保险数学期末复习整理（李和平）

第一章 生存分布与生命表

填空题一道

1.、已知Pr［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr［T(60)＞5］=0.92094，求q60。

5|q60?s?65??s(66)s?65??0.1895,5p60??0.92094s(60)s(60)s?65??s(66)?0.2058s(65)

?q65?2、已知q80?0.07，d80?3129，求l81。

q80?d80l80?l81??0.07 l80l803、如果

?x?22?x?1100?x,0≤x≤100, 求l0=10 000时，在该生命表中1岁到4

岁之间的死亡人数为（ ）。 A.2073.92 B.2081.61 C.2356.74 D.2107.56

???dx?xdx?100?x?s(x)?e?0?e0x?1100?x????x?1?l0(s(1)?s(4))?2081.61?xx222

4、已知20岁的生存人数为1 000人，21岁的生存人数为998人，22岁的生存人数为992人，则1|q20为（ ）。

A. 0.008 B. 0.007 C. 0.006 D. 0.005

1|q20?l22?l21?0.006l20

第二、三章 趸缴存保费及均衡纯保费

一、填空题

1、死亡保险：被保险人投保后在保险期内死亡均可支付保险金的一种险种。 2、生存保险：被保险人投保后至少生存n年才支付保险金的险种。

3、两全保险：被保险人无论在保险期内死亡或在保险期满时均可领取约定保险金的一种险种。

4、终身寿险：被保险人投保后在任何时刻都可获得保险金的一种险种。 5、解释下列等式及符号：

?iA)x 1?dax?Ax 1?iax?(1 （1）释：年龄为x岁的生存者，在年利率为i的条件下，只要缴纳金额1元，便可享受期初付的年金额为d元的终身生存年金，且一旦死亡，还可以在死亡的年度末获得1元的死亡受益金。

（2）释：年龄为x岁的生存者，在年利率为i的条件下，只要缴纳金额1元，便可享受期末付的金额为i元的终身生存年金，且一旦死亡，还可以在死亡年度末获得（1+i)元的受益金。

（3）释：年金额为1元，每年分m次支付，每次支付额为1/m元的期初终身生存年金的精算现值。

6、某人在30岁投保，假设生存函数在0到100间均匀分布，z为死亡赔付现值随机变量，已知利息力为0.05，求A30:10 和

1A30。

解：（1）由于生存函数在0到100间均匀分布，但x=30时，剩余寿命在[0,70]间1

均匀分布，概率密度f（t）= ，故

70

A

130:10?E(Z)??700100e?0.05t1?e1?dt??0.1124700.05?70?0.05?70?0.5A30?E(Z)??e?0.05t1?1?dt?e?0.2771700.05?70

二、计算题

1、设生存函数为s?x??1?x (0≤x≤100)，年利率i=0.10，计算(保险金额为1100元)： (1)趸缴纯保费ā1的值。 (2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量30:10Z的方差Var(Z)。（趸缴纯保费） 解：

s(x)?1?A130:10xs?(x?t)1?tpx?x?t???100s(x)100?xt100??vtpx?x?tdt??02130:1010?1?1dt?0.092???1.1?70102tt0t

210Var(Z)?A?(A130:10)??v2px?x?tdt?0.092??0?1?12dt?0.092?0.055???1.21?70t2、对（x）的一份3年期变额寿险，各年的死亡赔付额和死亡概率如下表所示： 假设预定利率为6%，计算这一保单的精算现值。（趸缴纯保费）

K 0 1 2 解:依题意，这一保单的精算现值为：

300000v?q?350000v?2xbk+1 300000 350000 400000 qk+1 0.02 0.04 0.06 px?qx?1?400000v?32px?qx?2

=36829（元）

3、现年35岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定：被保险人在10年内死亡，给付金额为15000元；10年后死亡，给付金额为20000元。试求趸缴纯保费。（第三章）

11解：由题意肯可得P=15000A35:?20000A?178.05?1895?2073.05 10|3510

4、在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下，求

（1）ax

（2）aT 的标准差 （连续生存年金） （3）aT 超过ax的概率 解：（1） 由总额支付法得：

1?vt0.04??0.06t?0.04tax??p?dt?(1?e)edt?10txx?t?00?0.06

?由现时支付法得：

ax??vtpxdt??e00?t??0.06t?0.04tedt??e?0.1tdt?100?

（2）Ax??e?0.06t0.04e?0.04t?0.402?Ax??e?0.12t0.04e?0.04t?0.250?Var[aT]?1?22[A?(A)]?xx21(0.25?0.16)?2520.06

?Var[aT]?51?e?0.06T（3）Pr(aT?ax)?Pr(?10)0.06ln0.4?Pr(T??)0.06???ln0.4?0.060.04e?0.04tdt

?0.54295、现年30岁的人，付趸缴纯保费5 000元，购买一张20年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。

1?R? 解：5000?RA30:205000 1A30:206、某人在40岁时买了保险额为20000元的终身寿险，假设他的生存函数可以表示

x为s(x)?1?，死亡赔付在死亡年年末，i=10%，求这一保单的精算现值。

105解：由

x? s(x)?1 105有

s(40?t)65?t??pt40s(40)65 1q40?t?1?p40?t?65?t 保单精算现值为： 20000A40?20000?v?t?0?t?1tp?qxx?t

由生存函数可以看出

tp40因此

?0 （t≥65）

20000A40?20000?(t?0641)1.1t?1?65?t1 ?6565?t =3070.65（元）

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