数学分析(华东师大)第一章实数集与函数

第一章 实数集与函数

§1 实 数

数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数 .为此, 我们先简要叙述 实数的有关概念 .

一 实数及其性质

在中学数学课程中, 我们知道实数由有理数与无理数两部分组成 .有理数可 p ( p、q 为整数, q≠0 ) 表示, 也可用有限十进小数或无限十进循环 q

小数来表示; 而无限十进不循环小数则称为无理数 .有理数和无理数统称为实 数 . 用分数形式

为了以下讨论的需要,我们把有限小数(包括整数)也表示为无限小数.对此 我们作如下规定:对于正有限小数(包括正整数)x,当x= a0 .a1 a2 an 时,其 中0?ai?9,i=1,2, ,n,an≠0,a0 为非负整数,记

x = a0 .a1 a2

而当 x = a0 为正整数时 , 则记

x = ( a0 - 1 ) .9999

,

例如2 .001 记为2.000 999 9 ; 对于负有限小数( 包括负整数) y , 则先将 - y 表 示为无限小数, 再在所得无限小数之前加负号, 例如 -8 记为 -7.999 9 ; 又规 定数 0 表示为 0.000 0 .于是 , 任何实数都可用一个确定的无限小数来表示 .

我们已经熟知比较两个有理数大小的方法 .现定义两个实数的大小关系 . 定义 1 给定两个非负实数

x = a0 .a1 a2

an

, y = b0 .b1 b2

,

bn

,

其中 a0 , b0 为非负整数, ak , bk ( k = 1 , 2 , ) 为整数, 0?ak ?9 , 0?bk ?9 .若有

ak = bk , k = 0 , 1 ,2,

ak = bk ( k = 0 , 1 ,2,

则称 x 与 y 相等 , 记为 x = y; 若 a0 >b0 或存在非负整数 l , 使得

, l ) 而 al + 1 >bl + 1,

则称 x 大于 y 或 y 小于 x , 分别记为 x >y 或 y

( an - 1)9999

,

2

第一章 实数集与函数

对于负实数 x , y, 若按上述规定分别有 - x = - y 与 - x > - y , 则分别称x = y 与 x x) .另外 , 自然规定任何非负实数大于任何负实数.

以下给出通过有限小数来比较两个实数大小的等价条件 .为此, 先给出如下 定义 .

定义 2 设 x = a0 .a1 a2

an

为非负实数.称有理数

an

xn = a0 .a1 a2

为实数 x 的n位不足近似, 而有理数

xn = xn +

1 n10

称为 x 的n位过剩近似, n = 0 , 1 , 2,

对于负实数 x = - a0 .a1a2

为

an

.

,其n位不足近似与过剩近似分别规定 1 n

10

注 不难看出, 实数 x 的不足近似 xn 当 n增大时不减, 即有x0 ? x1 ? x2? ,而过剩近似xn当n增大时不增,即有x0?x1?x2? 我们有以下的 命题 设 x = a0 .a1a2

是:存在非负整数n,使得

xn > yn,

其中 xn 表示 x 的n 位不足近似,yn 表示y 的 n 位过剩近似 .

关于这个命题的证明, 以及关于实数的四则运算法则的定义, 可参阅本书附 录Ⅱ第八节 .

例 1 设 x、y 为实数 , x

证 由于 x

1 r = ( x n + yn ) ,

2

则 r 为有理数, 且有

x ? xn

yn ?y,

即得 x

为方便起见, 通常将全体实数构成的集合记为R , 即

R = {x x 为实数} .

实数有如下一些主要性质:

1 .实数集R对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的,即任意两个

与 y = b0 .b1 b2

为两个实数,则x>y的等价条 件

.

xn =- a0 .a1a2 an -

与 xn =- a0 .a1 a2 an .

§1 实 数

3

实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数.

2 . 实数集是有序的, 即任意两实数 a、b 必满足下述三个关系之一: a b .

3 . 实数的大小关系具有传递性 , 即若 a >b, b >c, 则有 a >c .

4 . 实数具有阿基米德( Archimedes ) 性, 即对任何 a、b∈R , 若 b >a > 0 , 则 存在正整数 n , 使得 na >b .

5 . 实数集R 具有稠密性, 即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数, 且既有有理数( 见例1 ) , 也有无理数 .

6.如果在一直线(通常画成水平直线)上确定一点O作为原点,指定一个 方向为正向(通常把指向右方的方向规定为正向),并规定一个单位长度,则称此 直线为数轴.任一实数都对应数轴上唯一的一点;反之,数轴上的每一点也都唯 一地代表一个实数.于是,实数集R与数轴上的点有着一一对应关系.在本书以 后的叙述中,常把“实数a”与“数轴上的点a”这两种说法看作具有相同的含义.

例2 设 a、b∈R .证明: 若对任何正数ε有a

证 用反证法 .倘若结论不成立, 则根据实数集的有序性, 有 a >b .令ε= a - b, 则ε为正数且 a =b + ε, 但这与假设 a

关于实数的定义与性质的详细论述, 有兴趣的读者可参阅本书附录Ⅱ .

二 绝对值与不等式

实数 a 的绝对值定义为

a =

a , a ?0 , - a , a <0.

从数轴上看, 数 a 的绝对值| a | 就是点 a 到原点的距离 .

实数的绝对值有如下一些性质:

1 . | a | = | - a | ?0; 当且仅当 a = 0 时有 | a | = 0. 2 . - | a | ? a? | a | .

3 . | a |

a -

b ? a±b

? a + b .

5 . | ab | = | a | | b| . | a | a = 6. b ( b≠ 0).

|b|

下面只证明性质4 , 其余性质由读者自行证明 .

由性质 2 有

4

第一章 实数集与函数

两式相加后得到

- a ?a? a , - b ?b ? b .

- ( a + b ) ? a +b ? a + b .

根据性质3 , 上式等价于

a+b ? a + b . (1)

将(1 ) 式中 b 换成 - b, ( 1) 式右边不变, 即得| a - b | ?|a | +| b | , 这就证明了性 质 4 不等式的右半部分 .又由 | a | = | a - b + b | , 据(1 ) 式有

a ? a - b + b .

从而得

a - b ? a - b .

将(2 ) 式中 b 换成 - b, 即得| a | - | b | ?|a + b | .性质4 得证 .

(2)

习 题

1 . 设 a 为有理数 , x 为无理数 .证明:

( 1) a + x 是无理数 ; ( 2)当 a≠0 时 , ax 是无理数 . 2 . 试在数轴上表示出下列不等式的解: ( 1) x ( x2 - 1) > 0; ( 2) | x - 1 | < | x - 3 | ; (3)

x -1-

2 x-1?

3 x - 2 .

3 . 设 a、b∈R .证明 :若对任何正数 ε有 | a - b| <ε, 则 a = b.

14 . 设 x ≠0,证明 x + ?2 , 并说明其中等号何时成立.

x

5 . 证明 : 对任何x ∈R 有

( 1) | x - 1 | + | x - 2 | ?1; ( 2) | x - 1 | + | x - 2 | + | x - 3 | ?2. 6 . 设 a、b、c∈ R+ ( R+ 表示全体正实数的集合) .证明

a2 + b2 -

你能说明此不等式的几何意义吗?

a2 + c2

? b- c .

a + x a 7 . 设 x > 0 , b > 0 , a≠ b .证明 介于 1 与 之间.

b+x b

8.设 p为正整数.证明:若p 不是完全平方数,则 p是无理数.

9. 设 a、b 为给定实数 .试用不等式符号(不用绝对值符号) 表示下列不等式的解: ( 1) | x - a| < | x - b | ; ( 2) | x - a |

§2 数集2确界原理

本节中我们先定义R中两类重要的数集———区间与邻域,然后讨论有界集

§2 数集2确界原理

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并给出确界定义和确界原理 .

一 区间与邻域

设a、b∈R,且a

满足关系式x?a 的全体实数x的集合记作[a, +∞),这里符号∞读作“无 穷大”, +∞读作“正无穷大”.类似地,我们记

( - ∞ , a] ={x

x ? a} , ( a , + ∞ ) ={x

x >a},

( - ∞ , a) ={x x

设 a∈R , δ> 0 .满足绝对值不等式 | x - a | <δ的全体实数 x 的集合称为点 a 的δ邻域, 记作 U ( a;δ) , 或简单地写作 U( a ) , 即有 U( a; δ) ={x

点 a 的空心δ邻域定义为

x - a <δ} = ( a - δ, a + δ) .

x - a <δ},

U°( a;δ) = { x 0<

包含点 a .

此外, 我们还常用到以下几种邻域:

它也可简单地记作 U°( a) .注意, U°( a;δ) 与 U( a;δ) 的差别在于: U°( a;δ) 不

点 a 的δ右邻域 U + ( a;δ) = [ a , a + δ) , 简记为 U + ( a) ; 点 a 的δ左邻域 U - ( a;δ) = ( a - δ, a] , 简记为 U - ( a) ; ( U- (a)与U+ ( a)去除点a 后,分别为点a 的空心δ左、右邻域,简记为 U°- (a)与U°+ (a) .)

∞邻域 U( ∞) = {x

|x|>M},其中M为充分大的正数(下同);

+ ∞邻域 U( + ∞ ) = { x | x >M}; - ∞邻域 U( - ∞ ) = { x | x < - M} . 二 有界集·确界原理

定义1 设S为R中的一个数集.若存在数M(L),使得对一切x∈S,都 有x?M(x?L),则称 S为有上界(下界)的数集,数M(L)称为 S的一个上界 ( 下界) .