厦门二中2014届高三文科数学立体几何专项练习(二)

厦门二中2014届高三文科数学立体几何专项练习（二）

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1．如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB、A1B1分别为圆O、圆O1的直径且A1A⊥平面PAB. (1)求证：BP⊥A1P；(2)若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，求三棱锥A1－APB体积．

2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直(图1)，图2为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．

(1)根据图2所给的正视图、侧视图画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积．

(2)图3中，E为棱PB上的点，F为底面对角线AC上的点，且＝EF∥平面PDA.

3. 如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．（Ⅰ）若点G在AB上，试确定G点位置，使FG∥平面ADE，并加以证明； （Ⅱ）求三棱锥D—ABF的体积．

BECFEPFA

C

F

E

4． 【2102高考福建文19】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M

为棱DD1上的一点。（1）求三棱锥A-MCC1的体积；（2）当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC。

5．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱ABC A1B1C1中,CA CB,AB AA1, BAA1 60.

(Ⅰ)证明:AB AC;(Ⅱ)若AB CB

2,AC11

求三棱柱ABC A1B1C1的体积.

1

6． (2009·山东高考)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝

CD＝2，AA1＝2，E、E1分别是棱AD、AA1的中点．

(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；(2)证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.

厦门二中2014届高三文科数学立体几何专项练习（二）答案

1． 解：(1)证明：易知AP⊥BP，由AA1⊥平面PAB，得AA1⊥BP，且AP∩AA1＝A， 所以BP⊥平面PAA1，故BP⊥A1P.

(2)由题意V＝π·OA·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3. 由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝3， 1

∴S△PAB3＝23，

2

11

∴三棱锥A1－APB的体积VS△PAB·AA1＝3×3＝3.

332．解：(1)该四棱锥的俯视图为内含对角线，边长为6 cm的正

方形，如图．其面积为36 cm.

2

2

(2)证明：连结BF并延长交AD于G，连结PG，则在正方形ABCD中，＝. 又

BFCF

FGFA

CFBEBFBE

，∴＝，∴在△BGP中，EF∥PG.又EF 平面PDA，PG 平面PDA，∴EF∥平面PDA. FAEPFGEP

3.解：（I）当G是AB中点时，GF∥平面ADE．-----------------2分 证明：∵G是AB中点，F是BE的中点，∴GF∥AE ， C又GF 平面ADE，AE 平面ADＥ，

∴GF∥平面ADE．---------------------------5分 （II）解：连结CG，由（1）可知： GF∥AE，且GF＝

1

AE ，又AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC， 21

∴CD∥AE，又CD＝AE，∴GF∥CD，GF＝CD，

2

B

F

E

∴四边形CDFG为平行四边形 ，

∴DF∥CG，且DF＝CG．-------7分又∵AE⊥平面ABC，CG 平面ABC，∴AE⊥CG． ∵△ABC为正三角形，G为AB中点， ∴CG⊥AB，又AB AE A，

∴CG⊥平面ABE．又CG∥DF，且CG＝DF，∴DF为所求三棱锥D-ABF的高，且DF＝3．---------9分 又AE⊥平面ABC，AB 平面ABC，∴AE⊥AB．在Rt△ABE中，由AB＝AE＝2， 而F为BE中点，∴S ABF ∴VD-ABF＝

1

S ABF3

111

S ABE 2 2 1． 222

13

，∴所求三棱锥的体积为．--------------12分 DF 1 3

333

4．

5． (I)取AB的中点O,连接OCO、OA1O、A1B,因为CA=CB,所以OC AB,由于AB=A A1,∠BA A1=60,故 AA,B为等边三角形,所以OA1⊥AB. 因为OC OA1=O,所以AB 平面OA1C.又A1CC平面OA1C,故AB AC. (II)

ABC与 AA1B都是边长为2的等边三角形，AA1B都是边长为

2的等边三角形，所以

2OC OA1 又AC AC OA12，故

OA1 OC. 11

因为OC AB O,所以OA1 平面ABC，OA1为棱柱ABC-A1B1C1的高，又 ABC的面积S ABC ABC-A1B1C1的体积V=S ABC OA1 3.

6． 解：(1)证明：法一：取A1B1的中点为F1，连结FF1、C1F1， 由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1， 因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连结A1D、F1C，

由于A1F1綊D1C1綊CD，所以四边形A1DCF1为平行四边形， 因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D，得EE1∥F1C，

而EE1 平面FCC1，F1C 平面FCC1，故EE1∥平面FCC1.

法二：因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC.又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC 平面FCC1，CC1 平面FCC1，所以平面ADD1A1∥平面FCC1， 又EE1 平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.

(2)证明：连结AC，在△FBC中，FC＝BC＝FB，又F为AB的中点，所以AF＝FC＝FB， 因此∠ACB＝90°，即AC⊥BC.又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C，所以AC⊥平面BB1C1C， 而AC 平面D1AC，故平面D1AC⊥平面BB1C1C

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