91导学网 优化方案 第一章第1讲知能训练轻松闯关

1．(2015·河南省洛阳市统一考试)已知集合A＝{1，2，4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为( )

A．3 B．6 C．8 D．9

解析：选D．集合B中元素有(1，1)，(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，4)，(4，1)，(4，2)，(4，4)，共9个．

2．已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( ) A．A B B．BA C．A?B D．B?A

解析：选B．由题意知A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，∴A＝{x|－1≤x≤1}，∴B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，∴BA，故选B．

3．(2014·高考江西卷)设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩(?RB)＝( )

A．(－3，0) B．(－3，－1) C．(－3，－1] D．(－3，3)

解析：选C．由题意知，A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}， ∵B＝{x|－1＜x≤5}，∴?RB＝{x|x≤－1或x＞5}．

∴A∩(?RB)＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x≤－1或x＞5}＝{x|－3＜x≤－1}． 4．(2015·福建南安一中期末)全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图中阴影部分表示的集合为( )

A．{x|x<－1或x>2} B．{x|－1≤x≤2} C．{x|x≤1} D．{x|0≤x≤1} 解析：选D．阴影部分表示的集合是A∩B．依题意知，A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|－1≤y≤1}，∴A∩B＝{x|0≤x≤1}，故选D．

5．(2015·山东临沂期中)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2>0}，B＝{x|x－a≤0}，若?UB?A，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，1) B．(－∞，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)

2

解析：选D．∵x－3x＋2>0，∴x>2或x<1． ∴A＝{x|x>2或x<1}，∵B＝{x|x≤a}， ∴?UB＝{x|x>a}．

∵?UB?A，借助数轴可知a≥2，故选D．

6．已知集合A＝{x|x2－2x＋a＞0}，且1?A，则实数a的取值范围是________． 解析：∵1?{x|x2－2x＋a＞0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1． 答案：(－∞，1]

3

7．(2015·江西八校联考)已知R是实数集，集合M＝{x|<1}，N＝{y|y＝t－2t－3，t

x

≥3}，则N∩?RM＝________．

3

解析：解不等式<1，得x<0或x>3，所以?RM＝[0，3]．令t－3＝x，x≥0，则t＝x2

x2

＋3，所以y＝x－2x＋3≥2，即N＝[2，＋∞)．所以N∩?RM＝[2，3]．

答案：[2，3]

2??

8．已知全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝?x|x＝n－1，x，n∈Z?，则?UA＝________．

??

2??

解析：因为A＝?x|x＝n－1，x，n∈Z?，

?

?

当n＝0时，x＝－2；n＝1时不合题意； n＝2时，x＝2；n＝3时，x＝1； n≥4时，x?Z；n＝－1时，x＝－1； n≤－2时，x?Z．

故A＝{－2，2，1，－1}，

又U＝{－2，－1，0，1，2}，所以?UA＝{0}． 答案：{0}

9．已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分别求适合下列条件的a的值．

(1)9∈(A∩B)； (2){9}＝A∩B．

解：(1)∵9∈(A∩B)， ∴2a－1＝9或a2＝9，

∴a＝5或a＝3或a＝－3． 当a＝5时，

A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}；

当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，不满足集合元素的互异性； 当a＝－3时，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}， 所以a＝5或a＝－3．

(2)由(1)可知，当a＝5时， A∩B＝{－4，9}，不合题意， 当a＝－3时，A∩B＝{9}． 所以a＝－3． 10．(2015·河北衡水模拟)设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．

(1)求(?IM)∩N；

(2)记集合A＝(?IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．

解：(1)∵M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}， N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}， ∴?IM＝{x|x∈R且x≠－3}， ∴(?IM)∩N＝{2}． (2)A＝(?IM)∩N＝{2}， ∵A∪B＝A，∴B?A， ∴B＝?或B＝{2}，

当B＝?时，a－1＞5－a，得a＞3；

??a－1＝2

当B＝{2}时，?，解得a＝3，

?5－a＝2?

综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．

1．(2015·河南郑州模拟)已知集合A＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈R}，B＝{(x，y)|x2＋y2＝1，x，y∈R}，则集合A∩B的元素个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

??x＋y－1＝0

解析：选C．法一：(解方程组)集合A∩B的元素个数即为方程组?22解的个数，

?x＋y＝1?

??x＝0，??x＝1，

解方程组得?或?有两组解，故选C．

?y＝1?y＝0，??

法二：(数形结合)在同一坐标系下画出直线x＋y－1＝0和圆x2＋y2＝1的图象，

如图，直线与圆有两个交点．即A∩B的元素个数是2，故选C．

2．已知数集A＝{a1，a2，?，an}(1≤a1

aj

j(1≤i≤j≤n)，aiaj与两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则( )

ai

A．{1，3，4}为“权集” B．{1，2，3，6}为“权集” C．“权集”中可以有元素0 D．“权集”中一定有元素1

4

解析：选B．由于3×4与均不属于数集{1，3，4}，故A不正确；由于1×2，1×3，

3

661236

1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6}，故B正确；由“权集”的定义

231236

aj

可知需有意义，故不能有0，同时不一定有1，C，D错误，选B．

ai3．已知集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，B＝{x|x2－(2m－3)x＋m(m－3)≤0，m∈R}，若A∩B＝[2，4]，则实数m＝________．

??m－3＝2

解析：由题知A＝[－2，4]，B＝[m－3，m]，因为A∩B＝[2，4]，故?，则m

?m≥4?

＝5．

答案：5

4．某校田径队共30人，主要专练100 m，200 m与400 m．其中练100 m的有12人，练200 m的有15人，只练400 m的有8人．则参加100 m的专练人数为________．

解析：用Venn图表示

A代表练100 m的人员集合， B代表练200 m的人员集合， C代表练400 m的人员集合， U代表田径队共30人的集合，

设既练100 m又练200 m的人数为x，则专练100 m的人数为12－x． ∴12－x＋15＋8＝30， 解得x＝5．

所以专练100 m的人数为12－5＝7． 答案：7

5．(2015·福建三明模拟)已知集合A＝{x|1

(2)若A?B，求实数m的取值范围； (3)若A∩B＝?，求实数m的取值范围．

解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－2

1－m>2m，??

(2)由A?B知?2m≤1，

??1－m≥3，

得m≤－2，即实数m的取值范围为(－∞，－2]．

(3)由A∩B＝?，得

1

①若2m≥1－m，即m≥时，B＝?，符合题意；

3

11????m<，m<，1

②若2m<1－m，即m<时，需?3或?3

3

??1－m≤1??2m≥3，

11

得0≤m<或?，即0≤m<．

33

综上知m≥0即实数m的取值范围为[0，＋∞)． 6．(选做题)(2015·浙江金丽衢十二校第一次联考)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．判断下列四个集合是否为“垂直对点集”．

1??

①M＝?（x，y）|y＝x?；②M＝{(x，y)|y＝sin x＋1}；

??

③M＝{(x，y)|y＝log2x}；④M＝{(x，y)|y＝ex－2}．

解：依题意， 要使得x1x2＋y1y2＝0成立，只需过原点任作一直线l1与该函数的图象相交，再过原点作与l1垂直的直线l2也与该函数的图象相交即可．对于①，取l1：y＝x，则l2：

1

y＝－x与函数y＝图象没有交点，①中M不是“垂直对点集”；③中取l1：y＝0，则l2：x

x

＝0与函数y＝log2x图象没有交点，③中M不是“垂直对点集”；如图所示，作出②④中两个函数的图象知：过原点任作一直线l1与该函数的图象相交，再过原点作与l1垂直的直线l2也与该函数的图象相交．故②④中的集合M是“垂直对点集”．

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