第七章静态动态测试数据处理
更新时间:2023-09-04 09:33:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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第七章 静态、动态测试数据处理本章的主要内容有静态测试数据处理方法、回归分析、曲线拟合,动态试验数据 的时域分析和频域分析。
第一节 静态测试数据处理一、试验数据处理方法 1.表格法——用表格来表示函数的方法。 特点:简单方便,但不能给出所有的函数关系, 不易看出函数的变化规律。 2.图示法——根据试验结果作出的尽可能反映真 实情况的曲线。 特点:直观看出函数变化规律,但图示仅有函数 变化关系而不能进行数学分析。 3.经验公式法——用回归分析的方法确定经验公 式的函数类型及其参数的方法。 特点:可对公式进行数学分析。
二、回归分析与曲线拟合
为了便于用数学方法研究汽车试验中各被测量之间的规律,在静态测量数据处理中,寻求用简便的经 验公式表达各变量之间的关系是很重要的。根据最小 二乘法原理确定经验公式的数理统计方法称为回归分 析。处理两个变量之间的关系称为一元回归分析。
1.一元线性回归分析如果对两个变量x 和y 分别进行了n次测定,得到n对测定y 值( x i , i ),(i=1,2,…,n),将其描在直角坐标图上,
就得到n个坐标点。若各点都分布在一条直线附近,则可用 一条直线来代表变量x与之间的关系。 y a bx
式中:y —回归直线上的理论计算值; a,b —线性回归系数。
用实例介绍一元线性回归分析的方法和步骤例:某车辆在水平道路上行驶,测得车辆行驶的距离和时 间的数值如表7-1所示。求距离与时间的函数关系。 表7-1距离(m) 时间(s) 700 3.8 900 4.2 1160 4.7 1190 4.8 1270 4.9 1490 5.4 1620 5.6 2130 5.7
解:1)回归方程的确定 将表7-1中的数据画在坐标纸上, 如图7-1所示。
图7-1 某车行驶时时间─距离关系
从图7-1看出,这些点近似于一条直线,于是可以利用一 条直线来代表变量之间的关系 y a bx 式中:y —公式中算出的值; x —距离L的值; a,b —线性回归系数。 2)确定函数中的各参数 用这条直线算出的 y 值,代表测定数据的平均值,实测 值与平均值之差代表残差,残差值越小说明回归直线越接 近理想直线。因此确定回归直线的原则是找出一条直线使 其与实测数据之间的误差比任何其他直线与实测数据之间 的误差都小,即残差的平方和最小,这就是最小二乘法的 基本思想。记 n n Q ( yi yi )2 ( yi a bxi ) 2 mini 1 i 1
回归方程的确定就是确定系数a、b,据《数学分析》知, 使Q取最小的a、b必须满足如下方程组:n Q 2 ( yi a bxi ) 0 a i 1n Q 2 ( yi a bxi ) xi 0 b i 1
即
na ( xi )b
yii 1 i 1
n
n
( xi )a ( x )b xi yii 1 i 1 2 i i 1
n
n
n
解得:
x y x x y a n x ( x )2 i i 2 i i i 2 i
i
b
n xi yi xi yi n xi2 ( xi )2
或
a y bxb
式中:
( x x)( y y ) ( x x)i i 2 i
x
1 n
xi 1
n
i
y 1 yi ni 1
n
3)对曲线拟合所得经验公式的精度进行检验 尽管最小二乘法反映的是误差最小原则,但所求得的经验 公式的精度并非一定可以满足要求。因为,由前面的分析过 程不难看出,前面计算中的误差最小只是测试结果与我们所 选定曲线类型之间的误差最小,或许实测结果的规律原本就 与选定曲线的类型不符。我们需对曲线拟合的精度进行检验。 关于“精度”检验,人们提出过多种方法,在此仅介绍一种 在工程上最常用的方法,即相对误差法。 所谓“精度”,事实上就是相对误差的大小。若能将经验 公式的检测结果与实测值之间的相对误差控制在要求的范围 内,显然是符合工程上的要求的,即: ( yi yi ) max [v ] yi[v 式中: ] —允许的相对误差。
2. 一元非线性回归一元线性回归是工程实际中最简单的一种形式,但更多的 是一些非线性的问题。下面介绍如何利用线性回归方法解决非 线性问题。 1)确定经验公式类型 将测试结果描在坐标图上,并用光滑曲线将其连起来。江 实验曲线与《数学手册》上的典型曲线进行比较,选取与试验 曲线最接近的曲线方程作为经验公式的类型。 2)将曲线进行直线化变换 1 b 如:①双曲线方程 a y x
令 则:
y'
1 y
x'
1 x
1 b a y x
y ' a bx' 变为:
②对数曲线 y a b lg x ' 令:x lg x 则: y a bx' ③指数曲线 y cebx 对上式两边取对数得: ln y ln c bx y ' ln y,c ' ln c 令: 则:y ' c ' bx 3)按照前面所介绍的直线(一元线性)拟合的方法进行 计算。 4)检验其曲线拟合的精度,若达不到所需精度的要求, 则应重新选择曲线类型进行拟合,直至满足精度要求为止。 5)再将直线方程变换为原曲线方程。
a) 双曲线
y a
d) 对数曲线y a b lg xe) 指数曲线 y ae x f) S型曲线 y 图7-2 几种常见的典型函数曲线
b x
b) 指数曲线
y ae
bx c)b
幂函数曲线
y axb1 a be x
3.将试验结果拟合成多项式前面所讲的典型曲线往往是有限的,当试验结果与任何一条典型曲线 都不相符时,就要寻找新的曲线,显然那就是多项式。 y a0 a1x a2 x2 am xm1)多项式次数的确定 多项式次数的确定一般采用差分法。设自变量 的取值是等间距的,即: x2 x1 x3
x2 xm xm 1 x 计算出因变量 y 的相邻值之间的差值,即一阶差值 y y1 y2 y1 ,y2 y3 y2, , ym 1 ym ym 1 2 2 2 二阶差值 y为 y1 y2 y1, y2 y3 y2, 三阶差值 3 y 为 3 y1 2 y2 2 y1, 3 y2 2 y3 2 y2,
n n 1 n 1 n n 1 n 1 n n阶差值 y 为 y1 y2 y1 , y2 y3 y2 ,
当某阶差值满足下列关系式时, i ymax 2i y
式中: δy — y 的测量误差。
2)确定多项式的系数同样用最小二乘法,即:Qy ( yi y i ) [ yi (a0 a1 xi a2 xi 2 am xim )]22 i 1n
n
n
i 1
[ yi a j xij ]2 mini 1 j 0
m
令
Qy a0
Q 0, y a1
0 , ,
Qy am
0 ,即可求出 a0,a1 ,…,am的数值
3)经验公式精度的检验多项式的曲线拟合,其拟合精度的检验方法与一元线性回 归相同。
第二节 动态测试数据处理一、动态测试数据处理概述 1.动态测试 1)动态测试与静态测试 静态测试:被测量静止不变 测量误差基本相互独立 动态测试:被测量随时间或空间而变化 测量系统处于动态情况下 测量误差具有相关性 2)动态测量误差特点 时空性;随机性;相关性;动态性
2.动态测试数据的分类 动态测试数据
确定性数据周期数据 正 弦 周 期 复 杂 周 期 非周期数据
随机过程数据 平稳过程 各 态 历 经 非 各 态 历 经 非平稳过程
准 周 期
瞬 态 数 据
确定性数据:能够用明确的数学关系式表达 1)周期数据 ① 正弦周期数据x(t )
x(t ) A sin( 2 ft )x( f )
A 0
t
A 0
f
f
② 复杂周期数据x(t )
x(t ) A0 (an cos 2 nf1t bn sin 2 nf1t )n 1
x( f )
x2 x1
x3
x4
0
t
x0
0 f1 2 f1 3 f14 f1
f
2)非周期数据
① 准周期数据x( f )
x(t ) An sin( 2 nf nt n )n 1
( f n / f m 不全为有理数)0 f1
f 2 f3
f
② 瞬态数据x( f ) A a
0
f
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