27.1 图形的相似-2020-2021学年人教版九年级数学下册同步练习

第二十七章 相 似

27.1 图形的相似

1．下列各组图形中，一定相似的是（ ）

A ．任意两个正方形

B ．任意两个平行四边形

C ．任意两个菱形

D ．任意两个矩形

2．下列图形中，与图相似的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

3．将一个四边形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是（ ）

A ．四边形的边长扩大为原来的2倍

B ．四边形的各角扩大为原来的2倍

C ．四边形的周长扩大为原来的2倍

D ．四边形的面积扩大为原来的4倍

4．A 、B 两地的实际距离AB ＝250米，如果画在地图上的距离A ′B ′＝5

厘米，那么地图上的距离与实际基础知识精炼 【知识点1】相似图形 【知识点2】比例线段

距离的比为（ ）

A ．1：500

B ．1：5000

C ．500：1

D ．5000：1

5．如果C 是线段AB 延长线上一点，且AC ：BC ＝3：1，那么AB ：BC 等于（ ）

A ．2：1

B ．1：2

C ．4：1

D ．1：4

6．以下四组线段，成比例的是（ ）

A ．1，2，3，4

B ．2，3，4，5

C ．3，4，6，8

D ．5，6，7，8

7．已知a ，d ，b ，c 依次成比例线段，其中a ＝3cm ，b ＝4cm ，c ＝6cm ，则d

＝ cm ．

8．若a 2=b 3=c

4，且2a +b +c ＝33，则a ﹣b +c ＝ ．

9．两个相似多边形的一组对应边分别是3cm 和4.5cm ，如果它们的周长之和是80cm ，那么较大的多边形的周长是（ ）

A ．16cm

B ．32cm

C ．48cm

D ．52cm

10．两个相似多边形的相似比为4：9，那么它们的周长比为（ ）

A ．2：3

B ．4：9

C ．√2：√3

D ．16：81

11．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，则下列角的度数正确的是（ ）

A ．∠D ＝81°

B ．∠F ＝83°

C ．∠G ＝78°

D ．∠H ＝76°

12．如图，E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD ，BC 的中点．若矩形ABCD 与矩形EABF 相似，AB ＝6，则AD 的长为 ． 【知识点3】相似多边形与性质

13．下列结论中，错误的有：（ ）

①所有的菱形都相似；

②放大镜下的图形与原图形不一定相似；

③等边三角形都相似；

④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；

⑤所有的矩形不一定相似．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 14

．如果x+32=y?13=z?24，且x +y +z ＝18，则2x ﹣y ﹣z 的值为（ ） A ．5 B ．﹣15 C ．10

D ．15 15．已知四条线段a ，b ，c ，d 满足a

b =

c d

，则下列等式一定成立的是（ ） A ．a d =c d

B ．a+c b+d =a

b C ．a 2

b =

c 2

b D ．2a+c

2d+b =a b

16．若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（ ）

A ．6

B ．8

C ．10

D ．12 17．已知x 2=y 3=z 5，且x +2y +3z ＝﹣46，求x ，y ，z 的值． 综合能力提升

18．如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似的图形，点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′、点D与点D′分别是对应顶点，已知数据如图所示，求未知边x、y的长度和角α、β的大小．

19．在AB＝20m，AD＝30m的矩形花坛四周修筑小路．

（1）如果四周的小路的宽均相等，都是x，如图1，那么小路四周所围成的矩形A1B1C1D1和矩形ABCD 相似吗？请说明理由；

（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为x、y，如图2，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形A1B1C1D1和矩形ABCD相似？请说明理由．

参考答案与试题解析

1．解：A 、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，符合题意；

B 、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，不符合题意；

C 、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；

D 、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，不符合题意， 故选：A ．

2．解：观察图形知该图象于D 相似，故D 符合，

故选：D ．

3．解：放大前后的多边形按照比例放大与缩小，因此它们是相似多边形，放大后的倍数就是相似比， ∴选项：A ，C ，D 正确，

故选：B ．

4．解：取米作为共同的长度单位，那么AB ＝250米，A 'B '＝5厘米＝0.05米，

所以A′B′AB =0.05250=15000，

所以地图上的距离与实际距离的比为1：5000．

故选：B ．

5．解：∵AC ：BC ＝3：1，

∴设AC ＝3x ，则BC ＝x ，AB ＝2x ，

则AB ：BC ＝2：1．

故选：A ．

6．解：A 、1：2≠3：4，则不是成比例线段，选项不符合题意；

B 、2：3≠4：5，则不是成比例线段，选项不符合题意；

C 、3：6＝4：8，则是成比例线段，选项符合题意；

D 、5：6≠7：8，则是成比例线段，选项不符合题意． 故选：C ．

7．解：∵a ，d ，b ，c 依次成比例线段，

∴a ：d ＝b ：c ，

∴d =

ac b ， ∵a ＝3cm ，b ＝4cm ，c ＝6cm ，

∴d =

3×64=4.5cm ． 故答案为：4.5．

8．解：设a 2=b 3=c 4=k （k ≠0），则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，

∵2a +b +c ＝33，

∴4k +3k +4k ＝33，

∴k ＝3，

∴a ﹣b +c ＝2k ﹣3k +4k ＝3k ＝3×3＝9；

故答案为：9．

9．解：设较大多边形与较小多边形的周长分别是m ，n ．则

n m =34.5=23． 因而n =23m ．

根据面积之和是80cm2．得到m+2

3m＝80．

解得：m＝48cm．

故选：C．

10．解：∵两个相似多边形的相似比为4：9，

∴两个相似多边形周长的比等于4：9，

故选：B．

11．解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，

∴∠B＝∠F＝78°，∠A＝∠E＝118°，∠C＝∠G＝88°，∴∠D＝360°﹣78°﹣118°﹣88°＝76°．

故选：D．

12．解：∵矩形ABCD与矩形EABF相似，

∴AE

AB

=

AB

AD

，即

1

2

AD

6

=

6

AD

，

解得，AD＝6√2，

故答案为：6√2．

13．解：①：菱形的两组对角不一定分别对应相等，故所有的菱形不一定都相似；即：选项①错误．

②：放大镜下的图形与原图形只是大小不相等，但形状相同，所以它们一定相似；即：选项②错误．

③：等边三角形的三个内角相等，三条边都相等，故所有的等边三角形都相似；即：选项③正确

④：有一个角为110度的两个等腰三角形一定相似．因为它们的顶角均为110°，两锐角均为35°，根

据“两内角对应相等的两个三角形相似”即可判定．故：选项④正确．

⑤：只有长与宽对应成比例的两个矩形相似，故选项⑤正确

故选：B．

14．解：设x+32=y?13=z?24=k ，则x ＝2k ﹣3，y ＝3k +1，z ＝4k +2，

∵x +y +z ＝18，

∴2k ﹣3+3k +1+4k +2＝18，

∴k ＝2，

∴x ＝1，y ＝7，z ＝10，

∴2x ﹣y ﹣z ＝2﹣7﹣10＝﹣15；

故选：B ．

15．解：A 、由已知a b =c d 得ad ＝bc ，故选项不符合题意； B 、根据分式的合比性质，等式一定成立，故选项符合题意；

C 、根据分式的性质可知该等式不成立，故选项不符合题意；

D 、根据分式的合比性质，等式不一定成立，故选项不符合题意． 故选：B ．

16．解：设这个多边形的最短边长为x ，

∵两个多边形相似，

∴246=x 2

， 解得，x ＝8，

故选：B ．

17．解：设x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝5k ，（k ≠0），

∵x +2y +3z ＝﹣46，

∴2k +6k +15k ＝﹣46，

解得：k ＝﹣2，

∴x ＝﹣4，y ＝﹣6，z ＝﹣10．

18．解：在四边形ABCD 中，∠D ＝∠D '＝β＝55°，

∠A ＝α＝360°﹣55°﹣90°﹣60°＝155°，

∵四边形ABCD ∽四边形A 'B 'C 'D '，

∴9x =128=y 10，

∴x ＝6，y ＝15．

19．（1）解：（1）如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 不相似；

设四周的小路的宽为x ，

∵30+2x 30

=15+x 15，20+2x 20=10+x 10， ∴30+2x 30≠20+2x 20，

∴小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 不相似；

（2）∵当30+2y 30

=20+2x 20时，小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似， 解得：x y

=23， ∴路的宽x 与y 的比值为2：3时，能使小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似．

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