姓名袁竞成（中学数学研究员）;单位重庆市涪

姓名：袁竞成（中学数学研究员）；单位：重庆市涪陵第五中学校；邮编： 408000； 联系地址：重庆市涪陵第五中学校；电话：15823669389；E—mail：yjc72875160@163.com

教材中“摸球”类概率题“错解”困惑及其应对策略的探究

1 问题的提出

《中学数学课改的十个论题（续完）》是章建跃先生发表在陕西师大《中学数学教学参考》2010年5月上旬刊第5期上的一篇文章，文章在“8 如何理解‘不是教教材，而是用教材教’”中指出：“从大量的课堂观察中发现，脱离课本进行教学的现象很普遍，这是令人担忧的。??，原因主要有，第一，很多教师认为教材内容‘简单’，不足以应付高考；第二，误解本次课改提倡的‘不是教教材，而是用教材教’，要‘创造性地使用教材’的真正意图；第三，许多教师不善于或不愿意花大力气研究教材；第四，有的教师认为，只有讲课本以外的东西才能显示自己的水平。??，例如有的教师在《数学3》第三章‘概率’之前补充排列组合知识，结果使概率的教学偏离到‘用排列组合求古典概型的概率’，而把‘理解古典概型的特征——实验结果的有限性与一个结果出现的等可能性’丢到一边，致使学生把貌似古典概型问题当成古典概率。??”笔者读了之后，深切地感受到章先生对目前中学数学教学，尤其是高中数学教育观察之透，切重要害。这也触动了笔者“研究教材‘简单问题’”的想法。

多年来，笔者在对每届高中学生介绍人民教育出版社中学数学室编著的全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（下B）《第一章 概率》时都会遇到学生对“摸球”类概率问题产生一些相似的困惑。笔者一直都在思索，学生为什么都会出现同样的困惑？面对这些困惑有什么应对良好策略？ 2 “摸球”类概率问题及其“错解”困惑 2．1 教材“摸球”类概率问题展示

下面是人民教育出版社中学数学室编著的全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（下B）中的两个“摸球”类概率问题。

问题1：（第140页，例2）一个口袋内装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球。

（1）共有多少不同的结果？ （2）摸出2黑球有多少不同的结果？ （3）摸出2黑球的概率是多少？

解（教材中的解答）：（1）从装有4个球的口袋内摸出2个球，共有C4?6种不同的结果，即由所有结果组成的集合I含有6个元素，如图11-2所示。

答：共有6种不同的结果。

（2）从3个黑球中摸出2个球，共有C3?3种果，这些结果组成I的一个含有3个元素的子集A，示。

22白黑1I白黑2白黑3不同的结如图11-2所

黑1黑2A黑1黑3黑2黑3图11-2

答：从口袋内摸出2个黑球有3种不同的结果。

（3）由于口袋内4个球的大小相等，从中摸2个求的6种结果是等可能的，又6种结果中，摸出2个黑球的结果有3种，因此从中摸出2个黑球的概率为P(A)?答：摸出2黑球的概率是

31?。 621。 2问题2：（第141页，例3）将骰子先后抛掷2次，计算： （1）一共有多少不同的结果？

（2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？ （3）向上的数之和是5的概率是多少？

解（教材中的解答）：（1）将骰子抛掷1次，它落地时向上的数有1，2，3，4，5，6这6个结果，根据分步计数原理，先后将这种玩具抛掷2次，一共有6?6?36种不同的结果。

答：先后将这种玩具抛掷2次，一共有36种不同的（2）在上面所有结果中，向上的数之和为5的结果（2，3），（3，2），（4，1）4种，其中括弧内的前后两个1、2次抛掷后向上的数。上面的结果可用图11-3表示，段上的各数为相应的2次抛掷后向上的数之和

答：2次抛掷中，向上的数之和为5的结果有4种。 （3）由于骰子是均匀的，将它抛掷2次的所有36种能出现的，其中向上的数之和为5的结果（记为事件A）此，所求概率为P（A）=

结果 有（1，4），数分别为第其中不在线

图11?3结果是等可有4种，因

41? 3691 9答：抛掷骰子2次，向上的数之和是5的概率是2．2 “摸球”类概率问题的困惑

困惑一：问题1中“摸2个球”是“一次摸一个”，还是“一次摸2个”？“一次摸一个”与“一次摸2个”有本质区别没有？

困惑二：为什么问题2中的基本事件“（1，4）与（4，1）”、“（2，3）与（3，2）”应该表示不同的基本事件？而问题1中，比如“黑1黑2与黑2黑1”就只能表示同一基本事件呢？

困惑三：为什么把问题1中，比如“黑1黑2与黑2黑1”理解成不同的基本事件，则有

A32C321P(A)?2?2?，这仅仅是一种巧合吗？如果是一种巧合，它们的本质差异是什么？如果不是一

A4C42种巧合，而是一种客观规律，它们为什么会异途同归？ 3 对“摸球”类概率问题的困惑解读 3．1 对困惑一的解读

概率的本质是“实验结果的可能性”，“实验”即“基本事件产生的过程”，“实验结果”即实验产生的

“基本事件”。这就是说，问题1中“摸2个球”是“一次摸一个（依次摸一个）”，还是“一次摸2个（一把抓）”是不同的实验形式（过程），即是说“一次摸一个”与“一次摸2个”的本质区别在于实验形式（过程）不同。

3．2 对困惑二的解读

从上面对困惑一的解读不难看出，问题2中的基本事件“（1，4）与（4，1）”、“（2，3）与（3，2）”之所以表示不同的基本事件，是因为“第一次抛掷向上的数是1，第二次抛掷向上的数是4”与“第一次抛掷向上的数是4，第二次抛掷向上的数是1”，“第一次抛掷向上的数是2，第二次抛掷向上的数是3”与“第一次抛掷向上的数是3，第二次抛掷向上的数是2”是完全不同的两种实验（形式）过程产生的两种不同的基本事件。因此，问题1中，比如“黑1黑2与黑2黑1”是表示同一基本事件还是表示两种不同的基本事件，关键在于看实验（形式）过程是不是一样，如果是“一次摸一个（依次摸一个）”，则“黑1黑2与黑2黑1”应表示两种不同的基本事件，如果是“一次摸二个（一把抓）”，则“黑1黑2与黑2黑1”只能表示同一个基本事件。 3．3 对困惑三的解读

通过解读困惑二不难看出，若把问题1中“摸出2个球”理解成“一次摸一个（依次摸一个）”，产生

2不同的基本事件应有A4，摸到“两个黑球”产生的基本事件应有A3，则摸出2黑球的概率是

2A323?21”，产生不同的基P(A)?2??；若把问题1中“摸出2个球”理解成“一次摸二个（一把抓）

A44?322本事件应有C4，摸到“两个黑球”产生的基本事件应有C3，则摸出2黑球的概率是

23?2C1P(A)??2?。

4?32C22324显然，这两种理解，都能达到问题一的实验目的（结果），因此，这两种理解都是正确的，也是为什么其概率一样的根本实质。但是，由于对理解的不同，其实验过程是不同的，产生的基本事件也是不同的，只是发展过些基本事件的可能性（概念）相同而已。

从这个观点来讲，教材对问题一的(1)和(2)两小题的解答结果是值得探讨和研究的（不同的看法，其基本事件是不同的，基本事件的个数也是不相等的）：教材的解答是认为实验过程是“一次摸二个（一把抓）”。事实上，“一次摸一个（依次摸一个）”也是可以的。 4 应对困惑的对策

通过上面的分析，应对这类概率题的对策分三种类型：一次摸一个（依次摸一个）类、一次摸全部（一把抓）类、两种实验都成功类。 4．1 “一个口袋内摸球”类

4．1．1 一个口袋内摸球“无放回”类

4．1．1．1 “一次摸一个（依次摸一个）类”的对策

“一次摸一个（依次摸一个）类”是因为摸法有序，其对策应该用“排列”来解答问题。

例1．一个口袋中装有3个白球，5个黑球，依次摸出2个球。求第一次摸得白球，第二次摸得黑球的概率。

错解：设“依次摸出2个球，第一次摸得白球，第二次摸得黑球”为事件A，

11C3C515则P（A）?。 ?228C8答：依次摸出2个球，第一次摸得白球，第二次摸得黑球的概率为

15。 28正解：设“依次摸出2个球，第一次摸得白球，第二次摸得黑球”为事件A，

11C3C515则P（A）??。 256A8答：依次摸出2个球，第一次摸得白球，第二次摸得黑球的概率为4．1．1．2 “一次摸全部（一把抓）类”的对策

15。 56“一次摸全部（一把抓）类”是因为摸法无序，其对策应该用“组合”来解答问题。

例2．一个口袋中装有3个白球，5个黑球，一次摸出2个球。求摸得一个白球和一个黑球的概率。 错解：设“一次摸出2个球，摸得一个白球和一个黑球”为事件A，

11C3C515则P（A）??。 256A8答：一次摸出2个球，摸得一个白球和一个黑球的概率为

15。 56正解：设“一次摸出2个球，摸得一个白球和一个黑球”为事件A，

11C3C515则P（A）?。 ?228C8答：一次摸出2个球，摸得一个白球和一个黑球的概率为4．1．1．3 “两种实验都成功类”的对策

15。 28“两种实验都成功类”是根据解答者自己设计实验过程，可以设计成“一次摸一个（依次摸一个）类”，也可以设计成“一次摸全部（一把抓）类”，这样，解题者就可根据这类问题设计的实验过程给出相应的对策。值得注意的是，虽然结果一样，但分析过程不一样，因此，其实质（实验过程）也不相同。

例3．一个口袋中装有3个白球，5个黑球，摸出2个球。求摸得一个白球和一个黑球的概率。 解法一：设“摸出2个球，摸得一个白球和一个黑球”为事件A，若分两次摸，

112C3C5A215则P（A）?。 ?228A8答：摸出2个球，摸得一个白球和一个黑球的概率为

15。 28解法二：设“摸出2个球，摸得一个白球和一个黑球”为事件A，若一次摸出两个球，

11C3C515则P（A）?。 ?228C8答：摸出2个球，摸得一个白球和一个黑球的概率为4．1．2 一个口袋内摸球“有放回”类

15。 28一口袋“有放回”类的应对策略是，分子是“先取后排”，即“先组合后排列”，分母只能用分步计数原理。

例4．一个口袋中装有3个白球，5个黑球，一次摸一个球，有放回地摸出2个球。求摸得一个白球和一个黑球的概率。

错解：设“有放回地摸出2个球。求摸得一个白球和一个黑球”为事件A，

11C3C515?则P（A）?。 2648答：摸得一个白球和一个黑球的概率

15。 64正解：设“有放回地摸出2个球。求摸得一个白球和一个黑球”为事件A，

112C3C5A215?则P（A）?。 2328答：摸得一个白球和一个黑球的概率4．2 “两个口袋内摸球”类

15。 32“两口袋摸球”类与一口袋“有放回”类的应对策略是一致的，即分子要考虑是哪一个口袋产生的白球（黑球），分母用分步计数原理。

例5．两个口袋中分别均装有3个白球，5个黑球，在每个口袋摸一个球。求摸得一个白球和一个黑球的概率。

解：设“有放回地摸出2个球。求摸得一个白球和一个黑球”为事件A，

1111C3C5?C3C515?则P（A）?。 2328答：摸得一个白球和一个黑球的概率5 结论与价值

15。 32“摸球”类概率问题，首先，要区分是一个口袋，还是两个口袋；其次，要关注是放回，还是不放回；最后考虑是一次摸，还是依次摸。这种就可以从本质上区分各种摸球类概率问题，使教师在研究教材“简单”问题的同时，对教材的深加工和再生成，这才符合“创造性地使用教材”的课改目的。

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