第五章 留数及其应用

复变函数

复变函数与积分变换

复变函数

参考用书《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 2003.6 高等教育出版社, 高等教育出版社, 高等教育出版

《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 社 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 1996.5

高等教育出版社, 高等教育出版社,

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复变函数

目 录第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章2012-2-1

复数与复变函数 解析函数 复变函数的积分 解析函数的级数表示 留数及其应用 傅立叶变换 拉普拉斯变换3

复变函数

第五章

留数及其应用

本章中心问题是留数定理，前面讲的柯西定 理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况，并 且留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重 要意义，它是复积分与复级数理论相结合的产物， 为此先对解析函数的孤立奇点进行分类

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第五章5.2 留数

留数及其应用

5.1 孤立奇点 5.3 留数在定积分计算中的应用 本章小结 思考题

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复变函数

第一节一、奇点的分类

孤立奇点

但在 定义： 若函数f ( z )在z0处不解析， z0的某一去心邻域0 < z z0 < δ内处处解析，

则称z0为函数f ( z )的 孤立奇点1 如：z = 0是函数f ( z ) = 的孤立奇点，也是函数f ( z ) = e z的孤立奇点. z 1 如z = 0是函数f ( z ) = 的一个奇点， 1 sin z1

除此之外，zn =

1 (n = ±1, ±2, )也是它的一个奇点， nπ

1 当n的绝对值逐渐增大时， 可任意接近z = 0, nπ

即在z = 0不论怎样小的去心邻域，总有函数f ( z )的奇点存在，所以z = 0不是函数f ( z )的孤立奇点.2012-2-1 6

复变函数

孤立奇点分类：函数f ( z )在孤立奇点z0的邻域0 < z z0 < δ内展为洛朗级数为：

f ( z) =

∑C (z z ) + ∑ Cn n =0 n 0n =1

∞

∞

n

( z z0 ) n

解析部分∞

主要部分

则称 (1)主部消失 即只有∑ Cn ( z z0 ) n, z0为函数f ( z )的 可去奇点n =0

(2)主部仅含有限项 (m项), 则称z0为函数f ( z )的 m阶极点 (3)主部含有无限多项，则称z0为函数f ( z )的 本性奇点

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说明点z = 0是函数f ( z ) = 例1.

sin z 的可去奇点. z

解： f ( z)在z = 0的去心邻域内可展开成洛朗级数为： 函数1 1 sin z 1 z3 z5 f ( z) = = ( z + ) = 1 z 2 + z 4 , 3! 5! z z 3! 5!

展开式中不含负幂项，

sin z z = 0是函数f ( z ) = 的可去奇点. z

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二、可去奇点可去奇点的解析化：

若z0为函数f ( z )的可去奇点，则 f ( z )在z0的去心邻域内的洛朗级数就是一个不含负幂项的级数为：f ( z ) = C0 + C1 ( z z0 ) + C2 (

z z0 ) 2 + Cn ( z z0 ) n + , 0 < z z0 < δ

显然这个幂级数的和函数F ( z )在 z z0 < δ内处处解析.

令f ( z0 ) = C0 = lim F ( z ) = lim f ( z ).z → z0 z → z0

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孤立奇点z0为可去奇点的判别方法：设z0为函数f ( z )的孤立奇点，则下列条件是等价的,

(1) z0为函数f ( z )的可去奇点；(2) 函数f ( z )在z0点的洛朗级数展开式中不含z z0的负幂项，即f ( z ) = C0 + C1 ( z z ) + + Cn ( z z0 ) n +

(3) lim f ( z ) = C0 ,(C0为一常复数);z → z0

(4) 函数f ( z )在z0某去心邻域内有界.

lim 若z0为f ( z )的极点，则 z → z f ( z ) = ?0

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复变函数

三、极点如果在洛朗级数展开式中只有有限多个z z0的负幂项，且关于( z z0 ) 1的最高幂为( z z0 ) m ,即f ( z) = C m ( z z0 ) m + + C 2 ( z z0 ) 2 + C 1 ( z z0 ) 1 + C0 + C1 ( z z0 ) + , (m ≥ 1, C m ≠ 0)

则孤立奇点z0 称为函数f ( z )的m阶极点.

下面讨论m阶极点的特征：()f ( z) = 1 1 [C m + C m+1 ( z z0 ) + C m+2 ( z z0 )2 + + C 1 ( z z0 )m 1 ( z z0 )m+ ∑ Cn ( z z 0 ) n + m ] =n =0 ∞

1 g ( z) m ( z z0 )

() 这里g ( z )满足： 1 在圆域 z z0 < δ内是解析函数；

(2)g ( z0 ) ≠ 0.2012-2-1 11

复变函数

(2)反过来，当任何一个函数f ( z )能表示为f ( z ) =

1 g ( z )的形式， m ( z z0 )

g ( z )在 z z0 < δ内解析且g ( z0 ) ≠ 0,那么z0是函数f ( z )的m阶极点.判定z0是函数f ( z )的m阶极点的另一方法.

1 g ( z ) = +∞ 而 lim f ( z ) = lim z → z0 z → z0 ( z z ) m 0 lim f ( z ) = ∞. 判定z0是函数f ( z )的m阶极点的又一方法.z → z0

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复变函数

孤立奇点z0为极点的判别方法：设z0为函数f ( z )的孤立奇点，则下列条件是等价的,

(1) z0是函数f ( z )的m阶极点； (2) 函数f ( z )在点z0处的洛朗展开式为：+∞ C m C 1 f ( z) = + + + ∑ Cn ( z z0 )n ( z z0 ) m ( z z0 ) n = 0

(C m ≠ 0, m > 0)

(3) 极限 lim f ( z ) = ∞,缺点：不能指明极点的阶数.z → z0

(4) 函数f ( z )在点z0的某去心邻域内能表示成：f ( z) = 1 g ( z ), ( z z0 ) m

其中g ( z )在z0的邻域内解析，且g ( z0 ) ≠ 0.2012-2-1 13

复变函数

求有理分式函数f ( z ) = 例2.

z 2 的极点. 2 3 ( z + 1)( z 1)

解：函数的孤立奇点有：z = 1,z = ±i.lim f ( z ) = ∞,z →1

z →± i

lim f ( z ) = ∞,

z = 1, z = ±i都是函数f ( z )的极点.1 1 z 2 z 2 = 2 = g1 ( z ) (1)当z = 1时， 2 3 3 3 ( z + 1)( z 1) ( z 1) ( z + 1) ( z 1)

这里g1 ( z )在z = 1的某邻域内处处解析，且g1 (1) ≠ 0, z = 1是有理函数的3阶极点.1 1 z 2 z 2 = = (2)对于z = i, 有 ( z 2 + 1)( z 1)3 ( z i ) ( z + i )( z 1)3 ( z i ) g 2 ( z

) 1 1 z 2 z 2 = = (3)对于 i, 有 ( z 2 + 1)( z 1)3 ( z + i ) ( z i )( z 1)3 ( z + i ) g3 ( z )

z = ±i都是有理函数的1阶极点.2012-2-1 14

复变函数

四、本性奇点若在洛朗级数展开式中含有无穷多个z z0的负幂项，那么

孤立奇点z0 称为函数f ( z )的本性奇点.z 例如：f ( z ) = e , = 0是它的本性奇点,因为它的洛朗级数为：1 z

1 2 1 n e = 1 + z + z + + z + , 含有无穷多个z的负幂项. 2! n! 1

1 z

若z0为函数f ( z )的本性奇点，且具有如下性质：

A, {zn } → z0 ,使得 lim f ( z ) = Az = z n → z0

即：若z0为函数f ( z )的本性奇点，则极限 lim f ( z )不存在且不是无穷大.z → z0

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复变函数

函数 例3. f ( z ) = e ,点z = 0为它的本性奇点.则函数f ( z ) = e 解： (1)当z沿正实轴趋向于0时，1 z

1 z

→ +∞;1 z

则函数f ( z ) = e → 0; (2)当z沿负实轴趋向于0时，

(3)若对于给定复数A = i = e

写成

( + 2 nπ ) i 2

π

, 要使e → i = e

1 z

( + 2 nπ ) i 2

π

,

1 可取数列 zn = , n → ∞时，zn → 0, π ( + 2nπ )i 2 当z沿数列{zn }趋向于零时， 有：lim e = iz = zn → 0 1 z

由(1)、(2)、(3)分析得：极限 lim f ( z)不存在.z → z0

故点z = 0为f ( z ) = e 的本性奇点.2012-2-1 16

1 z

复变函数

孤立奇点z0为本性奇点的判别方法：设z0为函数f ( z )的孤立奇点，则下列条件是等价的,

(1) z0为函数f ( z )的本性奇点；(2)函数f ( z )在z0点洛朗级数展开式中含有无穷多个z z0的负幂项；

(3)极限 lim f ( z )不存在(也不是无穷大) .z → z0

0 利用极限判断奇点的类型，当极限是 型时，可以象 0 《高等数学》中那样用罗必达法则来求:

如果函数f ( z ), g ( z )是当z → z0,以零为极限的两个

f ( z) f ′( z ) 不恒等于零的解析函数，则 lim = lim . z → z0 g ( z ) z → z0 g ′( z )2012-2-1 17

复变函数

研究函数f ( z ) = 例4.

1 孤立奇点的类型. 2 ( z 1)( z 2)

解： z = 1, z = 2是函数f ( z )的两个孤立奇点，当z = 1时,1 1 f ( z) = , 2 z 1 ( z 2)

1 在z = 1的某邻域内解析，且z = 1处取值不等于0, 2 ( z 2)

z = 1是函数f ( z )的一阶极点；

1 1 , 当z = 2时, f ( z ) = 2 ( z 2) z 11 在z = 2的某邻域内解析，且z = 2处取值不等于0, z 1

z = 2是函数f ( z )的二阶极点.2012-2-1 18

复变函数

研究函数f ( z ) = e 例5.

1 z 1

的孤立奇点的类型.

解：f ( z ) = e

1 z 1

在整个复平面内除去点z = 1外处处解析，

z = 1是它的唯一的孤立奇点.将函数在0 <| z 1|< +∞内展开成洛朗级数，得到：e1 z 1

1 1 2 = 1 + ( z 1) + ( z 1) + + ( z 1) n + 2! n! 1

此级数含有无穷多个负幂项，故z = 1是它的本性奇点.

201

2-2-1

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五、函数的零点与极点的关系1.零点的定义若函数f ( z ) = ( z z0 ) m ( z ),其中 ( z )在z0处解析，且 ( z0 ) ≠ 0,

m为一正整数， 则称z0为函数f ( z )的m阶零点.

例如：函数f ( z ) = z ( z 1)3,

z = 0, z = 1分别是f ( z )的一阶零点和三阶零点.

定理1 如果函数f ( z )在z0处解析，则z0为f ( z )的m阶零点的充要条件是 f ( n ) ( z0 ) = 0, n = 0,1, 2, ( m 1), f ( m ) ( z0 ) ≠ 0.

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复变函数

证明： ) 设z0是函数f ( z )的m阶零点，则f ( z ) = ( z z0 ) m ( z ) (其中 ( z )在z0处解析，且 ( z0 ) ≠ 0, 从而在z0 邻域内泰勒展开式为：

( z ) = C0 + C1 ( z z0 ) + C2 ( z z0 ) 2 + , 其中 ( z0 ) = C0 ≠ 0,

f ( z ) = C0 ( z z0 ) m + C1 ( z z0 ) m +1 + f ( n ) ( z0 ) = 0, n = 0,1, 2, , (m 1), 而f(m)

( z0 ) = m !,C0 ≠ 0.

( ) 已知函数f ( z)的泰勒级数为：f ( z ) = C0 ( z z0 ) m + C1 ( z z0 ) m +1 +

= ( z z0 ) m [C0 + C1 ( z z0 ) + ]且f ( n ) ( z0 ) = 0, n = 0,1, 2, (m 1), f ( m ) ( z0 ) ≠ 0,

令 ( z ) = C0 + C1 ( z z0 ) + C2 ( z z0 ) 2 + ,2012-2-1

f ( z ) = ( z z0 ) m ( z ), 则z0为函数f ( z )的m阶零点.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/y6x4.html