四川南充市高中2011年-2013年高中阶段数学素质技能邀请赛试题(合

南充高中素质技能邀请赛数学试题合集

一、南充高中2011年素质技能邀请赛数学试题

二、南充高中2012年素质技能邀请赛数学试题

三、南充高中2013年素质技能邀请赛数学试题

2011年四川省南充市高中素质技能邀请赛

数 学 试 题

（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）

第Ⅰ卷（选择.填空题）

一、选择题（每小题5分，共计30分.下列各题只有一个正确的选项，请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置）

1.已知1y ≤且21x y +=，则222163x x y ++的最小值为 A. 192

B. 3

C. 277

D.13 2. ,AE CF 是锐角三角形ABC 的两条高，如果:3:2AE CF =，则sin :sin A C 等于

A. 3：2

B. 2：3

C. 9：4

D.4：9

3.关于x 的方程2(2)90ax a x a +++=有两个不等的实数根12,x x ，且121x x <<，那么a 的取值范围是 A. 2275a -<< B. 25a > C. 27a <- D. 2011a -<<

4.在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新的盐水，它的浓度为20℅，又在新盐水中加入与前述“一杯水”的重量相等的纯盐后，盐的浓度变为1333

℅，那么原来盐水的浓度为 A.23℅ B.25℅ C. 30℅ D.32℅ 5.已知是两个连续自然数()m n <，且q mn =，设p q n q m =++-，则p

A.总是奇数

B.总是偶数

C.有时是奇数有时是偶数

D.有时是有理数有时是无理数 6. P 为正三角形ABC 内部一点，PD BC ⊥于D ,PE AC ⊥于E ,PF AB ⊥于F ，则

A. PA PB PC ++的值不变

B. PA PB PC ??的值不变

C. PD PE PF ++的值不变

D. PD PE PF ??的值不变 二、填空题（每小题5分，共计50分，请将你的答案填到答题卷的相应位置处） 7.若1233215,7x y z x y z ++=++=，则111x y z ++=_________. 8.关于,x y 的二次式22754324x xy my x y ++-+-可以分解

为两个一次因式的乘积，则m 的值是_______.

9.如图△ABC 中，AC ＞AB ，AB=4，AC=x ，AD 平分∠BAC ， BD ⊥AD 于D ，点E 是BC 的中点，DE=y ，则y 关于x

的函数关系式为_______.

10.袋中装有3个红球，一个白球，它们除了颜色以外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率为

11.光线如图示的角度照射到平面镜上，然后在两平面镜之间来回反射，已知0060,50αβ==，则γ=_______.

12.在平面直角坐标系中，已知1P 的坐标()1,0，将其绕着原点按逆时针方向旋转030得到2P ，

延长2OP 到3P 使322OP OP =，再将3P 绕原点按逆时针方向旋转030得到4P ，

延长4OP 到5P 使542OP OP =,如此继续下去，则点2010P 的坐标为__________ 13.一圆周上有三点,,A B C ，A ∠的平分线交边BC 于D ，交圆于E ，已知

2,3,4B C A C A B ===，则AD DE ?=_________

14.在锐角ABC ?中，高,BD CE 交于点F ，045,A DEF ∠=?的面积为S ，则BFC ?的面积为__________

15.方程21211x x x x x +-+--=-的解为______ 16.下列命题：①若2201020121x =?+，则2011x =；②若0xy <，且

221(1)0a y x -+++=，则1a >-；③若一直角梯形的两条对角线的长分别为9和11，上、下两底长都是整数，则该梯形的高为62；④已知方程

20()ax bx c a b c ++=>>的一个根为1，另一个根的取值范围是122

α-<<-. 其中正确的命题的序号为________ 1A αβ

γ

α A B C D E

第Ⅱ卷（答题卷） 一、选择题答案：(每小题5分，共计30分) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题答案：(每小题5分，共计50分) 7．______________________ 8．______________________ 9．______________________ 10．______________________ 11．_____________________ 12．______________________ 13．_____________________ 14．______________________ 15．_____________________ 16．_____________________ 三、解答题：（本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤) 17.(本小题10分)设1abc =，求111a b c ab a bc b ac c ++++++++的值. //

////////////

//////////////////////////////////////// 线 封

密

姓名________________ 初中就读学校___________________________ 考号_________________

18. (本小题12分)已知ABC ?的两边,AB AC 的长是关于x 的一元二次方程

22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边长为5.

（1）k 为何值时，ABC ?是以BC 为斜边的直角三角形

（2）k 为何值时，ABC ?是等腰三角形，并求ABC ?的周长

19. (本小题12分)在平行四边形ABCD 中，P 为CD 边上一点，AP 与BP 分别为DAB ∠和

CBA ∠的平分线

（1）判断APB ?是什么三角形，并证明你的结论；

（2）比较DP 与PC 的大小；

（3）以AB 为直径的⊙O 交AD 于点E ，连接BE 与AP 交于F ，若5,8AD AP ==，

求证：AEF ?∽APB ?,并求tan AFE ∠的值

A P

B D C

20. (本小题12分)已知ABC ?是⊙O 的内接三角形，BT 为⊙O 的切线，B 为切点，P 为直线AB 上一点，过点P 做BC 的平行线交直线BT 于点E ，交直线AC 于点F

（1）当点P 在线段AB 上时求证: PA PB PE PF ?=?

（2）当点P 为线段BA 延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明，否则说明理由；

（3）若142,cos 3AB EBA =∠=

，求⊙O 的半径

21. (本小题12分)如图所示，已知,A B 两点的坐标分别为(28,0)和（0,28），动点P 从点A 开始，在线段AO 上以每秒3个长度单位的速度向原点O 运动，动直线EF 从x 轴开始，以每秒1个长度单位的速度向上移动（即EF ∥x 轴），且分别与y 轴、线段AB 交于点,E F ，连接FP ，设动点P 与动直线EF 同时出发，运动时间为ts

（1）当1t s =时，求梯形OPFE 的面积，t 为何值时，梯形OPFE 的面积最大？最大面积是多少？

（2）当梯形OPFE 的面积等于三角形APF 的面积时，求线段PF 的长；

（3）设t 的值分别取12,t t 时（12t t ≠），所对应的三角形分别为11AF P ?和22AF P ?，判断这两个三角形是否相似，请证明你的结论.

A

B O T

P E C . F y

E F B

22. (本小题14分)如图，已知点B (-2,0) C (-4,0)，过点,B C 的⊙M 与直线1x =-相切于点A （A 在第二象限）,点A 关于x 轴的对称点是1A ，直线1AA 与x 轴相交点P

（1）求证：点1A 在直线MB 上

（2）求以M 为顶点且过1A 的抛物线的解析式；

（3）设过点1A 且平行于x 轴的直线与（2）中的抛物线的另一交点为D ，当⊙D 与⊙M 相切时，求⊙D 的半径和切点坐标

1A O P M D C B A x y

2011年四川省南充市高中素质技能邀请赛

数 学 试 题

一、选择题答案：(每小题5分，共计30分) 题号

1 2 3 4 5 6 答案 B B D B A C

二、填空题答案：(每小题5分，共计50分)

7. 3 8. ______-18____

9.___ y=22-x _______ 10．______916

_______ 11．_______040_______ 12．____(0, 10042- )__

13．___ 4849

________ 14_________2S____ 15．_____5_____________ 16. ②③④

三、解答题：（本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤)

17.(本小题10分)设1abc =，求

111

a b c ab a bc b ac c ++++++++的值. 解：1(1)ab a ab a abc a b bc ++=++=++ 111a ab a b bc ∴=++++ 而1(1)(1)ac c ac c abc c a ba ac b bc ++=++=++=++

11(1)

c ac c a b bc ∴=++++ ∴原式=111111(1)(1)b a ab bc b bc b a bc b a b bc ++++==++++++++

18. (本小题12分)已知ABC ?的两边,AB AC 的长是关于x 的一元二次方程

22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边长为5.

（1）k 为何值时，ABC ?是以BC 为斜边的直角三角形

（2）k 为何值时，ABC ?是等腰三角形，并求ABC ?的周长

解：（1）因为,AB AC 是方程22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，

所以223,32AB AC k AB AC k k +=+?=++

又因为ABC ?是以BC 为斜边的直角三角形，且5BC =

所以222

AB AC BC +=,所以2()225AB AC AB AC +-?=,

即22(23)2(32)25k k k +-++=，所以23100k k +-=所以125,2k k =-=

当2k =时，方程为27120x x -+=，解得123,4x x ==

当5k =-时，方程为27120x x ++=，解得123,4x x =-=-（不合题意，舍去） 所以当2k =时，ABC ?是以BC 为斜边的直角三角形。

（2）若ABC ?是等腰三角形，则有①AB AC =②AB BC =③AC BC =

三种情况。

因为22(23)4(32)10k k k ?=+-++=>，所以AB AC ≠，故第①种情况不成立。

所以当AB BC =或AC BC =时,5是22(23)320x k x k k -++++=的根，

所以22255(23)320,7120k k k k k -++++=-+=，解得123,4k k ==

当3k =时，29200x x -+=所以124,5x x ==，所以等腰ABC ?的三边长分别为5、

5、4，周长是14

当4k =时，211300x x -+=所以125,6x x ==，所以等腰ABC ?的三边长分别为5、

5、6，周长是16.

19. (本小题12分)在平行四边形ABCD 中，P 为CD 边上一点，AP 与BP 分别为DAB ∠和CBA ∠的平分线

（1）判断APB ?是什么三角形，并证明你的结论；

（2）比较DP 与PC 的大小；

（3）以AB 为直径的⊙O 交AD 于点E ，连接BE 与AP 交于F ，若5,8AD AP ==，

求证：AEF ?∽APB ?,并求tan AFE ∠的值

解：（1）AD ∥BC

0180DAB CBA ∴∠+∠= A P B D C

又AP 与BP 分别为DAB ∠和CBA ∠的平分线[来源:Z,xx,fdad890ff01dc281e53af0d6]

0090,90,PAB PBA APB APB ∴∠+∠=∴∠=∴?是直角三角形。

（2）

DC ∥AB ,BAP DPA ∴∠=∠

,,DAP PAB DAP DPA DA DP ∠=∠∴∠=∠∴=

同理，,CP CB DP PC =∴= (3)

5,8,210AD AP AB DC DP PC AD ==∴==+==

因为AB 为⊙O 直径，0

222290,1086APB PB AB AP ∠==

-=-=

又

090,AEB APB EAF PAB AEF ∠=∠=∠=∠∴?∽APB ?

4

tan tan 3

AP AFE ABP AFE ABP PB ∴∠=∠∴∠=∠=

= 20. (本小题12分)已知ABC ?是⊙O 的内接三角形，BT 为⊙O 的切线，B 为切点，P 为直线AB 上一点，过点P 做BC 的平行线交直线BT 于点E ，交直线AC 于点F （1）当点P 在线段AB 上时求证: PA PB PE PF ?=?

（2）当点P 为线段BA 延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明，

否则说明理由；

（3）若1

42,cos 3

ab EBA =∠=，求⊙O 的半径 解（1）证明：

BT 切⊙O 于点,,B EBA C ∴∠=∠

EF ∥BC ,AFP EBP ∴∠=∠

,APF EPB PFA ∠=∠∴?∽PBE ?

,PA PF PE PB

∴=∴PA PB PE PF ?=? (2) 当点P 为线段BA 延长线上一点时，第（1）题的结论任成立 BT 切⊙O 于点,,B EBA C ∴∠=∠ EP ∥BC ,PFA C ∴∠=∠,

,PFA PBE FPA BPE ∴∠=∠∠=∠

PFA ?∽PBE ?,PF PA

PB PE

∴=,PA PB PE PF ?=?

(3)作直径AH ，连接BH

090ABH ∴∠=

BT 切⊙O 于点,B EBA AHB ∴∠=∠

A B

O T

P

E

C

.

F

H

C

P F T

B

A

E

.

O

2211

cos ,cos 33sin cos 1

EBA AHB AHB AHB ∠=∴∠=

∠+∠=

又因为AHB ∠为锐角, 22

sin 3

AHB ∴∠= 在直角ABH ?中，sin ,42,6sin AB AB

AHB AB AH AH AHB

∠=

=∴==∠ 即⊙O 的半径为3.

21. (本小题12分)如图所示，已知,A B 两点的坐标分别为(28,0)和（0,28），动点P 从点A 开始，在线段AO 上以每秒3个长度单位的速度向原点O 运动，动直线EF 从x 轴开始，以每秒1个长度单位的速度向上移动（即EF ∥x 轴），且分别与y 轴、线段AB 交于点,E F ，连接FP ，设动点P 与动直线EF 同时出发，运动时间为ts [来源:学科网]

（1）当1t s =时，求梯形OPFE 的面积，t 为何值时，梯形OPFE 的面积最大？最大面积是多少？

（2）当梯形OPFE 的面积等于三角形APF 的面积时，求线段PF 的长；

（3）设t 的值分别取12,t t 时（12t t ≠），所对应的三角形分别为11AF P ?和22AF P ?，判断这两个三角形是否相似，请证明你的结论.

解：（1）当1t s =时，1,3,28325OE AP OP ==∴=-=

,OA OB EF =∥,28127OA EF EB ∴==-= (2527)1

2622

OPFE S +?∴===梯形（OP+EF)OE

22(28328)2282(7)98,2

t t t

S t t t -+-=

=-+=--+[来源:fdad890ff01dc281e53af0d6]

7t s ∴=，梯形OPFE 的面积最大，最大面积是98

（2）2

(564)3,22

AFP OPFE t t t S S ?-==梯形 当AFP OPFE S S ?∴=梯形时，有

2

12(564)3,8,022

t t t t t -=∴==（舍去） 过点作FH AO ⊥，垂足为H

045,8,38816OAB AH FH PH ∠=∴===?-=

在Rt FHP ?中，222281685FP FH PH =

+=+=

x

y O P

A

E

F

B

H 2

F x

y O

P A E F B E

P

H

(3)相似，下面证明

分别过点12,F F ，作111222,F H AP F H AP ⊥⊥，垂足分别为12,H H

01111222245,,OAB AH F H t AH F H t ∠=∴====

11112222

2,2.AF t AF t AF t AF t ∴==∴= 又111111222222

313,3,,32AP t AF t AP AP t AP t AP t AP AF t ==∴=== 且,OAB OAB ∠=∠∴11AF P ?∽22AF P ?

22. (本小题14分)如图，已知点B (-2,0) C (-4,0)，过点,B C 的⊙M 与直线1x =-相切于点A （A 在第二象限）,点A 关于x 轴的对称点是1A ，直线1AA 与x 轴相交点P

（1）求证：点1A 在直线MB 上

（2）求以M 为顶点且过1A 的抛物线的解析式；

（3）设过点1A 且平行于x 轴的直线与（2）中

的抛物线的另一交点为D ，当⊙D 与⊙M 相切时，

求⊙D 的半径和切点坐标[来源:学。科。网Z 。X 。X 。K]

解：易知P (-1,0)，1,3BP CP ==. PA 与⊙M 相切于A ，PBC 是⊙M 的割线，

2PA PB PC ∴=?即2133,3PA PA =?==

A 在第二象限, 点A 关于x 轴的对称点是1A 1(1,3),(1,3)A A ∴---,可得(3,3)M - 从而直线M

B 的解析式为323y x =--

当1x =-时3233y =-=-，即点1A 在直线MB 上

（2）所求抛物线以(3,3)M -为顶点，

∴抛物线的解析式可设为2(3)3y a x =++，将点1A 坐标带入，可得32a =-

∴抛物线的解析式为23(3)32y x =-++ 1A O P M D C B A x y

C

B

A P D l 1 l 2 ． O （3）过点1A 且平行于x 轴的直线为3y =- 由23

(3)32y x =-++和3y =-解得11221,3.5,3x y x y =-=-=-=- 1(1,3),(5,3)A D ∴----

以点D 为圆心且与⊙M 相切的圆有两种情况：外切或内切

当⊙D 与⊙M 外切时，4DM = ∴⊙D 的半径为2，点()4,0C

-就是切点， 当⊙D 与⊙M 内切时，⊙D 的半径为6，点⊙(2,2

3)E --是切点.

南充高中2012年素质技能邀请赛

数 学 试 题

（考试时间：120分钟 试卷总分：150分） 一、选择题（每小题5分，共计30分。下列各题只有一个正确的选项，请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置）

1.在等腰直角三角形ABC 中，090,6C AC ∠==,D 是AC 上的一点，若

1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为( )

A. 2

B.2

C. 1

D.22

2.如图 AB 是⊙O 的直径，12,l l 是⊙O 的两条切线，且1l ∥AB ∥2l ，若P 是1l 上一点，直线,PA PB 分别交2l 于点,C D ，设⊙O 的面积为1S ，PCD ?的

面积为2S ，则12

S S 等于( ) A. π B. 2π C. 4π D. 8π 3. 若直角三角形的两直角边长为,a b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则 (

) A. 2ab h = B. 2222a b h += C. 222111a b h += D. 111a b h

+= 4.以正三角形ABC 的高为半径作⊙O 与边AB 相切，使⊙O 在边AB 上滚动，切点为P ，⊙O 交CA 于M ，交CB 于N ，则弧MPN ( )

B A

P

D

C

A. 在00到030间变化

B. 保持030不变

C. 在060到090间变化

D. 保持060不变

5.设0ab ≠，且函数21()24f x x ax b =++与22()42f x x ax b =++有相同的最小值u ；函数23()24f x x bx a =-++与24()42f x x bx a =-++有相同的最大值v ，则u v +的值( )

A. 必为正数

B. 必为负数

C. 必为0

D. 符号不能确定

6. ,αβ是关于x 的方程2

10x kx +-=的两个实根，若()()1αββα--≥，则实数k 的取值范围是( ) A. 52k ≥

- B. 52k ≤- C. 52k ≥-或52k ≤-- D. 52k ≤--

二、填空题（每小题5分，共计50分，请将你的答案填到答题卷的相应位置处）

7.某人抛掷甲乙两个均匀正方体，（正方体每面依次标有数字1～6）甲出现的点数为x ，乙出现的点数为y ，则1x y -≤的概率为

8.在直角坐标系中有四个点(6,3)A -，(2,5)B -，(0,)C m ，(,0)D n ，当四边形ABCD

周长最短时，m n +=

9.如图是9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长为a ，则六边形的边长为

10.关于x 的不等式(2)2a b x a b ->-的解为52x <

，则关于x 的不等式0ax b +<的解为

11.一次函数()y f x =满足[]{}()83f f f x x =-+，则函数()f x =12.如图P 为正方形ABCD 内的一点，1,2PA PB ==,0135APB ∠=,则PC = 13. 232217122-+-等于

14.在直角三角形ABC 中，0090,30,C CAB AD ∠=∠=平分CAB ∠交BC 于D ,则AB AC CD CD

-的值

15. 等腰梯形ABCD 中，腰AB CD m ==，对角线AC BD ⊥，锐角ABC α∠=，则该梯形的面积为（用,m α表示）

16．设O 为ABC ?的外心，且外接圆半径为1，连结,,AO BO CO 并延长分别交于对边于,,L M N ，则111AL BM CN

++的值为 三、解答题：（本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤)

17.(本小题10分)某工程由甲、乙两队合作6天完成，厂家需付甲、乙两队8700元；乙、丙两队10天完成，厂家需付乙丙两队共9500元；甲、丙两队合作5天完成全部工作的23

，厂家需付甲、丙两队共5500元。 （1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问：可用哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。

18. (本小题10分)已知关于x 的方程22(1)(

)(27)()1011x x a a x x --++=--有实数根

（1）求a 的取值范围

（2）若原方程的两个实数根为12,x x ，且

121231111x x x x +=--，求a 的值

19．(本小题12分)如图，在ABC ?中，AB AC =，以AB 为直径的半圆O 交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为E ．

（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；

（2）如果⊙O 的直径为9，1cos 3B =

，求DE 的长

20．如图，等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB ,对角线AC 与BD 交于O ，

060

ACD ∠=点S 、P 、Q 分别是OD 、OA 、BC 的中点

（1）求证：PQS ?是等边三角形

（2）若5,3AB CD ==，求PQS ?的面积 （3）若PQS ?的面积与AOD ?的面积之比为7:8，求梯形上、下两底之比:CD AB

S Q

P

D O C B A

21. (本小题12分)如图，已知直线26y x =-交x 轴于A ，交y 轴于C ，抛物线2y ax bx c =++经过,A C 两点及x 轴上另一点B ，且1AB =，ABC ∠为钝角。

（1）求抛物线的解析式

（2）若点D 的坐标为（-3，0），在直线26y x =-上求一点P ，使APD ?与AOC ?相似

（3）在（1）（2）的条件下，在抛物线位于x 轴上方的图像上是否存在点M ，使四边形APBM 的面积等于AMD ?的面积的

136倍？如果存在，求出点M 的坐标，否则请说明理由

0 y

x D B . C A

22．(本小题14分)如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形AOCB 是梯形，AB ∥OC ，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上，且2

OA 810OC 0-+-=（），OB OC =．

（1）求点B 的坐标；

（2）点P 从C 点出发，沿线段CO 以5个单位/秒的速度向终点O 匀速运动，过点P 作PH OB ⊥，垂足为H ，设H B P ?的面积为(0)S S ≠，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（直接写出自变量t 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，过点P 作PM ∥CB 交线段AB 于点M ，过点M 作MR OC ⊥，

垂足为R，线段MR分别交直线PH、OB于点E、G，点F为线段PM的中点，连结EF．

①判断EF与PM的位置关系；

EG ？

②当t为何值时，2

南充高中2012年5.1素质技能邀请赛

数学试题参考答案 一、选择题答案：(每小题5分，共计30分)

题号

1 2 3 4 5 6 答案 B C C D C A

二、填空题答案：(每小题5分，共计50分)

7．

49 8．0 9． 30a 10． 8x <- 11． 21x -+ 12． 3

13． 1 14． 33 15． 22(sin )m α 16． 2

三、解答题：（本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤)

17.(本小题10分)某工程由甲、乙两队合作6天完成，厂家需付甲、乙两队8700元；乙、丙两队10天完成，厂家需付乙丙两队共9500元；甲、丙两队合作5天完成全部工作的23，厂家需付甲、丙两队共5500元。

（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问：可用哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。

解：（1）设甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需要,,x y z 天，则 1116

x y +=， 10x =

11110y z +=， 解方程组得 15y = 112135

x z +=? 30z =………………………………5分 （2）设甲队做一天应付给a 元，乙队做一天应付给b 元，丙队做一天应付给c 元，则有

6()8700a b += 800a =

10()9500b c += 解方程组得 650b =

5()5500a c += 300c =

108000,159750,309000a b c ===，∴由甲队单独完成此工程花钱最少

………………………………9分

答：（1）甲队单独做10天完成，，乙队单独做15天完成，丙队单独做30天完成

（2）由甲队单独完成此工程花钱最少………………………………10分

18. (本小题10分)已知关于x 的方程22(1)(

)(27)()1011x x a a x x --++=--有实数根 （1）求a 的取值范围

（2）若原方程的两个实数根为12,x x ，且121231111

x x x x +=--，求a 的值 解：（1）设1

x t x =-，则1t ≠，原方程可化为22(1)(27)10a t a t --++= 当210a -=，即1a =±时，方程为910t -+=或510t -+=，即

119x x =- 或115x x =-，18

x ∴=-或14x =- 故当1a =±时，原方程有实数根

当1a ≠±时，则在0?≥时，原方程有实数根，

由[]22(27)4(1)0a a ?=-+--≥，解得5328

a ≥-，又1t ≠，而当1t =时， 2(1)(27)10a a --++=解得122a =±，其中5312228

a =+>-，但122a =+时0?>，方程有异于1t =的根，故122a =+也满足题意 综上可知当5328

a ≥-时，原方程有实数根 ………………………………5分 （2）由题设知，11,1x x -221

x x -是方程22(1)(27)10a t a t --++=的两个根，利用根与系数的关系得2273111a a +=-，2322800a a ∴--=解得12810,3

a a ==-，由（1）知，5328a ≥-，而2853328

a =-<-，故应2a 舍去，所以10a =………………………10分

19．(本小题12分)如图，在ABC ?中，AB AC =，以AB 为直径的半圆O 交BC 于点D ，

DE AC ⊥，垂足为E ．

（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；

（2）如果⊙O 的直径为9，1cos 3B =

，求DE 的长

（1）答：DE 是⊙O 的切线. ………………………………1分

证明：连接OD ，AD ，

∵OD =OA ， ∠ODA =∠OAD .

∵△ABC 是等腰三角形，AB =AC ， AD ⊥BC ，

∴∠OAD =∠CAD ,∠ODA =∠CAD .

∵DE ⊥AC ，

∴∠EDA +∠CAD =90° ∴∠EDA +∠ODA =90° 即：OD ⊥DE ∴DE 是⊙O 的切线. ……………………………6分

（2）解：∵ AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB =90° 在Rt △ADB 中，

∵cos ∠B =BD AB =13 , AB =9，

∴BD =CD =3

在Rt △CDE 中， ∵cos ∠C =CE CD

∴CE =CD ·cos ∠C =3·cos ∠B =3×13 =1 ∴DE =32-12 =2 2 . ………………………………12分

20．如图，等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB ,对角线AC 与BD 交于O ，060ACD ∠=点S 、

P 、Q 分别是OD 、OA 、BC 的中点

（1）求证：PQS ?是等边三角形 （2）若5,3AB CD ==，求PQS ?的面积

（3）若PQS ?的面积与AOD ?的面积之比为7:8，

求梯形上、下两底之比:CD AB

解：(1)ABCD 是等腰梯形，AD BC ∴=

又AC 与BD 相交于O ，,AO BO CO DO ∴==

060,ACD OCD ∠=∴?与OAB ?均为等边三角形， S 是OD 的中点, CS DO ∴⊥

在Rt BSC ?中，Q 为斜边BC 中点，SQ 是斜边BC 的中线，12

SQ BC ∴= 同理BP AC ⊥，在Rt BPC ?中，12PQ BC =,又SP 是OAD ?的中位线， S

Q

P

D O C B A

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