向量教师版

一、共线或共面问题

→→→

1.已知不共线向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是( ) A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D

→→→→→→→→→

[解析] AD＝CD－CA＝CD＋AC＝CD＋AB＋BC＝(7a－2b)＋(a＋2b)＋(－5a＋6b)＝3a＋6b＝3AB.

2.

已知a＝3m－2n－4p≠0，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，则x＝________，y＝________.

∴A、B、D三点共线，同理B、C、D三项错误．故选A.

x＋1＝3λ，??

－13 8[解析] a∥b，∴b＝λa.∴(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp，∴?8＝－2λ，

??2y＝－4λ，

??x＝－13，

∴? ?y＝8.?

3.下列命题中正确的是 ( )

A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B．向量a、b、c共面即它们所在的直线共面 C．零向量没有确定的方向 D．若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb 由零向量定义知选C.

4、若e1，e2是同一个平面α内的两个向量，则( ) A．平面α内任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)

B．若存在实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0

C．若e1，e2不共线，则空间任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)

D．若e1，e2不共线，则平面α内任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R) [解析] 由共面向量定理知选D.

5、下列条件使M与A、B、C一定共面的是( D )

→→→→→→→→→1→1→1→→→→

A.OM＝2OA－OB＋OC B.OM＋OA＋OB＋OC＝0 C.DM＝OA＋OB＋OC D.MA＋MB＋MC＝0

333

→→→→→→→→→

由MA＋MB＋MC＝0得MA＝－MB－MC，∴MA，MB，MC共面，∴M，A，B，C四点共面．

→→

6、已知空间四边形OABC如图所示，M是AB的中点，N是CM的中点，用基底{a，b，c}表示ON，则ON＝________. 11→→11111→→→1→→1→1

ON＝OM＋MN＝(OA＋OB)＋MC＝(a＋b)＋×(AC＋BC)＝(a＋b)＋(c－a＋c－b)＝a＋b＋c.

2222224442练习：

1．设a，b是不共线的两个向量，λ，μ∈R且λa＋μb＝0，则( )

A．a＝b＝0 B．λ＝μ＝0 C．λ＝0，b＝0 [解析] 由共面向量定理知，选B.

2．对于空间中任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是(A )

A．共面向量

B．共线向量 C．不共面向量

D．既不共线也不共面向量

D．μ＝0，a＝0

[解析] 2a－b由a与b线性表出，所以三向量共面．

3．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝2a，则(D )

A．m、n、p共线 B．m与p共线 C．n与p共线

D．m、n、p共面

[解析] p＝2a＝m＋n，即p可由m、n线性表示，所以m、n、p共面．

→→1→

4．已知A、B、C三点共线，O为空间任意一点，如果OC＝x×OA＋OB，则x的值为

6

155A. B. C．－ 666

115

D．－[解析] 由直线向量参数方程知x＋＝1，∴x＝.

666

→→→

5．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列向量中→

与B1M相等的向量是(A )

1111

A．－a＋b＋cB.c＋b＋c

22221111

C.a－b＋cD．－a－b＋c 2222

11→→→→1→→1→→

[解析] B1M＝B1B＋BM＝A1A＋BD＝A1A＋(B1A1＋B1C1)＝－a＋b＋c.∴应选A.

22226．对空间任一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是(B )

→→→→→1→1→1→→→1→1→→1→1→1→

A.OP＝OA＋OB＋OC B.OP＝OA＋OB＋OC C.OP＝－OA＋OB＋OC 由OP＝OA＋OB＋OC，得

33322333→→→→→→→→→→→→

(OA－OP)＋(OB－OP)＋(OC－OP)＝0，∴PA＋PB＋PC＝0即PA＝－PB－PC，∴P，A，B，C共面．故选B.

7．给出下列两个命题：

①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；

→→→

②O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB ，OC不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面． 其中正确的命题是(B )A．仅①

B．仅②C．①②

D．都不正确

[解析] 可判定①不正确，②正确．故选B.

8．如果a、b、c共面，b、c、d也共面，则下列说法正确的是(A )

A．若b与c不共线，则a、b、c、d共面 B．若b与c共线，则a、b、c、d共面 C．当且仅当c＝0时，a、b、c、d共面 D．若b与c不共线，则a、b、c、d不共面

[解析] 当a，b，c共面，b，c，d共面时，若b与c不共线，则b与c可作为平面的基向量，此时a，b，c，d共面． 9．若a＝e1＋e2＋3e3，b＝e1＋e2－2e3，c＝e1－3e2＋2e3，d＝4e1＋6e2＋8e3，d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ的值分别为(A ) 1891A.，，－ 5102

18911891

B．－，，－ C.，－，－

51025102

1891

D．－，－， 5102

α＋β＋γ＝4??

[解析] 由题意，有?α＋β－3γ＝6

??3α－2β＋2γ＝8

??9

解得?β＝10

1?γ＝－?2

18α＝

5

.故选A.

10．已知A、B、C三点不共线，点O是平面ABC外一点，则在下列各条件中，能得到点M与A、B、C一定共面的→1→1→1→→1→1→→→→→→→→→→

是( B )A.OM＝OA＋OB＋OC B.OM＝OA－OB＋OC C.OM＝OA＋OB＋OC D.OM＝2OA－OB－OC

22233

[解析] 由共面定理x＋y＋z＝1可知B正确． 二、填空题

11．给出下列几个命题：

①a＝“从上海往正北平移9 km”，b＝“从北京往正北平移3 km”，那么a＝3b；

→→

②(a＋b)＋λc＋λ(a＋d)＝b＋(1＋λ)a＋λ(c＋d)；③有直线l，且l∥a，在l上有点B，若AB＋CA＝2a，则C∈l. 其中正确的命题是________．[答案] ①②③

→→→

[解析] ①正确．因为向量相等与始点无关；②正确，因为向量运算满足分配律和结合律；③正确，因为AB＋CA＝CA→→→

＋AB＝CB＝2a，所以CB与l平行，又B在l上，所以C∈l.

12．在以下三个命题中，真命题的序号为________．

①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；

②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；

③若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底． [答案] ①② [解析] c与a、b共面，不能构成基底．

→→→→

13．已知O是空间任一点，A，B，C，D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA＝2xBO＋3yCO＋4zDO，则2x→→→→

＋3y＋4z＝________. －1 [解析] OA＝－2xOB－3yOC－4zOD，由A，B，C，D四点共面，则有－2x－3y－4z＝1，

∴2x＋3y＋4z＝－1.

7→→→→

14．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若AC1＝x·AB＋2y·BC＋3z·C1C，则x＋y＋z等于________．[答案] 6→→→→→→→→→→

[解析] 如右图，AC1＝AB＋BC＋CC1＝AB＋BC＋(－1)·C1C，又已知AC1＝x·AB＋2y·BC＋3z·C1C， x＝1??→→→→→→∴x·AB＋2y·BC＋3z·C1C＝AB＋BC＋(－1)·C1C??2y＝1

??3z＝－1117

∴x＋y＋z＝1＋－＝.

236二、数量积的运算

例题1、向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝4，求a·b，a2，b2，(a＋2b)·(a－b)．

[解析] a·b＝|a||b|cos＝3×4×cos30°＝63；a2＝a·a＝|a|2＝9；b2＝b·b＝|b|2＝16； (a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝9＋63－32＝63－23.

ππ

2、设a⊥b，＝，＝，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b＋c的模．

36

[分析] 可直接运用|a|2＝a·a.[解析] |a＋ b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c| 2＋2(a·b＋a·c＋b·c) 13

＝1＋4＋9＋2(0＋1×3×＋2×3×)＝17＋63，∴|a＋b＋c|＝17＋63.

22

3、已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且两两夹角为60°，则AC1的长是多少？ →→→→→→→→→→→→→→→→→

AC1＝AB＋AD＋AA1，∴|AC1|2＝(AB＋AD＋AA1)2＝AB2＋AD2＋AA12＋2AB·AD＋2AB·AA1＋2AD·AA1＝1＋1＋1＋→2×1×1×cos60°＋2×1×1×cos60°＋2×1×1×cos60°＝6.∴|AC1|＝6.

4、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．

→→→→→→

求B、D间的距离就是求|BD|，关键是如何表示BD，由题可知BD＝BA＋AC＋CD，、→→→→→→∵∠ACD＝90°，∴AC·CD＝0，同理AC·BA＝0，∵AB与CD成60°角，∴＝

→→→→→→→→→→→→→→→60°或120°.又BD＝BA＋AC＋CD，∴|BD|·|BD|＝|BA|2＋|AC|2＋|CD|2＋2BA·AC＋2BA·CD＋2AC·CD

→→?)，?4 (＝60°→→

＝3＋2×1×1×cos＝?

→→?).?2 (＝120°

11

?x＝1，y＝，z＝－. 23

→

∴|BD|＝2或2.即B、D之间的距离为2或2.

1．若a，b均为非零向量，则“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的(A )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析] 共线包括同向和反向，只有a、b同向时，才有a·b＝|a||b|成立． 2．下列结论中正确的是(B )

A．(a·b)·c＝(b·c)·a B．a·b＝－|a||b|，则a∥b C．a，b，c为非零向量，a·c＝b·c，则a∥b D．a·a＝b·b，则a＝b [解析] a·b＝－|a||b|，说明a与b夹角为π，所以共线．

3．已知非零向量a，b不共线，且其模相等，则a＋b与a－b的关系是( A )

A．垂直

B．共线 C．不垂直

D．以上都可能

[解析] ∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，∴a＋b与a－b垂直． 4．下列结论正确的是(B )

A．a·e＝acos B．a⊥b?a·b＝0 C．|a|2＝|a|·a D．(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 5．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么( C )

→→→→→→→→

A.AE·BC

→→→→→→→→C.AE·BC>AE·CD D.AE·BC与AE·CD不能比较大小

6．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|( C )

A.7 B.10 C.13 D．4

[解析] |a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝|a|2＋6|a||b|cos＋9|b|2，

∵|a|＝|b|＝1，＝60°，∴|a＋3b|2＝13，∴|a＋3b|＝13.

→→→→→

7．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为 a，设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，则＝(B )

A．30° B．60° C．90° D．120° →→ [解析] A′B·B′C＝(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋c2

→→

A′B·B′C11π→→→→

＝0－0－0＋c＝c＝1.∴cos〈AB，B′C〉＝＝＝，∴〈A′B，B′C〉＝.

3→→2·22|A′B||B′C|

2

2

8．若|a|＝|b|＝4，＝60°，则|a－b|等于(A ) A．4 B．8 C．37

D．13

[解析] |a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2·|a|·|b|cos＝42＋42－2×4×4cos60°＝42，∴|a－b|＝4. 9．已知四面体ABCD中，AB、AC、AD两两互相垂直，则下列结论中不成立的是( C )

→→→→→→→→→→→→

A．|AB＋AC＋AD|＝|AB＋AC－AD| B．|AB＋AC＋AD|2＝|AB|2＋|AC|2＋|AD|2 →→→→→→→→→→C．(AB＋AC＋AD)·BC＝0 D.AB·CD＝AC·BD＝AD·BC

→→→→→→→→ [解析] 因为AB、AC、AD两两垂直，则可得AB⊥CD，AC⊥BD，AD⊥BC，且AB·AC＝0，AB·AD＝0，AC·AD＝0，AC·BD→→＝0，AD·BC＝0，所以得到A、B、D均正确．

10．已知空间四边形每条边和对角线的长等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则a2等于( B )

→

A．2BA

→→→→B．2AD·BD C．2FG·CA

→→

D．2EF·CB

1→→→→→→→→→→

[解析] 2BA·AC＝－a2,2AD·BD＝a2,2FG·CA＝－a2,2EF·CA＝－a2,2EF·CB＝－a2.

2

11．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则对角线AC1的长是____26_______ →→→→→→

[解析] 设AB＝a，AD＝b，AA1＝c.|AC1|2＝A1C1·A1C1＝(a＋b＋c)(a＋b＋c)＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋b2＋c2 →

＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24所以|AC1|＝26. 12．已知|a|＝22，|b|＝

23，a·b＝－2，则＝________.[答案] π 24

14

13．|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，a·b＝b·c＝c·a＝0，则|a＋b＋c|＝________.[答案]

14．如图所示，AB＝AC＝BD＝1，AB?面α，AC⊥面α，BD⊥AB，BD与面α成30°，则点C与D之间的距离为___2 ∵AC⊥α，BD与α成30°角，∴AC与BD所成角为60°.

→→→→→→→→→→→→→又∵CD＝CA＋AB＋BD，|CA|＝|AB|＝|BD|＝1，〈CA，AB〉＝〈AB，BD〉＝90°，〈CA，BD〉＝120°， →→→→

∴CD2＝(CA＋AB＋BD)2＝3－1＝2.∴C，D两点间距离为2. 三、直线与平面的夹角 （1） 定义法求线面角

例1：如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.求BD与平面PAB所成的角．:

∵PD⊥平面ABCD??

?? ? AB?平面ABCD?PD⊥AB

??

DA⊥AB? PD∩DA＝D??

?AB⊥平面PDA??

??平面PAD⊥平面PAB. ? AB?平面PAB?

取PA的中点为E，连结DE，BD，

∴DE⊥PA

??

??DE⊥平面PAB.

平面PAD⊥平面PAB

? 平面PAD∩平面PAB＝PA?

DE?平面PAD

2

a221

设PD＝a，则BD＝2a，DE＝a，∴sin∠DBE＝＝.∴∠DBE＝30°，即BD与平面PAB所成的角为30°.

22a2定义法就是指将斜线与平面的夹角转化为斜线与其平面内射影的夹角．此种方法的关键在于确定斜线在平面内的射影．

练：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．

(1)证明：PA∥平面EDB；

(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值．

解：(1)证明：连结AC，AC交BD于O，连接EO.

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO. 而EO?平面EDB且PA?平面EDB.所以，PA∥平面EDB.

(2)作EF⊥DC交DC于F，连结BF.设正方形ABCD的边长为a，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC.∴EF∥PD，F为DC的中点．

∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角． 在Rt△BCF中．BF＝BC2＋CF2＝（2）向量法求线面角

1

[例2] 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，点E、F、G、H分别在棱CC1、DD1、BB1、BC上，且CE＝CC1，DF

211

＝BG＝DD1，BH＝BC.求AH与平面AFEG的夹角．

42G(0,0,1)，A(0,4,0)，F(4,4,1)，E(4,0,2)，H(2,0,0)， →

AF＝(4,4,1)－(0,4,0)＝(4,0,1)

→

AG＝(0,0,1)－(0,4,0)＝(0，－4,1)，

a?251a5a2＋?＝a.∵EF＝PD＝，∴在Rt△EFB中，tan∠EBF＝. ?2?2225

?4x＋z＝0?→

AH＝(2,0,0)－(0,4,0)＝(2，－4,0)．设n＝(x，y，z)是平面AFEG的一个法向量，则?，

?－4y＋z＝0?

→

令x＝1，则z＝－4，y＝－1.即n＝(1，－1，－4)，即AH与平面AFEG的夹角为θ，则sinθ＝|cos〈AH，n〉|＝＝

1010.∴AH与平面AEFG的夹角为arcsin. 1010

6

18·20练习：在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB的中点． (1)求证：CM⊥EM.(2)求CM与平面CDE所成的角．

以点C为坐标原点，以CA，CB分别作为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系C－xyz，设EA＝a，则A(2a,0,0)，B(0,2a,0)，E(2a,0，a)，D(0,2a,2a)，M(a，a,0)．

→→→→

(1)证明：∵EM＝(－a，，a，－a)，CM＝(a，a,0)∴EM·CM＝0，∴EM⊥CM.

→→→→→→(2)设向量n＝(1，y0，z0)与平面CDE垂直，则n⊥CE，n⊥CD即n·CE＝0，n·CD＝0. ∵CE＝(2a,0，a)，CD＝(0,2a,2a)， →

CM·n2→

∴y0＝2，z0＝－2，即n＝(1,2，－2)，cos＝＝.

2→

|CM|·|n|

→

直线CM与平面CDE所成的角θ是n与CM夹角的余角，∴θ＝45°，因此CM与平面CDE所成的角是45°. 2、(2010·湖南理，18)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． (1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；

(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

3、如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a.求AC1与侧面ABB1A所成的角．

13

[正解] 如图所示，建立空间直角坐标系．依题意，得A(0,0,0)，B(a,0,0)，A1(0,0，2a)，C1?a，a，2a?，则

2?2?3

a→2AC1·n13→?1→?AC1＝a，a，2a，∵平面AB1的法向量n＝(0,1,0)，且cos〈AC1，n〉＝＝＝，

2→?2?3a2|AC1||n|→

∴〈AC1，n〉＝60°，从而AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.

四、面面角 二面角的求法

(1)几何法：其步骤为：①作(找)出二面角的平面角；②写出(或证明)作(找)平面角的过程；③计算：利用解三角形知识求解． （2）三垂线定理法(3)向量法

方法一：分别在二面角α—l—β的面α，β内，并且沿α，β延伸的方向作向量n1⊥l，n2⊥l，则可用〈n1，n2〉度量这n1·n2

个二面角的大小．cos〈n1，n2〉＝，n1，n2的选取建立在现有图形中的已知或构图论证上．

|n1||n2|方法二：通过法向量求解设m1⊥α，m2⊥β，〈m1，m2〉与该二面角相等或互补．

此方法的运用适宜于：

①在空间直角坐标系下，平面α，β的法向量便于待定．

②二面角的大小便于定性(锐角、钝角)．从图中便于直观获得二面角为锐角或钝角．

|m1·m2|

③具体求解过程中，先求m1与m2所成的锐角θ，cosθ＝.

|m1||m2|

若二面角为锐角，则为θ. 若二面角为钝角，则为π－θ. （1） 定义法求面面角

如图：ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A—VB—C的大小．

解析] 取VB的中点为E，连接AE，CE.∵VA＝AB＝BC＝VC，∴AE⊥VB.∴CE⊥VB.

∴∠AEC是二面角A—VB—C的平面角．设AB＝a，连接AC，在△AEC中，

323

a)＋(a)2－(2a)22231

AE＝EC＝a，AC＝2a，由余弦定理可知：cos∠AEC＝＝－，

2333

2×a×a22

(

1

∴所求二面角A—VB—C的大小为π－arccos. 3

[说明] (1)所谓定义法，就是在二面角的棱上取一适当点作出平面角，然后解三角形即可(或者作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线构成的角)．

(2)求二面角的步骤：

①作(找)出二面角的平面角；②写出(或证明)所作平面角即为所求二面角的平面角； ③利用解三角形的知识求解

练：三棱柱S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝13，SB＝29，求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小．

[解析] ∵∠SAB＝∠SAC＝90°，∴SA⊥面ABC.∴AC为SC在底面ABC上的射影．又∠ACB＝90°， ∴SC⊥BC.∴∠SCA为二面角S—BC—A的平面角．在Rt△SCB中，SC＝SB2－BC2＝29－13＝4. AC1

在Rt△SAC中，由AC＝2，SC＝4，得cos∠SCA＝＝.∴∠SCA＝60°.即侧面SBC与底面ABC所成

SC2

二面角的大小为60°.

（2） 利用面的法向量求二面角

如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面ABCD为边长是1的正方形，PA＝1，求平面PCD与平面PAB夹角的大

小．

→→→

[解析] 如图建立空间直角坐标系．平面PAB的法向量AD＝(0,1,0)，DC＝(1,0,0)，PD＝(0,1，－1)．

→??DC＝0?n·?x＝0设平面PCD法向量n＝(x，y，z)，由?得?.令z＝1，∴n＝(0,1,1)，

?→y－z＝0??PD＝0?n·

12→→

∴cos〈n，AD〉＝＝，∴〈n，AD〉＝45°.即平面PAB与平面PCD的夹角为45°.

22

[说明] 利用法向量求二面角

设m1⊥α，m2⊥β，则〈m1，m2〉与该二面角相等或互补．此方法的解题步骤如下：

依据几何条件建立适当的空间直角坐标系，在建立的坐标系下求两个面的法向量m1，m2，求m1与m2所成锐角θ，cosθ|m1·m2|＝，若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ. |m1||m2|

练习：在本例中求二面角A—PB—D的大小．

→→→

在本例解析中的坐标系下，平面PAB的一个法向量为AD＝(0,1,0)，又PD＝(0,1，－1)，BD＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)．

→?PD＝y－z＝0?n·

设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，则?，令y＝1，则x＝1，z＝1.

→?BD＝－x＋y＝0?n·

133→

∴n＝(1,1,1)．∴cos〈AD，n〉＝＝.∴二面角A—PB—D的大小为arccos. 31×33

2、 正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B(如

图②)．在图②中求平面ABD与平面EFD所成二面角． 方法一：由已知CD⊥AD，CD⊥BD，

∴∠ADB就是直二面角A—CD—B的平面角，∴AD⊥BD.

以D为原点建立空间直角坐标系，如图，则D(0,0,0)、A(0,0,2)、B(2,0,0)、C(0,23，0)， E、F分别是AC、BC的中点，∴E(0，3，1)，F(1，3，0)．

设m＝(x，y，z)是平面DEF的一个法向量．

→??x＝－3DE＝0?m·?3y＋z＝0由?得?，令y＝1.得?y＝1

→?x＋3y＝0?DF＝0?m·?z＝－3

，∴m＝(－3，1，－3)．

m·n177

同理可求得平面ABD的一个法向量n＝(0,1,0)，∴cos〈m，n〉＝＝＝.∴平面ABD与平面EFD所成的角为arccos.

|m||n|777→→→→

方法二：同方法一建立空间直角坐标系，则可得：AB＝(2,0，－2)，EF＝(1,0，－1)，AB＝2EF，

∴AB∥EF. AB?平面ABD，EF?平面ABD，∴EF∥平面ABD，∴EF必平行于平面ABD与平面EDF的交线l(即二面角的棱l)，∴AB∥l，分别取AB、EF的中点M、N. 11→→，3，?.由DM·则M(1,0,1)，N?AB＝(1,0,1)·(2,0，－2)＝0. 2??2

1→→?1→→→→

DN·EF＝?2，3，2?·(1,0，－1)＝0.得DM⊥AB，DN⊥EF，∴DM⊥l，DN⊥l. ?→→

DM·DN1→→

∴∠MDN就是所求二面角的平面角．cos〈DM，DN〉＝＝

→→|DM||DN|2×∴平面ABD与平面EFD所成的角为arccos巩固练习：

1、正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD所成的角的度数为(B ) A．30° B．45° C．60° D．90°

[解析] ∠DPA为二面角平面角，而在Rt△PAD内，∠APD＝45°.故选B.

2、如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1和DD1的中点，则平面ECF与平面ABCD的夹角的余弦值为( ) 3．正方体AC1中平面ABCD与平面A1BCD1的夹角为________．

4、在正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长都相等，E为BB1的中点，则平面AEC与平面ABC的夹角为________．

→→

以AC中点为空间坐标系原点建系，平面ABC的法向量n1＝(0,0,1)，由OA＝(0，－1,0)，AE＝(3，1,1)．n2＝(－1,0，

7. 7

＝7. 7

72

3)∴cos〈n1，n2〉＝

3π，∴〈n1，n2〉＝. 26

5、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求平面A1BC1与底面ABCD所成角的余弦值．

2

6、已知点P是正三角形ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝，AB＝1，则PC和平面ABC所成的角是

37、平面的一条斜线和这个平面所成的角θ的范围是 A．0°<θ<180°

( D )

B．0°≤θ≤90 C．0°<θ≤90° D．0°<θ<90°

[解析] 由斜线和平面所成的角定义知选D.

8、直线l与平面θ成45°角，若直线l在α内的射影与α内的直线m成45°角，则l与m所成的角是 ( ) A．30° B．45° C．60°

D．90°

1

[解析] 设θ1＝45°，θ2＝45°，由cosθ＝cos1·cos2得cosθ＝，∴θ＝60°.故选C.

2

9、若AB与平面α成30°角，且A∈α，则AB与α内不过点A的所有直线所成角中的最大角________．90° [解析] 在平面α内，过A点垂直于AB在平面内射影的直线与AB所成角最大，为90°.

10、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.PD＝DC，E是PC的中点．求EB与平面ABCD夹角的余弦值．

[解析] 取CD的中点M，则EM∥PD，又∵PD⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD， ∴BE在平面ABCD上的射影为BM，∴∠MBE为BE与平面ABCD的夹角，

如图建立空间直角坐标系，设PD＝DC＝1，则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，

三、直线成角

→→

例1：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求（1）异面直线A1B与AC所成的角． （2）向量BC1与AC的夹角的大小．60、60 练习：如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝6，M为CC1的中点，求直线AB1与A1M所成的角．

可得M(0,0，－

2、直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点． (1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．

→

(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．∴|BN|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝3. →

(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，∴BA1＝(1，－1,2)， →

CB1＝(0,1,2)．

6→→

)，A1(0，3，6)，A(0，3，0)，B1(1,0，6)．∴AB1＝(1，－3，6)，A1M＝(0，－3，2

6→→→→)．∵AB1·A1M＝0，∴AB1⊥A1M.∴AB1与A1M所成角为90°. 2

→→BA1·CB11→→→→→→

BA1·CB1＝3，|BA1|＝6，|CB1|＝5.∴cos〈BA1，CB1〉＝＝30 10→→

|BA1||CB1|∴异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为

30. 10

3、正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB.则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )

1A. 5

23B. C. 55

4

D. 5

建立如图所示坐标系由题意设A(1,0,0)，B(1,1,0)．D1(0,0,2)，A1(1,0,2)． －44→→→→

由AD1＝(－1,0,2)，A1B＝(0,1，－2)．∴cos〈AB1，AD1〉＝＝－，

55·5

4、如图，已知F是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求异面直线A1C1与DF所成角的余弦值．设正方体

的棱长为m，

→→→→→→→→AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝m. a·b＝b·c＝c·a＝0，∵A1C1＝A1B1＋B1C1＝AB＋AD

＝a＋b，

11111→→→→1→→→DF＝DD1＋D1F＝DD1＋D1C1＝c＋a.∴A1C1·DF＝(a＋b)·(c＋a)＝a·c＋b·c＋a2＋a·b＝a2

2222221

＝m2. 2

12m→→25A1C1·DF10→→→→

又∵|A1C1|＝2m，|DF|＝m.∴cos〈A1C1，DF〉＝＝＝，

210→→5|A1D1||DF|2m·m

2

1010→→

∴A1C1与DF所成角的余弦值为，故异面直线A1C1与DF所成角的余弦值为.

1010[说明]求两条异面直线所成角常用的方法有两种：

(1)向量法：即通过两条直线方向向量的夹角来求两条异面直线的夹角．

(2)定义法(平移法)：由两条异面直线所成角定义将求两条异面直线所成角的大小转化为平面角求解．求解的方法是解三角形．

变式：在本例给出的正方体中，E为棱AA1的中点，求异面直线BE与AC所成角的大小． 1→→→→→

[解析] BE＝BA＋AE＝－a＋c AC向量＝AB＋BC＝a＋b

2

1→→→

AC·BE＝(a＋b)(c－a)＝－a2＝－m2.|BE|＝

2

15→

1＋m＝m|AC|＝1＋1m＝2m 42

→→2

BE·AC－m1010→→

cos〈BE，AC〉＝＝＝－.∴直线BE、AC所成角为arccos.

→→5510|BE||AC|m2

2

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