数缺形时少直观，形少数时难入微 - 一道中考题的探究

数缺形时少直观，形少数时难入微

——一道中考题的多解探究

１ 题目呈现

（山东?青岛）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．

数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．

例题 求1＋2＋3＋4＋?＋n的值，其中n是正整数．

对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．

如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋?＋n 的值，方案如下：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，?，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋?＋n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n＋1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为

图1

n（n?1）n（n?1），即1＋2＋3＋4＋?＋n＝． 22（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋?＋（2n－1）的值，其中 n 是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）

（2）试设计另外一种图形，求1＋3＋5＋7＋?＋（2n－1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）

２ 题目简析

本题是2006年中考数学青岛卷第23题，是一个等差数列求和的问题，本题并不是考查学生对公式的记忆，而是通过数形结合的思想自主探究此类问题的求解途径，考查了学生对数形结合思想的理解和应用能力、创新能力等，同时对学生的思维品质要求较高，两个问题第（1）问可以直接模仿例题完成，第（2）问更加开放，体现了中考试题较好的区分度．以下给出了笔者对本题的几种思考方法，供大家参考．

３ 解法展示

３.1 利用旋转的方法排列图形

解法１：

图2

如图2，因为组成此平行四边形的小圆圈共有n 行，每行有（[2n －1）＋1]个，即2n 个，所以组成此平行四边形的小圆圈共有（n×2n）个，即2n2个．

∴1＋3＋5＋7＋?＋（2n－1）＝

n?〔（2n—1）?1〕2

＝n ．

2解法２：把一个三角形图案的两部分旋转成平行四边形．

n行倒放在斜线右边，形成平行四边形．此时组成平行四边2nn形的小圆圈共行，每行2n个小圆圈，共×2n＝n2个．所以1+3+5+7+??+2n-1= n2.

22 如图3，当n为偶数时，前

1

3 5

2n-5 2n-3 2n-1

．．． ．．．

．．． ．．．

图3

如图4，当n为奇数时，前

n?3n?1行倒放在斜线右边第行后，形成平行四边形加

22一行n个小圆圈．此时组成平行四边形的小圆圈共行

n?1行，每行2n个小圆圈，共2n?1×2n+n＝n2个． 21 3 5

．．．

．．． ．．．

2n-5 2n-3 2n-1

．．．

图4

解法３：如图5，第一行共n列，每列依次为1、3、5、7??2n-1个小圆圈，这一行水

平旋转180度，放在直线l的下方，形成一个四边形．每列共2n-1+1=2n个小圆圈，共n列，共2n2个小圆圈，第一行共1+3+5+7+??+2n-1= n2个小圆圈. 所以1+3+5+7+??+2n-1= n2.

1

3 5 7 2n-1

2n-1 7 5 3

1

图5

解法４：如图6，2n-1为奇数，沿正中间一列分开（中间一列每个被分割的小圆圈看作

是两个半圆），把左边的部分旋转180°后倒放在分割线的右边，和剩下的部分形成矩形．此时组成矩形的小圆共n行，每行(1+3+5+7+??+2n-1= n2.

2n?11?)个,即n个小圆圈，共n×n＝n2个．所以22

1

3 5 7 2n-1

图6

【点评】用图形直观的把数表示出来，体现了利用“几何直观”来解决问题的优势．通过把图形进行直接、加倍或分割后的旋转变换，让图形体现的数量关系更加明显，也便于计算．要注意的是对图形的数量进行加倍后，数字的数量关系也随之变化，要对最后的计算结果进行还原处理．

3.2 利用轴对称的方法排列图形

解法５：如图7，把代表数量的小圆圈按上下成轴对称的形式排列，四边形由左上方到右下方每行有n个小圆圈，共2n行，共2n2个小圆圈，所以1+3+5+7+??+2n-1= n2.

1

1 3 5 7 2n-1 2n-1 7 5 3 1

3 5 7

2n-1

2n-1 7 5 3 1

图7

解法６：如图8，把图7去掉一行2n-1，两三角形关于中间一行成轴对称，四边形由左

上方到右下方每行n个小圆圈及每行n-1个小圆圈交替出现，每行n个小圆圈的共n行，有n2个小圆圈，每行n-1个小圆圈共（n-1）行，有(n-1)2个小圆圈，

所以1+3+5+7+??+2n-1=

图8

..................图9

【点评】利用轴对称的方法进行数量的计算也很好的突出了“几何直观”的优势．利用轴对称对对数量关系进行重新的排列后，可以从不同的角度去观察图形，选择合适的角度进行计算．对于计算结果同样需要考虑增加或减少图形后的还原． 3.3 利用填补的方法构造特殊图形

解法７：如图9，由黄色和绿色的小正方形共同建立一个每行有(2n-1)个共n行的长方

形，其中绿色可形成每行n个共(n-1)行，则小正方形共(2n-1) n-n(n-1)=n2个． 所以1+3+5+7+??+2n-1= n2.

解法8：如图10，黄色小正方形每一层自上而下分别为1、3、5、7??2n-1个，四个相同的图形拼成一个大正方形，每行有（2n-1+1）个小正方形，共（2n-1+1）行，小正方形的个数共2n×2n=4n2个，每一部分有n2个，所以1+3+5+7+??+2n-1= n2.

..........................................

图10

......

图11

解法9：如图11，四边形在对角线每边的位置上及对角线的交点处各补一个白色的小正方形，使四边形每边有（2n-1+1+1）个小正方形，共（2n-1+1+1）行，小正方形的个数共（2n+1）×（2n+1）=4n2+4n+1个，补上的白色小正方形共（4n+1）个，即四个三角形小圆圈总数为整个大正方形里含有小正方形4n2个，每种颜色小正方形的个数为n2个．所以1+3+5+7+??+2n-1= n2.

【点评】利用填补的方法来表示数量关系更加的整齐，体现的数量关系更加明显，也便于计算．这种方法类似于计算不规则图形面积时使用的“补”法．即把不规则的图形补成规则的图形，计算后再减去多余的部分． 3.4 利用不同的排列方式构造特殊图形

解法10：如图12，先放一个小圆圈代表1，在它周围放上3个小圆圈代表3，用5个小圆圈恰好把原四边形围住??，以此类推，每次所用的小圆圈的个数总是上个四边形每边个数的2倍多1，形成的四边形每边有

2n?1?12n?1?1个小圆圈，共行，组成此四边形的22小圆圈总数为n2个．所以1+3+5+7+??+2n-1= n2．

图12

解法11：如图13，因为组成此正方形的小圆圈共有n 行，每行有n个，所以共有（n×n）个， 即n2 个．∴1＋3＋5＋7＋?＋（2n－1）＝n×n＝n2 ．

【点评】这种表达数量关系的几何直观方法更加的灵活，可以根据数量关系的特点创造性的考虑图形的设计方法．只要图形表达的数量关系便于计算即可．本质上，这种方法设计的图形，也和前三种方法一样，通常是一种特殊的图形．

图13

4 解题反思

正像本题刚开始华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．纵观近年来的中考题，熔“数”和“形”于一体的试题屡见不鲜．目前我们使用的新课本，不再把数学课划分为“代数”、“几何”，而是综合为一门数学课，这样更有利于“数”与“形”的结合，因此数学教师在教学中要做好“数”与“形”关系的揭示与转化，运用数形结合的方法，帮助学生类比、发掘，剖析其所具有的几何模型，这对于帮助学生深化思维，扩展知识，提高能力都有很大的帮助．

本题是一道典型的数形结合的题目，对于一个比较麻烦的纯代数运算，通过巧妙的构造图形，从而化抽象为直观，化难为易，使问题顺利的得到解决．对于多种解法，又运用到了旋转、轴对称和图形的割补等数学方法，让学生充分的感受到数和形可以从不同的角度去结合，思考问题的方式可以多样化；对于用什么样的“形”和数去结合，本题的解答也给出了很好的解释，有的用小圆圈的个数来表示数的多少，有的用小正方体的个数来表示数的多少等等，当然，还可以用其它的方式表示数的多少，如线段的长度、菱形、等边三角形等．不同的“形”和同样的“数”又可以从不同的角度进行结合，如同样是旋转“形”的方法，可

以旋转成不同的情况，最终都让问题得到了解决．

这就要求教师在平时要注重数学思想方法的教学，而不是单纯靠记忆公式解题．要能抓住典型题目适时的渗透和利用数形结合的思想，几何直观的方法，使之成为学习数学、解决数学问题的工具，学会用数学思想去思考和解决数学问题，达到对数学的深度理解和喜爱．

作者简介：刘乃志，男，1975年生，山东青岛人，凤凰数学网版主，中学一级教师，青岛市数学会会员，青岛市教学能手，出示过青岛市数学公开课，获得全国数学优质课二等奖，山东省数学优质课一等奖，主持或参与多项国家级和省市级课题研究，主要研究方向为数学教育．

赵建英，男，1971年生，山东青岛人，中学高级教师，青岛胶州市教体局数学教研员，青岛市教学能手，连续多年参加青岛市中考命题，主持或参与多项国家级和省市级课题研究，主要研究方向为命题研究、解题研究．

联系方式：电话：15954258866，E-mail:lnz1008@163.com

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