湖北省十堰市2019届高三模拟试题理科数学学科（带解析）

理科数学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的．

1．[2019·台州期末]设复数z满足i?z?2?i，其中i为虚数单位，则复数z对应的点位于（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

2．[2019·合肥一模]集合A?xx2?x?2?0，B??xx?1?0?，则AA．?xx?1?

B．?x?1?x?1?

C．?xx?2?

??B?（ ）

D．?x?2?x?1?

3．[2019·通州期末]设向量a???3,4?，b??0,?2?，则与a?b垂直的向量的坐标可以是（ ） A．?3,2?

B．?3,?2?

C．?4,6?

D．?4,?6?

4．[2019·黄山一模]直线2x?y?3?0与y轴的交点为P，点P把圆?x?1??y2?36的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

25．[2019·铜仁一中]某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（ ） A．72种

B．36种

C．24种

D．18种

6．[2019·长沙一模]我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）

A．8?4π 3B．8?π C．8?2π 3D．4?π 2π?π?7．[2019·恒台一中]将函数f?x??sin?2x??的图象向右平移个单位长度得到g?x?图像，则下列判断错误的

3?2?是（ ）

?ππ?A．函数g?x?在区间?,?上单调递增

?122?B．g?x?图像关于直线x?7π对称 12

?ππ?C．函数g?x?在区间??,?上单调递减

?63??π?D．g?x?图像关于点?,0?对称

?3?8．[2019·长沙一模]下面程序框图是为了求出满足3n?2n?1000的最小偶数n，那么在◇和以分别填入（ ）

两个空白框中，可

A．A?1000和n?n?1 C．A?1000和n?n?1

B．A?1000和n?n?2 D．A?1000和n?n?2

π?3π???9．[2019·厦门质检]已知锐角?满足cos?????，则sin?2????（ ）

6?53???12122424A． B．? C． D．?

2525252510．[2019·跃华中学]如图，圆M、圆N、圆P彼此相外切，且内切于正三角形ABC中，在正三角形ABC内随机取一点，则此点取自三角形MNP（阴影部分）的概率是（ ）

A．3?1 2B．3?1 3C．2?3 2D．2?3 3x2y211．[2019·恒台一中]已知双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P为双

ab曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左，右支于另一点M，N，若PF1?3PF2，且?MF2N?60?，则双曲线的离心率为（ ）

A．5 2B．3 C．2 D．7 212．[2019·荆门检测]设函数g?x??ex?1?ex?a（a?R，e为自然对数的底数）．定义在R上的函数f?x?满?1?足f??x??f?x??x2，且当x?0时，f??x??x．若存在x0??xf?x???f?1?x??x?，且x0为函数y?g?x??x2????的一个零点，则实数a的取值范围为（ ） ?e?,??A．???2? ??B．

?e,??

?C．?e,??

???e?,??D．??? 2??第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．[2019·西城期末]在△ABC中，a?3，b?26，B?2A，则cosA?______． 14．[2019·东台中学]已知平面?，?，直线m，n，给出下列命题：

①若m∥?，n∥?，m?n，则???；②若?∥?，m∥?，n∥?，则m∥n； ③若m??，n??，m?n，则???；④若???，m??，n??，则m?n． 其中是真命题的是____．（填写所有真命题的序号）．

15．[2019·永春二中]甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：

“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______． 16．[2019·郑州一模]如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P?x,y?的轨迹方程是y?f?x?，则对函数y?f?x?有下列判断：①函数y?f?x?是偶函数；②对任意的x?R，都有

f?x?2??f?x?2?；③函数y?f?x?在区间?2,3?上单调递减；④函数y?f?x?的值域是?0,1?；⑤

2?0f?x?dx?π?1．其中判断正确的序号是__________． 2

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·广东期末]已知数列?an?是递增的等差数列，a3?7，且a4是a1与27的等比中项． （1）求an； （2）若bn?

1an?an?1，求数列?bn?的前n项和Tn．

18．（12分）[2019·南通调研]某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为

21，游览B、C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立． 32（1）求该游客至多游览一个景点的概率；

（2）用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，求X的概率分布和数学期望E?X?．

19．（12分）[2019·株洲统测]如图（1），等腰梯形ABCD，AB?2，CD?6，AD?22，E、F分别是CD的两个三等分点．若把等腰梯形沿虚线AF、BE折起，使得点C和点D重合，记为点P，如图（2）．

（1）求证：平面PEF?平面ABEF；

（2）求平面PAE与平面PAB所成锐二面角的余弦值．

2x2y220．（12分）[2019·合肥一模]设椭圆C:2?2?1?a?b?0?的离心率为，圆O:x2?y2?2与x轴正半轴交

2ab于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为22． （1）求椭圆C的方程；

（2）设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，试判断PM?PN是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

21．（12分）[2019·潍坊期末]已知f?x??asinx?a?R?，g?x??ex． （1）若0?a?1，证明函数G?x??f??x??lnx在?0,1?单调递增； （2）设F?x??

f?x??g?x?a?π?，a?0，对任意x??0,?，F?x??kx恒成立，求实数k的取值范围．

?2?

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

??x?cos??x?t[2019·武汉六中]已知直线l：?（t为参数），曲线C1:?（?为参数）．

y?sin?y??3?3t???（1）设l与C1相交于A，B两点，求AB； （2）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的

31倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线

22C2上的一个动点，求它到直线l距离的最小值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

[2019·厦门期末]函数f?x??ax?2，其中a?R，若f?x??a的解集为??2,0?． （1）求a的值；

（2）求证：对任意x?R，存在m?1，使得不等式f?x?2??f?2x??m?

1成立． m?1

答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】z?2?i?1?2i，该复数对应的点为?1,?2?，它在第四象限中．故选D． i2．【答案】C

【解析】解得集合A?x?x?2??x?1??0??x?1?x?2?，B??xx?1?， ∴AB??xx?2?，故选C．

??3．【答案】C

【解析】a?b???3,2?；可看出?4,6????3,2??0；∴?4,6???a?b?．故选C． 4．【答案】A

【解析】令x?0代入2x?y?3?0可得P0,?3，圆心坐标为??1,0?， 则P与圆心的距离为1?3?2，半径为6，

可知较长一段为8，较短一段4，则较长一段比上较短一段的值等于2． 故选A． 5．【答案】B

【解析】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，

3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有， 则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，

??

2若甲村有1外科，2名护士，则有C13C3?3?3?9，其余的分到乙村， 21C3?3?3?9，其余的分到乙村， 若甲村有2外科，1名护士，则有C3则总共的分配方案为2??9?9??2?18?36种，故选B． 6．【答案】B

1【解析】结合三视图，还原直观图，故V?23??π?12?2?8?π，故选B．

2

7．【答案】C

π?π?【解析】由题意，将函数f?x??sin?2x??的图象向右平移个单位长度，

3?2?2π??可得g?x??sin?2x??，

3??πππ2ππ?x?，则??2x??， 122233?ππ?则函数g?x?在区间?,?上单调递增是正确的；

?122?对于A中，由

对于B中，令x?7π2π?π7π?7π??，则g???sin?2????sin?1，

123?212?12??∴函数g?x?图像关于直线x?对于C中，?7π对称是正确的； 12ππ2π?x?，则?π?2x??0， 633?ππ?则函数g?x?在区间??,?上先减后增，∴不正确；

?63?

对于D中，令x?π2π?π?π??，则g???sin?2????0，

33?3?3???π?

∴g?x?图像关于点?,0?对称是正确的，故选C．

?3?

8．【答案】D

【解析】∵要求A?1000时输出，且框图中在“否”时输出，∴“又要求n为偶数，且n的初始值为0，∴“∴D选项满足要求，故选D． 9．【答案】C

π?3π?【解析】∵锐角?满足cos?????，∴??也是锐角，

6?56?π?π?4??由三角函数的基本关系式可得sin?????1?cos2?????，

6?6?5??”内不能输入“A?1000”，

”中n依次加2可保证其为偶数，

π?π?π?24???则sin?2????2sin????cos?????，故选C．

36625??????10．【答案】C 【解析】如图，

设一个内切圆的半径为r，则AH?BG?3r， 则MN?GH?2r，AB?AH?BG?GH?2正三角形MNP与正三角形ABC相似，

?3?1r，

?

则在正三角形ABC内随机取一点，则此点取自三角形MNP（阴影部分）的概率是： P?S△MNPS△ABC??MN???????AB??2?2??2r??2?3．故选C．

23?1r??2?11．【答案】D

【解析】结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO?MO，而F1O?F2O，

结合四边形对角线平分，可得四边形PF1MF2为平行四边形，设PF2?a， 结合?MF2N?60?，故?F1MF2?60?，

对三角形F1MF2运用余弦定理，得到F1M2?F2M2?F1F22?2?MF1?MF2?cos?F1MF2， 而结合PF1?3PF2，可得MF1?a，MF2?3a，F1F2?2c，代入上式子中， 得到a2?9a2?4c2?3a2， 结合离心率满足e?12．【答案】D

1【解析】构造函数T?x??f?x??x2，∵f??x??f?x??x2，

2112∴T?x??T??x??f?x??x2?f??x????x??f?x??f??x??x2?0，

22c7c，即可得出e??，故选D．

a2a

∴T?x?为奇函数，

当x?0时，T'?x??f'?x??x?0，∴T?x?在???,0?上单调递减， ∴T?x?在R上单调递减．

?1?1∵存在x0??xf?x???f?1?x??x?，∴f?x0???f?1?x0??x0，

22??12112∴T?x0??x0??T?1?x0???1?x0??x0，化简得T?x0??T?1?x0?，

222∴x0?1?x0，即x0?1， 21??令h?x??g?x??x?ex?ex?a?x??，

2??∵x0为函数y?g?x??x的一个零点，∴h?x?在x?11时有一个零点， 211∵当x?时，h'?x??ex?e?e2?e?0，∴函数h?x?在x?时单调递减，

22由选项知a?0，??a??又∵h????ee??aeae?0?1， 2ae??a??e????a?ee???0，∴要使h?x?在x?1时有一个零点， 2?e?e1?1?只需使h???e?，∴a的取值范围为?,???，故选D． e?a?0，解得a??2222????

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】6 3

【解析】∵a?3，b?26，B?2A，∴由正弦定理可得∴cosA?b2666．故答案为． ??2a2?333abb， ??sinAsinB2sinAcosA14．【答案】③④

【解析】对于①，若m∥?，n∥?，m?n，则?∥?或?，?相交， ∴该命题是假命题；

对于②，若?∥?，m∥?，n∥?，则m，n可能平行、相交、异面， ∴该命题是假命题；

对于③④可以证明是真命题．故答案为③④． 15．【答案】乙

【解析】先假设甲说的对，即甲或乙申请了但申请人只有一个，

（1）如果是甲，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”就是错的， 丁说“乙申请了”也是错的，这样三个错的，不能满足题意，故甲没申请．

（2）如果是乙，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”可以理解为申请人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故说法不对，丁说“乙申请了”也是对的，这样说的对的就是两个是甲和丁满足题意． 故答案为乙． 16．【答案】①②⑤

【解析】当?2?x??1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的当?1?x?1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为2的当1?x?2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的当3?x?4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的∴函数的周期是4．

1圆， 41圆， 41圆， 41圆， 4

因此最终构成图象如下：

①，根据图象的对称性可知函数y?f?x?是偶函数，故①正确； ②，由图象即分析可知函数的周期是4．

即f?x?4??f?x?，即f?x?2??f?x?2?，故②正确； ③，函数y?f?x?在区间?2,3?上单调递增，故③错误； ④，由图象可得f?x?的值域为?0,2?，故④错误；

??1⑤，根据积分的几何意义可知f?x?dx?π?802???22111π??1?1?π?12??， 2422故⑤正确． 故答案为①②⑤．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）an?2n?1；（2）2n?3?3．

2【解析】（1）设?an?的公差为d，且d?0，

???a3?7?a3?7据题意则有?2，即?， 2a?27aa?d?27a?2d???3??41???3∵d?0，解得d?2，∴an?a3??n?3?d?2n?1．

（2）bn?1an?an?112?12n?1?2n?3?12?2n?3?2n?1，

?前n项和Tn??12?5?3?7?5??2n?1?2n?1?2n?3?2n?1

??2n?3?3．

113；（2）分布列见解析，E?X??． 46?18．【答案】（1）

【解析】（1）记“该游客游览i个景点”为事件Ai，i?0，1， ?2??1??1??1?1则P?A0???1???1???1???1???，

322224????????2?1??2?1?1?5P?A1????1????1???C1． 3???1???3?2??3?2?2?2432∴该游客至多游览一座山的概率为P?A0??P?A1??（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4， P?X?0??P?A0??15，P?X?1??P?A1??， 242422151??， 2424421?1??2??1?32?1?P?X?2???C1， 3???1????1???C3?????1???32?2??3?228????21?1??2?7?1?2P?X?3???C3???1????1???C3??， 3??32?2??3?24?2?2?1?1P?X?4??????，

3?2?1233∴X的概率分布为：

X 0 1 2 3 4

P 故E?X??0?1 245 243 87 241 121597213?1??2??3??4??． 2424242424619．【答案】（1）见解析；（2）7． 7【解析】（1）E、F是CD的两个三等分点，易知，ABEF是正方形，故BE?EF， 又BE?PE，且PE又

EF?E，∴BF?面PEF

面ABEF，∴平面PEF?平面ABEF．

（2）过P作PO?EF于O，过O作BE的平行线交AB于G，则PO?面ABEF， 又PO，EF，OG所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系，

则A?2,?1,0?，B?2,1,0?，F?0,?1,0?，P0,0,3，

∴AF???2,0,0?，FP?0,1,3，AB??0,2,0?，PA?2,?1,?3， 设平面PAF的法向量为n1??x1,y1,z1?，

????2x1?0?n1?AF?0则?，∴?，n1?0,?3,1，

y?3z?0??11??n1?FP?0????????设平面PAB的法向量为n2??x2,y2,z2?，

???2y2?0?n2?AB?0则?，∴?，n2?2x?y?3x?0??222??n2?PA?0cos??n1?n2n1?n2?22?7?7． 7?3,0,2，

?∴平面PAE与平面PAB所成锐二面角的余弦值x2y220．【答案】（1）?（2）见解析． ?1；

637． 7【解析】 （1）设椭圆的半焦距为c，由椭圆的离心率为x2y2∴椭圆C的方程可设为2?2?1．易求得A2bb2知，b?c，a?2b， 2?2,0，∴点

??2,2在椭圆上，

?2?22x2y2?a?6∴2?2?1，解得?，∴椭圆C的方程为??1．

2632bb??b?3（2）当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x?2， 由（1）知，M?2,2，N??2,?2，OM???2,2，ON???2,?2，OM?ON?0，∴OM?ON．

?当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，

可设切线的方程为y?kx?m，M?x1,y1?，N?x2,y2?， ∴mk2?1?2，即m2?2k2?1．

??联立直线和椭圆的方程得x2?2?kx?m??6，

2

∴1?2k2???????4km?2?41?2k22m2?6?0??4km． x2?4kmx?2m2?6?0，得?x1?x2??22k?1??2m2?6?x1x2?2k2?1?????∵OM??x1,y1?，ON??x2,y2?，

∴OM?ON?x1x2?y1y2?x1x2??kx1?m??kx2?m? ?1?k?2?xx12?km?x1?x2??m?1?k2?2?2m2?6?4km?2?km?2?m2 2k?12k?1222?6k2?632k?2?6k?6??0，

2k2?12k2?11?k??2m??22?6?4k2m2?m22k2?12k2?1????3m??∴OM?ON．

综上所述，圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，都有OM?ON． 在Rt△OMN中，由△OMP与△NOP相似得，OP?PM?PN?2为定值． 21．【答案】（1）见解析；（2）k?1．

【解析】（1）G?x??f??x??lnx?asin??x??lnx??asinx?lnx， G'?x???acosx?11??acosx， xx1?1， x1?acosx?0， x2由于x??0,1?，∴

又a??0,1?，cosx???1,1?，因此acosx?1，∴

即G'?x??0在?0,1?上恒成立，故G?x?在?0,1?上单调递增． （2）F?x??f?x??g?x??exsinx，

a?π?由题意：对x??0,?，exsinx?kx?0恒成立，

?2?

设h?x??exsinx?kx，h'?x??exsinx?excosx?k， 又设m?x??exsinx?excosx?k，

则m??x??exsinx?excosx?excosx?exsinx?2excosx?0， ?π?因此m?x?在?0,?单调递增，∴m?x??m?0??1?k，

?2??π?1当k?1时，m?x??0，即h'?x??0，h?x?在?0,?单调递增，

?2?故有h?x??h?0??0，即k?1适合题意． ?π?2当k?1时，m?0??1?k?0，m???e2?k，

?2?π若e2π?k?0，则取x0?π，x0??0,x0?时，m?x??0， 2π若e2?π??k?0，则在?0,?上m?x?存在唯一零点，记为x0，

?2??π?当x??0,x0?时，m?x??0，总之，存在x0??0,?使x??0,x0?时，m?x??0，即h'?x??0，

?2?∴h?x?单调递减，h?x??h?0??0，故k?1时，存在?0,x0?使h?x??0不合适题意， 综上，k?1为所求．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）AB?1；（2）23?6． 4【解析】（I）直线l的普通方程为y?3?x?1?，C1的普通方程x2?y2?1．

??13??y?3?x?1?,?联立方程组?，解得l与C1的交点为A?1,0?，B???2?，则AB?1． 222????x?y?11?x?cos???1?32?cos?,sin?（2）曲线C2的参数方程为?（?为参数），故点P的坐标为?， ???22???y?3sin???2从而点P到直线l的距离是d?33cos??sin??3222?3?π???2sin?????2?， ?4?4???23?6π??由此当sin??????1时，d取得最小值，且最小值为．

44??23．【答案】（1）a?2；（2）见证明．

【解析】（1）由题意知a?0不满足题意，当a?0时，由ax?2?a得?a?ax?2?a， 2??1???2?22?a∴?1??x?1?，则?，则a?2．

2aa?1??0??a（2）设g?x??f?x?2??f?2x??2x?2?4x?2，

对于任意实数x，存在m?1，使得不等式f?x?2??f?2x??m?1??只需g?x?min??m??，

m?1?min?1， m?1??6x,x?1?11?∵g?x???2x?4,??x?1，当x??时，g?x?min?3，

22?1??6x,x????2由m?11?m?1??1?3，仅当m?2取等号． m?1m?1

∴原命题成立．

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