2012年高考真题理科数学解析汇编:导数与积分(1)
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2012年高考真题理科数学解析汇编:导数与积分
一、选择题
1 .(2012年高考(新课标理))已知函数1
()ln(1)f x x x =+-;则()y f x =
的图像大致为
2 .(2012年高考(浙江理))设a >0,b >0. ( )
A .若2223a b a b +=+,则a >b
B .若2223a
b a b +=+,则a b D .若2223a b a b -=-,则a
3 .(2012年高考(重庆理))设函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',
且函数(1)()y x f x '=-的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是
( ) A .函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f
B .函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f
C .函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -
D .函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f
4 .(2012年高考(陕西理))设函数()x f x xe =,则 ( )
A .1x =为()f x 的极大值点
B .1x =为()f x 的极小值点
C .1x =-为()f x 的极大值点
D .1x =-为()f x 的极小值点
5 .(2012年高考(山东理))设0a >且1a ≠,则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”,是
2
“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 ( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
6 .(2012年高考(湖北理))已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形
的面积为 ( )
A .
2π5
B .
43
C .
32
D .
π2
7 .(2012年高考(福建理))如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点
P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 ( )
A .
14
B .
15
C .
16
D .
17
8 .(2012年高考(大纲理))已知函数3
3y x x c =-+的图像与x 轴恰有两
个公共点,则c = ( )
A .2-或2
B .9-或3
C .1-或1
D .3-或1
二、填空题
9 .(2012年高考(上海理))已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ,若中
A (0,0),
B (2
1,5),C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ .
10.(2012年高考(山东理))设0a >.若曲线y x =
与直线,0x a y ==所围成封闭图形的
面积为2
a ,则a =______.
11.(2012年高考(江西理))计算定积分1
2
1
(sin )x x dx -+=?___________.
12.(2012年高考(广东理))曲线3
3y x x =-+在点()1,3处的切线方程为___________________.
三、解答题
13.(2012年高考(天津理))已知函数()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a .
(Ⅰ)求a 的值;
(Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2
()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值;
(Ⅲ)证明=1
2ln (2+1)<221
n
i n i --∑
*
()n N ∈.
1
--
y x
O
第3题图
1
-1
-
3
14.(2012年高考(新课标理))已知函数()f x 满足满足1
2
1()(1)(0)2
x f x f e f x x -'=-+
;
(1)求()f x 的解析式及单调区间; (2)若2
1()2
f x x ax b ≥++,求(1)a b +的最大值.
15.(2012年高考(浙江理))已知a >0,b ∈R,函数
()3
42f
x ax bx a b
=
--+.
(Ⅰ)证明:当0≤x ≤1时,
(ⅰ)函数()f x 的最大值为|2a -b |﹢a ; (ⅱ) ()f x +|2a -b |﹢a ≥0;
(Ⅱ) 若﹣1≤()f x ≤1对x ∈[0,1]恒成立,求a +b 的取值范围.
16.(2012年高考(重庆理))(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分.)
设13
()ln 1,22
f x a x x x =+
++其中a R ∈,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴.
(Ⅰ) 求a 的值;
(Ⅱ) 求函数()f x 的极值.
17.(2012年高考(陕西理))设函数()(,,)n
n f x x bx c
n N b c R +=++∈∈
(1)设2n ≥,1,
1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12??
???
内存在唯一的零点;
(2)设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围; (3)在(1)的条件下,设n x 是()n f x 在1
,12??
???
内的零点,判断数列23,,,n x x x 的增减性. F
G
D
E A
B C
4
18.(2012年高考(山东理))已知函数ln ()x x k
f x e +=(k 为常数, 2.71828e =???是自然对
数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值;
(Ⅱ)求()f x 的单调区间;
(Ⅲ)设2()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数.证明:对任意2
0,()1x g x e -><+.
19.(2012年高考(辽宁理))设()ln(1)1(,,,)f x x x ax b a b R a b =+++++∈为常数,曲
线()y f x =与 直线3
2y x =在(0,0)点相切.
(Ⅰ)求,a b 的值.
(Ⅱ)证明:当02x <<时,9()6x f x x <
+.
20.(2012年高考(江苏))若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值,则称0x 为函数)(x f y =的极值点.
已知a b ,是实数,1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点.21世纪教育网
(1)求a 和b 的值;
(2)设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+,求()g x 的极值点;
(3)设()(())h x f f x c =-,其中[22]c ∈-,,求函数()y h x =的零点个数.
5
21.(2012年高考(湖南理))已知函数()f x =ax e x =-,其中a ≠0.
(1) 若对一切x∈R,()f x ≥1恒成立,求a 的取值集合.
(2)在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ,22(,())B x f x 12()x x <,记直线AB 的斜率为K,问:是否存在x 0∈(x 1,x 2),使0()f x k '>成立?若存在,求0x 的取值范围;若不存在,请说明理由.
22.(2012年高考(湖北理))(Ⅰ)已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->,其中r 为有理数,且
01r <<. 求()f x 的
最小值;
(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题:
设120,0a a ≥≥,12,b b 为正有理数. 若121b b +=,则1
2
121122b b a a a b a b ≤+;
(Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法.....证明你所推广的命题. 注:当α为正有理数时,有求导公式1()x x ααα-'=.
23.(2012
年高考(广东理))(不等式、导数)设1a <,集合
{}0A x R x =∈>,(){}
2
23160B x R x a x a =∈-++>,D A B = .
(Ⅰ)求集合D (用区间表示);
(Ⅱ)求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点.
24.(2012年高考(福建理))已知函数2
()()x
f x e ax ex a R =+-∈.
(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)试确定a 的取值范围,使得曲线()y f x =上存在唯一的点P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .
6
25.(2012年高考(大纲理))(注意:在试题卷上作答无效.........
) 设函数()cos ,[0,]f x ax x x π=+∈.
(1)讨论()f x 的单调性;
(2)设()1sin f x x ≤+,求a 的取值范围.
26.(2012年高考(北京理))已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.
(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;
(2)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.
27.(2012年高考(安徽理))(本小题满分13分)设1
()(0)x x f x ae b a ae =++>
(I)求()f x 在[0,)+∞上的最小值; (II)设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =;求,a b 的值.
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2012年高考真题理科数学解析汇编:导数参考答案
一、选择题
1. 【解析】选B 21世纪教育网
()ln(1)()1()010,()00()(0)0
x
g x x x g x x g x x g x x g x g '=+-?=-+''?>?-<<>?<=
得:0x >或10x -<<均有()0f x < 排除,,A C D
2. 【答案】A
【解析】若2223a b a b +=+,必有2222a b a b +>+.构造函数:()22x f x x =+,则
()2ln 220x f x '=?+>恒成立,故有函数()22x f x x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其余选项用同样方法排除.
3. 【答案】D
【解析】2,10x x <-->,由(1)()0()0x f x f x ''->?>,函数()f x 为增; 21,10x x -<<->,由(1)()0()0x f x f x ''-<,函数()f x 为减;
12,10x x <<-<,由(1)()0()0x f x f x ''->?<,函数()f x 为减;
2,10x x >-<,由(1)()0()0x f x f x ''->,函数()f x 为增.
【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号,当导函数大于0,则函数为增,当导函数小于0则函数递减.
4. 解析:()(1)x f x x e '=+,令()0,f x '=得1x =-,1x <-时,()0f x '<,()x f x xe =为减
函数;1x >-时,()0f x '>,()x f x xe =为增函数,所以1x =-为()f x 的极小值点,选D.
5. 【解析】若函数x a x f =)(在R 上为减函数,则有10<
数,则有02>-a ,所以2
3
)2()(x a x g -=为增函数”的充分不必要条件,选A.
6. 考点分析:本题考察利用定积分求面积. 解析:根据图像可得: 2()1y f x x ==-+,再由定积分的几何意义,可求得面积为1
2311114(1)()33S x dx x x --=-+=-+=?.
7. 【答案】C 【解析】31220121
1()()
13260S x x dx x x S =-=-==? 正阴影,故16P =,答案C
8
【考点定位】本题主要考查几何概型的概率和定积分,考查推理能力、计算求解能力.
8. 答案A
【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用.要是函数图像与x 轴有两个不同的交点,则需要满足极佳中一个为零即可. 【解析】因为三次函数的图像与x 轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或者极小值为零即可满足要求.而2()333()(1)f x x x x '=-=-+,当1x =±时取得极值 由(1)0f =或(1)0f -=可得20c -=或20c +=,即2c =±.
二、填空题
9. [解析]如图1,???≤<-≤≤=1
,10100,
10)(21
2
1x x x x x f , 所以???≤<+-≤≤==1,10100,10)(21
22
12x x x x x x xf y , 易知,y =xf (x )的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MNO 与OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP 的面积
S=4
52
52
1=
?.
[评注]对于曲边图形,上海现行教材中不出微积分,能用微积分求此面积的考生恐是极少的,而对于极大部分考生,等积变换是唯一的出路.
10. 【解析】由已知得2
23
23
3
2|3
2a a x x S a a
==
=
=
?
,所以3
221
=
a ,所以9
4=
a .
11.
23
【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用.
31
2
111
11112
(sin )cos |cos1cos1333333x x x dx x --??-????+=-=---=+= ? ? ???????
?. 【点评】这里,许多学生容易把原函数写成
3
cos 3
x
x +,主要是把三角函数的导数公式记混
而引起的.体现考纲中要求了解定积分的概念.来年需要注意定积分的几何意义求曲面面
积等.
12.解析:210x y -+=.2
1|3112x y ='=?-=,所以切线方程为()321y x -=-,即
210x y -+=.
三、解答题
13. 【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知
识,考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和解决问题的能力. (1)()f x 的定义域为(,)a -+∞
()ln()f x x x a =-+11()101x a f x x a a
x a
x a
+-'?=-
=
=?=->-++
x
y
A B
C 1 5 图1
N
x
y O D M
1 5 P
图2
9
()01,()01f x x a f x a x a ''>?>--<<-
得:1x a =-时,min ()(1)101f x f a a a =-?-=?=
(2)设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++≥
则()0g x ≥在[0,+)x ∈∞上恒成立min ()0(0)g x g ?≥=(*)
(1)1ln 200g k k =-+≥?>
1
(221)()211
1x kx k g x kx x x +-'=-+=++ ①当1
210()2k k -<<时,0012()00()(0)02k g x x x g x g k -'≤?≤≤=?<=与(*)矛盾 ②当1
2k ≥时,min ()0()(0)0g x g x g '≥?==符合(*)
得:实数k 的最小值为1
2(lfxlby)
(3)由(2)得:21
ln(1)2x x x -+<
对任意的0x >值恒成立 取2
(1,2,3,,)21x i n i ==- :22
2[ln(21)ln(21)]21
(21)i i i i -+--<--
当1n =时,2ln 32-< 得:=12ln (2+1)<221n i n i --∑
(lb ylfx )
当2i ≥时,22
11
(21)2321i i i <---- 得:121
[
ln(21)ln(21)]2ln 3122121n
i i i i n =-++-<-+-<--∑
【点评】试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说没有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从而做到不重不漏;第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行.
14. 【解析】(1)1211
()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+
令1x =得:(0)1f =
1211
()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+?==?= [来源:21世纪教育网]
得:21
()()()12x x f x e x x g x f x e x '=-+?==-+
()10()x g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增
10
()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?< 得:()f x 的解析式为2
1
()2x f x e x x =-+ 且单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞ (2)21
()()(1)02x f x x ax b h x e a x b ≥++?=-+-≥得()(1)x
h x e a '=-+ ①当10a +≤时,()0()h x y h x '>?=在x R ∈上单调递增 x →-∞时,()h x →-∞与()0h x ≥矛盾
②当10a +>时,()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>?>+<+ [来源:21世纪教育网]
得:当ln(1)x a =+时,min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥
22
(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++> 令22()ln (0)F x x x x x =->;则()(12ln )F x x x '=- ()00,()0F x x e F x x e ''>?<<> 当x e =
时,m ax ()2e F x = 当1,a e b e =-=时,(1)a b +的最大值为2e
15. 【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力.
(Ⅰ)
(ⅰ)()2122f x ax b '=-.
当b ≤0时,()2122f x ax b '=->0在0≤x ≤1上恒成立, 此时()f x 的最大值为:()1423f a b a b a b =--+=-=|2a -b |﹢a ; 当b >0时,()2122f x ax b '=-在0≤x ≤1上的正负性不能判断, 此时()f x 的最大值为:
()m ax 2m ax{(0)1}m ax{()3}32b a b a f x f f b a a b a b b a ->?==--=?-,,(),(),=|2a -b |﹢a ;
综上所述:函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a -b |﹢a ; (ⅱ) 要证()f x +|2a -b |﹢a ≥0,即证()g x =﹣()f x ≤|2a -b |﹢a .
11
亦即证()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a -b |﹢a , ∵()342g x ax bx a b =-++-,∴令()212206b
g x ax b x a '=-+=?=.
当b ≤0时,()2122g x ax b '=-+<0在0≤x ≤1上恒成立, 此时()g x 的最大值为:()03g a b a b =-<-=|2a -b |﹢a ; 当b <0时,()2122g x ax b '=-+在0≤x ≤1上的正负性不能判断, ()m ax m ax{()1}6b g x g g a =,()
4m ax{2}
36463662b b a b b a a b b a b a b a b a b a =+--?≤+-?=?>?-?,,,
≤|2a -b |﹢a ;
综上所述:函数()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a -b |﹢a . 即()f x +|2a -b |﹢a ≥0在0≤x ≤1上恒成立. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a -b |﹢a , 且函数()f x 在0≤x ≤1上的最小值比﹣(|2a -b |﹢a )要大. ∵﹣1≤()f x ≤1对x ∈[0,1]恒成立, ∴|2a -b |﹢a ≤1.
取b 为纵轴,a 为横轴.
则可行域为:21b a
b a ≥??-≤?和231b a
a b ?-≤?,目标函数为z =a +b .
作图如下:
由图易得:当目标函数为z =a +b 过P (1,2)时,有max 3z =,min 1z =-.
∴所求a +b 的取值范围为:[]13-,
.
12
【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) []13-,.
16. 【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意
义,两条直线平行的判定等基础知识,考查运算求解能力. 解:(1)因()1
3
ln 122f x a x x x =+++,故()21
322a
f x x x '=-+
由于曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于y 轴,故该切线斜率为0,即()10f '=, 从而1
3
022a -+=,解得1a =-
(2)由(1)知()()1
3ln 1022f x x x x x
=-+++>, ()2221
13321222x x f x x x x --'=-
-+= ()2(31)(1)
2x x f x x +-'∴=
令()0f x '=,解得121
1,3x x ==-(因213x =-不在定义域内,舍去),
当()0,1x ∈时,()0f x '<,故()f x 在()0,1上为减函数; 当()1,x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在()1,+∞上为增函数; 故()f x 在1x =处取得极小值()13f =.
17.解析:(1)1,1b c ==-,2n ≥时,()1n
n f x x x =+- ∵111()(1)()10222n n n f f =-?<,∴()n f x 在1,12?? ???
内存在零点.
13
又当1
,12x ??∈
???
时,1
()10n n f x nx
-'=+> ∴ ()n f x 在1
,12??
???上是单调递增的,所以()n f x 在1,12??
???
内存在唯一零点. (2)当2n =时,22()f x x bx c =++
对任意12,[1,1]x x ∈-都有2122|()()|4f x f x -≤等价于2()f x 在[1,1]-上最大值与最小值之差4M ≤,据此分类讨论如下:(ⅰ)当|
|12
b >,即||2b >时,
22|(1)(1)|2||4M f f b =--=>,与题设矛盾
(ⅱ)当102
b -≤-
<,即02b <≤时,
2
22(1)()(
1)422
b b M f f =---
=+≤恒成立
(ⅲ)当012
b ≤
≤,即20b -≤≤时,
2
22(1)()(
1)422
b b M f f =---
=-≤恒成立.
综上可知,22b -≤≤
注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下: 用max{,}a b 表示,a b 中的较大者.当112
b -≤
≤,即22b -≤≤时,
222m ax{(1),(1)}()2
b
M f f f =---
22222(1)(1)|(1)(1)|()222
f f f f b f -+--=+--
2
1||()4
b
c b c =++--
+
2
||(1)42
b =+≤恒成立
(3)证法一 设n x 是()n f x 在1
,12??
???
内的唯一零点(2)n ≥ ()1n n n n n f x x x =+-,1
1111()10n n n n n f x x x +++++=+-=,11,12n x +??∈ ???
于是有11111111()0()11()n n
n n n n n n n n n n f x f x x x x x f x ++++++++===+-<+-=
又由(1)知()n f x 在1
,12??
???
上是递增的,故1(2)n n x x n +<≥,
14
所以,数列23,,,n x x x 是递增数列.
证法二 设n x 是()n f x 在1,12??
???内的唯一零点 1111()(1)(1)(111)n n n n n n
n f x f x x ++++=+-+- 21世纪教育网 1110n n n n n n x x x x +=+-<+-=
则1()n f x +的零点1n x +在(,1)n x 内,故1(2)n n x x n +<≥,
所以,数列23,,,n x x x 是递增数列.
18.解析:由f(x) = x e k
x +ln 可得=')(x f x e x k x ln 1
--,而0)1(='f ,即01=-e k ,解得
1=k ;
(Ⅱ)=')(x f x e x
x ln 11
--,令0)(='x f 可得1=x ,
当10< )(>--= 'x x x f ;当1>x 时,0ln 11 )(<--='x x x f . 于是)(x f 在区间)1,0(内为增函数;在),1(+∞内为减函数. (Ⅲ)x x e x x x x e x x x x x g ln )(1ln 11)()(222+--=--+=, (1)当1≥x 时, 0,0,0ln ,0122>>+≥≤-x e x x x x ,210)(-+<≤e x g . (2)当10< ) ()(-+<--+=e e x x x x x g x . 只需证) ln 1(111 2x x e e x x +-+<+-即可 设函数)1,0(),ln 1(1)(,1 )(∈+-=+= x x x x q e x x p e . 则)1,0(,ln 2)(,0)(∈--='<-='x x x q e x x p x , 则当10< )(=<+=p e x x p e , 令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2∈=-e x , 当),0(2-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2-∈e x 时0)(<'x q , 15 则当10< 则 ≥ +-+-) ln 1(112 x x e 1112 2=++--e e ,于是可知当10< ) ln 1(1112 x x e e x x +-+< +-成立 综合(1)(2)可知对任意x>0,21)(-+ x e x x p e ,则0)(<-='x e x x p , 则当10< p e x x p x , 于是当10< 2 1)ln 11( ln 11 )()(-+<--<--+=e x x x e x x x x x g x , 只需证2 1)ln 11( -+<--e x x x 即可, 设)1,0(),ln 1(1)(∈+-=x x x x q ,)ln 1(1)(x x x q +-=', 令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2∈=-e x , 当),0(2-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2-∈e x 时0)(<'x q , 则当10< 于是可知当10< 2 1ln 11 ) (-+<--+e e x x x x x 成立 综合(1)(2)可知对任意x>0,2 1)(-+ 另证2:根据重要不等式当10< e x <+1, 于是不等式2 2 1)ln 11( ln 11 ) ()(-+<--<--+=e x x x e x x x x x g x , 设)1,0(),ln 1(1)(∈+-=x x x x q ,)ln 1(1)(x x x q +-=', 令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2 ∈=-e x , 当),0(2 -∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2 -∈e x 时0)(<'x q , 则当10< 21)()ln 1(1)(--+=≤+-=e e q x x x q , 于是可知当10< 21ln 11 ) (-+<--+e e x x x x x 成立. 19. 【答案及解析】 16 17 【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用.本题容易忽略函数)(x f 的定义域,根据条件曲线()y f x =与直线32y x = 在(0,0)点相切,求出,a b 的值,然后,利用函数的单调性或者均值不等式证明9()6x f x x <+即可.从近几年的高考命题趋势看,此类型题目几乎年年都有涉及,因此,在平时要加强训练.本题属于中档题. 20. 【答案】解:(1)由32()f x x ax bx =++,得2 ()32f'x x ax b =++. ∵1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点, ∴ (1)32=0f'a b =++,(1)32=0f'a b -=-+,解得==3a b -0,. (2)∵ 由(1)得,3()3f x x x =- , ∴()()23()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+,解得123==1=2x x x -,. ∵当2x <-时,()0g x <';当21 ∴=2x -是()g x 的极值点. ∵当21 ∴()g x 的极值点是-2. (3)令()=f x t ,则()()h x f t c =-. 先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况:[]2, 2d ∈- 18 当=2d 时,由(2 )可知,()=2f x -的两个不同的根为I 和一 2 ,注意到()f x 是奇函数,∴()=2f x 的两个不同的根为一和2. 当2d <时,∵(1)=(2)=20f d f d d >----,(1)=(2)=20f d f d d <----- , ∴一2 , -1,1 ,2 都不是()=f x d 的根. 由(1)知()()()=311f'x x x +-. ① 当()2x ∈+∞,时,()0f'x > ,于是()f x 是单调增函数,从而()(2)=2f x >f . 此时()=f x d 在()2+∞,无实根. ② 当()1 2x ∈,时.()0f'x >,于是()f x 是单调增函数. 又∵(1)0f d <-,(2)0f d >-,=()y f x d -的图象不间断, ∴()=f x d 在(1 , 2 )内有唯一实根. 同理,()=f x d 在(一2 ,一I )内有唯一实根. ③ 当()1 1x ∈-,时,()0f'x <,于是()f x 是单调减两数. 又∵(1)0f d >--, (1)0f d <-,=()y f x d -的图象不间断, ∴()=f x d 在(一1,1 )内有唯一实根. 因此,当=2d 时,()=f x d 有两个不同的根12x x ,满足12=1 =2x x , ;当2d < 时 ()=f x d 有三个不同的根315x x x ,,,满足2 =3, 4, 5i x . 现考虑函数()y h x =的零点: ( i )当=2c 时,()=f t c 有两个根12t t ,,满足12==2t t 1, . 而1()=f x t 有三个不同的根,2()=f x t 有两个不同的根,故()y h x =有5 个零点. ( 11 )当2c <时,()=f t c 有三个不同的根345t t t ,,,满足2 =3, 4, 5i t . 而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根,故()y h x =有9 个零点. 综上所述,当=2c 时,函数()y h x =有5 个零点;当2c <时,函数()y h x =有9 个零点. 【考点】函数的概念和性质,导数的应用. 【解析】(1)求出)(x f y =的导数,根据1和1-是函数)(x f y =的两个极值点代入列方程组求解即可. (2)由(1)得,3()3f x x x =-,求出()g x ',令()=0g x ',求解讨论即可. (3)比较复杂,先分=2d 和2d <讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况;再考虑函数()y h x =的零点. 19 21. 【解析】(Ⅰ)若0a <,则对一切0x >,()f x 1ax e x =-<,这与题设矛盾,又0a ≠, 故0a >. 而()1,ax f x ae '=-令11()0,ln .f x x a a '==得 当11ln x a a < 时,()0,()f x f x '<单调递减;当11ln x a a > 时,()0,()f x f x '>单调递增, 故当11ln x a a =时,()f x 取最小值11111( ln )ln .f a a a a a = - 于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立,当且仅当 111ln 1a a a -≥. ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=- 当01t <<时,()0,()g t g t '>单调递增;当1t >时,()0,()g t g t '<单调递减. 故当1t =时,()g t 取最大值(1)1g =.因此,当且仅当11a =即1a =时,①式成立. 综上所述,a 的取值集合为{}1. (Ⅱ)由题意知,2 1 2121 21 ()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x --== --- 令2 1 21 ()(),ax ax ax e e x f x k ae x x ?-'=-=- -则 1 21()12121()()1,ax a x x e x e a x x x x ?-??=- ---??- 2 12()21221()()1.ax a x x e x e a x x x x ?-??= ---? ?- 令()1t F t e t =--,则()1t F t e '=-. 当0t <时,()0,()F t F t '<单调递减;当0t >时,()0,()F t F t '>单调递增. 故当0t =,()(0)0,F t F >=即10.t e t --> 从而21() 21()10a x x e a x x ---->,12() 12()10,a x x e a x x ---->又 1 21 0, ax e x x >-2 21 0,ax e x x >- 所以1()0,x ?<2()0.x ?> 因为函数()y x ?=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在 20 012(,)x x x ∈使0()0,x ?=2()0,()ax x a e x ??'=>单调递增,故这样的c 是唯一的,且 2 1 211ln () ax ax e e c a a x x -= -.故当且仅当2 1 2211( ln ,)() ax ax e e x x a a x x -∈-时, 0()f x k '>. 综上所述,存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值范围为 2 1 2211(ln ,)() ax ax e e x a a x x --. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值11111( ln )ln .f a a a a a = -对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立转化为 m in ()1f x ≥,从而得出a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数, 研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断. 22.考点分析:本题主要考察利用导数求函数的最值,并结合推理,考察数学归纳法,对考生的归 纳推理能力有较高要求. 解析:(Ⅰ)11()(1)r r f x r rx r x --'=-=-,令()0f x '=,解得1x =. 当01x <<时,()0f x '<,所以()f x 在(0,1)内是减函数; 当 1x > 时,()0f x '>,所以()f x 在(1,)+∞内是增函数. 故函数()f x 在1x =处取得最小值(1)0f =. [来源:21世纪教育网] (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当(0,)x ∈+∞时,有()(1)0f x f ≥=,即(1)r x rx r ≤+- ① 若1a ,2a 中有一个为0,则1 2 121122b b a a a b a b ≤+成立; 若1a ,2a 均不为0,又121b b +=,可得211b b =-,于是 21世纪教育网 在①中令12 a x a = ,1r b =,可得1 11112 2 ( ) (1)b a a b b a a ≤? +-, 即1 1 1121121(1)b b a a a b a b -≤+-,亦即1 2 121122b b a a a b a b ≤+. 综上,对120,0a a ≥≥,1b ,2b 为正有理数且121b b +=,总有1 2 121122b b a a a b a b ≤+. ② (Ⅲ)(Ⅱ)中命题的推广形式为: 21世纪教育网 设12,,,n a a a 为非负实数,12,,,n b b b 为正有理数. 若121n b b b +++= ,则1 2 12 1122n b b b n n n a a a a b a b a b ≤+++ . ③ 用数学归纳法证明如下: (1)当1n =时,11b =,有11a a ≤,③成立. 21 (2)假设当n k =时,③成立,即若12,,,k a a a 为非负实数,12,,,k b b b 为正有理数, 且121k b b b +++= ,则1 2 121122k b b b k k k a a a a b a b a b ≤+++ . 当1n k =+时,已知121,,,,k k a a a a + 为非负实数,121,,,,k k b b b b + 为正有理数, 且1211k k b b b b +++++= ,此时101k b +<<,即110k b +->,于是 111 212121 121()k k k k b b b b b b b b k k k k a a a a a a a a ++++= =1 2 1 1 1 1 1 1111121()k k k k k k b b b b b b b b k k a a a a +++++----+ . 因 12 1 1 1 1111k k k k b b b b b b ++++ ++ =--- ,由归纳假设可得 1 2 1 1 1 1111 2 k k k k b b b b b b k a a a +++---≤ 12121 1 1 111k k k k k b b b a a a b b b +++?+? ++? --- 11221 1k k k a b a b a b b ++++= - , 从而1 1 2 121 k k b b b b k k a a a a ++≤ 1 1 11122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++?? +++ ? -?? . 又因11(1)1k k b b ++-+=,由②得 1 11112211 1k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++?? +++ ? -?? 11221111 (1)1k k k k k k a b a b a b b a b b +++++++≤ ?-+- 112211k k k k a b a b a b a b ++=++++ , 从而1 1 2 121k k b b b b k k a a a a ++ 112211k k k k a b a b a b a b ++≤++++ . 故当1n k =+时,③成立. 由(1)(2)可知,对一切正整数n ,所推广的命题成立. 说明:(Ⅲ)中如果推广形式中指出③式对2n ≥成立,则后续证明中不需讨论1n =的情况. 23.解析:(Ⅰ)考虑不等式()2 23160x a x a -++>的解. 因为()()()2 314263331a a a a ?=?-+?-??=--? ?,且1a <,所以可分以下三种情况: ①当 113 a <<时,0?<,此时B =R ,()0,D A ==+∞. ②当13a =时,0?=,此时{}1B x x =≠,()()0,11,D =+∞ . ③当13 a < 时,0?>,此时()223160x a x a -++=有两根,设为1x 、2x ,且12x x <,则 ()()()13133314 a a a x +- --= ,()()()23133314 a a a x ++ --= ,于是 {}12B x x x x x =<>或.
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