四年级奥数详解答案 第4讲 幻方

四年级奥数详解答案 第4讲

第四讲 幻方

一、知识概要

1. 幻方是一种特殊的数阵图，就是把一个正(长)方形平均分成若干格，要求把若干个连

续的自然数填入方格中，且使每行、每列、每条对角线上的数的和都相等。这个“相等的和”就叫幻和。9个方格(3×3个)的叫三阶幻方，16个方格(4×4)的叫四阶幻方，25个方格(5×5)的就叫五阶幻方，依此类推。

2. 三阶幻方的特点：①幻和二九个数之和÷3②幻和二中心数×3③九个连续的自然数中，

第五个数是中心数，第一、三、七、九是中心数四角上的数(注意：最大数和最小数填在相对的位置上)

二、经典例题精讲

1. 将1～9九个数字填在图中的方格中，使每行、每列、每条对角线上的数的和都相等。

分析指导：这是一个三阶幻方，中心数(5)填中间，第一、三、七、九四个数就中心

数四角上的数。如图所示：

(这里我们不难看出一个特点：最大数都填在最小数的相对位置上。如：8?2 1?9)

2. 将1～16这十六个数分别填在四阶方阵的各个小格中，使其构成一个四阶幻方。

分析指导：这是一个四阶幻方。四阶幻方有个特殊的方法—保持两条对角线上的数不

变(先按从左到右、从上到下的顺序把1～16填好)，然后，1列和4列、2列和3例互相对换，最后，再将1行和4行、2行和3行对调。这样两次对换后，四阶幻方就成了。如下图所示。

这种方法，也可以这样理解：除了两条对角线上的数，剩下的四列、四行的数就构成两个重叠的矩形，8个数字就在8个顶点位置，然后按矩形对角线方向交换位置即成。如下图所示：

3. 将1～9这九个自然数填入图中的方格内，使每行、每列及对角线上的三个数中，两

端之和减去中间数所得差都相等(差阵图)。

分析指导：这是个特殊的数阵图，叫差阵图。这里有个数的方法—从1～9这九个自

然数中选数，按照口诀“二四为足，六八为肩，左三右七，上九下一，五居中间”，把数填入每个方格中即成。结果如下图所示：

4. 将1～13中的12个数字，填入图中的空格中，使每一横行四个数之和相等，每竖列

三数之和也相等。

分析指导：设每行的和为S，每列的和为A，1～13中没选入的那个数为a，则依题

意有：3S=4A=(1+2+3+?+13)-a=91-a ?3和4互为质数 ?(91-a)一定是12的整数倍 ?12的整数倍有：12、24、36、48、60、72、84 ?a=7 从而可知：S=(91-7)÷3=28，A=80÷4=21；四数之和为28的有：13+10+4+1

12+11+3+2 9+8+6+5 ；三数之和为21的有：13+6+2 12+5+4 11+9+1 10+8+3。 结果填法，如图所示

三、练习巩固与拓展

1. 把3～11这九个数填入图中的方格中，使它构成一个九宫差阵(即每行、每条、每条对角线上的数，两端之和减去中间数差都相等。)

2. 在图中的空格内各填入一个数字，使得每行、每列、每条对角线上方格中的四个数

都是1、2、3、4

3. 在下列各图的空格里，填上适当的数，使横行、竖行及两条对角线上三个数的和都

相等。(数字不能重复)

4. 将4、5、6、10、11、16、17、18这九个数填入九宫格中，使每行、每列及每条对

角线上三个数的差都相等。见下图：

5. 将21～29这九个数填入下图中，使每行、每列、每对角线上三个数的差都相等。

6. 将3、6、9、12、15、18、21、24、27这九个数填入九宫格里，使每行、每列及每

条对角线上三个数的和都相等。

7. 将2～17这十六个数填入下面各方格里，使每行、每列及每对角线上四个数的和都

相等。

8. 将1、3、5、7、9??29、31这十六个奇数填入图中的方格里，使每行、每列及每

对角线上四个数的和都相等。

9. 将1～16这些自然数填入图中的○内，使五个正方形的四个顶点上的○内的数之和

都等于34.

10. 将1～9这九个数填入图中的空格中，使每二行组成的三位数是第一行的2倍，第

三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍。

第四讲 <练习巩固与拓展>答案 1. 根据3、4、5、6??11的顺序，按照“二四为足，六八为肩，左3右7，上九下一，

五层中部”的口诀填即成。

2. 这道题有两个突破口：其一是第一行，因为两端为1、2，加上第三列有个“3”，所以

可以确定第二格为4，第三格为3，其二是第四列，由于第三行有个“3”，因而，第四列中间上格填“3”无疑，下格是4。

3. (提示：幻和要为3的倍数)

4. 提示：?4+5+6+10+11+12+16+17+18=99

?幻和=33

5. 提示：?21+22+?+29=(21+29)×9÷2=225

?幻和=225÷3=75

6. 提示：?3+6+9+12+15+18+21+24+27=135

?幻和=135÷3=45

7. 提示：?(2+3+?+17)=152

?幻和=152÷4=38 见图：

8. ?1+3+5+?+31=256 ?幻和=256÷4=64

9. ?(1+2+3+?+16)=136

?四个顶点上的数的和为136÷4=34(初步确定后再作调整，使中间那个重复的正方

形的四数之和也等于34。

10. 提示：?(1+9)×9÷2=45

?幻和=45÷3=15

基本确定位置再适当调整，考虑倍数关系，第一行的“个位”有两种可能：2或3，

相应第二行的“个位”是6或4，第三行的“个位”是9或6，经尝试，2、4、6合符要求。

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