2012春季大学物理实验讲义

目录

物理实验基础知识 (1)

1.1物理实验 (1)

1.2测量 (2)

1.3测量误差 (4)

1.4测量结果的不确定度 (13)

1.5测量结果不确定度估算及表示 (15)

1.6有效数字 (18)

1.7列表和作图 (21)

1.8逐差法 (24)

1.9最小二乘法 (26)

实验报告要求 (30)

实验1浮力与体积密度的测定 (31)

实验2薄透镜焦距的测定 (34)

实验3电子示波器的使用 (40)

实验4金属材料弹性研究 (53)

实验5RLC电路特性的研究（1） (58)

实验6光的偏振现象研究（1） (67)

实验7电路元件伏安特性研究 (70)

实验8用牛顿环法测透镜曲率半径 (73)

实验9验证转动定律 (80)

实验10声波合成研究 (85)

实验11磁场描绘 (90)

实验12分光仪的调整及棱镜折射率的测定 (99)

.I.

第一章物理实验基础知识

1.1 物理实验

一、科学实验

科学实验是人们根据一定的研究目的，运用一定的科学仪器，创设有利条件，人为地控制研究对象及其运动过程，以便暴露它们在自然发生的条件下无法暴露的特性，通过观察、测量等手段研究其本质规律的科学实践活动。

二、科学实验系统结构

一般来讲，实验系统结构如图1-1所示。

图 1-1 实验系统结构图

三、科学实验的基本特性

1. 对研究对象和实验过程的人为可控制性

2. 实验结果的可重复性

四、物理实验在物理学发展中的作用

1. 发现新事物和探索新规律

2. 验证理论

3. 测定物理常数

4. 开拓应用研究

五、物理教学实验

1. 基本特点

(1) 一般是典型的科学发展中的重要实验

(2) 有比较完备的实验器材与参考资料

2. 基本功能

(1) 培养学生的科学实验能力

(2) 提供理论联系实际的学习环境

(3) 培养实事求是的科学素质

.1.

.2. 3. 基本实验类型

(1) 测定性实验

(2) 验证性实验

(3) 探究性实验

4. 物理教学实验程序

(1) 预习

(2) 实验操作

(3) 书写实验报告

1.2 测量

一、直接测量与间接测量（按测量过程分类）

测量：用一定的工具或仪器，通过一定的方法，直接或间接地与被测对象进行比较，求出比值的过程。测量所得的值(数据)应包括数值(大小)和单位。两者缺一不可!

直接测量 把待测的物理量直接地与标准单位的同类物理量进行比较。例如：用米尺测长度，用天平称衡质量，用秒表测时间，用电表测电压、电流，用温度计测温度等。(L ，m ，t ，v ，I,T )相应的物理量称为直接测得量。

间接测量 是计算由一个或几个直接测量量组成的函数的数值。例如：当用单摆测定重力加速度g 时，用米尺测量单摆的摆长度l ，用停表测定单摆的摆动周期T ，然后通过函数式：22T /l 4g π=的计算得到。这里g 是间接测量量，l,T 是直接测量量。大量的物理量是通过间接测量得到的。

二、等精度测量与不等精度测量(按测量条件分类)

对某一物理量进行多次测量，而且每次测量的条件相同(如同一观察者，同一组仪器，同一测量方法和同样的环境条件下测试等等)，测得的数据为X 1,X 2,…，X n ,称为等精度测量。在所有的测量条件中，只要有一个发生变化，这时所进行的测量就是不等精度测量。

严格地说，在实验过程中保持测量条件完全相同的多次测量是极其困难的，但当某一条件的变化对结果的影响不大，甚至可以忽略时，仍可将此种测量视为等精度测量。一般情况下除了特别指明外，都作为等精度测量来讨论。物理实验中大多采用等精度测量。

三、测量仪器的量程、精密度和准确度

测量是通过一定的仪器或量具来完成的，每一种类的仪器都有一定的使用条件、范围和方法。因此，熟悉仪器的性能，掌握仪器的使用方法和准确的读数是完成实验的必要条件。为此，在测量前必须对仪器有足够的了解。

(1)量程：仪器的测量范围称为仪器的量程，如：天平的最大称量为1000g,则其量程

.3. 为1000g ；电位差计的测量范围是0→170mV ，则其量程为170mV 等等。不容许在超量程下使用仪器，否则会损坏仪器。

(2)精密度：仪器的精密度是指仪器所能分辨物理量的最小值。如测量长度时米尺(最小分度值为1mm)，游标卡尺(分度值为1／50mm)，螺旋千分尺(分度值0.01mm)的精密度是不同的。仪器的精密度与仪器的最小分度值一致，此值愈小，仪器的精密度愈高。

(3)准确度：用仪器的准确度级别来标志。例如：某电压表的表面上标有0.5字样的就是该电压表的准确度级别是0.5级。一般仪器(测量用具)分度值取为准确度数值的1／2～2倍，有的仪器则完全相等，如游标卡尺，分度值为0.02mm 时，其准确度数值也为0.02mm 。

四、测量值的确定

1．直接测量值的确定——算术平均值

如果对一物理量进行多次测量。例如对物理量X 等精度测量，得到一系列X 1,X 2,…，X n 数值，在测量没有错误及符合统计规律的情况下，可以用算术平均值X 表示测量的最佳值，即

∑==n

i i x n X 1

1 (1.1) 可以证明，当测量次数无限多时，算术平均值将无限接近真值。

对于有限次测量，平均值会随着测量次数的不同而有所改变，也会因不同范围的测量数据而稍有差别。

2.间接测量值的确定

对于间接测量值w=f(x,y, …)，它由直接测量值（x,y, …）所确定。当多次测量时，有两种可能的情况。

（1）对于各直接测量值（x i ,y i , …）相互独立地进行测量，且测量条件变化幅度很小。首先分别求出各自的算术平均值（ ,y ,x ），然后将其带入函数关系式w=f(x,y, …)中求得w 的测量值。

),,( y x f w = (1.2)

（2）同一条件下，对各量测量一遍，得一组（x i ,y i ,…），相应的有w i =（x i ,y i , …）而每次间接测量之间又是相互独立的，用测量算术平均值w 作为测量值。

∑∑====k

i i i k i i k y x f k w w 11/),,(/ (1.3)

通常，当测量条件没有大幅度变化时，两种计算方法所得到的结果是极其相近的。所以，除了测量条件变化幅度过大时必须采用式（1.3）外，一般都可以采用较简单的式（1.2）来计算。

1.3 测量误差

物理实验一般都离不开物理测量。由于测量仪器，环境条件，实验方法(测量手段与计算方法等)的限制和测量者的观察能力的局限，实验测量得到的物理量的数值与它的真实值并不一致，这种情况在数值上的表现即为误差。随着科学技术水平的提高和人们的经验、技巧、专门知识的丰富，误差可以控制得愈来愈小，但不能使误差降低为零。因此，实验结果都具有误差，误差始终存在于一切科学实验过程之中。

一、误差的定义

1．绝对误差

若实际测得值X与该物理量的客观真值A之间的差值为δA，称δA为测量值的绝对误差。

如果X是指针式仪器的示值，则δA称为示值误差，如X为某一元器件的标准值，则δA称为标称误差等。

真值有3种类型：

(1)理论值或定义值：如三角形的内角和等于180°。

(2)计量学约定真值：国际计量大会决议的7种标淮。

(3)标准器相对真值：高一级标准器的误差与低一级标准器或普通计量仪器的误差相比，为其l／5(或者说1／3～1／20)时，则可以认为前者是后者的相对真值。如0.5级电压表测得某电阻的电压值为1．03V，而用1.0级电压表测得的电压值为1.05V，则可认为1.0级电压表测得的电压值的误差为+0.02V。

2．相对误差

绝对误差表示往往不能反映测量的精确程度。例如，测量两个不同物体的长度，用最小分度值为l mm的米尺测量一个物体长度为L1＝51.4mm，绝对误差δ=0.02mm，用最小分度为0.01mm的螺旋测微计测量另一物体的长度为L2＝0.235mm，绝对误差δ=0.005mm，初看起来，绝对误差0.2mm远大于0.005mm，但我们不能说后者的测量精度比前者高，而恰恰相反。这是因为L1的测量误差对51.4mm而言仅为0.4％，而L2相应的测量误差对0.235mm 却为2％，因此，为了弥补绝对误差的不足，我们引进相对误差Er。根据所取的相对参考值的不同,可分为：

.4.

.5. (1)实际相对误差=[误差／真值]的百分数，即：%100?=A E r δ

(2)标称相对误差=[误差／测量值]的百分数，即：%100?=X E r δ

(3)额定相对误差（或称可用误差）=[误差／满刻度值]的百分数，即：

%100max ?=X E r δ

由于一般有δ≤X ，X ≈A ，故前两种误差基本上没有区别，但与额定相对误差则可能相差较大。因为X ≤X max , 则有：

δ/A ≈δ/X ≥δ/X max

一般电工仪表常以额定误差的大小来分级。如量程为150mV 的0.5级电压表,表示测量150mV 电压以内的任何一个电压时最大的误差为0.75mV 。用这个电压表测量100mV 的电压时，其相对误差Er ＝0.75mV ／100mV ＝(0.5％3150mV)／100mV ＝0.75％，这在使用电工仪表时必须要注意。电子仪器和元器件一般用标称相对误差来表示，如100Ω±5％等等。对于电子仪器，因受外部条件影响较大，要求在使用时必须注意详细阅读说明书。

二、误差的分类及处理方法

误差按性质和来源分为系统误差和偶然误差(随机误差)。

(一)系统误差

在同一实验条件下多次测量同一物理量时，误差的绝对值和符号保持恒定；或在条件改变时按某一确定的规律变化的误差。

1．系统误差的来源

(1)理论误差

由于测量原理所依据的理论具有一定的近似性，从而在测量结果中引入误差。单摆实验是一个很好的例子，由于引入了sin θ≈θ，得到了单摆周期的简化公式为：

g l T /20π= (1.4)

它的精确级数解为

)2

sin 6492sin 411(420 +++=θθT T (1.5) 计算可得到，当摆幅角为5°时，由式(1.4)引入的误差约为0.05％，摆幅角愈小，由理论引入的误差愈小。对于这种理论误差，我们可以根据测量结果总精确度的要求来进行修正。

(2)人为误差

.6. 由于观察者的生理和心理因素引起测量结果的误差：如有的人在启动停表时总是提前，而有的人则总是滞后，一般在正常情况下，人们看到一个信号而开启停表的误差为0.05～0.1s ，又如用米尺测量长度，对于1mm 以下的估读数的误差与操作者的视力习惯有关等。

(3)环境误差

由于环境(如温度、大气、电磁场等)的影响而产生的误差。如在流体静力称衡法实验当中，在称量时，水的温度由16.5℃变到18.5℃，水的温度的改变导致被测物体密度的误差。

(4)仪器误差

仪器的误差也称工具误差。这是由于测量所用的工具(仪器、量具等)本身不完善而产生的误差。它包括：

a)仪器的示值误差；

b)仪器的零值误差；

c)仪器机构误差和测量附件误差等。

(5)装置误差

由于测量设备，仪器和电路的安装、布置、调整不当而产生的误差。例如，在电磁学一类实验中，经常需要考虑磁电的屏蔽和良好的接地问题，以减小测量的系统误差。

2．如何发现系统误差

(1)理论分析法

1)分析实验理论公式所要求的条件在测量过程中是否得到满足。如在单摆实验中，只有摆角θ趋于零时才能套用公式g l T /20π=。实验是达不到这个要求的，必然产生系统误差。

2)分析仪器要求的使用条件是否得到满足。

(2)对比测量法

1)实验方法与测量方法的对比

用不同的实验方法测量同一个被测量，如果测量的结果在偶然误差允许的范围内不重合，则说明其中至少有一种方法存在系统误差。如用单摆与自由落体两种方法测某地的重力加速度，实验结果分别是g ＝(9.81±0.01)ms -2和g ＝(9.76±0.01)ms -2。显然，其中至少有一种方法存在系统误差，因为两种方法测出的重力加速度值之差无法用偶然误差解释，必然是系统误差所致。

同一种实验方法，有时改变测量方法也可发现系统误差。比如在拉伸法测金属丝实验中，用增加砝码与减少砝码过程中读数的方法来发现摩擦等因素带来的系统误差。

.7. 2)仪器的对比

一个量用不同的仪器同时或分别地进行测量可发现仪器的系统误差。如果用两只电流表接入同一串联电路，若读数不一致，说明至少有一只存在系统误差。如果有一只是标准表．就可发现并消除另一只表的系统误差。

3)改变实验参数进行对比

如改变电路中的电流数值，而测量结果有单调变化或规律性的变化，说明存在某种系统误。

4)换人测量，发现人员误差。

(3)数据分析法

当偶然误差很小时，将测量的偏差：

N N N i i -=δ (1.6)

按测量的先后次序排列，观测i N δ的变化，如果i N δ呈现规律性变化，如线性增大或减小，稳定的周期性变化，则必有系统误差存在。

3．恒定系统误差的消除

系统误差的特点是它的确定性，因此不能用重复多次测量的方法去消除或减小，没有像偶然误差那样统一的处理方法。下面介绍几种消除系统误差的常用方法：

1)消除产生系统误差的根源。如采用符合实际的理论公式，保证仪器使用所必需的条件等。

2)有些系统误差当测量条件变化时，其大小和符号始终保持不变，称恒定系统误差(又称定值系统误差，即对一测量值的影响均为一定的常量)，如千分尺，电表等的调零误差。采取找出修正值对测量值进行修正，如找出“零差”对测量值进行修正，用标准仪器对测量中使用的仪器进行校正，找出修正值后进行修正。即

真值＝测量值±修正值

只要找到修正值进行修正就可消除这类系统误差。

图 1-2 交换法消除误差原理图

.8. 3)对其他形式的恒定系统误差采取适当的测量方法去抵消，常用的方法有：

异号法 改变测量中某些条件进行测量，例如改变测量方向等使两种条件下的测量结果的误差符号相反，取平均值作为测量值来消除不均匀性带来的系统误差。例如，在研究金属材料弹性实验中，加砝码和减砝码各记一次数，取平均值可消除光杠杆上升或下降时因摩擦、金属丝伸縮滞后等因素产生的系统误差。

交换法 本质上也是异号法，但在形式上是将测量中的某些条件，例如被测物体的位置相互交换，是产生系统误差的原因对测量的结果起相反的作用，从而抵消系统误差。用电桥法测量未知的电阻值时，将待测物放在不同的桥臂上，如图1-2（a ）所示。

321R R R R x =

置换后，如图1-2(b)所示，312'R R R R x = 则 33332','R R R R R R x x =

= 替代法 保持测量条件不变，用一个已知量替换被测量，再作测量以达到消除系统误差的目的。用天平测量一物体的质量，可以不直接从左盘的砝码读出物体的质量，而是把右盘的物体取下用砝码代替物体再保持天平平衡，然后，读出右盘砝码的质量来消除等臂引起的系统误差。

零示法 为了消除指示仪表不准而造成的系统误差，测量中当被测量的量与标准量相互平衡使指示仪表示零。这时被测量的值就等于标准量，这就是零示法。例如：电桥电路、电位差计等都是用这种方法来消除指示仪表不准引起的系统误差的。

4．可变系统误差(变值系统误差或对称变化系统误差)的消除

在测量条件或某几个因素变化时，误差的大小和符号按确定的函数规律而变化，变值系统误差的种类很多，有的还比较复杂，我们只略谈一下常用的。

(1)线性变化的系统误差

在整个测量过程中，随时间线性变化(递增或递减)的系统

误差，如图1-3，可将观测程序可将观测程序对某时刻对称地

再做一次。例如，一只灵敏电流计零点随时间有线性漂移，在

测量读数前记下一次零点值，测量读数后再记—次零点值，取

两次零点值的平均值来修正测量。这种消除系统误差的方法称

为对称观测法。 图 1-3

由于很多随时间变化的误差在短时间内均可认为是线性变化．因此对称观测法是一种能够消除随时间变化的系统误差的好方法。

(2)周期性变化的系统误差

随着测量值或时间的变化而呈正弦曲线变化的系统误差，即为周期性系统误差，如分光计的偏心差可表示成：ε＝esinθ，当θ=0°，180°, 360°时,ε＝O；而当θ=90°，270°时，ε＝e.

周期性系统误差一般可以表示为：

ε＝esin(2πt／T)

式中 T为误差变化周期，t为决定周期误差的自变量(如时间，角度等)

当t＝t0时，ε0＝esin(2πt0／T)

当t＝t0十T／2时，ε1＝esin[2π(t0十T／2)／T]=-esin(2πt0／T)

于是，取算术平均值则有：

ε＝(ε0十ε1)／2=0

可见，对于周期性系统误差，只要选读一个数ε0，然后每隔半个周期进行一次测量，只要测量次数是偶数，取平均值即可消除。

(3)复杂规律变化的系统误差

在整个测量过程中，这一类误差是按一定的但是比较复杂的规律变化的系统误差。这些复杂规律，可能是某些初等函数形式，如对数，幂指数，指数函数等形式，也可能是经验曲线的形式。对于按复杂规律变化的误差，一般可以将它展开成代数多项式或三角多项式来分析它与某因素的关系。

此外，系统误差校对其掌握和可处理的程度又可分为已定系统误差和未定系统误差。在原则上一般都是可以发现、分离和消除的。而未定系统误差是指实验过程中不能确切地掌握其大小和方向，或没有必要去掌握它的规律，而只需要估计它的极限范围的系统误差。我们在实验中遇到的大部分测量仪器误差属于这一类。它们虽然有系统误差特征，但在大多数情况下，其本身的规律比较复杂，修正比较麻烦；另一方面，测量一般也只要求掌握系统误差的大小范围和方向，也不必要花大力气去处理它。如量程为V0的0.5级电压表，表明在被测量的范围内，测量值V的最大误差为± V030.5％。

(二)偶然误差(又称随机误差)

在实际相同的条件下，多次测量同一物理量时，误差的绝对值和符号的变化，时大时小，时正时负，以随机的方式变化的误差。

1．偶然误差来源

是由大量微小的涨落性的个别扰动累积而成的。

(1)判断的起伏

如用仪器时对最小分度以下作估读，仪器调整和操作上的不一致，而观测者由于感官分辨能力的局限性时时改变。

.9.

.10. (2)测量工作状态的偶然变化，如空气流动，温度起伏，湿度、压强的变化，电源电压的波动等。

(3)实验和测量过程中各种外界因素的干扰，如振动、电磁场、热、光、声等。

(4)被测物体本身的不确定性，如钢丝的直径，由于加工方面的技术困难，一般不可能很均匀，而在不同位置、不同方向去测量其值是不完全相同的，因而钢丝的直径是不确定的，只能去测它的平均直径。

2．偶然误差的规律

对一般物理实验和大多数测量来说，认为产生偶然误差的原因是相对独立的，微小的多种因素影响的综合效果，而不是某一因素起主要作用。由概率统计论证明，此时偶然误差将服从正态分布(高斯分布)，实际的观测结果也证实了这一点。

正态分布的特征：

(1)有界件

偶然误差的绝对值不会超过一定界限。

(2)单峰性

绝对值小的误差出现的几率比绝对值大的误差出现的几率大。

(3)对称性

绝对值相等的正负误差出现的概率相等。

(4)抵偿性

正负误差的代数和为零、

这一统计规律在数学上可用概率密度函数(高斯误差分布函数)来描述。

222/21

)(σδπσδ-=e f (1.7)

式中f(δ)为概率密度函数，即误差值δ在其附近单位区间内出现的概率,δ=x-x 0为测量值的误差，δ是高斯分布函数的惟一参量，表示在一定条件下随机误差的离散程度。

图 1-4 正态分布

.11.

图 1-5

高斯分布曲线如图1-4所示。横坐标表示误差值，纵坐标表示概率密度的大小。坐标原点相当于δ＝0，对应着真值x 0的位量。曲线下的总面积表示各种可能误差值出现的总概率为

1)(==?+∞∞

-δδd f P (1.8) ζ是高斯分布曲线成拐点的横坐标，它的大小确定曲线的形状，如图1-5所示。ζ大，表明随机误差离散程度大，测量的精密度低，曲线形状低而宽：反之，曲线形状高而窄。因而参量ζ用来量度测量的精密度。ζ的数学表达式是

n x x n n i i n i ∑∑==-==12

12

)()(δσ (1.9)

式中, 测量次数趋于无限大。ζ称为标准误差(均方根误差)。

由概率密度分布函数的定义(1.7)式，计算一下某次测量偶然误差出现在[-ζ，+ζ]区间的概率

683.0)(==?+-δδσσ

d f P (1.10) 同样可以计算，某次测量偶然误差出现在[-2ζ，+2ζ]和[-3ζ，+3ζ]区间的概率分别为

955.0)(22==?

+-δδσσ

d f P (1.11) 997.0)(33==?+-δδσσ

d f P (1.12) 以上3式所表示的积分面积如图1-6所示。

.12. 图 1-6

通过以上的分析可以得出标准误差ζ所表示的概率意义。对物理量x 任做一次测量时，测量误差落在-ζ到+ζ之间的可能性为68.3％，落在—2ζ到+2ζ之间的可能性为95.5％，而落在-3ζ到+3ζ之间的可能性为99.7％。由于标准误差ζ具有这样明确的概率含义，因此，国内外已普遍采用标准误差作为评价测量优劣的指标。

实际测量的次数n 是不可能达到无穷大的，而且真值x 0也是未知的，因此，计算标准误差ζ的公式(1.9)只具有理论上的意义而没有实际应用价值。那么，在对物理量x 进行的有限次测量而真值又不知道的情况下，确定ζ可根据偶然误差的可抵偿性，即在相同的测量条件下对同一物理量进行多次重复测量，每一次测量的误差时大时小，时正时负，但误差的代数和趋于零。用测量列x 1，x 2，…，x n 表示对物理量x 进行n 次测量的值，那么

220

11x x x x x x n n -=-=-=δδδ

将以上各式相加得

011nx x n

i i n i i -=∑∑==δ 由于01lim =∑=∞→n i i n δ

因此有

01x x n x

n

i →=∑=

.13. 可见，测量次数越多，算术平均值x 越接近真值x 0。可以用算术平均值x 作真值x 0的最佳估计值。在实际测量过程中用残差来计算每次测量的偏差

x x v i i -= (1.13)

可以证明，当测量次数为有限次时，可以用标准偏差S x 作为标准误差ζ的估计值。S x 的计算公式如下

1

)(21--=∑=n x x S n i i x (1.14) 有时也简称S x 为标准差，它具有与标准误差ζ相同的概率含义。式（1.14）称为贝赛尔公式，在实际测量中经常用到它。一般情况下，对x 进行不同组的有限次测量，各组结果的算术平均值是不会相同的。可以证明，平均值的标准偏差为S x 的1/n ，即

)1()(2--==

∑n n x x n S S i x x (1.15)

(三)粗大误差 它是由实验者的失误造成的,如在记录和计算数据时写错数据，或者实验操作不当、仪器损坏等。这是一种人为因素的错误，实验者必须要避免它。我们所说的误差不应包括这类误差。

综上所述，随机误差和系统误差在产生原因、性质、特点和处理方法上是不同的，但是它们又有密切的联系。在实际测量时二者可能同时出现。一般仪器误差既包含系统误差也包含随机误差。当实验条件变化时，随机误差和系统误差又可能互相转化。这要求我们根据具体情况分析误差的性质，再作相应的处理。

1.4 测量结果的不确定度

在测量过程中，测量误差是普遍存在的。各种误差因素必然导致测量结果偏离真值，即具有误差，且每次结果的误差又具有一定的不确定性。为了对测量结果的这种不确定程度进行定量的估计，需要引入一个新的概念——不确定度。1993年，国际计量局（BIPM ）等七个国际组织正式发布了“测量不确定度表示指南”，简称“GUM ”。指南中规范了各领域中测量不确定度计算和表达的方法。我国自1999年5月1日起实施GUM ，科学、准确、规范的表示测量结果。

测量不确定度是与测量结果相联系的参数，表征合理的赋予被测量值的分散性。它反

.14. 映测得值附近的一个范围，真值以一定的概率落在其中。不确定度越小，标志着误差的可能值越小，测量的可信赖程度越高；不确定度越大，标志着误差的可能值越大，测量的可信赖程度越低。所以说，测量不确定度是测量质量的一个极其重要的指标。

由于误差来源不同，一个直接测量的不确定度会有很多分量，按获得的方法可把这些分量分为A 类不确定度和B 类不确定度。

一、A 类标准不确定度（A u ）

凡是可以通过统计方法来计算不确定度的称为A 类不确定度，用标准差表示的A 类不确定度称为A 类标准不确定度，用A u 表示。

1

)(21--==∑=n x x S u n i i x A （P=68.3%） (1.16) 二、B 类标准不确定度(B u )

凡是不能用统计方法计算，而只能用其他方法估算的不确定度称为B 类不确定度，用标准差表示的B 类不确定度称为B 类标准不确定度，用B u 表示。

B 类不确定度一般有多个分量，B1u ，B2u ，…，它们一般均与一定的系统误差相连系。这些分量不能用统计方法得出，因此只能根据具体情况进行估算。对B 类不确定度的评定，有的依据仪器说明书或鉴定书，有的依据仪器的准确度等级，有的则粗略的依据仪器的分度值或经验。从这些信息可以获得该项系统误差的极限值△。对此误差一般按误差理论的均匀分布处理，其标准差为△/3，则B 类标准不确定度B u 取为

B u ＝△/ 3 (P=68.3%） (1.17) 但实际上该项误差的分布可能不是严格的均匀分布，那时上式中的换算系数将和3不同，在此是近似的处理。

例如，使用一准确度等级为0.5级，量程0～100mA 的电流计测一电路的电流强度I,则由电流计的基本误差引入的I 的标准不确定度就是B 类不确定度，△＝0.5%3100mA ，则

)(B I u ＝（0.5%3100）mA/3＝0.29mA

三、合成不确定度（C 类不确定度）（C u ）

若测量结果所含A 类标准不确定度和B 类标准不确定度分量之间是相互独立的，则合成标准不确定度为

+++=22212B B A c u u u u (1.18)

.15.

1.5 测量结果不确定度估算及表示

一、用不确定度表示测量结果的准确程度

在得到了测量值和计算出合成不确定度后，通常要写成下列形式：

C 'u N N ±=（单位） （P=0.683） (1.19)

%100'

?=N u E c (1.20) 上式称为测量结果表达式。其中N 为真值，'N 为测得值，P 是置信概率。其物理意义是：真值在（'N -C u ）～（'N +C u ）范围内的置信概率是68.3%。还可以取2C u ，3C u 等（就是取不同概率大小的总不确定度），这时结果表达式可以写成C 2'u N N ±=,C 3'u N N ±=等。它们的物理意义就成为：真值在（'N -2C u ）～（'N +2C u ）或（'N -3C u ）～（'N +3C u ）范围内的置信概率为95.4%或99.7%。实际测量中，要准确得到概率是比较困难的，实际概率是以上理论概率的近似。

在实验结果表示中，一般采用上式。

二、直接测量结果的不确定度估算

1．单次测量

实际测量中，遇到不能进行（或不需要）多次测量的量，把测量值x 1作为该物理量的值，取仪器误差限Δ仪作为测量的不确定度，即

x=x 1±Δ

仪（单位） （P=100%） (1.21) 或 x=x 1±u c =x 1±Δ仪/ 3 （单位） （P=68.3%） 相对不确定度：

%1001

?=x u E c (1.22) 仪器误差一般根据生产厂家仪器说明书规定的示值误差或准确等级来确定。例如，50分度的游标卡尺，测量范围在0～300mm 内，示值误差为±0.02mm ；量程150mA ，0.5级的电流表的允许误差限为0.75mA(磁电式电表误差＝量程3级别％)。

在物理实验中还可以简化约定一些仪器的误差限，即取其最小刻度的1／2或1／3，如米尺Δ仪＝0.5mm ，千分尺Δ仪=0.005mm 等。

2．多次等精度直接测量的处理

.16. 用算术平均值作为真值的最佳估算值，见式（1.1），不确定度为22B A u u u +=。结

果表示为 u x x ±=

%100?=x

u E c (1.23) 例 用螺旋测微计测一铁球的直径d

d =

m m 13.2167m m (-0.004)]-2127.13[d ==

不确定度的来源:

1. 多次测量 mm 0015.0)(=d u A

2. 螺旋测微计误差 mm 002

3.03mm/ 00

4.03/)(===Δd u B 合成标准不确定度

0027mm .0mm 0023.00015.0)d (u 22c =+=

测量结果 d=(13.2167±0.0027 ) mm

E=0.02%

三、间接测量的不确定度的计算及结果表示

1．间接测量量的最佳值

设N 为某一间接测量量，x,y,z,…为k 个直接测量量，其函数形式可表示为

)f(x,y,z,N = (1.24)

2.间接测量量的不确定度

假定直接测量量之间彼此独立，对式（1.24）全微分后有

+??

+??+??=dz z f

dy y f dx x f dN

(1.25) 如果先对式（1.24）取对数后再进行全微分，则有

.17.

+??+??+??=dz z

f

dy y f dx x f N dN ln ln ln (1.26)

上面微分式中， dx,dy,dz,可视为自变量的微小变化量(增量),dN 是由于自变量微小的变化引起函数的微小变化量(函数增量)。

不确定度都是微小的量(与测量值相比)，与微分式中的增量相当。只要把微分式中的增量符号dN , dx , dy , dz ,…换成不确定度的符号 ,,u ,u u,u z y x 再采用“方和根”合成方式后就可以得到不确定的传播公式了。如果各直接测量量的不确定度相互独立，则用方和根合成后得到的不确定度的传播公式如下：

+??? ????+?

??

? ????+??? ????=2

2

22

22

z y x N u z f u y f u x f u (1.27)

+??? ????+???

? ?

???+??? ????=2

2

22

22

ln ln ln z y x N u z f u y f

u x f N u

(1.28)

式（1.27）用于和差形式的函数比较方便，式（1.28）用于积商形式的函数比较方便。 常用函数采用方和根合成的传播公式如下表:

例 用单摆测量重力加速度的实验公式为

.18. 224T

l g π= 并测得l =100.00cm, cm 0101.u u l ==, T =2.007s, s 00202.u u T ==，求测量结果。

解：

22222s /cm 1.980007

200100142344=??==...T l

πg 22ln ln 4ln ln T l πg -+=

=????????+????????==2222ln ln BT Al u T g u l g g

u E 002.00072002020010001022222=??? ???+??? ??=??

? ??+??? ??....T u l u T l 2s /2cm =?=g E u

22s /m )02.080.9(s /cm )2980(±=±=±=u g g

（置信概率P=68.3%）

1.6 有效数字

一、有效数字基本概念

1．定义

测量结果中的可靠（准确）数字和一位可疑（欠准）数字统称为有效数字。

一般来讲，从仪器上准确读出的数字是可靠数字，误差所在位的估读数字是可疑数字。 例如用一最小分度为毫米的尺，测量一物体的长度为25.46cm ，其中2，5和4是准确读出的，而末位“6”是估读得来的(也可能是5，7)，误差也在这一位,因此是不可靠的，叫做可疑数字。在测量的值中，还是保留它，因它还是近似地反映了这一位大小的信息。

2．注意要点

(1)有效数字的位数与小数点的位置无关，决定于仪器的测量准确度。

.19. 例如：25.46cm ＝0.254 6m ＝0.000 254 6km

尽管小数点的位置不同，但它们都是4位有效数字。

但用不同精度的仪器去测量会有不同的有效数字，上述物体如果用50分度游标卡尺测量为25.464cm ，用螺旋测微计测量则为25.4640cm ，有效数字位数越多，测量准确度就越高，有效位数不能随意增减。

(2)“0”在数字中间或后面为有效数字(在数字前面不算)。

如0.204为3位有效数字，0.204 0为4位有效数字。

(3)书写有效数字要用科学记数法

对较大或较小的数值，常用310±n 的形式书写,如物体宽度为0.000 150m 可表示为

1.50310-4 m 。

二、不确定度的有效数字位数的取法

1．一般情况下，测量结果不确定度的有效数字只取一位，在一些精确测量和重要测量结果中，不确定的有效数字可取1～2位，这应视具体情况而定。

2．测量结果表达式中，测量结果的有效数字的末位数与不确定度的尾数对齐。

例1 g ＝(981.2±1.8)cm/s 2 ，L=(24.5±0.3)cm

3．相对不确定度的有效数字，一般只取1～2位。如：

E L =0.324.53100%≈1.2%、E g =1.8981.2

3100%≈0.2% 三、有效数字的运算

根据不确定度确定测量及运算结果的有效数字是处理有效数字问题的基本原则。但是在不计算不确定度的情况下，通常可按以下规则粗略得到运算结果的有效数字。

1．有效数字取舍（修约）原则

小于5则舍，大于5则入，等于5把前位凑偶数。

例2 将下面的数据修约成4位有效数字。

3.141 59→3.142 5.623 5→5.624

2.717 29→2.717

3.612 50→3.612

4.510.50→4.510 6.282 501→6.283（因0.000 501﹥0.000 5）

2．加减运算

加减运算后的有效数字，取到参与运算各数中最靠前出现可疑数的那一位。

例3 3.24872.24817.41.20==+

38.13238.13884.586.19==-

.20. 也可以对上面的数据进行修正，在进行运算。

3.242.41.20=+，38.1358.586.19=-

3．乘除运算

进行乘除运算时，其运算后结果的有效数字一般以参与运算各数中的有效数字位数最少的为准。

例4 4.178310.110.00

＝4.22 4．乘方与开方

乘方与开方(特别是平方与开平方)相似于有效数字位数相同的数相乘除，故结果的有

效数字与其底或被开方数的有效数字位数相同。如 1002 ＝1003102 ，100＝10.0等。

5．函数运算

在计算器/计算机普及应用的情况下按以下规则很容易决定各种函数运算结果的有效数字。

根据有效数字的定义，不确定度出现在有效数字的末位。因此可将计算的函数值与自变量的末位增加一个单位后的函数值相比较去确定。

例如x=33'33?,求sinx=?

由计算器可以求出sin 33'33?= 0.55266447771

再计算 sin 34'33?=0.55290688168

由此可知应取sin 33'33?= 0.5527

这种方法也可应用于其它比较复杂的运算式。

6．自然数与常量

由于自然数不是由测量得到的，不存在误差，故有效数字是无穷多位。如圆的直径是半径的2倍，D ＝2R 中的“2”，有效数字就是无穷多位而不是一位。

在运算过程中的一些常量，如π、e 等，它们取的位数可与参加运算的量中有效数字最少的位数相同或多一位。

可见，测量值的有效数字及其运算是每一个实验都要遇到的问题，因此实验者就必须养成按有效数字及其有效数字规则进行读数、记录、处理和结果表示的习惯。

四、测量仪器读数的有效数字

读数的一般规则是：读至产生误差的那一位，未给出误差或不明确的就读至仪器最小分度的下一位(指有估读的仪器)。

1)分度式仪器。读数要读到最小分度的1／10，有些指针式仪表，分度较窄，指针较宽(大于分度的1／5)，可读到最小分度的1／2～1／3。

例如用毫米分度的米尺测量长度，由于该仪器的误差不明确，读数时应读至米尺的最

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