§2.3 数列极限存在的条件

第二章 数列极限 §3 数列极限存在的条件 《数学分析》电子教案

§３ 数列极限存在的条件

【教学目的】 使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些

收敛数列的极限；初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判断某些数列的敛散性。

【教学重点】 单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用。 【教学难点】 相关定理的应用。

引言

在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两基本问题。

本节将重点讨论极限的存在性问题。为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断。本节就来介绍两个判断数列收敛的方法。

一、单调数列

定义 若数列?an?的各项满足不等式an?an?1(an?an?1)，则称?an?为递增（递减）数列。递增和递减数列统称为单调数列．

?(?1)n??1?2例如：??为递减数列；?n?为递增数列；??不是单调数列。

?n??n?二、单调有界定理

考虑：单调数列一定收敛吗？有界数列一定收敛吗？以上两个问题答案都是否定的，如果数列对以上两

个条件都满足呢？答案就成为肯定的了，即有如下定理：

定理2.9（单调有界定理） 在实数系中，有界且单调数列必有极限。

证明：不妨设?an?单调递增有上界，由确界原理?an?有上确界a?sup?an?，下面证明liman?a.???0，

n??一方面，由上确界定义?aN??an?，使得a???aN，又由?an?的递增性得，当n?N时a???aN?an； 另一方面，由于a是?an?的一个上界，故对一切an，都有an?a?a??； 所以当n?N时有a???an?a??，即an?a??，这就证得liman?a。

n??同理可证单调递减有下界的数列必有极限，且为它的下确界。 例１ 设an?1?111????,n?1,2,?其中??2，证明数列?an?收敛。 ???23n证明：显然数列?an?是单调递增的，以下证明它有上界.事实上， an?1?111???? 2232n2?1?1111??1??11??1?????1??1???????????? 1?22?3(n?1)n?2??23??n?1n?第 1 页 共 4 页

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?2?1?2，n?1,2,? n 于是由单调有界定理便知数列?an?收敛。 例２ 证明下列数列收敛，并求其极限

2,2?2,?,2?2??2,?

???????n个根号 解：记an?显然a1?2?2???2，易见数列?an?是单调递增的，现用数学归纳法证明?an?有上界2.

2?2，假设an?2，则有an?1?2?an?2?2?2，从而数列?an?有上界2.

n??2于是由单调有界定理便知数列?an?收敛。以下再求其极限，设liman?a，对等式an?1?2?an两边

2同时取极限得a?2?a，解之得a?2或a??1（舍去，由数列极限保不等式性知此数列极限非负），

从而 lim2?2???2?2.

n??例３ 证明lim(1?)存在。

n??1nn分析：此数列各项变化趋势如下 n n 1nan?(1?) n1 2 3 4 5 a1?2 3a2?()224a3?()335a4?()446a5?()55?2.25 ?2.37 ?2.44 ?2.49 6 ? 10 ? 100 1an?(1?)n n7a6?()6?2.52 6? a10?(? 1110)?2.59 10101100a100?()?2.70 100我们有理由猜测这个数列单调递增且有上界，下面证明这个猜测是正确的。

证明：先建立一个不等式，设b?a?0，n?N?，则由

bn?1?an?1?(b?a)(bn?bn?1a?bn?2a2???ban?1?an)?(n?1)bn(b?a)得到不等式 an?1?bn?(n?1)a?nb? （＊）

以b?1?1111?1??a代入（＊）式，由于(n?1)a?nb?(n?1)(1?)?n(1?)?1 nn?1n?1n第 2 页 共 4 页

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1??于是?1??n?1??再以b?1?n?1nn???1????1???1??由此可知数列??1???为递增数列；

??n???n???111?1?a代入（＊）式，同样由于(n?1)a?nb?(n?1)?n(1?)?， 2n2n2n2nn???1????4由此可知数列??1???为有界数列；

???n???1?1?1??于是1??1?????1???2n?2?2n?1n综上由单调有界定理便知lim(1?)存在。

n??nn???1??? 注：数列??1???是收敛的，但它的极限目前没有办法求出，实际上它的极限是e（无理数），即有

n??????1lim(1?)n＝e，这是非常有用的结论，我们必须熟记，以后可以直接应用。 n??n例4 求以下数列极限

（1） lim(1?)； （2） lim(1?n??n??1nn1n1)； （3） lim(1?)2n.

n??2nn?n??1n1?? 解: (1) lim(1?)?lim??1???n??n??n?n???????11?； e??1n1??)?lim??1?(2) lim(1????e

n??n??2n2n??????2n12(3) lim(1?n??12n)n??1?n??lim??1????e2. n?????n???2三、柯西收敛准则

１．引言

单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件——柯西收敛准则。

２．Cauchy收敛准则

定理2.10（Cauchy收敛准则）数列?an?收敛的充分必要条件是：对任给的??0，存在正整数Ｎ，使得当n,m?N时有|an?am|??；或对任给的??0，存在正整数Ｎ，使得当n?N，及任一p?N?，有an?p?an??。 ３．说明

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(1)Cauchy收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题。

(2)Cauchy收敛准则的条件称为Cauchy条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数。或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起。

(3)Cauchy准则把??N定义中an与a的之差换成an与am之差。其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性。

(4) 数列?an?发散的充分必要条件是：存在?0?0，对任意的N?N?，都可以找到n,m?N，使得

an?am??0；存在?0?0，对任意的N?N?，都可以找到n?N，及p?N?，使得an?p?an??0.

例5 设an?111?2???n，证明数列?an?收敛。 101010证明：不妨设n?m，则

an?am?111?????m?1m?2n1010101110m?1??1?n?m??1???????10????1?1?1??1?1

m?n?m?19?10?10?10mm1?10对任给的??0，存在N?例6 设an?1?证明：??0??，对一切n?m?N有|an?am|??，由柯西收敛准则知数列?an?收敛。

11???，证明数列?an?发散。 2nan?p1，对任意的N?N?，任取n?N，及p?n，则有 211111111?an??????????(共n项)?n????0

n?1n?22n2n2n2n2n2由柯西收敛准则知数列?an?发散。

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