高考数学复习点拨：古典概型中的有序和无序问题

古典概型中的有序和无序问题

求古典概型中某事件的概率的关键是列举基本事件，在列举基本事件的时候，同学们会发现，有些事件和顺序有关，有些事件和顺序无关，那么到底哪些事件应该考虑顺序，哪些事件应该不考虑顺序呢？

例1 一个袋子中有白球2个，红黄球各1个，规定：

颜色 分数 白球 1 红球 1 黄球 －1 现依次从袋子中抓3个球，求得分不大于1分的概率. 解：因为抓出球的数目大于2，所以用树形图表示会比较清晰。

用1，2表示白球，用a表示红球，b表示黄球.所有基本事件用树形图列举如下：

基本事件总数为：4?6=24

其中得分不大于1分的基本事件共有18个。

?P(抓3个球得分不大于1分）?

183? 244如果我们不考虑抽取顺序，所有基本事件可以表示为：

从上面的树形图可以看出，基本事件总数为4，其中得分不大于1分的基本事件有3个。

?P(抓3个球得分不大于1分）?3 4考虑顺序和不考虑顺序的结果是一样的，为什么会这样呢？细心的同学会发现下面六个基本事件(1,2,a), (1,a,2), (2,1,a), (2,a,1), (a,1,2), (a,2,1)，如果不考虑抽取顺序，其实表示的是同一个结果：抽到2个白球，1个红球。原来当不考虑顺序时的每一个基本事件都有6个考虑顺序的基本事件和它对应，每个事件都扩大6倍，这样，在用公式

P(A)?A所包含的基本事件数计算概率时，分子分母同时扩大6倍，所以结果相同。

基本事件总数而我们列举基本事件时，指列举“一次试验中可能出现的每一个基本结果”而既然在上面所求的问题中，考虑顺序的六个事件表示的是同一个结果，所以对于此类问题，我们在解答时不考虑顺序.那么，是不是所有的基本事件都可以看作无序的呢？

例2.一个盒子里有点数分别为1，2，3，4的4张牌，有放回的连续抽取两次，求“两张牌点数之和不小于6的概率”。

解：考虑顺序时，所有的基本事件可以表示为：

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)

基本事件共有4?4?16个，其中符合题意的如划线所示，共有6个。

所以P(两张牌点数之和不小于6的概率)?63?。 168不考虑顺序时，所有的基本事件可以表示为：

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,2) (2,3) (2,4) (3,3) (3,4) (4,4)

基本事件共有10个，其中符合题意的如划线所示，共有4个。 所以P(两张牌点数之和不小于6的概率)?42?。 105两次的概率不相等，为什么会这样呢？仔细观察两组基本事件就会发现，第二组中的（1,2）在第一组中有(1,2),(2,1)两个基本事件和它对应，但第二组中的（1,1）在第一组中只有(1,1)一个基本事件和它对应。这样并不是每一个基本事件都扩大了两倍，所以计算结果不同。因此当因为有放回的抽取而出现(1,1)这样重复的事件时，基本事件必须看作和顺序有关。

思考：从1，2，3，4，5五个数字中，任意有放回地抽取三个数字，求三个数字完全不同的概率.这个问题我们应该考虑顺序吗？你能算出答案吗？

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