传送带模型和滑块模型

专题：传送带模型和滑块模型

1、 板块模型

此类问题通常是一个小滑块在木板上运动，小物块与长木板是靠一对滑动摩擦力或静摩擦力联系在一起的。分别隔离选取研究对象，均选地面为参照系，应用牛顿第二定律及运动学知识，求出木板对地的位移等，解决此类问题的关键在于深入分析的基础上，头脑中建立一幅清晰的动态的物理图景，为此要认真画好草图。在木板与木块发生相对运动的过程中，作用于木块上的滑动摩擦力f 为动力，作用于木板上的滑动摩擦力f为阻力，由于相对运动造成木板的位移恰等于物块在木板左端离开木板时的位移Sm 与木板长度L 之和，而它们各自的匀加速运动均在相同时间t 内完成。

例2 如图3所示，质量M=8kg的小车放在光滑的水平面上，在小车右端加一水平恒力F，F=8N，当

小车速度达到1．5m/s时，在小车的前端轻轻放上一大小不计、质量m=2kg的物体，物体与小车间的动摩擦因数μ=0．2，小车足够长，求物体从放在小车上开始经t=1．5s通过的位移大小。（g取10m/s）

解答：物体放上后先加速：a1=μ

2

g=2m/s2

，

此时小车的加速度

为： ，当小车与物体达到共同速度时：v共

=a1t1=v0+a2t1，

解得：t1=1s ，v共=2m/s，以后物体与小车相对静止： （∵，物

体不会落后于小车）物体在t=1．5s内通过的位移为：s=a1t12+v共 （t－t1）+ a3（t－t1）2=2．1m

解决这类问题的方法是：①研究物块和木板的加速度；②画出各自运动过程示意图；③找出物体运动的时间关系、速度关系、相对位移关系等；④建立方程，求解结果，必要时进行

讨论。要求学生分析木板、木块各自的加速度，要写位移、速度表达式，还要寻找达到共同速度的时间等等

在这三个模型中尤其板块模型最为复杂。其次是传送带模型，一般情况下只需要分析物体的加速度和运动情况，而传送带一般是匀速运动不需另加分析。最后是追及相遇问题，它只是一个运动学问题并没有牵扯受力分析问题，相对是最简单的，只要位移关系速度公式就可以问题。对于上述的三种模型我们不难发现他们的共性是：①分别写出位移、速度表达式；②根据位移、速度的关系求得未知量。我认为在三个模型中只要熟练分析好板块模型其他两个模型在此基础上根据已知条件稍作变通就可以迎刃而解了。这样就可以减少了学生对模型数量的记忆，达到事半功倍的效果。

例3、如图1所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的物块A和木板B，A、B间的最大静摩擦力为μ

mg，现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动，求拉力F的最大值。

分析：为防止运动过程中A落后于B（A不受拉力F的直接作用，靠A、B间的静摩擦力加速），A、B一

起加速的最大加速度由A决定。 解答：物块A能获得的最大加速度为：．∴A、B一

起加速运动时，拉力F的最大值为： ．

变式1 例1中若拉力F作用在A上呢？如图2所示。 解答：木板B能获得的最大加速度为：

。 ∴A、B一起加速运动时，拉力F的最大值为：

．

变式2 在变式1的基础上再改为：B与水平面间的动摩擦因数为力），使A、B以同一加速度运动，求拉力F的最大值。

（认为最大静摩擦力等于滑动摩擦

解答：木板B能获得的最大加速度为：拉力F的最大值为Fm，则：

，设A、B一起加速运动时，

解得：

例4．如图所示，有一块木板静止在光滑且足够长的水平面上，木板质量为M=4kg，长为L=1.4m；木板右端放着一小滑块，小滑块质量为m=1kg，其尺寸远小于L。小滑块与木板之间的动摩擦因数为

??0.4(g?10m/s2)

（1）现用恒力F作用在木板M上，为了使得m能从M上面滑落下来，问：F大小的范围是什么？

（2）其它条件不变，若恒力F=22.8牛顿，且始终作用在M上，最终使得m能从M上面滑落下来。问：m在M上面滑动的时间是多大？

解析：（1）小滑块与木板间的滑动摩擦力

f??N??mg，小滑块在滑动摩擦力f作用下向右匀加速运

动的加速度 速度

a1?f/m??g?4m/s2，木板在拉力F和滑动摩擦力f作用下向右匀加速运动的加

，使m能从M上面滑落下来的条件是

a2?(F?f)/Ma2?a1，即

(F?f)/M?f/m解得F??(M?m)g?20NF=22.8N，木板的加速度

，（2）设m在M上滑动的时间为t，当恒力

a2?(F?f)/M?4.7m/s2 ），小滑块在时间t内运动位移

，因

S1?a1t2/2，木板在时间t内运动位移

S2?a2t2/2S2?S1?L 即

4.7t2/2?4t2/2?1.4解得t?2s

例5．长为1.5m的长木板B静止放在水平冰面上，小物块A以某一初速度从木板B的左端滑上长木板B，

直到A、B的速度达到相同，此时A、B的速度为0.4m/s，然后A、B又一起在水平冰面上滑行了8.0cm后停下．若小物块A可视为质点，它与长木板B的质量相同，A、B间的动摩擦因数μ1=0.25．求：（取g=10m/s2）

（1）木块与冰面的动摩擦因数． （2）小物块相对于长木板滑行的距离．

（3）为了保证小物块不从木板的右端滑落，小物块滑上长木板的初速度应为多大？ 解析：（1）A、B一起运动时，受冰面对它的滑动摩擦力，做匀减速运动，加速度

v A B v2a??2g??1.0m/s2 解得木板与冰面的动摩擦因数μ2=0.10（2）小物块A在长木板上受

2s木板对它的滑动摩擦力，做匀减速运动，加速度a1=μ1g=2.5m/s2

。

小物块A在木板上滑动，木块B受小物

。

块A的滑动摩擦力和冰面的滑动摩擦力，做匀加速运动，有μ1mg－μ2(2m)g=ma2 解得加速度a2=0.50m/s2

设小物块滑上木板时的初速度为v10，经时间t后A、B的速度相同为v，由长木板的运动得v=a2t，解得滑

行时间t?v?0.8s，小物块滑上木板的初速度 v10=v＋a1t=2.4m/s，小物块A在长木板B上滑动的距离a2为?s?s1?s211?v01t?a1t2?a2t2?0.96m（3）小物块A滑上长木板的初速度越大，它在长木板

22B上相对木板滑动的距离越大，当滑动距离等于木板长时，物块A达到木板B的最右端，两者的速度相等（设为v′)，这种情况下A的初速度为保证不从木板上滑落的最大初速度，设为v0．有

11v0t?a1t2?a2t2?L，v0?v??a1t22v??a2t，由以上三式解得，为了保证小物块不从木板的

右端滑落，小物块滑上长木板的初速度不大于最大初速度v0?2(a1?a2)L?3.0m/s

2 传送带问题

突破方法是灵活运用“力是改变物体运动状态的原因”这个理论依据，对物体的运动性质做出正确分析，判断好物体和传送带的加速度、速度关系，能够明确对于物块来说当它的速度达到和传送带速度相等时是摩擦力方向、大小改变的转折点。画好草图分析，找准物体和传送带的位移及两者之间的关系。

解决这类题目的方法如下：选取研究对象，对所选研究对象进行隔离处理，就是一个化难为易的好办法。对轻轻放到运动的传送带上的物体，由于相对传送带向后滑动，受到沿传送带运动方向的滑动摩擦力作用，决定了物体将在传送带所给的滑动摩擦力作用下，做匀加速运动，直到物体达到与皮带相同的速度，不再受摩擦力，而随传送带一起做匀速直线运动。传送带一直做匀速直线运动，要想再把两者结合起来看，则需画一运动过程的位移关系图就可让学生轻松把握。总之就是物体只要上了传送带就是想和传送带达到共同的速度，至于能否达到要看实际条件。简化一下即为：①研究物块的加速度；②画出运动过程示意图；③找出物体运动的时间关系、速度关系、位移关系以及传送带的位移关系；④建立方程，求解结果，必要时进行讨论。

滑块与传送带相互作用的滑动摩擦力，是参与改变滑块运动状态的重要原因之一。其大小遵从滑动摩擦力的计算公式，与滑块相对传送带的速度无关，其方向取决于与传送带的相对运动方向，滑动摩擦力的方向改变，将引起滑块运动状态的转折，这样同一物理环境可能同时出现多个物理过程。因此这类命题，往往具有相当难度。 滑块与传送带等速的时刻，是相对运动方向及滑动摩擦力方向改变的时刻，也是滑块运动状态转折的临界点。按滑块与传送带的初始状态，分以下几种情况讨论。

点评：处理水平传送带问题，首先是要对放在传 送带上的物体进行受力分析，通过比较物体初速度 与传送带的速度的关系，分清物体所受的摩擦力是 动力还是阻力；其次是分析物体的运动状态，即对静 态— 动态— 终态做分析和判断，对其全过程做出

合理的分析、推断，进而用相关的物理规律求解．一、滑块初速为0，传送带匀速运动

[例1]如图所示，长为L的传送带AB始终保持速度为v0

C 的水平向右的速度运动。今将一与皮带间动摩擦因数为μ的A B 滑块C，轻放到A端，求C由A运动到B的时间tAB

解析：“轻放”的含意指初速为零，滑块C所受滑动摩擦力方向向右，在此力作用下C向右做匀加速运动，如果传送带够长，当C与传送带速度相等时，它们之间的滑动摩擦力消失，之后一起匀速运动，如果传送带较短，C可能由A一直加速到B。

滑块C的加速度为

，设它能加速到为

时向前运动的距离为

。

若 若

，C由A一直加速到B，由

，C由A加速到

用时

。

距离内以

，前进的距离

速度匀速运动

。

C由A运动到B的时间

[例2]如图所示，倾角为θ的传送带，以

的恒定速度按图示

A 方向匀速运动。已知传送带上下两端相距L今将一与传送带间动摩擦因数为μ的滑块A轻放于传送带上端，求A从上端运动到下端的时间t。

解析：当A的速度达到滑的加速度

时是运动过程的转折点。A初始下

若能加速到

。

（1）若

。

（2）若 之后 （a）若

，A下滑到速度为

用时

。A从上端一直加速到下端

θ ，下滑位移（对地）为

距离内摩擦力方向变为沿斜面向上。又可能有两种情况。

，A达到

后相对传送带停止滑动，以

速度匀速，

总时间

（b）若 末端速度 用时

，A达到

后相对传送带向下滑，

，到达

总

时间

２ 倾斜的传送带

情景一：如图４（ａ）所示，传送带顺时针匀速运

行，且足够长．现将物体轻轻放在传送带上的Ａ 端，

物体经过一段时间运动到另一端Ｂ 点． 分析：将物块轻轻放在传送带上后，物块所受滑 动摩擦力方向沿斜面向下，受力情况如图３（ｂ）所 示，物块将做匀加速直线运动．当速度达到ｖ 后，如 果ｍｇｓｉｎθ＞ｆ，将继续向下加速运动，直到运动至Ｂ 点．如果ｍｇｓｉｎθ ≤ｆ，物块将随传送带一起匀速运 动至Ｂ 点，物块受力情况如图４（ｂ）所示．

图４

二、滑块初速为0，传送带做匀变速运动

[例3]将一个粉笔头轻放在以2m/s的恒定速度运动在足够长C A B 的水平传送带上后，传送带上留下一条长度为4m的划线。若使

该传送带仍以2m/s的初速改做匀减速运动，加速度大小恒为

1.5m/s2，且在传送带开始做匀减速运动的同时，将另一粉笔头（与传送带的动摩擦因数和第一个相同）轻放在传送带上，该粉笔头在传送带上能留下一条多长的划线？

解析：在同一v-t坐标图上作出两次划线粉笔头及传送带的

v 速度图象，如图所示。第一次划线。传送带匀速，粉笔头匀加

传送带 速运动，AB和OB分别代表它们的速度图线。速度相等时（Bv0 点），划线结束，图中

的面积代表第一次划线长度

，即B点坐标为（4，2），粉笔头的。

v1 0 粉笔头 t t1 t2 t3

加速度

第二次划线分两个AE代表传送带的速度图线，它的加速度为

可算出E

点坐标为（4/3，0）。OC代表第一阶段粉笔头的速度图线，C点表示二者速度相同，

即C点坐标为（1，0.5）该阶段

粉笔头相对传送带向后划线，划线长度。等速后，粉笔头

超前，所受滑动摩擦力反向，开始减速运动， 由于传送带先减速到0，所以后来粉笔头一直匀减速至静止。CF代表它在第二阶段的速度图线。可求出F点坐标为（2，0）此阶段粉笔头相对传送带向前划线，长度

。可见粉笔头

相对传送带先向后划线1m，又折回向前划线1/6m，所以粉笔头在传送带动能留下1m长的划线。

【例题４】倾角为θ的传送带ＡＢ 段足够长，且长 为Ｌ，以匀速率ｖ沿顺时针方向运行，如图６所示．若 将一个质量为ｍ 的小物块轻轻放在传送带的Ａ 端． 若物块与传送带间的滑动摩擦因数为μ，则把物块 从Ａ 端运动到Ｂ 端，电动机为此而多做的功是多

少？（不计轮轴处的摩擦）

解：设物块做匀加速运动的加速度为ａ，由牛顿 运动定律得到

μｍｇｃｏｓθ－ｍｇｓｉｎθ＝ｍａ ａ＝ｇ（μｃｏｓθ－ｓｉｎθ）

加速阶段的位移为

ｘ１＝ｖ２ ２ａ

传送带在此时间内通过的位移为

ｘ２＝ｖ ｔ１＝ｖ２ ａ

此过程产生的热量

Ｑ＝ｆ（ｘ２－ｘ１）＝ｆ ｖ２ ２ａ ＝ μｍｇｖ２ｃｏｓθ ２ｇ（μｃｏｓθ－ｓｉｎθ）

物块从Ｂ 点到Ａ 点机械能的增加量为 ΔＥ＝ｍｖ２

２ ＋ｍｇＬｓｉｎθ

把物块从Ｂ端运动到Ａ 端电动机为此而多做的功是 Ｗ ＝Ｑ＋ΔＥ＝ μｍｇｃｏｓθｖ２

２ｇ（μｃｏｓθ－ｓｉｎθ）＋ｍｖ２ ２ ＋ｍｇＬｓｉｎθ

点评：处理倾斜传送带问题，也要先对物体进行 受力分析，再判断摩擦力的大小和方向．这类问题特 别要注意，若传送带匀速运行，则不管物体的运动状

态如何，物体与传送带间的摩擦力都不会消失．三、传送带匀速运动，滑块初速与传送带同

向

[例4]如图所示，AB是一段位于竖直平面内的光滑轨道，高度为h，末端B处的切线方向水平。一个质量为m的小物体P从轨道顶端A处由静止释

A 放，滑到B端后飞出，落到地面上的C点，轨迹如图中虚线BC所示。已知它落地时相对于B点的水平位移OC=l。现在轨道下方紧贴B点安一水平传送带，传送带的右端与B距离B 为l/2。当传送带静止时，让P再次从A点由静止释放，它离开轨道并在传送带上滑行后从右端水平飞出，仍然落在地面

C 的C点。当驱动轮转动带动传送带以速度v匀速向右运动时

（其它条件不变）。P的落点为D。不计空气阻力。

（1）求P与传送带之间的动摩擦因数μ。

（2）求出O、D间距离S随速度v变化函数关系式

解析：这是一道滑块平抛与传送带结合起来的综合题。（1）没有传送带时，物体离开B点作平抛运动

当B点下方的传送带静止时，物体离开传送带右端作平抛运动，时间仍为t，有

由以上各式得

。

由动能定理，物体在传送带动滑动时，有

。

（2）当传送带的速度

时，物体将会在传送带上作一段匀变速运动。若尚未

到达传送带右端，速度即与传送带速度相同，此后物体将做匀速运动，而后以速度v离开传送带。v的最大值

为物体在传送带动一直加速而达到的速度。

把μ代入得

若

。物体将以

离开传送带，得O、D距离

S= 当

，即

时，物体从传送带飞出的速度为v，

综合上述结果S随v变化的函数关系式

求解本题的关键是分析清楚物体离开传送带的两个极值速度：在传送带上一直匀减速至右端的最小速度

，及在传送带上一直匀加速至右端的最大速度

。以此把传送带速度

v划分为三段。才能正确得出S随v 的函数关系式。

四、传送带匀速运动，滑块初速与传送带速度方向相反

[例5]如图所示，一水平方向足够长的传送带以恒定的速度 带右端一与传送带等高的光滑水平面。一物体以恒定的速率 经过一段时间又返回光滑水平面，速率为

A、只有 B、 若 C、若

= > <

时才有 ，则 ，则

= =

=

=

沿顺时针方向传动，传送沿直线向左滑向传送带后，

。则下列说法正确的是：

D、 不管 多大，总有

解析：滑块向左运动时所受滑动摩擦力必然是向右。返回时开始阶段滑块速度小于传送带速度，所受摩擦力仍向右，滑块向右加速。若它能一直加速到右端，速度 提是传送带速度一直大于滑块速度，即

。若

<

=

，前

，则返回加速过程中，

<

到不了最右端滑块速度就与传送带速度相等了，之后以 时，

组合类的传送带问题

速度匀速到达右端，即

=

，所以正确选项为B、C。

1．如图所示的传送皮带，其水平部分AB长sAB=2m，BC与水平面夹角θ=37°，长度sBC

M

3、如图所示，长木板A在光滑的水平面上向左运动，vA＝1．2m／s．现有小物体B(可看

作质点)从长木板A的左端向右水平地滑上小车，vB＝1．2m／s，A、B间的动摩擦因数是0．1，B的质量是A的3倍．最后B恰好未滑下A，且A，B以共同的速度运动，g=10m／s2．求：

(1)A，B共同运动的速度的大小； (2)A向左运动的最大位移；

(3)长木板的长度． 4、如图，一质量为M=3kg的长方形木板B放在光滑水平地面上，在其右端放一质量m=1kg的小木块A。现以地面为参考系，给A和B以大小均为4.0m/s方向相反的初速度，使A开始向左运动，B开始向右运动，，但最后A并没有滑离B板。站在地面的观察者看到在一段时间内小木板A正在做加速运动，则在这段时间内的某时刻木板B相对地面的速度大小可能是 （ ）

A.2.4m/s B.2.8m/s C.3.0m/s D.1.8m/s v B

5、如图所示，长木板B静止在光滑水平面上，其右端静止放有物块C。另一个物块A以一

定水平初速度v从左端冲上B。已知A、C与B上表面间的动摩擦因数均为μ（认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。A、B、C的质量比为4∶2∶1，则A冲上B后瞬间A、B、C的加速度大小之比为

v A．4∶2∶1 B．1∶2∶4 A C B C．1∶1∶1 D．2∶3∶2

6、一块足够长的木板C质量2m，放在光滑的水平面上，如图所示。在木板上自左向右放

有A、B两个完全相同的物块，两物块质量均为m，与木板间的动摩擦因数均为μ。开始时木板静止不动，A、B两物块的初速度分别为v0、2v0，方向如图所示。试求：⑴木板能获的最大速度。⑵A物块在整个运动过程中最小速度。⑶全过程AC间的摩擦生热跟BC间的摩擦生热之比是多少？ v0 2v0 B A 7、如图所示，在光滑的水平面上停放着一辆平板车C，在车上的左端放有一木块BC。车左边紧邻一个固定在竖直面内、半径为R的1/4圆弧形光滑轨道，已知轨道底端的切线水平，

且高度与车表面相平。现有另一木块A（木块A、B均可视为质点）从圆弧轨道的顶端由静止释放，然后滑行到车上与B发生碰撞。两木块碰撞后立即粘在一起在平板车上滑行，并与固定在平板车上的水平轻质弹簧作用后被弹回，最后两木块刚好回到车的最左端与车保持相对静止。已知木块A的质量为m，木块B的质量为2m，小车C的质量为3m，重力加速度为g，设木块A、B碰撞的时间极短可以忽略。求：⑴木块A、B碰撞后的瞬间两木块共同运动速度的大小。⑵木块A、B在车上滑行的整个过程中，木块和车组成的系统损失的机械能。⑶弹簧在压缩过程中所具有的最大弹性势能。 A O B C A v

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