第七章静态动态测试数据处理

第七章 静态、动态测试数据处理本章的主要内容有静态测试数据处理方法、回归分析、曲线拟合，动态试验数据 的时域分析和频域分析。

第一节 静态测试数据处理一、试验数据处理方法 1.表格法——用表格来表示函数的方法。 特点：简单方便，但不能给出所有的函数关系， 不易看出函数的变化规律。 2.图示法——根据试验结果作出的尽可能反映真 实情况的曲线。 特点：直观看出函数变化规律，但图示仅有函数 变化关系而不能进行数学分析。 3.经验公式法——用回归分析的方法确定经验公 式的函数类型及其参数的方法。 特点：可对公式进行数学分析。

二、回归分析与曲线拟合

为了便于用数学方法研究汽车试验中各被测量之间的规律，在静态测量数据处理中，寻求用简便的经 验公式表达各变量之间的关系是很重要的。根据最小 二乘法原理确定经验公式的数理统计方法称为回归分 析。处理两个变量之间的关系称为一元回归分析。

1.一元线性回归分析如果对两个变量x 和y 分别进行了n次测定，得到n对测定y 值( x i , i ),(i=1,2,…,n),将其描在直角坐标图上，

就得到n个坐标点。若各点都分布在一条直线附近，则可用 一条直线来代表变量x与之间的关系。 y a bx

式中：y —回归直线上的理论计算值； a,b —线性回归系数。

用实例介绍一元线性回归分析的方法和步骤例：某车辆在水平道路上行驶，测得车辆行驶的距离和时 间的数值如表7-1所示。求距离与时间的函数关系。 表7-1距离(m) 时间(s) 700 3.8 900 4.2 1160 4.7 1190 4.8 1270 4.9 1490 5.4 1620 5.6 2130 5.7

解：1)回归方程的确定 将表7-1中的数据画在坐标纸上, 如图7-1所示。

图7-1 某车行驶时时间─距离关系

从图7-1看出，这些点近似于一条直线，于是可以利用一 条直线来代表变量之间的关系 y a bx 式中：y —公式中算出的值； x —距离L的值； a,b —线性回归系数。 2)确定函数中的各参数 用这条直线算出的 y 值，代表测定数据的平均值，实测 值与平均值之差代表残差，残差值越小说明回归直线越接 近理想直线。因此确定回归直线的原则是找出一条直线使 其与实测数据之间的误差比任何其他直线与实测数据之间 的误差都小，即残差的平方和最小，这就是最小二乘法的 基本思想。记 n n Q ( yi yi )2 ( yi a bxi ) 2 mini 1 i 1

回归方程的确定就是确定系数a、b,据《数学分析》知， 使Q取最小的a、b必须满足如下方程组：n Q 2 ( yi a bxi ) 0 a i 1n Q 2 ( yi a bxi ) xi 0 b i 1

即

na ( xi )b

yii 1 i 1

n

n

( xi )a ( x )b xi yii 1 i 1 2 i i 1

n

n

n

解得：

x y x x y a n x ( x )2 i i 2 i i i 2 i

i

b

n xi yi xi yi n xi2 ( xi )2

或

a y bxb

式中：

( x x)( y y ) ( x x)i i 2 i

x

1 n

xi 1

n

i

y 1 yi ni 1

n

3)对曲线拟合所得经验公式的精度进行检验 尽管最小二乘法反映的是误差最小原则，但所求得的经验 公式的精度并非一定可以满足要求。因为，由前面的分析过 程不难看出，前面计算中的误差最小只是测试结果与我们所 选定曲线类型之间的误差最小，或许实测结果的规律原本就 与选定曲线的类型不符。我们需对曲线拟合的精度进行检验。 关于“精度”检验，人们提出过多种方法，在此仅介绍一种 在工程上最常用的方法，即相对误差法。 所谓“精度”,事实上就是相对误差的大小。若能将经验 公式的检测结果与实测值之间的相对误差控制在要求的范围 内，显然是符合工程上的要求的，即： ( yi yi ) max [v ] yi[v 式中： ] —允许的相对误差。

2. 一元非线性回归一元线性回归是工程实际中最简单的一种形式，但更多的 是一些非线性的问题。下面介绍如何利用线性回归方法解决非 线性问题。 1)确定经验公式类型 将测试结果描在坐标图上，并用光滑曲线将其连起来。江 实验曲线与《数学手册》上的典型曲线进行比较，选取与试验 曲线最接近的曲线方程作为经验公式的类型。 2)将曲线进行直线化变换 1 b 如：①双曲线方程 a y x

令 则：

y'

1 y

x'

1 x

1 b a y x

y ' a bx' 变为：

②对数曲线 y a b lg x ' 令：x lg x 则： y a bx' ③指数曲线 y cebx 对上式两边取对数得： ln y ln c bx y ' ln y,c ' ln c 令： 则：y ' c ' bx 3)按照前面所介绍的直线(一元线性)拟合的方法进行 计算。 4)检验其曲线拟合的精度，若达不到所需精度的要求， 则应重新选择曲线类型进行拟合，直至满足精度要求为止。 5)再将直线方程变换为原曲线方程。

a) 双曲线

y a

d) 对数曲线y a b lg xe) 指数曲线 y ae x f) S型曲线 y 图7-2 几种常见的典型函数曲线

b x

b) 指数曲线

y ae

bx c)b

幂函数曲线

y axb1 a be x

3.将试验结果拟合成多项式前面所讲的典型曲线往往是有限的，当试验结果与任何一条典型曲线 都不相符时，就要寻找新的曲线，显然那就是多项式。 y a0 a1x a2 x2 am xm1)多项式次数的确定 多项式次数的确定一般采用差分法。设自变量 的取值是等间距的，即： x2 x1 x3

x2 xm xm 1 x 计算出因变量 y 的相邻值之间的差值，即一阶差值 y y1 y2 y1 ,y2 y3 y2, , ym 1 ym ym 1 2 2 2 二阶差值 y为 y1 y2 y1, y2 y3 y2, 三阶差值 3 y 为 3 y1 2 y2 2 y1, 3 y2 2 y3 2 y2,

n n 1 n 1 n n 1 n 1 n n阶差值 y 为 y1 y2 y1 , y2 y3 y2 ,

当某阶差值满足下列关系式时， i ymax 2i y

式中： δy — y 的测量误差。

2)确定多项式的系数同样用最小二乘法，即：Qy ( yi y i ) [ yi (a0 a1 xi a2 xi 2 am xim )]22 i 1n

n

n

i 1

[ yi a j xij ]2 mini 1 j 0

m

令

Qy a0

Q 0, y a1

0 , ,

Qy am

0 ,即可求出 a0,a1 ,…,am的数值

3)经验公式精度的检验多项式的曲线拟合，其拟合精度的检验方法与一元线性回 归相同。

第二节 动态测试数据处理一、动态测试数据处理概述 1.动态测试 1)动态测试与静态测试 静态测试：被测量静止不变 测量误差基本相互独立 动态测试：被测量随时间或空间而变化 测量系统处于动态情况下 测量误差具有相关性 2)动态测量误差特点 时空性；随机性；相关性；动态性

2.动态测试数据的分类 动态测试数据

确定性数据周期数据 正 弦 周 期 复 杂 周 期 非周期数据

随机过程数据 平稳过程 各 态 历 经 非 各 态 历 经 非平稳过程

准 周 期

瞬 态 数 据

确定性数据：能够用明确的数学关系式表达 1)周期数据 ① 正弦周期数据x(t )

x(t ) A sin( 2 ft )x( f )

A 0

t

A 0

f

f

② 复杂周期数据x(t )

x(t ) A0 (an cos 2 nf1t bn sin 2 nf1t )n 1

x( f )

x2 x1

x3

x4

0

t

x0

0 f1 2 f1 3 f14 f1

f

2)非周期数据

① 准周期数据x( f )

x(t ) An sin( 2 nf nt n )n 1

( f n / f m 不全为有理数)0 f1

f 2 f3

f

② 瞬态数据x( f ) A a

0

f

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