2012年高考真题理科数学解析汇编：导数与积分(1)

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2012年高考真题理科数学解析汇编：导数与积分

一、选择题

1 ．（2012年高考（新课标理））已知函数1

()ln(1)f x x x =+-;则()y f x =

的图像大致为

2 ．（2012年高考（浙江理））设a >0,b >0. （ ）

A ．若2223a b a b +=+,则a >b

B ．若2223a

b a b +=+,则a b D ．若2223a b a b -=-,则a

3 ．（2012年高考（重庆理））设函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',

且函数(1)()y x f x '=-的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是

（ ） A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f

B ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f

C ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -

D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f

4 ．（2012年高考（陕西理））设函数()x f x xe =,则 （ ）

A ．1x =为()f x 的极大值点

B ．1x =为()f x 的极小值点

C ．1x =-为()f x 的极大值点

D ．1x =-为()f x 的极小值点

5 ．（2012年高考（山东理））设0a >且1a ≠,则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”,是

2

“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 （ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

6 ．（2012年高考（湖北理））已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形

的面积为 （ ）

A ．

2π5

B ．

43

C ．

32

D ．

π2

7 ．（2012年高考（福建理））如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点

P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）

A ．

14

B ．

15

C ．

16

D ．

17

8 ．（2012年高考（大纲理））已知函数3

3y x x c =-+的图像与x 轴恰有两

个公共点,则c = （ ）

A ．2-或2

B ．9-或3

C ．1-或1

D ．3-或1

二、填空题

9 ．（2012年高考（上海理））已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ,若中

A (0,0),

B (2

1,5),C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ .

10．（2012年高考（山东理））设0a >.若曲线y x =

与直线,0x a y ==所围成封闭图形的

面积为2

a ,则a =______.

11．（2012年高考（江西理））计算定积分1

2

1

(sin )x x dx -+=?___________.

12．（2012年高考（广东理））曲线3

3y x x =-+在点()1,3处的切线方程为___________________.

三、解答题

13．（2012年高考（天津理））已知函数()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a .

(Ⅰ)求a 的值;

(Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2

()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值;

(Ⅲ)证明=1

2ln (2+1)<221

n

i n i --∑

*

()n N ∈.

1

--

y x

O

第3题图

1

-1

-

3

14．（2012年高考（新课标理））已知函数()f x 满足满足1

2

1()(1)(0)2

x f x f e f x x -'=-+

;

(1)求()f x 的解析式及单调区间; (2)若2

1()2

f x x ax b ≥++,求(1)a b +的最大值.

15．（2012年高考（浙江理））已知a >0,b ∈R,函数

()3

42f

x ax bx a b

=

--+.

(Ⅰ)证明:当0≤x ≤1时,

(ⅰ)函数()f x 的最大值为|2a -b |﹢a ; (ⅱ) ()f x +|2a -b |﹢a ≥0;

(Ⅱ) 若﹣1≤()f x ≤1对x ∈[0,1]恒成立,求a +b 的取值范围.

16．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分.)

设13

()ln 1,22

f x a x x x =+

++其中a R ∈,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴.

(Ⅰ) 求a 的值;

(Ⅱ) 求函数()f x 的极值.

17．（2012年高考（陕西理））设函数()(,,)n

n f x x bx c

n N b c R +=++∈∈

(1)设2n ≥,1,

1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12??

???

内存在唯一的零点;

(2)设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围; (3)在(1)的条件下,设n x 是()n f x 在1

,12??

???

内的零点,判断数列23,,,n x x x 的增减性. F

G

D

E A

B C

4

18．（2012年高考（山东理））已知函数ln ()x x k

f x e +=(k 为常数, 2.71828e =???是自然对

数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值;

(Ⅱ)求()f x 的单调区间;

(Ⅲ)设2()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数.证明:对任意2

0,()1x g x e -><+.

19．（2012年高考（辽宁理））设()ln(1)1(,,,)f x x x ax b a b R a b =+++++∈为常数,曲

线()y f x =与 直线3

2y x =在(0,0)点相切.

(Ⅰ)求,a b 的值.

(Ⅱ)证明:当02x <<时,9()6x f x x <

+.

20．（2012年高考（江苏））若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值,则称0x 为函数)(x f y =的极值点.

已知a b ，是实数,1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点.21世纪教育网

(1)求a 和b 的值;

(2)设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+,求()g x 的极值点;

(3)设()(())h x f f x c =-,其中[22]c ∈-，,求函数()y h x =的零点个数.

5

21．（2012年高考（湖南理））已知函数()f x =ax e x =-,其中a ≠0.

(1) 若对一切x∈R,()f x ≥1恒成立,求a 的取值集合.

(2)在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ,22(,())B x f x 12()x x <,记直线AB 的斜率为K,问:是否存在x 0∈(x 1,x 2),使0()f x k '>成立?若存在,求0x 的取值范围;若不存在,请说明理由.

22．（2012年高考（湖北理））(Ⅰ)已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->,其中r 为有理数,且

01r <<. 求()f x 的

最小值;

(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题:

设120,0a a ≥≥,12,b b 为正有理数. 若121b b +=,则1

2

121122b b a a a b a b ≤+;

(Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题. 注:当α为正有理数时,有求导公式1()x x ααα-'=.

23．（2012

年高考（广东理））(不等式、导数)设1a <,集合

{}0A x R x =∈>,(){}

2

23160B x R x a x a =∈-++>,D A B = .

(Ⅰ)求集合D (用区间表示);

(Ⅱ)求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点.

24．（2012年高考（福建理））已知函数2

()()x

f x e ax ex a R =+-∈.

(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)试确定a 的取值范围,使得曲线()y f x =上存在唯一的点P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .

6

25．（2012年高考（大纲理））(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

) 设函数()cos ,[0,]f x ax x x π=+∈.

(1)讨论()f x 的单调性;

(2)设()1sin f x x ≤+,求a 的取值范围.

26．（2012年高考（北京理））已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.

(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;

(2)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.

27．（2012年高考（安徽理））(本小题满分13分)设1

()(0)x x f x ae b a ae =++>

(I)求()f x 在[0,)+∞上的最小值; (II)设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =;求,a b 的值.

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2012年高考真题理科数学解析汇编：导数参考答案

一、选择题

1. 【解析】选B 21世纪教育网

()ln(1)()1()010,()00()(0)0

x

g x x x g x x g x x g x x g x g '=+-?=-+''?>?-<<?<=

得:0x >或10x -<<均有()0f x < 排除,,A C D

2. 【答案】A

【解析】若2223a b a b +=+,必有2222a b a b +>+.构造函数:()22x f x x =+,则

()2ln 220x f x '=?+>恒成立,故有函数()22x f x x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其余选项用同样方法排除.

3. 【答案】D

【解析】2,10x x <-->,由(1)()0()0x f x f x ''->?>,函数()f x 为增; 21,10x x -<<->,由(1)()0()0x f x f x ''-

12,10x x <<-<,由(1)()0()0x f x f x ''->?<,函数()f x 为减;

2,10x x >-<,由(1)()0()0x f x f x ''-,函数()f x 为增.

【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号,当导函数大于0,则函数为增,当导函数小于0则函数递减.

4. 解析:()(1)x f x x e '=+,令()0,f x '=得1x =-,1x <-时,()0f x '<,()x f x xe =为减

函数;1x >-时,()0f x '>,()x f x xe =为增函数,所以1x =-为()f x 的极小值点,选D.

5. 【解析】若函数x a x f =)(在R 上为减函数,则有10<

数,则有02>-a ,所以2

3

)2()(x a x g -=为增函数”的充分不必要条件,选A.

6. 考点分析:本题考察利用定积分求面积. 解析:根据图像可得: 2()1y f x x ==-+,再由定积分的几何意义,可求得面积为1

2311114(1)()33S x dx x x --=-+=-+=?.

7. 【答案】C 【解析】31220121

1()()

13260S x x dx x x S =-=-==? 正阴影,故16P =,答案C

8

【考点定位】本题主要考查几何概型的概率和定积分,考查推理能力、计算求解能力.

8. 答案A

【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用.要是函数图像与x 轴有两个不同的交点,则需要满足极佳中一个为零即可. 【解析】因为三次函数的图像与x 轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或者极小值为零即可满足要求.而2()333()(1)f x x x x '=-=-+,当1x =±时取得极值 由(1)0f =或(1)0f -=可得20c -=或20c +=,即2c =±.

二、填空题

9. [解析]如图1,???≤<-≤≤=1

,10100,

10)(21

2

1x x x x x f , 所以???≤<+-≤≤==1,10100,10)(21

22

12x x x x x x xf y , 易知,y =xf (x )的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MNO 与OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP 的面积

S=4

52

52

1=

?.

[评注]对于曲边图形,上海现行教材中不出微积分,能用微积分求此面积的考生恐是极少的,而对于极大部分考生,等积变换是唯一的出路.

10. 【解析】由已知得2

23

23

3

2|3

2a a x x S a a

==

=

=

?

,所以3

221

=

a ,所以9

4=

a .

11.

23

【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用.

31

2

111

11112

(sin )cos |cos1cos1333333x x x dx x --??-????+=-=---=+= ? ? ???????

?. 【点评】这里,许多学生容易把原函数写成

3

cos 3

x

x +,主要是把三角函数的导数公式记混

而引起的.体现考纲中要求了解定积分的概念.来年需要注意定积分的几何意义求曲面面

积等.

12.解析:210x y -+=.2

1|3112x y ='=?-=,所以切线方程为()321y x -=-,即

210x y -+=.

三、解答题

13. 【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知

识,考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和解决问题的能力. (1)()f x 的定义域为(,)a -+∞

()ln()f x x x a =-+11()101x a f x x a a

x a

x a

+-'?=-

=

=?=->-++

x

y

A B

C 1 5 图1

N

x

y O D M

1 5 P

图2

9

()01,()01f x x a f x a x a ''>?>-

得：1x a =-时，min ()(1)101f x f a a a =-?-=?=

（2）设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++≥

则()0g x ≥在[0,+)x ∈∞上恒成立min ()0(0)g x g ?≥=（*）

(1)1ln 200g k k =-+≥?>

1

(221)()211

1x kx k g x kx x x +-'=-+=++ ①当1

210()2k k -<<时，0012()00()(0)02k g x x x g x g k -'≤?≤≤=?<=与（*）矛盾 ②当1

2k ≥时，min ()0()(0)0g x g x g '≥?==符合（*）

得：实数k 的最小值为1

2(lfxlby)

（3）由（2）得：21

ln(1)2x x x -+<

对任意的0x >值恒成立 取2

(1,2,3,,)21x i n i ==- ：22

2[ln(21)ln(21)]21

(21)i i i i -+--<--

当1n =时，2ln 32-< 得：=12ln (2+1)<221n i n i --∑

（lb ylfx ）

当2i ≥时，22

11

(21)2321i i i <---- 得：121

[

ln(21)ln(21)]2ln 3122121n

i i i i n =-++-<-+-<--∑

【点评】试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说没有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从而做到不重不漏;第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行.

14. 【解析】(1)1211

()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+

令1x =得:(0)1f =

1211

()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+?==?= [来源:21世纪教育网]

得:21

()()()12x x f x e x x g x f x e x '=-+?==-+

()10()x g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增

10

()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?< 得:()f x 的解析式为2

1

()2x f x e x x =-+ 且单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞ (2)21

()()(1)02x f x x ax b h x e a x b ≥++?=-+-≥得()(1)x

h x e a '=-+ ①当10a +≤时,()0()h x y h x '>?=在x R ∈上单调递增 x →-∞时,()h x →-∞与()0h x ≥矛盾

②当10a +>时,()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>?>+

得:当ln(1)x a =+时,min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥

22

(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++> 令22()ln (0)F x x x x x =->;则()(12ln )F x x x '=- ()00,()0F x x e F x x e ''>?<< 当x e =

时,m ax ()2e F x = 当1,a e b e =-=时,(1)a b +的最大值为2e

15. 【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力.

(Ⅰ)

(ⅰ)()2122f x ax b '=-.

当b ≤0时,()2122f x ax b '=->0在0≤x ≤1上恒成立, 此时()f x 的最大值为:()1423f a b a b a b =--+=-=|2a -b |﹢a ; 当b >0时,()2122f x ax b '=-在0≤x ≤1上的正负性不能判断, 此时()f x 的最大值为:

()m ax 2m ax{(0)1}m ax{()3}32b a b a f x f f b a a b a b b a ->?==--=?-

综上所述:函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a -b |﹢a ; (ⅱ) 要证()f x +|2a -b |﹢a ≥0,即证()g x =﹣()f x ≤|2a -b |﹢a .

11

亦即证()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a -b |﹢a , ∵()342g x ax bx a b =-++-,∴令()212206b

g x ax b x a '=-+=?=.

当b ≤0时,()2122g x ax b '=-+<0在0≤x ≤1上恒成立, 此时()g x 的最大值为:()03g a b a b =-<-=|2a -b |﹢a ; 当b <0时,()2122g x ax b '=-+在0≤x ≤1上的正负性不能判断, ()m ax m ax{()1}6b g x g g a =，（）

4m ax{2}

36463662b b a b b a a b b a b a b a b a b a =+--?≤+-?=?>?-?，，，

≤|2a -b |﹢a ;

综上所述:函数()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a -b |﹢a . 即()f x +|2a -b |﹢a ≥0在0≤x ≤1上恒成立. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a -b |﹢a , 且函数()f x 在0≤x ≤1上的最小值比﹣(|2a -b |﹢a )要大. ∵﹣1≤()f x ≤1对x ∈[0,1]恒成立, ∴|2a -b |﹢a ≤1.

取b 为纵轴,a 为横轴.

则可行域为:21b a

b a ≥??-≤?和231b a

a b

作图如下:

由图易得:当目标函数为z =a +b 过P (1,2)时,有max 3z =,min 1z =-.

∴所求a +b 的取值范围为:[]13-，

.

12

【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) []13-，.

16. 【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意

义,两条直线平行的判定等基础知识,考查运算求解能力. 解:(1)因()1

3

ln 122f x a x x x =+++,故()21

322a

f x x x '=-+

由于曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于y 轴,故该切线斜率为0,即()10f '=, 从而1

3

022a -+=,解得1a =-

(2)由(1)知()()1

3ln 1022f x x x x x

=-+++>, ()2221

13321222x x f x x x x --'=-

-+= ()2(31)(1)

2x x f x x +-'∴=

令()0f x '=,解得121

1,3x x ==-(因213x =-不在定义域内,舍去),

当()0,1x ∈时,()0f x '<,故()f x 在()0,1上为减函数; 当()1,x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在()1,+∞上为增函数; 故()f x 在1x =处取得极小值()13f =.

17.解析:(1)1,1b c ==-,2n ≥时,()1n

n f x x x =+- ∵111()(1)()10222n n n f f =-?<,∴()n f x 在1,12?? ???

内存在零点.

13

又当1

,12x ??∈

???

时,1

()10n n f x nx

-'=+> ∴ ()n f x 在1

,12??

???上是单调递增的,所以()n f x 在1,12??

???

内存在唯一零点. (2)当2n =时,22()f x x bx c =++

对任意12,[1,1]x x ∈-都有2122|()()|4f x f x -≤等价于2()f x 在[1,1]-上最大值与最小值之差4M ≤,据此分类讨论如下:(ⅰ)当|

|12

b >,即||2b >时,

22|(1)(1)|2||4M f f b =--=>,与题设矛盾

(ⅱ)当102

b -≤-

<,即02b <≤时,

2

22(1)()(

1)422

b b M f f =---

=+≤恒成立

(ⅲ)当012

b ≤

≤,即20b -≤≤时,

2

22(1)()(

1)422

b b M f f =---

=-≤恒成立.

综上可知,22b -≤≤

注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下: 用max{,}a b 表示,a b 中的较大者.当112

b -≤

≤,即22b -≤≤时,

222m ax{(1),(1)}()2

b

M f f f =---

22222(1)(1)|(1)(1)|()222

f f f f b f -+--=+--

2

1||()4

b

c b c =++--

+

2

||(1)42

b =+≤恒成立

(3)证法一 设n x 是()n f x 在1

,12??

???

内的唯一零点(2)n ≥ ()1n n n n n f x x x =+-,1

1111()10n n n n n f x x x +++++=+-=,11,12n x +??∈ ???

于是有11111111()0()11()n n

n n n n n n n n n n f x f x x x x x f x ++++++++===+-<+-=

又由(1)知()n f x 在1

,12??

???

上是递增的,故1(2)n n x x n +<≥,

14

所以,数列23,,,n x x x 是递增数列.

证法二 设n x 是()n f x 在1,12??

???内的唯一零点 1111()(1)(1)(111)n n n n n n

n f x f x x ++++=+-+- 21世纪教育网 1110n n n n n n x x x x +=+-<+-=

则1()n f x +的零点1n x +在(,1)n x 内,故1(2)n n x x n +<≥,

所以,数列23,,,n x x x 是递增数列.

18.解析:由f(x) = x e k

x +ln 可得=')(x f x e x k x ln 1

--,而0)1(='f ,即01=-e k ,解得

1=k ;

(Ⅱ)=')(x f x e x

x ln 11

--,令0)(='x f 可得1=x ,

当10<

)(>--=

'x x x f ;当1>x 时,0ln 11

)(<--='x x x f . 于是)(x f 在区间)1,0(内为增函数;在),1(+∞内为减函数. (Ⅲ)x x e x x x x e x

x x x x g ln )(1ln 11)()(222+--=--+=,

(1)当1≥x 时, 0,0,0ln ,0122>>+≥≤-x e x x x x ,210)(-+<≤e x g .

(2)当10<

)

()(-+<--+=e e x x x x x g x . 只需证)

ln 1(111

2x x e e x x +-+<+-即可 设函数)1,0(),ln 1(1)(,1

)(∈+-=+=

x x x x q e x x p e . 则)1,0(,ln 2)(,0)(∈--='<-='x x x q e x

x p x ,

则当10<

)(=<+=p e x x p e ,

令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2∈=-e

x , 当),0(2-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2-∈e x 时0)(<'x q ,

15

则当10<x q ,

则

≥

+-+-)

ln 1(112

x x e

1112

2=++--e

e ,于是可知当10<

)

ln 1(1112

x x e

e

x x

+-+<

+-成立

综合(1)(2)可知对任意x>0,21)(-+

x e

x x p e

,则0)(<-='x

e

x x p ,

则当10<

p e

x x p x

,

于是当10<

2

1)ln 11(

ln 11

)()(-+<--<--+=e

x x

x e

x x

x x x g x

,

只需证2

1)ln 11(

-+<--e

x x

x 即可,

设)1,0(),ln 1(1)(∈+-=x x x x q ,)ln 1(1)(x x x q +-=', 令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2∈=-e x ,

当),0(2-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2-∈e x 时0)(<'x q , 则当10<

于是可知当10<

2

1ln 11

)

(-+<--+e

e

x x

x x x

成立

综合(1)(2)可知对任意x>0,2

1)(-+

另证2:根据重要不等式当10<

e x <+1,

于是不等式2

2

1)ln 11(

ln 11

)

()(-+<--<--+=e

x x

x e

x x

x x x g x

,

设)1,0(),ln 1(1)(∈+-=x x x x q ,)ln 1(1)(x x x q +-=', 令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2

∈=-e x ,

当),0(2

-∈e

x 时0)(>'x q ;当)1,(2

-∈e x 时0)(<'x q ,

则当10<

21)()ln 1(1)(--+=≤+-=e e q x x x q ,

于是可知当10<

21ln 11

)

(-+<--+e

e

x x

x x x

成立.

19. 【答案及解析】

16

17

【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用.本题容易忽略函数)(x f 的定义域,根据条件曲线()y f x =与直线32y x =

在(0,0)点相切,求出,a b 的值,然后,利用函数的单调性或者均值不等式证明9()6x

f x x <+即可.从近几年的高考命题趋势看,此类型题目几乎年年都有涉及,因此,在平时要加强训练.本题属于中档题.

20. 【答案】解:(1)由32()f x x ax bx =++,得2

()32f'x x ax b =++. ∵1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点,

∴ (1)32=0f'a b =++,(1)32=0f'a b -=-+,解得==3a b -0，.

(2)∵ 由(1)得,3()3f x x x =- ,

∴()()23()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+,解得123==1=2x x x -，.

∵当2x <-时,()0g x <';当21',

∴=2x -是()g x 的极值点.

∵当21时,()0g x >',∴ =1x 不是()g x 的极值点.

∴()g x 的极值点是-2.

(3)令()=f x t ,则()()h x f t c =-.

先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况:[]2, 2d ∈-

18

当=2d 时,由(2 )可知,()=2f x -的两个不同的根为I 和一 2 ,注意到()f x 是奇函数,∴()=2f x 的两个不同的根为一和2. 当2d <时,∵(1)=(2)=20f d f d d >----,(1)=(2)=20f d f d d <----- , ∴一2 , -1,1 ,2 都不是()=f x d 的根.

由(1)知()()()=311f'x x x +-.

① 当()2x ∈+∞，时,()0f'x > ,于是()f x 是单调增函数,从而()(2)=2f x >f . 此时()=f x d 在()2+∞，无实根.

② 当()1 2x ∈，时.()0f'x >,于是()f x 是单调增函数. 又∵(1)0f d <-,(2)0f d >-,=()y f x d -的图象不间断, ∴()=f x d 在(1 , 2 )内有唯一实根.

同理,()=f x d 在(一2 ,一I )内有唯一实根.

③ 当()1 1x ∈-，时,()0f'x <,于是()f x 是单调减两数. 又∵(1)0f d >--, (1)0f d <-,=()y f x d -的图象不间断, ∴()=f x d 在(一1,1 )内有唯一实根.

因此,当=2d 时,()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，

;当2d < 时 ()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，,满足2 =3, 4, 5i x

. 现考虑函数()y h x =的零点:

( i )当=2c 时,()=f t c 有两个根12t t ，,满足12==2t t 1，

. 而1()=f x t 有三个不同的根,2()=f x t 有两个不同的根,故()y h x =有5 个零点.

( 11 )当2c <时,()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，,满足2 =3, 4, 5i t

. 而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根,故()y h x =有9 个零点. 综上所述,当=2c 时,函数()y h x =有5 个零点;当2c <时,函数()y h x =有9 个零点.

【考点】函数的概念和性质,导数的应用.

【解析】(1)求出)(x f y =的导数,根据1和1-是函数)(x f y =的两个极值点代入列方程组求解即可.

(2)由(1)得,3()3f x x x =-,求出()g x ',令()=0g x ',求解讨论即可.

(3)比较复杂,先分=2d 和2d <讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况;再考虑函数()y h x =的零点.

19

21. 【解析】(Ⅰ)若0a <,则对一切0x >,()f x 1ax e x =-<,这与题设矛盾,又0a ≠,

故0a >.

而()1,ax f x ae '=-令11()0,ln .f x x a a '==得

当11ln x a a <

时,()0,()f x f x '<单调递减;当11ln x a a >

时,()0,()f x f x '>单调递增,

故当11ln

x a a

=时,()f x 取最小值11111(

ln

)ln .f a

a

a

a a

=

-

于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立,当且仅当

111ln 1a a a

-≥. ①

令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-

当01t <<时,()0,()g t g t '>单调递增;当1t >时,()0,()g t g t '<单调递减. 故当1t =时,()g t 取最大值(1)1g =.因此,当且仅当11a

=即1a =时,①式成立.

综上所述,a 的取值集合为{}1.

(Ⅱ)由题意知,2

1

2121

21

()()

1.ax ax f x f x e

e

k x x x x --==

---

令2

1

21

()(),ax ax ax

e

e

x f x k ae x x ?-'=-=-

-则

1

21()12121()()1,ax a x x e

x e a x x x x ?-??=-

---??-

2

12()21221()()1.ax a x x e

x e a x x x x ?-??=

---?

?- 令()1t

F t e t =--,则()1t

F t e '=-.

当0t <时,()0,()F t F t '<单调递减;当0t >时,()0,()F t F t '>单调递增.

故当0t =,()(0)0,F t F >=即10.t

e t -->

从而21()

21()10a x x e

a x x ---->,12()

12()10,a x x e

a x x ---->又

1

21

0,

ax e

x x >-2

21

0,ax e

x x >-

所以1()0,x ?<2()0.x ?>

因为函数()y x ?=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在

20

012(,)x x x ∈使0()0,x ?=2()0,()ax

x a e x ??'=>单调递增,故这样的c 是唯一的,且

2

1

211ln

()

ax ax e

e

c a

a x x -=

-.故当且仅当2

1

2211(

ln

,)()

ax ax e

e

x x a

a x x -∈-时, 0()f x k '>.

综上所述,存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值范围为

2

1

2211(ln ,)()

ax ax e

e

x a a x x --.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值11111(

ln )ln .f a a a a a

=

-对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立转化为

m in ()1f x ≥,从而得出a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,

研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.

22.考点分析:本题主要考察利用导数求函数的最值,并结合推理,考察数学归纳法,对考生的归

纳推理能力有较高要求.

解析:(Ⅰ)11()(1)r r f x r rx r x --'=-=-,令()0f x '=,解得1x =. 当01x <<时,()0f x '<,所以()f x 在(0,1)内是减函数; 当 1x > 时,()0f x '>,所以()f x 在(1,)+∞内是增函数.

故函数()f x 在1x =处取得最小值(1)0f =. [来源:21世纪教育网]

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当(0,)x ∈+∞时,有()(1)0f x f ≥=,即(1)r x rx r ≤+- ① 若1a ,2a 中有一个为0,则1

2

121122b b a a a b a b ≤+成立;

若1a ,2a 均不为0,又121b b +=,可得211b b =-,于是 21世纪教育网 在①中令12

a x a =

,1r b =,可得1

11112

2

(

)

(1)b a a b b a a ≤?

+-,

即1

1

1121121(1)b b a a a b a b -≤+-,亦即1

2

121122b b a a a b a b ≤+.

综上,对120,0a a ≥≥,1b ,2b 为正有理数且121b b +=,总有1

2

121122b b a a a b a b ≤+. ②

(Ⅲ)(Ⅱ)中命题的推广形式为: 21世纪教育网 设12,,,n a a a 为非负实数,12,,,n b b b 为正有理数.

若121n b b b +++= ,则1

2

12

1122n

b b b

n n n a a a a b a b a b ≤+++ . ③ 用数学归纳法证明如下:

(1)当1n =时,11b =,有11a a ≤,③成立.

21

(2)假设当n k =时,③成立,即若12,,,k a a a 为非负实数,12,,,k b b b 为正有理数,

且121k b b b +++= ,则1

2

121122k

b b b

k k k a a a a b a b a b ≤+++ .

当1n k =+时,已知121,,,,k k a a a a + 为非负实数,121,,,,k k b b b b + 为正有理数, 且1211k k b b b b +++++= ,此时101k b +<<,即110k b +->,于是

111

212121

121()k k k k b b b b b b b b k k k k a a a a

a a a a

++++= =1

2

1

1

1

1

1

1111121()k

k k k k k b b b b b b b b

k k a a a a +++++----+ .

因

12

1

1

1

1111k

k k k b b b b b b ++++

++

=--- ,由归纳假设可得

1

2

1

1

1

1111

2

k k k k b b b b b b k a a a +++---≤ 12121

1

1

111k k k k k b b b a a a b b b +++?+?

++?

--- 11221

1k k

k a b a b a b b ++++=

- ,

从而1

1

2

121

k

k b b b b

k k a a a a ++≤ 1

1

11122111k k b b

k k k k a b a b a b a b ++-++??

+++ ?

-??

.

又因11(1)1k k b b ++-+=,由②得

1

11112211

1k k b b

k k k k a b a b a b a b ++-++??

+++ ?

-??

11221111

(1)1k k

k k k k a b a b a b b a b b +++++++≤

?-+-

112211k k k k a b a b a b a b ++=++++ ,

从而1

1

2

121k

k b b b b k k a a a a ++ 112211k k k k a b a b a b a b ++≤++++ .

故当1n k =+时,③成立.

由(1)(2)可知,对一切正整数n ,所推广的命题成立.

说明:(Ⅲ)中如果推广形式中指出③式对2n ≥成立,则后续证明中不需讨论1n =的情况.

23.解析:(Ⅰ)考虑不等式()2

23160x a x a -++>的解.

因为()()()2

314263331a a a a ?=?-+?-??=--?

?,且1a <,所以可分以下三种情况: ①当

113

a <<时,0?<,此时B =R ,()0,D A ==+∞. ②当13a =时,0?=,此时{}1B x x =≠,()()0,11,D =+∞ .

③当13

a <

时,0?>,此时()223160x a x a -++=有两根,设为1x 、2x ,且12x x <,则

()()()13133314

a a a x +-

--=

,()()()23133314

a a a x ++

--=

,于是

{}12B x x x x x =<>或.