春国家开放大学经济数学基础任务参考答案

春国家开放大学经济数学基础任务参考答案集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

2017年春国家开放大学“经济数学基础”任务4 参考答案

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一、填空题

1.

函数1()ln(1)

f x x =-在区间___________________内是单调减少的. 答案：]4,2()2,1(? 2. 函数2)1(3-=x y 的驻点是________，极值点是 ，它是极 值点. 答案：1,1==x x ，小

3.设某商品的需求函数为2e 10)(p

p q -=，则需求弹性=p E .答案：2-p

4.行列式____________1

111111

11=---=D .答案：4

5. 设线性方程组b AX =，且????

??????+-→010*********t A ，则__________t 时，方程组有唯一解.答案：1-≠

（二）单项选择题

1. 下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ B ）．

A ．sin x

B ．e x

C ．x 2

D ．3 – x

2. 设()1(),()f x f f x x

==则 （ C ）． A ．1x B ．21x

C ．x

D ．2x

3. 下列积分计算正确的是（ A ）．

A ．?--=-1

10d 2e e x x

x B ．?--=+110d 2e e x x x

C ．0d sin 11=?x x x -

D ．0)d (31

12=+?x x x - 4. 设线性方程组b X A n m =?有无穷多解的充分必要条件是（ D ）．

A ．m A r A r <=)()(

B ．n A r <)(

C ．n m <

D ．n A r A r <=)()(

5. 设线性方程组?????=++=+=+3321

2321212a x x x a x x a x x ，则方程组有解的充分必要条件是（ C ）．

A ．0321=++a a a

B ．0321=+-a a a

C ．0321=-+a a a

D ．0321=++-a a a

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三、解答题

1．求解下列可分离变量的微分方程：

(1) y x y +='e 解：y x e e x

y =d d dx e dy e x y ??=- c x y +=--e e （2）23e d d y

x x y x

= 解：dx e x dy y x ??=23 c x y x x +-=e e 3

2. 求解下列一阶线性微分方程：

（1）32y y x x

'-= 解：32(),()p x q x x x

=-= 代入公式得

()

224322=2dx dx x x x y e x e dx c x xdx c cx -????+=+=+ ?????

（2）x x x

y y 2sin 2=-' 解：x x x q x x p 2sin 2)(,1)(=-= ， 代入公式得??????+=??-?c dx xe x e y dx x dx x 112sin 2 []

c dx xe x e x x

+=-?ln 2sin 2ln ??????+=?c dx x x x x 12sin 2[]c x xd x +=?22sin (cos 2)x x c =-+

3.求解下列微分方程的初值问题：

(1) y x y -='2e ,0)0(=y 解：y x e e x y -=2d d dx e dy e x y 2??=，c x y +=22

1e e ， 把0)0(=y 代入c +=0021e e ，C=2

1， 所以，特解为：21e 21e +=

x y (2)0e =-+'x y y x ,0)1(=y 解：1x

e y y x x

'+=， 1(),()x

e p x q x x x

==， 代入公式得??

????+=???-c dx e x e e y dx x x dx x 11??????+=??????+=??-c xdx x e x c dx e x e e x x x x 1ln ln x e c x +=， 把0)1(=y 代入c)e +=

x x y (1，C= -e , 所以特解为：e)e (1-=x x

y 4.求解下列线性方程组的一般解：

（1）?????=-+-=+-+-=-+0352023024321

4321431x x x x x x x x x x x

解：

????

??????--→??????????----→??????????-----=000011101201111011101201351223111201A 所以，方程的一般解为

???-=+-=432

4312x x x x x x （其中34,x x 是自由未知量）

（2）?????=+-+=+-+=++-51147242124321

43214321x x x x x x x x x x x x 解：

???????

????????

?--?+??????????---???????????----+??????????------?+-?+??????????---??????????---=000

005357531054565101)2()2()1(000005357531024121)51()2(000003735024121)2()3(373

503735024121)1()1()3()2()1()2(5114711111224121)2(),1(5114712412111112)(b A ??

???+-=+--=535753545651432431x x x x x x （其中34,x x 是自由未知量） 5.当λ为何值时，线性方程组 ???????=+--=+--=-+-=+--λ

43214321

432143211095733223132245x x x x x x x x x x x x x x x x 有解，并求一般解。

解：

11542115

42(2)(1)(2)213110113

93()(3)(1)(3)322330113

93(4)(1)(7)759100226181411542(3)(2)(1)011393(4)(2)(2)00000A b λλ----????

+?-????

----????=+?-????

----+?-????----????

--+?---+?-108

51(1)(2)

011393000000000800008λλ--????????

+--????????

????--????

.当λ=8有解,???-+-=-+-=3

9131

58432431x x x x x x （其中34,x x 是自由未知量） 6．b a ,为何值时，方程组

?????=++=-+=--b

ax x x x x x

x x x 3213213213221

解：

??????????-+----?+??

??????

??-+----?+-?+?????

?????---=3113

001

201

11)2()2()3(111140120111)1()1()3()1()1()2(2

131211111b a b a b a A 当3-=a 且3≠b 时，()()r A r A ≠, 方程组无解；

当3-≠a 时，()()3r A r A ==方程组有唯一解；

当3-=a 且3=b 时，()()23r A r A ==<方程组无穷多解。

四．经济应用问题

（1）设生产某种产品q 个单位时的成本函数为：q q q C 625.0100)(2++=（万元）, 求：①当10=q 时的总成本、平均成本和边际成本；

②当产量q 为多少时，平均成本最小

解：

（2）.某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为201.0420)(q q q C ++=（元），单位销售价格为q p 01.014-=（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大最大利润是多少．

（3）投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为402)(+='q q C (万元/百台)．试求

产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低．

（4）已知某产品的边际成本)(q C '=2（元/件），固定成本为0，边际收益

q q R 02.012)(-='，求：

①产量为多少时利润最大

②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化

解：①002.010)()()(=-='-'='q q c q R q L ,

()0L q '=令，解得500q =

因为只有一个驻点，且实际问题的最大利润存在，所以当产量为500件时，利润最大.

②

即在最大利润长了的基础上再生产50件，利润将减少25元.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/y8kq.html