概率论与数理统计习题解答

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第一章 第1页 (共62页)

第一章 随机事件及其概率

1. 写出下列随机试验的样本空间：

（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；

（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；

（4）测量一汽车通过给定点的速度. 解 所求的样本空间如下

（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1}

（3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0}

2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生；

（2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生； （4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生；

（6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下

(1)ABC

(2)ABC(3)ABC(4)ABC(6)A?B?C

(5)ABC(7)AB?BC?AC(8)AB?BC?CA3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生

是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB 表示什么？

（2）在什么条件下ABC=C成立？ （3）在什么条件下关系式C?B是正确的？ （4）在什么条件下A?B成立？

解 所求的事件表示如下

（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立.

（3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C?B是正确的. （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A?B成立.

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第一章 第2页 (共62页)

4．设P(A)＝0.7，P(A－B)＝0.3，试求P(AB)

解 由于 A?B = A – AB, P(A)=0.7 所以

P(A?B) = P(A?AB) = P(A)??P(AB) = 0.3, 所以 P(AB)=0.4, 故 P(AB) = 1?0.4 = 0.6.

5. 对事件A、B和C，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝ ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)=

求A、B、C中至少有一个发生的概率. 解 由于ABC?AB,P(AB)?0,故P(ABC) = 0

则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) ????0?0??0?141 8111444185 8

6. 设盒中有α只红球和b只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A＝{两球颜色相同}， B＝{两球颜色不同}.

解 由题意，基本事件总数为Aa?b，有利于A的事件数为Aa?Ab，有利于B的事件数为AaAb?AbAa?2AaAb,

2Aa?Ab2则 P(A)?2Aa?b112AaAbP(B)?2

Aa?b111111222

7. 若10件产品中有件正品，3件次品,

（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率； （2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解 （1）设A={取得三件次品} 则

33C3A316或者P(A)?3? P(A)?3?.

C10120A10720（2）设B={取到三个次品}, 则

3327 P(A)?3?.

101000

8. 某旅行社100名导游中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，

9人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求： （1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率； （2）此人只会讲法语的概率.

解 设 A={此人会讲英语}, B={此人会讲日语}, C={此人会讲法语}

根据题意, 可得

(1) P(ABC)?P(AB)?P(ABC)?

(2) P(ABC)?P(AB)?P(ABC)

32923 ??100100100?P(A?B)?0?1?P(A?B) ?1?P(A)?P(B)?P(AB)

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?1?43353254 ???100100100100

9. 罐中有12颗围棋子，其中8颗白子4颗黑子，若从中任取3颗，求： （1） 取到的都是白子的概率；

（2） 取到两颗白子，一颗黑子的概率；

（3） 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率； （4） 取到三颗棋子颜色相同的概率. 解

(1) 设A={取到的都是白子} 则

C8314?0.255. P(A)?3?C1255 (2) 设B={取到两颗白子, 一颗黑子}

1C82C4?0.509. P(B)?3C12 (3) 设C={取三颗子中至少的一颗黑子} P(C)?1?P(A). 4 ?0.7 (4) 设D={取到三颗子颜色相同}

3C83?C4?0.273. P(D)?3C12 10. （1）500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)？ （2）6个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解

(1) 设A = {至少有一个人生日在7月1日}, 则

364500?0.746 P(A)?1?P(A)?1?500365 (2)设所求的概率为P(B)

41C6?C1?1122?0.0073 P(B)?126

11. 将C，C，E，E，I，N，S 7个字母随意排成一行，试求恰好排成SCIENCE的

概率p. 解 由于两个C，两个E共有A2A2种排法，而基本事件总数为A7，因此有

22A2A2?0.000794 p?7A7227

12. 从5副不同的手套中任取款4只，求这4只都不配对的概率.

解 要4只都不配对，我们先取出4双，再从每一双中任取一只，共有C5?2中取法. 设A={4只手套都不配对}，则有

44C54?2480P(A)?4?

210C10

13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第i只零件是不合格的概

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率为pi?少？

1 ，i=1，2，3，若以x表示零件中合格品的个数，则P(x=2)为多1?i1 1?i解 设Ai = {第i个零件不合格}，i=1,2,3, 则P(Ai)?pi?所以 P(Ai)?1?pi?i 1?iP(x?2)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)

由于零件制造相互独立，有：

P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)，P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3) P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)

11112111311 所以,P(x?2)??????????23423423424

14. 假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求

两次独立射击至少有一次命中目标的概率p.

解 设A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，Bi ={第i次击中目标}, i=1,2.

则 P(A)=0.7, P(Bi|A)=0.6 另外 B=B1+B2，由全概率公式

P(B)?P(AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(B|A) ?P(A)P((B1?B2)|A)另外, 由于两次射击是独立的, 故

P(B1B2|A)= P(B1|A) P(B2|A) = 0.36 由加法公式

P((B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A)－P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84

因此

P(B)= P(A)P((B1+B2)|A)=0.7×0.84 = 0.588

15. 设某种产品50件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为0.35，有1，2，

3，4件次品的概率分别为0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取10件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率.

解 设Ai ={一批产品中有i件次品}，i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取10件检查出一件次品},

C={产品中次品不超两件}, 由题意

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P(B|A0)?0

19C1C491P(B|A1)??10C505P(B|A2)?CCC129481050?1649

19C3C4739P(B|A3)??10C509819C4C46988P(B|A1)??10C502303由于 A0, A1, A2, A3, A4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式 P(B)??PA(iP)B(Ai|?)i?040. 196由Bayes公式

P(A0)P(B|A0)?0P(B) P(A1)P(B|A1)P(A1|B)??0.255P(B)P(A2)P(B|A2)P(A2|B)??0.333P(B)P(A0|B)?故

P(C)??P(Ai|B)?0.588

i?02

16. 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率分

别为0.8，0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）.

解 设B={三件都是好的}，A1={损坏2%}, A2={损坏10%}, A1={损坏90%}，则A1, A2, A3是两两互斥, 且A1+ A2 +A3=Ω, P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A2)=0.05.

因此有 P(B| A1) = 0.983, P(B| A2) = 0.903, P(B| A3) = 0.13, 由全概率公式

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)i?13

?0.8?0.983?0.15?0.903?0.05?0.103?0.8624由Bayes公式, 这批货物的损坏率为2%, 10%, 90%的概率分别为

P(Ai)PB(A|iP(A1|B)?P(B))0.8?0.398??0.87310.8624

P(Ai)PB(A|iP(A2|B)?P(B)P(Ai)PB(A|iP(A3|B)?P(B) )0.1?50.390??0.12680.8624)0.0?50.310??0.00010.8624由于P( A1|B) 远大于P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为0.2.

17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只残

次品，且含0，1和2件残次品的箱各占80%，15%和5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残

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次品，试求：

（1）一次通过验收的概率α；

（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β.

解 设Hi={箱中实际有的次品数}, i?0,1,2, A={通过验收}

则 P(H0)=0.8, P(H1)=0.15, P(H2)=0.05, 那么有：

P(A|H0)?1,4C235P(A|H1)?4?,C2464C2295P(A|H2)?4?C24138

(1)由全概率公式

??P(A)??P(Hi)P(A|Hi)?0.96

i?02(2)由Bayes公式 得

??P(Hi|A)?P(H0)P(A|H0)0.8?1??0.83

P(A)0.9618. 一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被

使用的概率为0.1，问在同一时刻

（1）恰有两台设备被使用的概率是多少？ （2）至少有三台设备被使用的概率是多少？

解 设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是5重伯努利试验. 由题意，有p=0.1, q=1?p=0.9, 故

223(1) P 1?P5(2)?C5(0.1)(0.9)?0.0729(2) P2?P 5(3)?P5(4)?P5(5)35?C5(0.1)3(0.9)2?C54(0.1)4(0.9)1?C5(0.1)5(0.9)0?0.00856

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第二章 随机变量及其分布

1. 有10件产品，其中正品8件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数X的分律. 解 X的分布率如下表所示：

X 0 1 2 p 28/45 16/45 1/45

2. 进行某种试验，设试验成功的概率为

31，失败的概率为，以X表示试验首次成功所44需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.

解 X的分布律为：

?1?P(X?k)????4?k?1?3???,k?1,2,3,? ?4?2k?1X取偶数的概率：

?1??3?P{X为偶数}??P(X?2k)???????4?k=1k=1?4? k1?1?1??3????3?16?51?1k=1?16?163. 从5个数1，2，3，4，5中任取三个为数x1,x2,x3.求：

X＝max (x1,x2,x3)的分布律及P(X≤4)； Y＝min (x1,x2,x3)的分布律及P(Y>3). 解 基本事件总数为：C5?10， (1)X的分布律为：

X 3 4 5

p 0.1 0.3 0.6

P(X≤4)=P(3)+P(4)=0.4 (2)Y的分布律为

Y 1 2 3

p 0.6 0.3 0.1

P(X>3) =0

4. C应取何值，函数f(k) =C3???kk!，k＝1，2，?，λ>0成为分布律？

解 由题意,

?f(x)?1, 即

k?1?

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?Ck?1??kk!?C?k?1??k???k?0???C?????C(e?1)?1 k!?k?0k!0!?解得：C?1

(e??1)

5. 已知X的分布律 X

P

－1 1 2

3126 6

6

1?3?? 求：（1）X的分布函数；（2）P?；（3）X?P1?X?????. 2?2???解 (1) X的分布函数为F(x)?P(X?x)?xk?x?pk

?0,?1/6,? F(x)???1/2,??1,(2) P?X?x??1??1x?1?x?2x?2;

1??1?1 ?P(X??1)??2?63???P(?)?0 2?(3) P?1?X???6. 设某运动员投篮投中的概率为P＝0.6，求一次投篮时投中次数X的分布函数，并作出

其图形.

解 X的分布函数 F(x) 0 1 x

7. 对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为p，求：

（1）三次射击中恰好命中两次的概率；

（2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的概率是多少？ 解 设A={三次射击中恰好命中两次}，B=目标被击毁，则 (1) P(A) =P3(2)?C3p(1?p)22223?2?0?F(x)??0.6?1?x?00?x?1 x?11 0.6 ?3p2(1?p)

3?2(2) P(B) =P3(2)?P3(3)?C3p(1?p)?C33p3(1?p)3?3?3p2?2p3

8. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：

（1）每分钟恰有6次呼唤的概率；

（2）每分钟的呼唤次数不超过10次的概率. 解

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第9页 (共62页)

(1) P(X=6) =

P(X=6) =

?kk!e???kk!e??46?4?e?0.104或者 6!?4k?4?4k?4??e??e= 0.21487 – 0.11067 = 0.1042. k?6k!k?7k!?4k?44k?4(2) P(X≤10)??e?1??e?1?0.00284 = 0.99716

k?0k!k?11k!10

9. 设随机变量X服从泊松分布，且P(X＝1)＝P(X＝2)，求P(X＝4) 解 由已知可得，

?11!2!解得λ=2， (λ=0不合题意)

24?2= 0.09

因此,P(X?4)?e4!e????2e??,

10. 商店订购1000瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为0.003，求商店收到的玻璃

瓶，（1）恰有两只；（2）小于两只；（3）多于两只；（4）至少有一只的概率.

解 设X={1000瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数}，则X服从参数为n=1000, p=0.003的二项分布，即X~B(1000, 0.003), 由于n比较大，p比较小，np=3, 因此可以用泊松分布来近似, 即X~π(3). 因此

32?3 (1) P(X=2) ?e?0.224

2!k3(2)P(X?2)?1?P(X?2)?1??e?3?1?0.8008?0.1992 k?2k!?3k?3(3)P(X?2)?P(X?2)??e?0.5768

k?3k!?3k?3(4)P(X?1)??e?0.9502

k?1k!

11. 设连续型随机变量X的分布函数为

x?0?0,?F(x)??kx2,0?x?1

?1,x?1?求：（1）系数k；（2）P(0.25

F(x)=P(X≤x)=P(X<0)+P(0≤X≤x)=kx2 又F(1) =1, 所以k×12=1

?因此k=1.

(2) P(0.25

?2x,0?x?1 f(x)?F'(x)??0,Other? (4) 由(2)知，P(0.25

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第10页 (共62页)

3 P{四次独立试验中有三次在(0.25, 0.75)内} = C40.53(1?0.5)4?3?0.25.

12. 设连续型随机变量X的密度函数为

k?,x?1? F(x)??1?x2?0,x?1?1?；求：（1）系数k；（2）P?X???（3）X的分布函数. 2??解 (1)由题意，

?????f(x)dx?1, 因此

?????f(x)dx??11?1?k1?x2d?x1akrcsinx??k?1?1

解得: k? (2) P?x????1/21?????11?1/2k1?dx?arcsinx???? ???1/2?2?1/2??66?32??1?x (3) X的分布函数

?0x?F(x)??f(x)dx??1/2?arcsinx/? ???1?解得: k?1/?

x??1?1?x?1x?1

13. 某城市每天用电量不超过100万千瓦时，以Z表示每天的耗电率(即用电量除以100万

千瓦时)，它具有分布密度为

?12x(1?x)2,0?x?1 F(x)??其他?0,若该城市每天的供电量仅有80万千瓦时，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量为90万千瓦时又是怎样的？

解 如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：

P(Z>80/100)=P(Z>0.8)=?12x(1?x)2dx?0.0272

0.81 如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：

P(Z>90/100)=P(Z>0.9)=?12x(1?x)2dx?0.0037

0.91

14. 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位 小时)都服从同一指数分

布，分布密度为

x?1600e,0?x ?F(x)??600?0,0?x?试求在仪器使用的最初200小时以内，至少有一只电子元件损坏的概率.

解 设X表示该型号电子元件的寿命，则X服从指数分布，设A={X≤200}，则

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第11页 (共62页)

x1??1600 P(A)=

?0600edx?1?e3

设Y={三只电子元件在200小时内损坏的数量}，则所求的概率为：

2001 P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?CP(A)?(1PA())??1e3(? )?1e

215. 设X为正态随机变量，且X～N(2，?)，又P(2

?2?2X?24?2??2? P(2?X?4)?P 3??????00.???????????????030?30?13即???2???0.3?0.5?0.8 ???X?20?2???2??2?故 P(X?0)?P?????????1?????0.2

??????????

16. 设随机变量X服从正态分布N(10，4)，求a，使P(|X－10|

?aX?10a? 解 由于P?|X?10|?a??P??a?X?10?a??P??????222??a???a??a?????????2?????1?0.9

?2??2??2??a?所以????0.95

?2?a 查表可得， =1.65

2即 a = 3.3

17. 设某台机器生产的螺栓的长度X服从正态分布N(10.05，0.062)，规定X在范围(10.05

±0.12)厘米内为合格品，求螺栓不合格的概率. 解 由题意，设P为合格的概率，则

P?P(|X?10.0?5|0.?12P)???0.X?12X?10.05? ??10.05?P?0.?122????0.06??2??(2)??(?2)?2?(2)?1?2?0.9772?1?0.9544

则不合格的概率=1?P = 0.0456

18. 设随机变量X服从正态分布N(60，9)，求分点x1，x2，使X分别落在(－∞，x1)、(x1，

x2)、(x2，+∞)的概率之比为3:4:5. 解 由题，

x1?603?X?60x1?60?P(X?x1)?P??)??0.25???(3?33?4?5 ?3x?60x?60?(?1)?1??(1)?0.75,33查表可得

?x1?60?0.67 3 解得, x1 = 57.99

x2?603?4?X?60x2?60?又P(X?x2)?P????()??0.5833 ?3?33?4?5?3

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第12页 (共62页)

查表可得

x2?60?0.21 3解得, x2 =60.63.

19. 已知测量误差X（米）服从正态分布N(7.5, 102)，必须进行多少次测量才能使至少有一

次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.98？

解 设一次测量的误差不超过10米的概率为p, 则由题可知

??10?7.5X?7.5?10?7.5p?P(X?10?)P???? 101010????(0.25?)??(1.?7?5)?(0.?2?5)1?(1.7?5)?0.59?87558610.95990.设 Y为n次独立重复测量误差不超过10米出现的次数，则Y~B(n, 0.5586) 于是 P(Y≥1)=1?P(X=0)=1?(1?0.5586)n≥0.98 0.4414n≤0.02, n≥ln(0.02)/ln(0.4414) 解得：n≥4.784

取n=5, 即，需要进行5次测量.

20. 设随机变量X的分布列为 X －2 0 2 3

P

117 7

7

3

27

试求：（1）2X的分布列；（2）x2的分布列. 解 (1) 2X的分布列如下

(2) x2的分布列

21. 设X服从N(0，1)分布，求Y＝｜X｜的密度函数.

?x,解 y=|x|的反函数为h(y)=???x,x?0x?0, 从而可得Y=|X|的密度函数为：

?y1e2?2?22X -4 0 4 6 p 1/7 1/7 3/7 2/7 X2 0 4 9 p 1/7 4/7 2/7 当y>0时，f(y)?f(?y)|(?y)'|?f(y)|y'|?YXX当y≤0时，fY(y)?0

?2?ye2,y?0 因此有 f(y)????Y?0,y?0?2?y1e2?2?22?e?y22

22. 若随机变量X的密度函数为

?3x2,f(x)???0,

0?x?1其他

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第13页 (共62页)

求Y＝

1的分布函数和密度函数. x111 在(0,1)上严格单调，且反函数为 h(y)= , y>1, h’(y)=?2xyy?3??4 ?y

解 y=

?1?1?1??1fY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|?fX???2?3?2??2?y?y?y??y?3,y?14因此有 fY(y)?? y??0,other??y?4?3y?33ydy??y?1?y,?Y的分布函数为：FY(y)???11?0,?

23. 设随机变量X的密度函数为

y?1other

2?,?2f(x)???(1?x)?0,?x?0

x?0yy试求Y＝lnX的密度函数.

解 由于y?lnx严格单调，其反函数为h(y)?e,且h'(y)?e, 则

fY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|?fX(ey)ey2ey ??(1?e2y)2?,???y????(e?y?ey)

24. 设随机变量X服从N(μ,?)分布，求Y＝e的分布密度. 解 由于y?e严格单调，其反函数为h(y)?lny,且h'(y)?,y>0, 则

x2x1yfY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|?fX(lny)?12??ye?12?(lny??)221y

,y?0当y?0时fY(y)?0

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第14页 (共62页)

1?(lny??)2?12e2?,?因此 fY(y)??2??y??0,y?0y?0

25. 假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：Y＝1?e分布. 解

1h(y)??2?2x在区间(0, 1)上服从均匀

由于y?1?eln?(1y?2x在(0, +∞)上单调增函数，其反函数为：

1,)?,y0?

并且h'(y)?1，则当0?y?1

2(1?y)fY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|11 ?fX(?ln(1?y))22(1?y)?2e1?2(?ln(1?y))21?12(1?y)当y≤0或y≥1时，fY(y)=0. 因此Y在区间(0, 1)上服从均匀分布.

26. 把一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中正面出现的次数，Y表示三次中出现正面的

次数与出现反面的次数之差的绝对值，试求（X，Y）的联合概率分布. 解 根据题意可知, (X,Y)可能出现的情况有：3次正面，2次正面1次反面, 1次正面2次反面, 3次反面, 对应的X,Y的取值及概率分别为

312?1??1?P(X=3, Y=3)= P(X=2, Y=1)=C3?????

8?2??2?8?1??1?P(X=1, Y=1)= C?????2??2?133?123? P(X=0, Y=3)= 80 0 1/8 1 3/8 0 2 3/8 0 ?1?1??? ?2?83 0 1/8 3于是，（X，Y）的联合分布表如下：

X Y 1 3

27. 在10件产品中有2件一级品，7件二级品和1件次品，从10件产品中无放回抽取3件，用X表示其中一级品件数，Y表示其中二级品件数，求： （1）X与Y的联合概率分布； （2）X、Y的边缘概率分布； （3）X与Y相互独立吗？

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第15页 (共62页)

解 根据题意，X只能取0，1，2，Y可取的值有：0，1，2，3，由古典概型公式得：

iC2C7jC1k(1) pij?P(X?i,Y?j)?,其中,i?j?k?3,i?0,1,2,j?0,1,2,3 3C10

k?0,1,可以计算出联合分布表如下

Y X 0 1 2 0 0 0 1/120 1 0 2 3 pi? 21/120 35/120 56/120 14/120 42/120 0 56/120 7/120 0 0 8/120 p?j

1/120 21/120 63/120 35/120 (2) X,Y的边缘分布如上表

(3) 由于P(X=0,Y=0)=0, 而P(X=0)P(Y=0)≠0, P(X=0,Y=0)≠P(X=0)P(Y=0), 因此X,Y不相互独立.

28. 袋中有9张纸牌，其中两张“2”，三张“3”，四张“4”，任取一张，不放回，再任取

一张，前后所取纸牌上的数分别为X和Y，求二维随机变量(X, Y)的联合分布律，以及概率P(X＋Y>6)

解 (1) X,Y可取的值都为2,3,4, 则(X,Y)的联合概率分布为：

Y X 2 3 4 2 2A2/A92?1/36 3 11A2A3/A92?1/12 4 11A2A4/A92?1/9 pi? 2/9 11A3A2/A92?1/12 11A4A2/A92?1/9 A32/A92?1/12 11A4A3/A92?1/6 11C3C4/A92?1/6 1/3 2A4/A92?1/6 4/9 p?j

2/9 1/3 4/9 (2) P(X+Y>6) = P(X=3, Y=4) + P(X=4, Y=3) + P(X=4,Y=4)

=1/6+1/6+1/6=1/2.

29. 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合分布函数为

x??y??F(x,y)?A?B?arctan??C?arctan?,

2??3??求：（1）系数A、B及C； （2）(X, Y)的联合概率密度； （3）X，Y的边缘分布函

数及边缘概率密度；（4）随机变量X与Y是否独立？

解 (1) 由(X, Y)的性质, F(x, -∞) =0, F(-∞,y) =0, F(-∞, -∞) =0, F(+∞, +∞)=1, 可以得到如下方程组：

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