绍兴文理学院2010学年01学期A

绍兴文理学院2010学年01学期

专业 10 级《高等数学E》试卷(答题卷)(A)

一、单项选择题 （共15分，每小题3分） 1．设

f(x)?tanx?xln(1?x)则x?0是f(x)的 （ ）

A. 连续点 B. 跳跃间断点 C. 可去间断点 D. 第二类间断点 a2．设

f(x)在(??,??)上连续，a是常数，则ddx?f(t)dt等于 （ ）

xA.0 B.?f(x) C.f(x) D. f(a)

3．设

f?(x)?(x?1)(2x?1),x?(??,??)，则在(12,1)内，f(x)单调 ( )

A．增加，曲线y?f(x)为凹的 B．增加，曲线y?f(x)为凸的 C．减少，曲线

y?f(x)为凸的 D．减少，曲线y?f(x)为凹的

x4．二次积分

?e1dx?ln0f(x,y)dy交换积分次序后为 （ ）

11A.?1ey0dy?0f(x,y)dx B.?0dy?ef(x,y)dx

1C.

?e1e0dy?0f(x,y)dx D.?0dy?eyf(x,y)dx

5．下列积分中可直接使用牛顿-莱布尼兹公式计算的是 （ ）

2A. ?dx2x1x2?1x B. ?1x?1dx C. ?0x2?1dxe D. ?dx1xlnx

二、填空题（共15，每小题3分）

1．椭圆

x24?y23?1上一点P(1,32)处的切线方程是_________________； 2．若极限3x2?axxlim?a?3??2x2?x?2存在，则a?_______________；

3．函数u?exy?sin(y?z)的全微分是 ；

4．设

f(x,y)?ln(x?y2x)，则f'y(1,0)?__________； 5．设D=

?(x,y)x2?y2?a2?（a?0），??a2?x2?y2dxdy?16D3?，则a? .

1

三、计算题（共54分，每题6分） 1． 计算极限limln(1?3xsinx).

x?0tanx22． 计算极限lim?2n??1?????. 22n??n2?nn?n?1n?1??3． 设

y?f(x)由方程yex?sin(xy)?x2?0所确定，求dy.

f(x,y)?121x?4xy?9y2?3x?14y?的极值. 22?z?z，. ?x?y4． 求函数

5． 设z?f(x,u,v)?xeusinv?eucosv,u?xy,v?x?y，求

6． 求不定积分 7． 计算

?(x?1)lnxdx.

，其中D??Dx2?y2d??(x,y)0?y?2x?x2??.

8． 计算二重积分I

???y2sinxydxdy，其中D由x?0,y?1,y?x围成

D四、 综合题（共16 分，每题8分） 1．求c(c?0)的值，使得两曲线y?x2,y?cx3所围成图形的面积为

23，并求该图形绕x轴旋

转所得的旋转体体积.

2．若

f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导,且f(a)?g(b)?0,证明在(a,b)内至少存在

f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0.

一点?,使得

2

绍兴文理学院2010学年01学期

专业 10 级《高等数学E》期末试卷 (A)

参考答案及评分标准

一、单项选择题（共15分，每小题3分）

1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 二、填空题（共15分，每小题3分）

1.

1y??x?2，2. 15

2 3.

yexydx?[xexy?cos(y?z)]dy?cos(y?z)dz

5. 2

4.

12三、计算题（共54分，每题6分）

1.原式?lim3xsinx22(ln(1?3xsinx)~3xsinx,tanx~x) 2x?0x3sinx?3

x?0x12n12n?2???2?2?2???22.由于2

n?nn?nn?nn?nn?n?1n?112n?2?2???2 n?1n?1n?112n12nlim2?2???2?lim2?2???2?12n??n?1n?1n?1n??n?nn?nn?n?lim

2n?1?1lim?2?2???2?? n??n?nn?n?1n?1?2?3. 两边求微分得exdy?yexdx?cos(xy)d(xy)?2xdx?0

exdy?yexdx?cos(xy)[xdy?ydx]?2xdx?0

2x?yex?ycos(xy)?dy?dx xe?xcos(xy)4. 求得唯一驻点(1,1) ， 验证得5.

f(1,1)??5是极小值

?z?f?f?u?f?v????exy?xysin(x?y)?(x?y)cos(x?y)? ?x?x?u?x?v?x 3

?z?f?u?f?v???exy(x2?1)sin(x?y)?2xcos(x?y)?y?u?y?v?y??

11(x?1)22dx 6. ?(x?1)lnxdx=(x?1)lnx??22x12x2?x?c =(x?2x)lnx?24??2cos?27.

??D8216x?yd???d??rdr??cos3?d??

30900221y28.

22ysinxydxdy?dyy????sinxydx D00=

1212211y(1?cosy)dy?(y?siny)=(1?sin1) ?002221四、证明题（共16分，每题8分） 1. (1)S??(x2?cx3)dx?241c012?c?

23

x664?]dx?(2)V???[x?04352. 证：令F(x)?f(x)g(x)

?F(b)?0由罗尔中值定理，在(a,b)内至少存

则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a)在一点?,使得F?(?)?0 即 f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0

4

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