2022年温州中学自主招生数学试卷

1 2017年温州中学自主招生数学试卷

一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分）：

1. A

2. B

3.B.

4. B

5.B

6. C

7. B

8. D 二、填空题（本大题共6题，每题6分，共36分）

9.2 10.1736 11. 10 12. 直线y 1=kx+b 经过点P （3，4）且与直线y 2=3x 和y 3=x 分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当三角形AOB 的面积取得最小值时，k+b=______． 13.

14.2(0)y x =+>

三、解答题： 学校_____________ 班级_____________ 姓名___________ 座位号____________

………………………………装………………………………订…………………………………线………………………………

2 15、当a 取什么整数时，方程0)

2(222=-++-+-x x a x x x x x 只有一个实根，并求此实根 解原方程化为0)

2(4222=-++-x x a x x （1）若0422,202=++-≠≠a x x x x 则且

∵原分式方程恰有一个实根，∴△=0，即△=,0828)4(24)2(2=--=+??--a a 则2

7-=a 于是2121=

=x x 但a 取整数，则舍去 （2）若方程04222=++-a x x ，有一个根为x=0，则a=-4 这时原方程为0)

2(4222=--+-+-x x x x x x x ，去分母得0222=-x x ，解得x=0，x=1 显然x=0是增根，x=1是原分式方程的根

（3）若方程04222=++-a x x ，有一个根为x=2，则a=-8

这时，原方程为0)

2(8222=--+-+-x x x x x x x ，去分母，得04222=--x x 解得x=2，x=-1 显然x=2是增根，x=-1是原分式方程的根

经检验当a=-4时，原方程恰有一个实根x=1；当a=-8时，原方程恰有一个实根x=-1

16、若满足不等式2

)1(2)1(2

2-≤+-a a x 的x 值也满足不等式

0)13(2)1(32≤+++-a x a x ，求a 的取值范围 解：2

)1(2)1(22-≤+-a a x 等价于2)1(2)1(2)1(222-≤+-≤--a a x a ， 解得122+≤≤a x a

0)13(2)1(32≤+++-a x a x ，可化为0)]13()[2(≤+--a x x

观察132)13(-=-+a a

（1）当3

1

3 则由题意，可得??

?+≥≤+122132a a a 解得a=-1 （2）当31=a 时，

3a+1=2，解得x=2 则由题意，可得2212==+a a ，这与31=

a 矛盾 （3）当3

1>a 时，3a+1>2解得2《x 《3a+1 则由题意可得???+≥+≤1

13222a a a 解得1《a 《3 综上所述a 的取值范围是131-=≤≤a a 或

已知：O 是坐标原点，()P m,n （m ＞0）是函数k y x

=(k ＞0)上的点，过点P 作直线PA OP ⊥于P ，直线PA 与x 轴的正半轴交于点()0A a, (a ＞m ). 设△OPA 的面积为

s ，且4

14

n s =+. （1）当1n =时，求点A 的坐标（4分）；

（2）若OP AP =，求k 的值（5分）；

(3) 设n 是小于20的整数，且4

2

n k ≠，求2OP 的最小值（5分）.

4

图1

F E D

C B A

在等腰Rt△ABC 中，AC=BC ，点D 在BC 上，过点D 作DE⊥AD，过点B 作BE⊥AB 交DE 于点E ，DE 交AB 于F.

（1）求证：AD=DE ；

（2）若BD=2CD ，求证：AF=5BF 。

（1）证法（一）

过D作DN//AB交AC于N点

∵∠CAD+∠CDA=∠EDB+∠CDA=90°，

∴∠CAD=∠EDB，又∠AND=∠DBE=135°，

AN=BD，∴△AND≌△DBE,∴DA=DE

证法（二）证A、D、B、E四点共圆

(2)过E作EM//BC交AB于M点，则∠BME=∠MBD=45°，∴△BME为等腰Rt△,设CD=a,

则AC=BD=3a，AB=a2

3，BE=a2,ME=2a,

可证△MEF≌△BDF,所以MF=BF=2a2

，AM=2

2

5a

，AM=5BF.

17、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2－2mx＋m2＋m的顶点为C.直线y=x＋2与抛物线交于A、B两点，点A在抛物线的对称轴左侧.抛物线的对称轴与直线AB交于点M. （1）求线段MB的长

（2）作点B关于直线MC的对称点B’. 以M为圆心，MC为半径的圆上存在一点Q，使

得QB’＋

2

2QB的值最小，求这个最小值.

M

B’ B

A x

y

C

O

Q

5

6

解：(1)、∵y =x 2-2mx +m 2+m =（x -m ）2 +m ，

∴顶点坐标为C （m ，m ）,点M 坐标为（m ，m +2）

y =x 2-2mx +m 2+m

由

y =x +2

x 1=m -1 x 2=m +2

y 1=m +1 y 2=m +4

∵点A 在点B 的左侧，

∴B （m +2，m +4），则B ’（m -2，m +4），BM =2 2

(2)、由M 点坐标（m ，m +2），C 点坐标（m ，m ）

可知以MC 为半径的圆的半径为 （m +2）-m =2

取MB 的中点N ，点N 的坐标为（m +1，m +3），连接QB 、QN 、QB ′，

则MN =12 BM = 2 ，MN MQ = MQ MB ，∠QMN =∠BMQ ，∴△MNQ ∽△MQB ， ∴QN QB = MN QM = 22，∴QN = 22QB ，即QB ′+ 22QB = QB ′+QN

当Q 、N 、B ′三点共线时QB ′+QN 最小，(QB ′+QN )min =B ′N =10

即QB ′+22QB 的最小值为

10

如图所示，已知抛物线213222

y x mx m =--交x 轴于1(,0)A x 、2(,0)B x ，交y 轴于C 点，且120x x <<，2()121OA OB CO +=+．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x 轴的下方是否存在着抛物线上的点P ，使APB ∠为锐角？若存在，求出P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由．

解：（1）由已知可得1AO x =-，2OB x =.

∵123x x m +=，1240x x m =-. x

y O A C B （第17题图）

7 ∵2CO m =，2()121OA OB CO +=+，

∴212()1221x x m -+=?+，

即21212()4241x x x x m +-=+.

整理，得 29810m m --=，

解得 11m =，219

m =-.

∵0m >，∴11m =. ∴抛物线的解析式为213222

y x x =

--. （2）存在这样的点P ，使得APB ∠为锐角.

2132022

x x --=，得11x =-，24x =. ∴(1,0)A -、(4,0)B ，而(0,2)C -. 如图所示，连接AC 、BC ，可得25AC =，220BC =，225AB =，

∴222AC BC AB +=,∴△ABC 为直角三角形.

过A 、B 、C 三点作⊙1O ，则AB 为⊙1O 的直径.

∵⊙1O 与抛物线都关于直线32x =

对称， ∴C 点关于直线32x =

的对称点M 是⊙1O 与抛物线的另一个交点， ∴(3,2)M -.

设P 点的坐标为0x ，当003x <<时，点P 在⊙1O 外.连接PA 交⊙1O 于点Q ，

连接QB 、BP .

而90APB AQB ∠<∠=o ，故APB ∠为锐角.

同理，当01x -<<0或03x <<4时，有APB ∠为钝角.

故0x 的取值范围是003x <<.

18、将1~9这九个数分别填入3?3的方表格的每个方格内。确定如下一种运算：考虑任意的一行或一列，用非负数a -x 、b -x 、c +x 或a +x 、b -x 、c -x 之一代替该行或列中的数字a 、b 、c ，其中，x 是一个正数且在每次运算中可以改变。

（1） 对于图1（甲）、（乙）的两种最初的排列，是否存在一系列的运算，

使得全部的九个数字最终相等？

（甲） （乙）

图1

（2） 一些步骤后全部的九个数变为相等的值，求此值的最大值。

解:（1）每一次运算后，四个角上的数字之和不变。因此，若存在运算使得所有的数字相等，则每个方格中的数最后均相等地变为四个角上的数字的平均值。

8

每一步后，九个数的和严格递减，且中心方格的数不增。

情形甲：59

921479315=+++<+++=Λ，情形乙：

346

152≤+++。 因此，图1的两种情形均不可能。…………（5分）

（2）设x 为全部的数最终成为的相等的值。

显然，x ＜5，且可以证明x ≤4. 反之，若4＜x ＜5，则4x ＞16。

由于4x 为四个角上数字之和，于是，4x 为整数。所以，4x ≥17。故x ≥4

17

①

设a 为最初写有9、8、7、6、5的方格中所增大的总和。则这些方格中数所减小的

总和为

（9-x ）+（8-x ）+…+（5-x ）+a =35-5x +a 。

设b 为最初写有1、2、3、4的方格中所减小的总和。则这些方格中所增大的总和为

（x -1）+…+（x -4）+b =4x +b -10。 因为总减少数是总增大数的两倍，所以， （35-5x +a ）+b =2[a +(4x +b -10)] ?13x =55-(a +b )

13

55

13)(55≤

?+-=?x b a x 。 这与式①相矛盾。图3例子可证明：4m ax =x 。…………（7分）

…………（3分）

图3

18.对每一个大于1的整数n ，设它的所有不同的质因数为1p ，2p

，...，k p ，对于每个i p (1≤i ≤k )，存在正整数i a ，使得i a i p ≤1i a i n p +<，记1212()k a a a k p n p p p =+++L

，例如，

62(100)2589p =+=.

（1）试找出一个正整数n ，使得()p n n >，并加以说明； （2）证明：存在无穷多个正整数n ，使得() 1.1p n n >. 解：（1）取90n =

→

→

→

9 290325n ==??，90共有2,3,5三个质因数.

12p =，672902<<，∴16a =.

23p =，453903<<，∴24a =.

35p =，23590<<5，∴32a =.

642(90)23590p =++>.

（2）取310k n =?（k ≥0，k 为整数）

则n 共有3,2,5三个质因数（12p =，23p =，35p =）

∵39310327k k k n ?<=?

∴23p =，22a k =+

要使312132 1.1a a a p p p n ++>，即312133 1.1310311a a k k k p p +++>??=? 只要证明31213113325

a a k k k n p p ++>3?-=?=

即可 ① 由于n 含有因数5，所以必存在唯一的正整数b ，使得153105b k b n +<=?<成立

∴15b n +>，55b n >，则3355

a b n p => ② ∵②成立，∴31135

a a n p p +>比成立，则①式得证. 由于k ≥0，k 为整数时，310k n =?有无穷多个，

原命题成立. 18.已知整数a ，b 满足：a －b 是素数，且ab 是完全平方数. 当a ≥2017时，求a 的最小值. 解：设a －b = m （m 是素数），ab = n 2（n 是正整数）.

因为 (a +b )2－4ab = (a －b )2，

所以 (2a －m )2－4n 2 = m 2，

(2a －m +2n )(2a －m －2n ) = m 2

.

因为2a －m +2n 与2a －m －2n 都是正整数，

且2a －m +2n ＞2a －m －2n (m 为素数)，

所以2a－m+2n m2，2a－m－2n1.

10

解

得a

，

11

.

12

于是=a－m

.

13

又a≥2017，即≥2017.

又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥

=2025.

14

当时，

，

15

16

，.

因此，a的最小值为2025.

19、如图所示，⊙O1与⊙O2外切于点T，四边形ABCD内接于⊙O1，直线DA，CB分别切⊙O2于点E、F，直线BN平分∠ABF并与线段EF交于点N，直线FT 交弧AT（不包含点B的弧）内于点M求证：点M为△BCN的外心

E

C

17

解、如图，设AM 的延长线交EF 于点P . 联结AT ，BM ，BP ，BT ，CM ，CT ，ET ，TP .

由BF 与⊙O 2相切于F 点，可得 ∠BFT =∠FET

由⊙O 1与⊙O 2外切于点T ，可得 ∠MBT =∠FET

因此，∠MBT =∠BFM

于是，△MBT ∽△MFB ，从而，MB 2=MT ·MF

同理可得， MC 2= MT ·MF

又由⊙O 1与⊙O 2外切于点T ，可得 ∠MAT =∠FET

因此A ，E ，P ，T 四点共圆，从而∠APT =∠AET

由AE 与⊙O 2相切于点E ，可得 ∠AET =∠EFT

因此 ∠MPT =∠PFM 于是，△MPT ∽△MFP

从而MP 2=MT ·MF

由前面可得 MC =MB =MP

从而点M 是△BCP 外接圆的圆心.于是 ∠FBP =12∠CMP

而∠CMP =∠CDA =∠ABF 由题意得∠FBN =12∠ABF 从而∠FBN =∠FBP

即点P 与点N 重合.证毕.

1

6=的实数解的个数为（ ）。 ()0A ()1B ()2C ()D 大于2

答 选A 。

设

a b ==，则33

6,6a b a b +=+=，因此221a b ab +-=，从而可得353ab =

，因此,a b 是方程235603t t -+=的两个实根，判别式3203

?=-<，无解，所以选A 。 2、,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ）

N

18 A 、a b c >>； B 、 b c a >>； C 、b a c >>； D 、a c b >>；

已知2513n n ++是完全平方数，则自然数n （ ）

A 、不存在

B 、仅有一个

C 、不只一个，但有有限个 D

、有无穷多个

参考答案

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/y5ul.html