巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数

初中数学竞赛考点

巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数 河南平顶山市第三高级中学 金小欣 467000

一、 梅涅劳斯（Menelaus）定理简介：

如果一直线顺次与三角形ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于M、N、K三点，则：

AMBNCK

1。 MBNCKA

证明： 过顶点B作AC的平行线与截线交于E，

则有：

AMAKBNBE

， ， MBBENCCK

AMBNCKAKBECK 1 ∴

MBNCKABECKKA

对该定理的几点说明：①证明的方法：过其中一个顶点作其对边的平行线与截线相交，利用“平行线截线段成比例定理”或相似Δ性质，将其中的两个比例式等价转化。②定理的实质：三个比例式的乘积等于1，每一个比例式的三个字母是共线的两个顶点和一个分点；其结构特征为：顶点 分点 ，呈现“首尾相接”；整体看，从某一个顶点出发，最后又回到该顶

分点 顶点

点。③该定理常与“塞瓦定理”结合使用。

二、 梅涅劳斯定理的一个应用例子

题目：在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使|OM|∶|OA|=1∶3，|ON|∶|OB|=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记OA= a，OB=b，用 a，b表示向量OP.

先给出高中常规解法（待定系数法）如下： 解法一：∵ B、P、M共线∴ 记BP=sPM

B

1 s 1 s 1 s

OB OM OB OA b a--------① ∴ OP 1 s1 s1 s3(1 s)1 s3(1 s) 1 t

a b--------② 同理，记AP tPN ，得： OP=1 t4(1 t)

s 19 s 1 t3(1 s) 3 2 2a b ∵ a,b不共线∴ 由①、②得 解之得： ∴ OP

1111 t 8 1 t

3 1 s4(1 t)

上述解法的基本思想是：先设法求出点P分AN、BM的比，理论依据：一个是教材例题的

结论（可作为定理直接使用），一个就是平面向量基本定理。利用该定理中两个系数的唯一性，得到关于s，t的方程。

由于梅涅劳斯定理、塞瓦定理与比例线段、定比分点有着密切联系，故尝试本题能否用这两

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个定理来解决。

解法二：

ΔOAN被直线MPB所截，由梅涅劳斯定理，得：

OMAPNB1AP3

1 即 1 ， MAPNBO2PN4

AP8

∴ ∴ PN3

3 8 3 81 3 2 OP OA ON OA OB OA OB

1111111141111

或者，ΔOBM被直线NPA所截，得：

B

ONBPMA1BP2BP9

1, 1, , NBPMAO3PM3PM2

2 9 2 91 3 2

OB OM OB OA OA OB ∴OP 1111111131111

可见，只要选对了被截的三角形，用梅涅劳斯定理只列一个式子就可以了，非常便利。

三、 用梅涅劳斯定理求解向量线性相关系数的要点总结

以上例为例，经认真思考和实验，其规律性体现为：欲求P分AN之比，则考察PAN 为一边的三角形被直线所截。若去掉线段AB，则截线显然为 MPB

四、 变式练习

（1） 题目条件不变，若延长OP与AB交于点D，求向量PD与a、b的线性关系。

OMADBN

1 ，即： 分析：由“塞瓦定理”得：

MADBNO

1AD3AD2 1 ,∴ ,下面只要求出P分OD

2DB1DB3由三之要点，考察POD所在ΔOAD被直线MPBOMABDP15DP

1 ，即： 1 ， 得：

MABDPO23PO

DP6

. ∴

PO5

6 63 2 18 12 D

OD (OA OB) OA OB 从而，PD 1111555555

（2）题目条件不变，求AP用a、b的表示式。

2 8

OB OA ） （ 答案：AP 1111

可见，用梅涅劳斯定理可快速得到向量线性相关的相关系数，尤其对于选择、填空题，极大

提高了解题速度和质量。

B

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