基于排队论对常州某超市收银系统的分析—以乐购超市为例--本专科

基于排队论对常州某超市收银系统的分析

—以乐购超市为例

摘要

排队论的理论和方法已经广泛应用于各种服务系统。收银系统作为超市、商场与顾客接触的前线，在超市管理中起着非常重要的作用。因此，利用排队论的知识对收银服务系统建立数学模型进行分析优化，从而使系统达到最佳的运营状态，具有十分重要的经济价值和实际意义。

关键词：排队论；超市收银系统；乐购超市

I

目 录

摘要................................................................ I 1相关理论 .......................................................... 1

1.1排队论 ...................................................... 1 1.2极大似然法 .................................................. 1 2超市收银管理系统研究与优化 ........................................ 2

2.1超市收银管理系统描述 ........................................ 2

2.1.1特征概述 .............................................. 2 2.1.2系统模型的假设 ........................................ 3 2.2超市收银管理系统的优化模型建立 .............................. 3 2.3优化的实例分析 .............................................. 4

2.3.1数据收集与数据整理 .................................... 4 2.3.2服务对象到达分布研究 ................................. 10 2.3.3服务时间的服从分布研究 ............................... 12 2.3.4系统指标计算与优化过程 ............................... 14

3结语 ............................................................. 17 参考文献........................................................... 18

II

1相关理论

1.1排队论

排队论(Queuing Theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。

排队论(queuing theory), 或称随机服务系统理论， 是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。它是数学运筹学的分支学科。也是研究服务系统中排队现象随机规律的学科。广泛应用于计算机网络, 生产, 运输, 库存等各项资源共享的随机服务系统。 排队论研究的内容有3个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。

日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。排队论的基本思想是1909年丹麦数学家、科学家，工程师A.K.埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始形成的，当时称为话务理论。他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此得到一组递推状态方程，从而导出著名的埃尔朗电话损失率公式。

1.2极大似然法

一般地说，事件A与参数???有关，?取值不同，则P(A)也不同．若A发生了，则认为此时的?值就是?的估计值．这就是极大似然法．看一例子：例1、设袋中装有许多黑、白球，不同颜色球的数量比为3:1，试设计一种方法，估计任取一球为黑球的概率P．

分析：易知P的值无非是1/4或3/4．为估计P的值，现从袋中有放回地任取3只球，用X表示其中的黑球数，则X~b(3,P)．按极大似然估计思想，对P的取值进行估计．

解：对P的不同取值，X取k?0,1,2,3的概率可列表如下:

1

X P?1 40 27641 27642 9643 164 P?3 4164 964

276427641,k?0,1?????4故根据极大似然思想即知：P． 3,k?2,3??4在上面的例子中，P是分布中的参数，它只能取两个值：1/4或3/4，需要通过抽样来决定分布中参数究竟是1/4还是3/4．在给定了样本观测值后去计算该样本出现的概率，这一概率依赖于P的值，为此需要用1/4、3/4分别去计算此概率，在相对比较之下，哪个概率大，则P就最象那个．

2超市收银管理系统研究与优化

2.1超市收银管理系统描述

2.1.1特征概述

做为服务行业的超市而言，在开放营业的各个时段，所有的光临顾客都是随机的，而购物离开交款的顾客也是随机的，收银服务人员对每一位顾客的服务时间更是随机的，由顾客的购物情况而定。因此，超市的收银管理服务系统就是一个随机的服务系统，它具有如下特征:

(1)超市收银管理系统的服务对象是已选购完商品准备交费离开的顾客，所以可以确定顾客源是无限的。

(2)顾客虽源源不断涌入超市，但他们互不影响，是相互独立的。顾客完成购物进入收银服务系统同样是随机的并且相互独立。

(3)系统由多个服务台并联，服务时间随机、独立，能够同时工作。 (4)顾客接受先到先服务，有时可能需要等待。

(5)顾客到达收银服务区可按实际选取最短队列排队等候;等候中，可在不同队列间移动。

综上，从排队论角度总结可得出超市收银管理服务系统是由多个服务台组成的遵从先到先服务制的动态排队系统。

2

2.1.2系统模型的假设

将实际问题抽象为数学模型可以简化我们的研究。针对排队系统三要素我们对超市收银管理服务系统的输入过程、排队规则和服务机构做以下假设:

1.输入过程。顾客不断地光顾超市，他们的来源是无限的，他们的到达是随机的，独立的。假定所有顾客到达收银台都是单个的、随机的、相互独立的到达。

2.排队规则:顾客到达系统，有空闲服务台时可立即接受服务;没有，则 加入最短队列等待，直到有时被服务。等待过程中，可以根据实际情况在不同的队列间移动。

3.服务机构:假定系统存在c(c?1)个并联服务台独立地一对一服务。在各个时间段里服务能力一样，为一个恒定数值，且每个服务台服务能力相同，不随时间推移发生变化。

若假设顾客到达服从Poisson流，而服务员对每位顾客消耗的服务时间服从负指数分布，则系统是M/M/c/?排队系统。

2.2超市收银管理系统的优化模型建立

上述分析，我们得到超市收银管理服务排队系统是一个M/M/c/?排队系统。我们已假定系统中含有c个并联的服务台同时工作，视系统容量为无穷大，每位顾客到达服从Poisson流，到达与服务视为彼此独立，服务员对每位顾客消

耗的服务时间服从负指数分布。在该排队系统中，我们令????，?c?，?c?由M/M/c/?系统的基础理论知识知，系统达到稳态，即?<1时，系统内顾客

平均等待时间Wq为

Wq??c?(1??c)pc （2-1）

平均等待队长Nq为

Nq??cp（2-2） 2c(1??c)p0，p0?[?j?0c?1其中，pc??cc!?jc?c?1?] j!c!(c??) 3

人们在超市等待被服务所能允许的最长等待时间与最长等待队长是因人而异，各不相同的。

假设顾客所能允许的最长平均等待时间为TW，最长平均等待队长为Lw，则

所能允许的系统中的最长平均等待队长为cLw，则满足:

的C的最小值则为最优服务台数，即

由(3-1)和(3-2可知，在优化了的超市收银管理服务排队系统内，顾

客的平均等待时间Wq与平均等待队长Nq分别是

上述假设我们是按系统中含有C个并联的服务台同时工作，每位顾客到达服从Poisson流，而服务员对每位顾客消耗的服务时间服从负指数分布，这样的超市收银管理服务排队系统为例建立的优化模型。它的思想不仅表示适用于此类排队系统中，还适用于任何一个排队系统模型的优化模型建立。下面我们将对某一具体的超市收银管理服务排队系统运用优化模型优化。

2.3优化的实例分析

2.3.1数据收集与数据整理 (1)顾客到达的情况

4

调查哈市某大型超市，获得顾客到达率、收银服务员对顾客的服务能力和不同群体所能允许的最长等待时间与最长等待队长这三方面的优化模型所需数据。在数据的调查期间，该超市的营业时间是6:3021:30，收银员工作采用三班轮岗制，共设收银台36个。鉴于节假日与非节假日的强大客流差异和一天中每个时段的客流差异(如非节假日的8:00与18:00的客流差异就很大)，并根据实际调查收集数据显示的每个时段内顾客到达数相差不大，我们将非节假日和节假日分开讨论。把一天分割成15个时间段，我们把单位时间设定成10分钟。为得到每时段顾客的到达情况，在每时段内都随机调查二百个单位时间的顾客到达数，整理如表2-1至表2-6所示。

表2-1非节假日单位时问顾客到达情况

7:30-8:30 8:30-9:30 9:30-10:30 20:30-21:30 40以下 4 6 0 0 40-49 71 101 70 65

表2-2非节假日单位时问顾客到达情况2

70以下 70-79 80-89 90-99 100-109 110以上 10:30-11:30 13:30-14:30 14:30-15:30 15:30-16:30 5 6 12 12 19 28 10 21

表2-3非节假日单位时问顾客到达情况3

6:30-7:30 11:30-12:30 12:30-13:30

50-59 85 43 56 35 60-69 20 18 45 44 70-80 18 35 23 27 80以上 2 3 6 29 55 59 39 34 82 78 66 70 33 25 58 46 6 4 15 17 90以下 11 15 18 90-99 19 26 60 5

100-109 89 95 82 110-119 62 60 38 120以上 19 4 2 16:30-17:30 17:30-18:30 18:30-19:30 19:30-20:30 21 15 8 6 62 25 35 33

75 68 92 85 22 69 50 54 20 23 15 22 表2-4节假日单位时问顾客到达情况1

6:30-7:30 11:30-12:30 12:30-13:30 16:30-17:30 17:30-18:30 60以下 18 2 0 2 15 60-69 91 46 25 24 7

表2-5 节假日单位时问顾客到达情况2

100以下 10:30-11:30 13:30-14:30 14:30-15:30 19:30-20:30 4 3 0 0 10 23 18 14

表2-6节假日单位时问顾客到达情况3

120以下 6:30-7:30 9:30-10:30 15:30-16:30 16:30-17:30 17:30-18:30

70-79 64 60 41 70 47 80-89 15 72 57 46 92 90-99 10 8 42 38 33 100以上 2 12 35 20 6 100-109 110-119 120-129 130139 140以上 76 67 85 58 64 59 72 90 28 25 23 32 18 23 2 6 120-129 130-139 140-149 150-159 160以上 15 0 8 5 0 28 13 23 17 6 6

69 36 31 23 29 80 34 82 97 87 6 96 54 49 52 2 21 2 9 26 18:30-19:30 0 3 16 92 50 39 通过对原始数据的整理计算，得到表2 -7显示的非节假日和节假日期间单位时间内顾客的到达率。

表2-7单位时问内顾客的平均到达率

时间段 6:30-7:30 7:30-8:30 8:30-9:30 9:30-10:30 10:30-11:30 11:30-12:30 12:30-13:30 13:30-14:30 14:30-15:30 15:30-16:30 16:30-17:30 17:30-18:30 18:30-19:30 19:30-20:30 20:30-21:30 非节假日 87.525 43.255 39.717 108.96 96.969 65.082 88.764 92.915 98.804 102.52 111.35 109.84 95.882 86.292 52.465 节假日 93.720 61.685 72.230 125.58 123.21 73.336 94.725 110.12 142.76 141.37 169.47 161.97 126.88 75.481 61.504 表2-7中顾客平均到达率的数据是单位时间内的，我们需将其转化，转至每个时段内的。表2-8和表2-9表示的是每个时间段内顾客的到达率和开放的收银台的数目。

表2-8顾客的平均到达率(非节假日)与超市开放的服务台数 时间段 6:30-7:30 7:30-8:30

平均到达率(人/小时) 439.0200 286.7500 7

开放收银台数 8 8 8:30-9:30 9:30-10:30 10:30-11:30 11:30-12:30 12:30-13:30 13:30-14:30 14:30-15:30 15:30-16:30 16:30-17:30 17:30-18:30 18:30-19:30 19:30-20:30 20:30-21:30 243.2500 627.8600 465.7200 564.4900 578.5500 523.5100 587.8000 612.1700 668.0400 649.0400 513.2400 432.7800 300.1900

8 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 8 8 表2-9超市开放的收银台数与顾客的平均到达率(节假日) 时间段 6:30-7:30 7:30-8:30 8:30-9:30 9:30-10:30 10:30-11:30 11:30-12:30 12:30-13:30 13:30-14:30 14:30-15:30 15:30-16:30 16:30-17:30 17:30-18:30 18:30-19:30

平均到达率(人/小时) 447.5200 403.6700 415.4500 745.3200 723.2200 496.9380 578.2300 603.7500 804.5200 895.6300 989.8100 969.8200 745.3700 8

开放收银台数 9 9 9 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16

19:30-20:30 20:30-21:30 496.8100 310.2300 8 8 表中数据告诉我们，此超市收银台开放的数目并不符合之前的讨论，很不合理。像非节假日的6:30到7:30的时间段内，由于超市开放了“生鲜早市”，并开设了免费购物接送班车，致使很多喜欢逛早市的顾客进入超市，造成客流高峰，但该超市此时却只开放8个收银台;在10:30到11:30间，超市客流相对较少，但其却仍旧开放14个收银台。在节假日期间存在着类似的问题。因此，超市的管理经营者应该重视这个问题，根据实际情况动态增减开放的收银台数，提高效益。

(2)顾客被服务的时间

表2-10表示的是该超市中被随机调查的400位顾客的被服务时间，这将为我们研究收银台管理服务系统中顾客被服务员服务的时间的概率分布提供帮助。

表2-10顾客被服务员服务的时间(秒)

服0-务30 时间 频31 率 (3)顾客所能允许的最长平均等待队长和时间

我们在非节假日和节假日期间，分别对四百位不同顾客进行随机抽样调查，获得了顾客在等待被服务时可以允许的最长平均等待队长和最长平均等待时间，详见统计表2-11-表2-14。

表2-11非节假日顾客所能允许的最长等待时问

等待时间(分) 频数 4以下 52 4-8 215

表2-12节假日顾客所能允许的最长等待时问

等待时间(分) 频数 4以下 4 4-8 103 8-12 195 12以上 98 8-12 121 12以上 12 39 56 25 42 46 29 12 41 39 27 30-45 45-60 60-75 75-90 90-105 105-1120-1135-1150-1165-11820 35 50 65 80 0以上 13 9

表2-13非节假日顾客所能允许的最长等待队长

队长 频数 5以下 80

表2-14节假日顾客所能允许的最长等待队长

队长 频数 5以下 25 5-10 308 10以上 67 5-10 296 10以上 24 由以上数据整理计算可知，在非节假日顾客所能允许的最长平均等待时间为7.5100分钟，最长平均等待队长为6.2786.节假日，顾客所能允许的最长平均等待时间是10.363分钟，最长平均等待队长是8.5300.

2.3.2服务对象到达分布研究

用?2拟合检验法，检验原始数据是否服从Poisson分布。在Poisson分布中，因为参数兄是未知数，所以，先需对其进行估计，使用极大似然估计法。 设总体X服从Poisson分布，参数为?，即

P(X?k)??kk!e??,k?0,1,2,...

X1,X2,... X。是来自于总体X的样本，x1,x2, . . . x、为对应样本X1, X2,... Xn的一个样本值，则样本的极大似然函数为

L(?)??P(X?xi)??i?1nn?i!i?1e?i（2-3）

对式(2-3)两边取对数，得

lnL(?)?ln???xi?n???ln(xi!)

i?1i?1nn令

得到关于兄的最大似然估计值

10

故?的最大似然估计量是

因各时段研究方法相同，故以非节假日7:308:30举例说明时段内的顾客到达情况。此时段单位时间内到达的顾客数的直方图如图2-1所示。其中系列一代表20至40人，系列二代表40至50人，系列三代表_50至60人，系列四代表60

至70人，系列五代表70至80人，系列六代表80至90人。

图2-1单位时问内到达的顾客数

??X?43.255。由表2-7的数据我们可知，此时段单位时间顾客的到达率?由?2拟合检验法我们可知，我们将X可能取值的全体?分为六组，其中，ai-1是Ai组的下限，ai是Ai组的上限，记A1=[0,39]，A2=[40,49]，A3=[50,59]，

??p?(Ai)?A4=[60,69]，A5=[70,79]，A6=[80,?]，则pii?ai?1?ai?i?l!e?1，i=1,2,…6，理

??np?i，合并理论频数小于5的组，详见下表2-15 论频数fi表2-15顾客到达分布

11

fi2因为统计量是?=??n所以，?2=0.7102，分组合并得k=5.起初

?ii?1np2k在计算概率时，我们估计了参数兄，知:=1，得x2的自由度为k-r-1=5-1-1=3.取?=0.05，由?20.05(3)?6.837知?20.05(k?r?1)，所以，当显著性水平“= 0.05时可接受H0.可判定此时段单位时间内到达的顾客数服从参数?的Poisson分布，即该时段顾客是按参数?的Poisson流到来的。

以此类推，可知节假日与非节假日期间的各时段，顾客到达都服从Poisson流。

2.3.3服务时间的服从分布研究

我们仍旧使用皮尔逊?2一检验法，依据原始数据，研究服务台的服务时间是不是符合负指数分布。估计负指数分布里的参数?，仍然使用极大似然法。

假设总体T服从负指数分布，即

??e??t,t?0f(t)??

0,t?0?T1,T2,T3.....,Tn是取自总体T的样本，t1,t2,t3.....,tn为对应于

T1,T2,T3.....,Tn的一组样本值，则

表示样本的似然函数，将其两端取对数，可得

12

令

得?的最大似然估计值是

（2-4）

则

为?的最大似然估计量。

由服务员对每位顾客的服务时间的原始数据值，我们能算出服务员的平均服务时间为t=74.12秒，由（2-4）知，??1?0.0135人/秒=48.570人/时。同 t上依据?2拟合检验法，将T可能取值的全体。分为12组，记做A1=[0,30]，A2=(30, 45]，A3=(45,60]，A4 =(60,75]，A5=(75,90]，A6=(90,105]，A7=(105,120]，A8 =(120,135 ]，A9=(135,150]，A10=(150,165，A-=(165,180]，Ana一(180,00)·如果H0为真，则T的分布函数的估计为

表2-16服务时问分布

Ai Fi pi npi fi2 ?npi32.0201 41.0777 57.4101 A1 A2 A3

31 39 56 0.0721 0.0911 0.1429 13

30.0124 37.0274 54.6245

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/y6fg.html