初中数学常用的概念、公式、定理

初中数学常用的概念、公式、定理

0、0.231，1． 有理数：整数(包括：正整数、负整数)和分数(包括：有限小数和无限循环小数)如：－3，，

0.737373?，

，

．

，0.1010010001??．

无理数：无限不环循小数。如：π，－

有理数和无理数统称为实数．实数与数轴上的点一一对应。 倒数、相反数 2．绝对值：a≥0

丨a丨＝a； a≤0

丨a丨＝－a．如：丨－

丨＝

；丨3.14－π丨＝π－3.14．

3．有效数字：一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个

近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0．

n

4．n是整数)，科学记数法：把一个数写成±a310的形式(其中1≤a＜10，这种记数法叫做科学记数法．如：

5

10－5．（有效数学字往往和科学记数法结合进行考查） －40700＝－4.07310，0.000043＝4.3×

5．幂的运算性质：①am3an＝am＋n．②am÷an＝am－n．③(am)n＝amn．④(ab)n＝anbn．⑥a－n＝

1(a≠0)ann032562432633－n

特别：()＝()（a≠0 b≠0）⑦a＝1(a≠0)．如：a3a＝a，a÷a＝a，(a)＝a，(3a)

912

＝27a，(－3)－＝－，5－＝

＝，()－＝()＝，(－3.14)o＝1，(

22

－)＝1．

0

6．整式：单项式、多项式统称整式（单项式、多项式的次数、系数）

①整式的加减 去括号 同类项②单项式相乘除，系数与系数相乘除，同底数的幂结合起来相乘除．③单项式乘以多项式，用单项式乘以多项式的每一个项．④多项式乘以多项式，用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项．⑤多项式除以单项式，将多项式的每一项分别除以这个单项式． 7．乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2． 8．因式分解：方法是：先看能否提公因式．在没有公因式的情况下：二项式用平方差公式，三项式用十字相乘法(特殊的用完全平方公式)，三项以上用分组分解法．

注意：①因式分解结果是乘积的形式，②结果要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． 9．分式：①分式有意义需分母≠0 ②分式的值为零需分子=0且分母≠0 ③运算：乘除法要先把分子、

分母都分解因式，并颠倒除式，约分后相乘；加减法应先把分母分解因式，再通分(不能去分母)． 注意：结果要化为最简分式． 10．二次根式：a( a≥0 )(①(

b≥0)．如：①(32．

平方根、立方根、算术平方根的概念

同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式。

最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式。 11．一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0：①求根公式：x＝

，

2

)＝a(a≥0)，②

2

＝丨a丨，③

＝－a

＝．④

3，④＝(a＞0，

)＝45．②＝6．③a＜0时，的平方根＝4的平方根＝±

2

②△＝b－4ac叫做根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有个相等

的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根． ③若方程有两个实数根x1和x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝。

12．分式方程：解法---去分母或换元，结果必须检验，分式方程应用题的检验首先是检验解是不是方程

的解，然后再检验是否符合实际。

13．不等式：特别注意两边都乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向．（等式的性质：两边同乘以或

除以一个不为零的数，等式成立）不等式组的解集有四种情况请结合数轴记忆。

不等式往往会和一次函数、二次函的结合起来，一般来讲，题目中有“不超过”“不少于”等明显的提示用语用不等式；不等式与一次函相结合时，要注意先讨论K的正负，先根据K的正负来判断其增减性，然后再确定实际问题中的K的取值结论。

二次函数与不等式结合时，往往要结合图像去解，这时一定要画出图像去根据图像观察。 14．平面直角坐标系：①各限象内点的坐标如图所示．②横轴(x轴)上的点，

纵坐标是0；纵轴(y轴)上的点，横坐标是0．③关于横轴对称的两个点： 横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于纵轴对称的两个点：纵坐标相同 横坐标互为相反数；关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标都互为相反数．15．一次函数y＝kx＋b(k≠0)：图象是一条直线．当k＞0时，y随x的增大而增大 (直线从左向右上升)；当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)． 特别：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点．

16．反比例函数y＝(k≠0)：图象叫做双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向

右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反（一定要强调在同一象限内，常见的方法是画图象）

反比例函数往往会和面积相结合，这时候要注意K所在象限及正负情况．

17．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：图象叫做抛物线(c是抛物线与y轴的交点的纵坐标)．①a＞0时，开口

向上；a＜0时，开口向下．②顶点坐标是(－

，

)，对称轴是直线x＝－

．

2

特别：抛物线y＝a(x－h)＋k的顶点坐标是(h，k)，对称轴是：直线x＝h．

注意：求解析式的设法①已知三个点的坐标，则设为一般形式y＝ax＋bx＋c；②已知顶点坐标(h，k)，

2

则设为顶点式y＝a(x－h)＋k；③已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1，0)和(x2，0)，则设为交点式y

2

＝a(x－x1)(x－x2)（交点式一般不能把其作为最后的结果，也就是说最后要化成一般式为好！） 18．抛物线与x轴的位置关系：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c①△＜0时，它与x没有交点．②△＝0时，它与x

轴只有一个交点(与x轴相切)．③△＞0时，它与x轴有两个交点(x1，0)和(x2，0)，其中x1和x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．

19．统计初步：（1）概念：①调查方式：普查，抽查。②所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个

考察对象叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．③在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数．④将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．

（2）公式：设有n个数x1，x2，?，xn，那么：①平均数＝(x1＋x2＋?＋xn)．②极差是一组数据中最大

2222

值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围③方差S＝[(x1－)＋(x2－)＋?＋(xn－)．

④标准差：方差的算术平方根．⑤若将n个数x1，x2，?，xn各减去一个适当的数a，得到一组新数x1，，

x2，，?，xn，，那么原来那组数的方差S2＝这组新数的方差，平均数＝a＋．方差越大，这组数据的波动就越大．通常用样本方差去估计总体方差，用样本平均数去估计总体平均数。“数据”的加减不

改变方差，数据的乘除N倍，则方差就扩大或缩小N的平方倍。方差常与当前的热点问题相结合。 （3）频率：①把一组数分成若干个小组，组距＝(最大值－最小值)÷组数(求组数时，用收尾法取整数)，这时，落在某小组内的数据的个数叫做这组的频数，每一小组的频数与数据总个数的比值叫做这一小组的频率．因此，各组的频率的和等于1．

20.概率：①确定事件、必然事件、不可能事件、随机事件。②概率一般包括两种，一种是可放回的概率，另一种是不可放回的概率，而放回与不放回的概率最简单的问题是直接告诉我们，而更多的是生活中不放回的概率，比如说吃粽子，或贴卡通画等，这里考得最多的是生活中的概率，所以请同学要先审题确定是属于哪一种概率，而概率的表示，可以是树状图，也可以是列表格， 21．锐角三角函数：①设∠A是Rt△的任一锐角，则∠A的正弦：sinA＝

，∠A的正切：tanA＝

，∠A的余弦：cosA＝

22

， 关系： sinA＋cosA＝1 tanA=sinA/ cosA

0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0，∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小． ②余角公式：sin(90o－A)＝cosA，cos(90o－A)＝sinA， ③特殊角的三角函数值：

30°

45 °

60°

sinA cosA tanA

④斜坡的坡度i＝

12

2 22 23 23 21 23 31

3

＝．设坡角为α，则i＝tanα＝．

（锥形零件中的有关量的关系）

22．三角形（1）三角形中：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；内角和为180度

（2）三角形的中位线平行于笫三边，并且等于笫三边的一半．

（3）等腰三角形：等边对等角，等角对等边。顶角的平分线与底边上的中线和高线互相重合． （4）直角三角形：①两条直角边的平方和等于第三边的平方②斜边上的中线等于斜边的一半． ③30°角所对的直角边是斜边的一半

（5）证明一个三角形是直角三角形的方法有：①证明有一个角等于90o．②证明最长边的平方

等于另两边的平方和．

（6）两个三再形全等：SAS，AAS，ASA，SSS，HL(RT△)

23．四边形：（1）n边形的内角和等于(n－2)180o，外角和等于360o．（2）平行四边形的性质：对边平行

且相等；对角相等；邻角互补；对角线互相平分．（3）证明一个四边形是平行四边形的方法有： ①两组对边平行．②两组对边相等．③一组对边平行且相等．④两条对角线互相平分．4）矩形的对角线相等且互相平分,其四个角都为直角；菱形的对角线互相垂直平分，并且四条边相等．（5）证明一个四边形是矩形的方法有：①有三个角是直角．②先证它是平行四边形，再证它有一个角是直角或对角线相等（6）证明一个四边形是菱形的方法有：①四条边相等．②先证它是平行四边形，再证它有一组邻边相等或对角线互相垂直（7）正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质． （8）梯形 等腰梯形 直角梯形。梯形的中位线平行于两底并且等于两底之和的一半．

24.图形的对称轴对称图形有：线段，角，等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正方形，正多边形，圆．-

中心对称图形有：线段，平行四边形，矩形，菱形，正方形，边数是偶数的正多边形，圆．

25.比例的概念：比例外项、比例内项、比例中项、第四比例项。 26．黄金分割：黄金分割点 黄金分割数

5?1≈0.618 黄金三角形 227.三角形相似的判定：①两组对应角相等．②两边对应成比例并且夹角相等．③三边对应成比例．

相似三角形的性质：对应角相等。对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比，周长的比，都等于相似比．面积的比等于相似比的平方．

28.射影定理（不能直接使用）：如图，△ABC中，若∠ACB＝90o，CD⊥AB，

则：①AC2＝AD2AB．②BC2＝BD2BA．③DC2＝DA2DB．

29.圆的有关性质：（1）垂径定理：如果一条直线具备以下两个条件：

①经过圆心②垂直于弦；那么这条直线就具有另外三个性质．③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组

量相等，那么它所对应的其余三组量都分别相等． （3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

（4）圆周角：①等于它同弧所对的圆心角的一半②圆周角等于它所对的弧的度数的一半．

③同弧或等弧所对的圆周角相等．④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ⑤90o的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角

30．直线和圆的位置关系：（1）若⊙O的半径为r，圆心到直线L的距离为d，则：①d＜r

相交．②d＝r

直线L和⊙O相切．③d＞r

直线L和⊙O相离．

直线L和⊙O

（2）切线的判定定理：经过半径外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．

切线的性质定理：切线垂直于过切点的半径．

（3）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点与圆心的连线平分两切

线的夹角

（4）三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心是三内角平分线的交点．三角形的

外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心是三边中垂线的交点． （5）Rt△的内切圆的半径R内＝

，

1（6）任意多边形的内切圆的半径与面积和周长公式之间的关系：S=2CR． 31．圆和圆的位置关系：（1）设两圆半径为R和r，圆心距为d，则：①d＞R＋r

r

两圆外切．③R－r＜d＜R＋r(R≥r)

两圆相交．④d＝R－r

两圆外离．②d＝R＋

两圆内切．

⑤d＜R－r两圆内含． 注意直线与圆是相离，而圆与圆是外离和内含

32.圆中常作的辅助线：（1）连半径构建等腰三角形（2）已知切线，常过切点作半径．

（3）已知直径，常作直径所对的圆周角．（4）求解有关弦的问题，作弦心距． （5）弧的中点常和圆心连结．

圆中常作的解题思路：利用垂径定理、勾股定理、相似三角形，同弧所对的圆周角相等，以及圆周角

与圆心角之间的关系，还有等弧是完全重合的弧，它包括弧长和弧度两个方面都相等。 经过不在同一条直线上的三点确定一个圆。 33.各顶点等分圆周度．

34．面积公式：①S正△＝

3(边长)．②S平行四边形＝底3高．③S菱形＝底3高＝3(对角线的积)④S圆＝

．⑦S扇形＝

(如图)

＝LR．⑧S圆柱侧＝底面周长3高．⑨S圆锥侧＝3

2

正n边形各边相等，各角相等，每个内角＝度，中心角＝外角＝

πR2．⑤C圆周长＝2πR．⑥弧长L＝底面周长3母线＝πrR，并且2πr＝35.重要的结论：

垂线段最短 两点之间线段最短 36.常用数学思想方法：

数形结合思想 分类讨论思想 整体思想 转化思想 方程思想 函数思想

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