第八周平面向量集体备课

第二章 平面向量

1.课程目标

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。 2学习目标

（1） 通过力和力的分析，了解向量的实际背景，理解平面向量和向

量相等的含义，理解向量的几何表式

（2） 通过实例，掌握向量加减法的运算，并理解其几何意义 （3） 通过实例，掌握向量数乘运算，并理解其几何意义，以及两个

向量共线的含义

（4） 了解向量的线性运算性质极其几何意义 （5） 了解向量的基本定理及其意义 （6） 了解平面向量的正交分解极其坐标表示 （7） 会用坐标表示平面向量的加、减法与数乘运算 （8） 理解用坐标表示的平面向量共线的条件

（9） 通过物理中功的实例，理解平面向量数量级的含义极其物理意

义

（10） 体会平面向量数量积与向量投影的关系

（11） 掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算

（12） 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个

平面向量的垂直关系。

（13） 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题

与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。 知识点归纳 一. 向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：

???①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c……来表示，或用

?aABAB有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法 ，；

?a坐标表示法?xi?yj?(x,y) 向量的大小即向量的模（长度），记作

?a|AB|即向量的大小，记作｜｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

??②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向

???0aa?量平行零向量＝｜｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平

行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量为单位向量?｜｜＝1?a0?a0

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量??记作a∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总

可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以

??重合，记为a?b大小相等，方?x1?x2??(x1,y1)?(x2,y2)?y1?y2 2向量加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法 ?AB?a,BC?ba设，则+b=AB?BC=AC ?????0（1）?a?a?0?a；

（2）向量加法满足交换律与结合律；

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

AB?BC?CD??PQ?QR?AR，但这时必须“首尾相连”．

3向量的减法

??aa ① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量

??a记作,零向量的相反向量仍是零向量

????????(?a)关于相反向量有： （i）=a； (ii) a+(?a)=(?a)+a=0； ?????????(iii)若a、b是互为相反向量，则a=?b,b=?a,a+b=0 ????②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，

????记作：a?b?a?(?b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法 ??????③作图法：a?b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）

4实数与向量的积：

??aa①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规

定如下： （Ⅰ）

?a???a??；

???（Ⅱ）当??0时，λa的方向与a的方向相同；当??0时，λa的

???方向与a的方向相反；当??0时，?a?0，方向是任意的

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：

????向量b与非零向量a共线?有且只有一个实数?，使得b=?a

6平面向量的基本定理：

??e如果1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的?????,?a??e??ea1122，其中不共线的任一向量，有且只有一对实数12使：

??e向量1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意:

（1）向量的加法与减法是互逆运算

（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件

（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况 （4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往

会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点 二. 平面向量的坐标表示

1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向

相同的两个单位向量i,j作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a?xi?yj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标 (1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位

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