxyx?y22x?0y?0?12

10

故f(x,y)?

xy??(x?y)((x,y)?0)，因此f(x,y)在点(0,0)不可微。 ■

22【例3】设f(x)是连续的可导函数，证明z?xnf?yx2?z?z?y?满足方程x?2y?nz。 2??x?y?x?'【证明】 设t?，则

?z?x?nxn?1f(t)?2xn?3yf(t),?z?y?xn?2f(t).

'于是x?z?x?2y?z?y?nxf(t)?2xnn?2yf(t)?2x'n?2'nyf(t)?nxf(t)?nz。 ■

【例4】设u?f(r)，其中r?其中 ?u??u?x22 x?y?z和f为可微分两次的函数. 证明：?u?F(r)，，?为拉普拉斯算子.

222??u?y22??u?z22【提示】计算?u时要计算三个二阶偏导数，而u?f(r)中x,y,z地位是一样的，故可以考虑利用对称性，从而减少计算量。 【证明】

?u?x2?f(r)'xr，

?u?x22?f(r)\xr22?f(r)'r?xr322. 由对称性即得

2222?u?y2?f(r)\yr22?f(r)'r?yr322，

?u?z22?f(r)\zr?f(r)'r?zr3.

于是

?u??u?x22??u?y22??u?z22?f(r)?2f(r)\'1r?F(r). ■

【例5】设x?x(y,z),y?y(x,z),z?z(x,y)为由F(x,y,z)?0所定义的函数.证明

?x?y?z????1. ?y?z?x?x?y?x?yFyFx''【证明】 由F(x(y,z),y,z)?0得Fx同理可得

?y?z'?Fy?0，于是有

'??，

??FzF''y，

?z?x??FxFz''.

注意的是上式一切(x0,y0,z0),F(x0,y0,z0)?0成立.因此

11

'FyFz ????'??'?y?z?xFFxy?x?y?z'Fx??'Fz'. ? ■ 1?【例6】设z?z(x,y)为由方程组

x?eu?v,y?eu?v,z?uv

（其中u,v为参数）所定义的函数，求当u?0,v?0时dz和d2z. 【证明】dx?eu?v(du?dv),dy?eu?v(du?dv),dz?udv?vdu

dz?udv?vdu?2dudv.

222当u?0,v?0时，

dx?du?dv,dy?du?dv,dz?0,dz?2dudv，

2解出du,dv得du?12(dx?dy),dv?212(dx?dy)，因此 12(2v dz?2dud?d?x2d). y ■

【例7】 求函数f?x2?y2?z2.在ax?by?cz?1下最小值。 【解】 作拉格朗日函数

L(x,y,z,?)?x?y?z??(ax?by?cz?1).

222令Lx?Ly?Lz?L??0，即

?2x??a?0??2y??b?0 ??2z??c?0??ax?by?cz?1''''解得唯一驻点 x?aa?b?c22a?b?ca?b?c1222将它们代入f?x?y?z得f?2。 22a?b?c,y?2b22,z?2c22,??2?2a?b?c222.

因此f?x?y?z.在ax?by?cz?1下最小值为fmin?2221a?b?c222。 ■

【例8】设f(x,y)在全平面上二次可微且恒不为零，证明f(x,y)?g(x)h(y)的充分必要条件是f(x,y)满足方程

12

f?fyx?fx?fy.

\''【证明】 必要性是显然的.现在证明充分性，由于f(x,y)在全平面上二次可微且恒不等于零，不妨设f(x,y)?0，令F(x,y)?lnf(x,y)，则有

fxf'F?'x,F\xy?f?fyx?fx?fyf2\''?0.

下面证明F(x,y)?lnf(x,y)?p(x)?q(y)，实际上由Fxy?0可得Fx'?p(x)，因此

lnf(x,y)?F(x,y)?\?p(x)dx?q(y).

这说明结论成立. ■ 【例9】求函数z?z(x,y)一阶和二阶的偏导数，其中x?y?z?ez. 【证明】等式两边微分，得

dx?dy?dz?edz ①

z故有 dz?1e?11z(dx?dy)?1x?y?z?1(dx?dy).

于是，

?z?x2??z?y?x?y?z?1.再将①式微分一次，得d2z?ezd2z?ezdz2.

故有 dz??2ezze?1?z?x?y2?dz?2??ez3?ez?1?ez?dx2?2dxdy?dy2?.

. ■

于是

?z?x2???z?y22???ez?1?3??x?y?z?x?y?z?1?3【例10】设可微函数z?f(x,y)对任意实数t(t?0)满足f(tx,ty)?, 点tf(x,y)P0(1,?2,2)是曲面上一点，且fx(1,?2)?4. 求此曲面在点P0处的切平面方程。

【提示】 f(x,y)是一次齐次函数，弄清楚齐次函数的导函数的特征很重要。 【解】由已知，对任意的点(x0,y0)有，f(tx0,ty0)?tf(x0,y0).................(*) 将(*)两边对t求导得：x0fx(tx0,ty0)?y0fy(tx0,ty0)?f(x0,y0)...................(**) 在(**)中令t?1得：x0fx(x0,y0)?y0fy(x0,y0)?f(x0,y0)

故当(x0,y0)?(1,?2)时，(?2)?fy(1,?2)?f(1,?2)?1?fx(1,?2)?2?4??2.

13

故fy(1,?2)?1.

令F(x,y,z)?f(x,y)?z, 则法线方向为n?(fx,fy,?1). 故P0处法线方向为n0?(4,1,?1).

从而曲面在点P0处的切平面方程为4(x?1)?(y?2)?(z?2)?0.

即4x?y?z?0. ■

五、扩展例题解题点击

【例1】设f(x,y)在G?{(x,y):x2?y2?1}上定义，若f(x,0)在点x?0处连续，而且 fy(x,y)在G上有界，则f(x,y)在（0,0）处连续。

'【证明】 由中值定理，得

f(x,y)?f(x,0)?fy(x,?)(y?0)（其中??(0，y)） ｜fy(x,y｜)?M. 由fy(x,y)在G上有界，知?M?0,使

????0,取?1?'''?2M当|y?0|??1时有 . （1）

|f(x,y)?f(x,0)|??2由f(x,0)在x?0处连续，知??2?0,当|x?0|??2时，有 |f(x,0)?f(0,0)|??2. （2）

取??min{?1,?2}，当|x?0|??，|y?0|??时，由（1），（2）得

|f(x,y)?f(0,0)|?|f(x,y)?f(x,0)|?|f(x,0)?f(0,0)|??

（0，0）?f?x,y?在处连续。 ■

【例2】设M?f(x,y,z)在闭立方体a?x?b,a?y?b,a?z?b,上连续。令

?(x)?max{mina?y?ba?z?bf(x,y,z)}。试证：?(x)在区间[a,b]上连续。

【证明】 令g(x,y)?minf(x,y,z), 可得g(x,y)在D?[a,b]?[a,b]上连续。

a?z?b令F(x,y,z)?g(x,y)且a?z?b, 可得maxF(x,y,z)在[a,b]?[a,b]上连续。

a?y?b14

?maxF(x,y,z)在关于x在[a,b]上连续。

a?y?b因为?(x)?maxF(x,y,z)，所以?(x)在[a,b]上连续。 ■

a?y?b

?(x?y)sin(xy)22,x?y?0,?22x?y【例3】设f(x,y)?? ?0,x2?y2?0.?证明：f(x,y)在点(0,0）处连续但不可微。

(x?y)sin(xy)x?y22【证明】 由于||?|(x?y)xyx?y22|?|x?y|2?|x|2?|y|2.

故对???0,取???，当|x|??,|y|??时，

（x?y)sin(xy)|x||y||f(x,y)?f(0,0)|?||????, 22x?y22即

(x,y)?(0,0)limf(x,y)?f(0,0)?0.

故f(x,y)在点(0,0）处连续，下证f(x,y)在点(0,0）处不可微。

fx(0,0)?lim'f(x,0)?f(0,0)x?0'x?0?0,同理fy(0,0)?0.

'令

?w(t)?f(x,y)?f(0,0)?fx(0,0)?x?fy(0,0)?y?'?x?y?sin(xy)x?y22.

且 lim?w??0??lim(x?y)sin(xy)(x?y)22??02223?limy?kx(x?y)sin(xy)(x?y)23??0?limy?kx(1?k)sin(kx)(1?k)x32??0222?k(1?k)(1?k)223

与k有关。

所以f(x,y)在点(0,0）处不可微。 ■

22?xy22,x?y?0,2?22【例4】设 f(x,y)??(x?y)3证明：f(x,y)在点(0,0）处连续但不可微。

?22?0,x?y?0.15

xy221【证明】 由|f(x,y)?f(0,0)|?|2(x2?y2)2|?y2 34x? ???0,???4?,当

x2?y2??时， |f(x,y)?f(0,0)|?14x2?y2??

故

(x,ylim)?(0,0)f(x,y)?f(0,0)?0.

从而f(x,y)在点(0,0）处连续。 又f'f(x,0)?f(0,0)x(0,0)?limt?0x?0?0.同理f'y(0,0)?0.

令?w?f(x,y)?f(0,0)?f'0)?x?f'x(0,y(0,0)?y. 考虑 2lim?wx2y2x42，

??0?22?k?0y?kx??limy?kx(x?y)2?limkx?0(1?k2)2x4(1?k2)2即lim?w不存在。

??0?所以f(x,y)在点(0,0）处不可微。 【例5】设f(x,y)在区域D:|x|?1,|y|?1上?上的函数，且 1）对每个(x,y)??的x存在limy?yf(x,y)?g(x)；

02）lim?xf(x,y)?h(y)，关于(x,y)??中的y一致。

x0试证：limlimy?yf(x,y)?limlimf(x,y).

x?x00y?y0x?x0【证明】 由条件(2)，得

???0,??1?0.?x1,x2??,

当0?|x1?x2|??1,0?|y1?y0|??时

|f(x1,y)?f(x2,y)|?? （1）

在上面（1）式两边令y?y0，则

|g(x1)?g(x2)|??

?lim?xg(x)存在，令limg(x)?a.

x0x?x016

■

由条件2），得??2?0.当0?|x?x0|??2时 |h(y)?f(x,y)|??3. （2）

由条件1），得??3?0.当0?|y?y0|??3时 |f(x,y)?g(x)|??3. （3）

由limg(x)?a.，得??4?0.当0?|x?x0|??4时有|g(x)?a|?x?x0?3.

取??min{?1,?2,?3,?4}，当0?|x?x0|??，0?|y?y0|??时

|h(y)?a|??,

?limh(y)?a. 即limlimf(x,y)?a?limlimf(x,y). ■

y?y0x?x0y?y0y?y0x?x0例6】证明微分中值定理

设二元函数z?f(x,y)在凸区域D上两个偏导数fx,fy都存在，则对于D内 任何两点(x0,y0)，(x0??x,y0??y)?U(P0)有

f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?fx(x0??1?x,y0??2?y)??x?fy(x0??1?x,y0??2?y)??y''''其中0??1?1,0??2?1. 【证明】

f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?[f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0??y)]?[f(x0,y0??y)?f(x0,y0)] （1）

令?(x)?f(x,y0??y)，则由一元函数的中值定理有： ?(x0??x)??(x0)??(x0??1?x)??x （0??1?1），

'即f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0??y)?fx'(x0??1?x,y0??y)??x （0??1?1）， 同理令?(y)?f(x0,y)，可得

f(x0,y0??y)?f(x0,y0)?fy(x0,y0??2?y)??y （0??2?1）

'代入（1）式即可证明。 ■ 【例7】设二元函数f(x,y)在区域D?{(x,y)|x?y?1}上可微，且对

17

?(x,y)?D，有|?f?x|?1,|?f?y|?1,证明：对任意(x1,y1)?D,(x2,y2)?D成立：

|f(x2,y2)?f(x1,y1)|?|x2?x1|?|y2?y1|。

【证明】 应用微分中值定理，有

|f(x2,y2)?f(x1,y1)|?|f(x2,y2)?f(x2,y1)?f(x2,y1)?f(x1,y1)|?|f(x2,y2)?f(x2,y1)|?|f(x2,y1)?f(x1,y1)|?|f'y?x2,?1?||y2?y1|?|f'x??2,y1?||x2?x1|

?|x2?x1|?|y2?y1|其中?1?(x1,x2),?2?(y1,y2)。 ■ 【例8】设z?xx(x?0)求

y?z?z。 ,?x?y【解】 由z?xx(x?0)两边取对数lnz?xylnx (1)

两边对x求导有则

?z?x?z(xy?1y1?zz?xy?1?xy?1?yxxyy?1lnx。

y?1?yxlnx)?x(x?yxy?1lnx)。

同样在（1）式两端对y求导有：

1?zz?y?x(lnx)。

y2则

?z?y?xxyxy?(lnx) ■

2

【例9】证明不等式e?xlnx?x?xy?0,(x?1,y?0). 【证明】令f(x,y)?e?xlnx?x?xy.

则我们只须证明函数f(x,y)在区域D?{(x,y)| x?1,y?0} 上的最小值0即可。

yy令fx?fy?0.得x?e,由此可见函数f(x,y)的最小值只能在曲线x?e上达到，且

yy'' f(e,y)?ye?ye?yyye?ye?y0 .因此，在D上f(x,y)?0，即证。 ■ 【例10】设?ABC的外接圆半径为一定值，且?A,?B,?C所对的边长分别为a,b,c,试证

18

明

dacosA?dbcosB?dccosC?0

【证明】 如图1，设?ABC的外接圆半径为R，圆心为O，则由于 ?A??D（同弧上圆周角） 有 sinA?sinD?aBD?a2R

a?2RsinA A

同理 b?2RsinB,c?2RsinC D 因此 da?2RcosAdA

db?2RcosBdB,dc?2RcosCdC O

dacosA?dbcosB?dccosC. C

?2R?dA?dB?dC? B ?2Rd?A?B?C?

图1

?2Rd??0 ■ 【例11】设f(x,y)有一阶连续偏导数，r?x?y22，试证：若lim??xr?????f?x?y?f???1，??y?则f(x,y)有最小值.

?f?x?f?y【证明】由题设，x?a?0,当r?a时，?y 令x?rcos?,，y?rsin?, ?0。

e??cos?,sin??则有

?f?e??f?xcos???f?ysin? y M0 L ?1??f?f???x?y??0 O ? x r??x?y??

如图2，设M0是圆r?a上的点，L是过O，M0的射线， 则当M?L，且OM?OM0时，有f?M??f?M0?. 图2

222因此，当r?a，f(x,y)在x?y?a上取得最小值.又f(x,y)在有界闭区域

x?y22?a上有最小，则该最小值也是f(x,y)在全平面上的最小值. ■

2

19

六、训练题提示点评

?0?【训练题1】考虑二元函数f(x,y)??xy?sin(x2?y2)?x?y?0x?y?02222，问此函数在(0,0)处是否

连续？

【提示及点评】考虑点(x,y)延y?kx趋于零时f(x,y)的极限。 ■ ?0?【训练题2】考虑二元函数f(x,y)??1xysin22?x?y?x?y?0x?y?02222在(0,0)处的可微性.

【提示及点评】先计算得fx(0,0)?fy(0,0)?0.再计算 f(0??x,0??y)?f(0,0)?[fx(0,0)?x?fy(0,0)?y]?x??y22?f(0??x,0??y)?x??y22?0

因此，f(x,y)在(0,0)处可微. ■

?u?x?v?y?u?y?v?x【训练题3】若u,v是x,y的函数，x?rcos?,y?rsin?。试由

?u?r1?vr???v?r?u?r?v???,??证

明等式：

?,??1?ur??。 ?u?y?y?r?u?x?x?r?v?y?x?r【提示及点评】 利用??u?x?x?r???;

??v?x?x????v?y?y????v?x?x???x?0x?0?u?y. ■ x????y?【训练题4】证明：二元函数f(x,y)??sinxy??x在平面上处处连续但不一致连续。

【提示及点评】连续性主要考虑x?0时。取?0?limn??12及特殊点列?xn,yn?,?un,vn?使得

?xn,yn???un,vn??0及f?xn,yn??f?un,vn??1??0. ■

222【训练题5】函数z?z(x,y)由方程x?y?z?yf??z?x?z??给出，其中f可微，求证： y?? ?x?y?z222??2xy?z?y?2xz。

20

【提示及点评】将原方程两边对x求偏导得：2x?2z?z?1?z； ?yf??????x?y?y?x?z将原方程两边对y求偏导得：2y?2z?z??z?1?z?z??z? ?f???yf??????yf??????2?；

?yyyy?yyy?????????z【训练题6】设?为可微函数，证明由方程?(cx?az,cy?bz)?0所确定的函数z?z(x,y)?z?x?z?y满足：a?b?c。

?z?x?z?x【提示及点评】原方程两边对x求偏导得?1?(c?a?z?z偏导得?1?(a)??2?(c?b)?0。

?y?y)??2?(?b)?0;原方程两边对y求

【训练题7】证明曲面x?距之和为a.

【提示及点评】令F(x,y,z)?y?z?a?a?0?上任何一点的切平面在各坐标轴上的截

x?y?z?a.对曲面上任何一点(x0,y0,z0)处：

计算Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)得到切平面的法线方向。然后写出切平面方程。

【训练题8】设f(u)具有连续的二阶导数且z?f(ecosy)满足

x?z?x22??z?y22?e2xz，试求

f(u)的表达式。

【提示及点评】z?f(ecosy)是z?f(u)，u?ecosy的复合函数，由复合函数求导法

?z?z则可以得到2,2,f?(u),f??(u)之间的关系式，再代入原等式得到f(u)的微分方程，

?x?y22xx可求出f(u).

【训练题9】若直角三角形的一条直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形。

【提示及点评】设一直角边为a，斛边为c且a?c?m为常数，则另一直角边b?从而面积S?12ab?12ac?a。

22c?a。

2221

【训练题10】求椭圆x2?3y2?12的内接等腰三角形的最大可能面积，要求其底边平等于椭圆的长轴。

【提示及点评】设等腰三角形底边与椭圆相交于两点A(x,y),B(?x,y),x?0,则面积

S?x(2?y)。再利用条件极值的求法进行计算。

【训练题11】试求函数z?(1?ey)cosx?yey的极值与极值点，并指出是极大值还是极小值。

【提示及点评】计算出

?z,?z?x?y。求出满足

?z?x?0,?z?y?0的点(x,y)?(n?,(?1)?1).再通

n过二阶偏导判定：n?2k时，上述点都是极大值，而n?2k?1时该点不是极值点。就也说明函数有无穷多极大值点而无极小值点（中国人民大学 2000年硕士生入学考试题） 【训练题12】在椭球面

x24?y?z?1内，求一表面积最大的内接长方体，并求出其表面

22积。

【提示及点评】此题是条件极值问题，先写出长方体的表面积，然后利用长方体内于椭球面，从而得到约束条件。如：设长方体长、宽、高分别为2a,2b,2c，则S?8(ab?ac?bc)。

a2约束条件为：

4?b?c?1。利用拉格朗日乘数法求解得到Smax?2(1??f?x?f?y2233)。

【训练题13】设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，且x在极坐标下与矢径r无关。

【提示及点评】要证明题目结论，实际上要证明?f?r?f?x?x?r?f?y?y?r?f?r?y?0.试证明：f(x,y)?0。令x?rcos?,y?rsin?。利用

??计算即可.

【训练题14】设f(x,y)为连续函数，且当(x,y)?(0,0)时，f(x,y)?0及满足对任意的

c?0，f(cx,cy)?cf(x,y)。?证明存在?,??0使得：

x?y?f(x,y)??22x?y.

22【提示及点评】首先推出f(0,0)?0。取g(?)?f(cos?,sin?)在[0,2?]上的最大值?和最小值?。令x?rcos?,y?rsin而当r?0时, ?，?r?rf(cos?,sin?)??r.显然成立。

f(x,y)?f(rcos?,rsin?)?rf(cos?,sin?)。

22

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