考点29、棱柱、棱锥、多面体、球

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【考点29】棱柱、棱锥、多面体、球

2009年考题

1、（2009四川高考）如图，已知六棱锥P?ABCDEF的底面是正六边形，

PA?平面ABC,PA?2AB则下列结论正确的是（ ）

A. PB?AD

B. 平面PAB?平面PBC C. 直线BC∥平面PAE

D. 直线PD与平面ABC所成的角为45°

【解析】选D∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以

平面PAB?平面PBC也不成立；BC∥AD,BC∥平面PAD, ∴直线BC∥平面PAE也不成立。在Rt?PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°∴D正确.

2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与2、（2009全国Ⅱ） 已知正四棱柱ABCD?A1BC11D1中，AA1=

CD1所形成角的余弦值为（ ）

（A）

1310310 (B) (C) (D)

551010【解析】选C.方法一：利用平移，CD1∥BA1,因此求△EBA1中∠A1BE即可，易知EB=2,A'E=1,A1B=5,

故由余弦定理求cos∠A1BE=310，或由向量法可求。 103、（2009全国Ⅰ）已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ） （A）

3357 （B） （C） (D)

4444AB与CC1所成的角,【解析】选D.设BC的中点为D，连结A1D，AD，易知???A1AB即为异面直线

1

由三角余弦定理，易知cos??cos?A1AD?cos?DAB?C1A1B1ADAD3??.故选D. A1AAB4CDAB

ABCD成60°4、（2009北京高考）若正四棱柱ABCD?A角， 1BC11D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD的距离为 （ ） 则AC11到底面

A．3 B．1 3C．2 D．3 【解析】选D.依题意，?B1AB?60?，如图，

BB1?1?tan60??3，故选D.

5、（2009重庆高考）在正四棱柱ABCD?A1BC11D1中，顶点B1到对角线BD1和到平面A1BCD1的距离分别为h和d，则下列命题中正确的是（ ） A．若侧棱的长小于底面的边长，则

h的取值范围为(0,1) dh223的取值范围为(,) d23h23的取值范围为(,2) d3h23的取值范围为(,??) d3B．若侧棱的长小于底面的边长，则

C．若侧棱的长大于底面的边长，则

D．若侧棱的长大于底面的边长，则

【解析】选C.设底面边长为1，侧棱长为?(??0)，

过B1作B1H?BD1,B1G?A1B。

22,B??2?2， 在Rt?BB1D1中，B1BD1D11?11D1由三角形面积关系得hh??BBHH??11

BD?BB1BD??BB22??1111??BDBBDD??22??22 1112

设在正四棱柱中，由于BC?AB,BC?BB1，

所以BC?平面AAAB1， 1B1B，于是BC?B1G，所以B1G?平面A1B1CD故B1G为点到平面A1BCD1 的距离，

在Rt?A1B1B中，又由三角形面积关系得d?B1G?A1B1?BB1??A1B?2?1

h2??2?11于是?，于是当??1， ?2?1?22d??2??2所以??2?3,221h23?1?2?1，所以?(,1)2). 3??2d36、（2009四川高考）如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，

?ABC=90°，BA?BC,球心O到平面ABC的距离是

32，则 2B、C两点的球面距离是（ ）

A. C.

? B. ? 34? D.2? 3【解析】选B.∵AC是小圆的直径。所以过球心O作小圆的垂线，垂足O′是AC的中点。

O′C＝32?(?32232，AC＝32，∴BC＝3，即BC＝OB＝OC。∴?BOC? ， )?322则B、C两点的球面距离＝

?3?3??.

7、（2009陕西高考）若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为(A)2322 (B) (C) (D)

3363【解析】选B.由题意知 以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体（即两个同底同高同棱长的正

四棱锥），所有棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为

2，故正八面体的体积为2122, 故选B. V?2V正四棱锥=2??12?=3238、（2009上海高考）如图，若正四棱柱ABCD?A1BC11D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与

3

AD所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.

【解析】因为AD∥A1D1，异面直线BD1与AD所成角就是BD1与A1D1所成角，即∠A1D1B， 由勾股定理，得A1B＝25，tan∠A1D1B＝5，所以，∠A1D1B＝arctan5。 答案:arctan5

9、（2009四川高考）如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各条 棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所 成的角的大小是 。

A1

B1 C1

【解析】作BC的中点N，连接AN，则AN⊥平面BCC1B1，

连接B1N，则B1N是AB1在平面BCC1B1的射影，∵B1N⊥BM， ∴AB1⊥BM.即异面直线AB1和BM所成的角的大小是90° 答案:90°

A M

B

C

10、(2009湖南高考)在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则

（1）球心到平面ABC的距离为________；

（2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为

【解析】（1）由?ABC的三边大小易知此三角形是直角三角形，所以过A,B,C三点小圆的直径即为10，

222也即半径是5，设球心到小圆的距离是d，则由d?5?13，可得d?12。（2）设过ABC三点的截面

圆的圆心是O1,AB中点是D点，球心是O点，则连三角形O1OD，易知?ODO1就是所求的二面角的一个平面角，O1D?O1A?(答案:（1）12 （2）3

11、（2009全国Ⅱ）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于

2OO112AB2??3，即正切值是3。 )?4，所以tan?ODO1?O1D42w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 7?，则球O的表面积等于 44

由4?r【解析】设球半径为R，圆C的半径为r，由

因为OC?2?7?7,得r2?. 442R2222127??R。由R2?(R)?r?R?得R2?2. 224484故球O的表面积等于8?. 答案:8?.

12、（2009全国Ⅰ）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为3?，则球O的表面积等于__________________.

【解析】设球半径为R，圆M的半径为r，则?r?3?，即r?3由题得R?(22222R2)?3， 2所以R?4?4?R?16?。

R2?4?4?R2?答案: 16?

13、（2009陕西高考）如图球O的半径为2，圆O1是一小圆，

O1 A O B OO?2，A、B是圆O1上两点，若?AO1B=1两点间的球面距离为 .

?，则A,B 2【解析】由OO?2,OA?OB=2由勾股定理在圆O1中 1则有O1A?O1B?2, 又?AO1B=

? 则AB?2 所以在?AOB中， 2OA?OB?AB?2，则?AOB为等边三角形，那么?AOB?60?

由弧长公式l?r?(r为半径)得A,B两点间的球面距离lAB?r??2?答案:

?3?2?. 32? 314、（2009上海高考）已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1?2R2?3R3，则它们的表面积S1，S2，

S3，满足的等量关系是___________.

【解析】S1?4?R21，同理：S2?2?R2S1?2?R1，即R1＝S3?2?R3，

S12?，R2＝

S22?，

R3＝

S32?，由R1?2R2?3R3得S1?2S2?3S3

答案:S1?2S2?3S3

5

15、（2009天津高考）若一个球的体积为43?，则它的表面积为 ． 【解析】由4?R3?43?得R?3，所以S?4?R2?12?．

3答案:12?

216、（2009江西高考）正三棱柱ABC?A1B1C1内接于半径为的球，若A,B两点的球面距离为?，则正

三棱柱的体积为 ． 【解析】由条件可得?AOB?所以所求体积等于8． 答案:8

17、（2009福建高考）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点. （Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小；

（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为3？ 2若存在，求出

A B

O C

D

P

?2，所以AB?22，O到平面ABC的距离为

23， 3AQ的值；若不存在，请说明理由. QD【解析】（Ⅰ）在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,

又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD所以PO⊥平面ABCD.

平面ABCD=AD, PO?平面PAD，

（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC, 有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形， 所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角， 所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角. 因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中， AB=1,AO=1,所以OB＝2，

在Rt△POA中，因为AP＝2，AO＝1， 所以OP＝1，

在Rt△PBO中，tan∠PBO＝PO?1?2,?PBO?arctan2.

BO222

6

P

A B

Q O C

D

所以异面直线PB与CD所成的角是arctan2.

2（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为3. 2设QD＝x，则S?DQC?1x，由（Ⅱ）得CD=OB=2，

2在Rt△POC中， PC?OC2?OP2?2, 所以PC=CD=DP, S?PCD?3(2)2?3,

42由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时

AQ1?. QD318、（2009湖北高考）如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形， SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝

?a(0

(Ⅰ)求证：对任意的??（0、1），都有AC⊥BE: (Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600，求?的值。

【解析】（Ⅰ）连接BD，由底面是正方形可得AC?BD。

?SD?平面ＡＢＣＤ，?BD是BE在平面ABCD上的射影，

由三垂线定理得AC?BE.

(II) ?SD?平面ABCD，ＣＤ?平面ＡＢＣＤ，? SD?CD.

又底面ＡＢＣＤ是正方形，? ＣD?ＡD，又ＳＤ?AD=D，?CD?平面SAD。 过点D在平面SAD内做DF?AE于F，连接CF，则CF?AE， 故?CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即?CFD=60° 在Rt△ADE中，?AD=a, DE= ?a， AE=a于是，DF=

?2?1 。

AD?DE?a ?2AE??1DF??

2CD??1在Rt△CDF中，由cot60°=

7

得

???12?3， 即3?2?3=3? 3??(0,1]， 解得?=

2. 2A1 C1 19、（2009陕西高考）如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中， AB=1，

AC?AA1?3，∠ABC=600.

(Ⅰ)证明：AB?AC； 1（Ⅱ）求二面角A—AC1—B的大小。

【解析】（Ⅰ）因为三棱柱

B1 A C ABC?A1B1C1为直三棱柱，所以AB?A1A

B 在ABC中AB?1,AC?3,?ABC?600 由正弦定理得?ACB?30,所以?BAC?90

00A1 C1 ,, 即AB?AC，所以AB?ACC1A1又因为AC 1，所以AB?AC11?ACC1A1B1 D D，连BD， （Ⅱ）如图所示，作AD?AC1交AC1于

由三垂线定理可得BD?AC1

所以?ADB为所求角，在Rt?AAC中， 1B A C AD?A1AgAC3g36， ??AC261ABAB66??， ADAD338

?ADBtanABDABD??在Rt?BAD中，tan

所以?ADB?arctan63， 即二面角A—AC1—B?的大小为ADB?arctan63. 20、（2009四川高考）如图，平面ABEF?平面ABCD， 四边形ABEF与ABCD都是直角梯形， ?BAD??FAB?900, BC//12AD，BE//12AF

（Ⅰ）证明：C,D,F,E四点共面；

（Ⅱ）设AB?BC?BE，求二面角A?ED?B的大小；

【解析】（Ⅰ）延长DC交AB的延长线于点G，

由BC//12AD得GBGA?GCGD?BCAD?12 延长FE交AB的延长线于G'

同理可得G'EG'BG'F?G'A?BEAF?12 故G'BGB'?，即G与G'GAGA重合 因此直线CD、EF相交于点G，即C,D,F,E四点共面。 （Ⅱ）设AB?1，则BC?BE?1，AD?2

取AE中点M，则BM?AE，又由已知得，AD?平面ABEF 故AD?BM，BM与平面ADE内两相交直线AD、AE都垂直。 所以BM?平面ADE，作MN?DE，垂足为N，连结BN 由三垂线定理知BN?ED，?BNM为二面角A?ED?B的平面角。 BM?2，MN?1?AD?AE?322DE3

故tan?BNM?BMMN?62 所以二面角A?ED?B的大小arctan62 21、（2009北京高考）如图，在三棱锥P?ABC中，

PA?底面ABC,PA?AB,?ABC?60?,?BCA?90?，

点D，E分别在棱PB,PC上，且DE//BC （Ⅰ）求证：BC?平面PAC；

F

E

A D B

C F

E N M A D B C G(G/)

9

（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小； （Ⅲ）是否存在点E使得二面角A?DE?P为直二面角？并说明理由.

【解析】（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又?BCA?90，PA∴BC⊥平面PAC.

?AC=A ，∴AC⊥BC.

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，

∴DE?1BC， 2又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC， ∴DE⊥平面PAC，垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角， ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB， ∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD?1AB， 21AB. 2?∴在Rt△ABC中，?ABC?60，∴BC?∴在Rt△ADE中，sin?DAE?DEBC2， ??AD2AD42. 4∴AD与平面PAC所成的角的大小arcsin（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE， ∴∠AEP为二面角A?DE?P的平面角， ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴?PAC?90.

∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时?AEP?90.

22、（2009浙江高考）如图，DC?平面ABC，EB//DC，AC?BC?EB?2DC?2，?ACB?120，

??P,Q分别为AE,AB的中点．

（I）证明：PQ//平面ACD；

（II）求AD与平面ABE所成角的正弦值．

【解析】（Ⅰ）连接DP,CQ， 在?ABE中，P,Q分别是AE,AB的中点，

所以PQ//

11BE， 又DC//BE，所以PQ//DC，又PQ?平面ACD ，

????2??210

DC?平面ACD， 所以PQ//平面ACD

（Ⅱ）在?ABC中，AC?BC?2,AQ?BQ，所以CQ?AB 而DC?平面ABC，EB//DC，所以EB?平面ABC

而EB?平面ABE， 所以平面ABE?平面ABC， 所以CQ?平面ABE 由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以DP//CQ

所以DP?平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP， 所以直线AD与平面ABE所成角是?DAP 在

Rt?APD中，

AD?AC2?DC2?22?12?5 ，

DP?CQ?2sin?CAQ?1

所以sin?DAP?

2008年考题

1、（2008江西高考）连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于27、43，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题： ①弦AB、CD可能相交于点M ②弦AB、CD可能相交于点N ③MN的最大值为5 ④MN的最小值为1 其中真命题的个数为( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解析】选C. 解：①③④正确，②错误。易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，若两弦交于N，则

DP15. ??AD55OM⊥MN，Rt?OMN中，有OM?ON，与已知条件所求的OM＞ON矛盾。当M、O、N共线时分别

取最大值5最小值1。

2、（2008四川高考）设M,N是球心为O的半径OP上的两点，且NP?MN?OM，分别过N,M,O作垂线于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( ) （A）3,5,6 （B）3,6,8 （C）5,7,9 （D）5,8,9

【解析】选D.设分别过N,M,O作垂线于OP的面截球得三个圆的半径为r1,r2,r3，球半径为

R，则：

r12?R2?(2R)2?5R2,r22?R2?(1R)2?8R2,r32?R2，

3939∴r12:r22:r32?5:8:9∴这三个圆的面积之比为：5,8,9故选D. 3、（2008重庆高考）如图，体积为V的大球内有4个小球， 每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，

11

4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1 为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小 球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是( ) A．V2?V

2B．V2?V

2C．V1?V2

2

D．V1?V2

【解析】选D.设大球半径为R，小球半径为R，根据题意

VV?4?R3?4?4?(R)3?1?2?V2

3324所以V2?于是V2?V14?3?R?4?4?(R)3?2?R3?V 233232V1V?即2V2?V1?V所以V2?V1?V?V2?0. 224、（2008湖南高考）长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=3，AA1=1, 则顶点A、B间的球面距离是( )

A.22?

【解析】选C.

B.2?

C.2?

2D.

2? 4A1

D1 C1

B1

C B

BD1?AC1?2R?22,?R?2,设

D O BD1AC1?O,则OA?OB?R?2,??AOB??,

2?l?R??2??,故选C.

2A

5、（2008全国Ⅱ）正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60?，则该棱锥的体积为（ ） A．3

B．6

C．9

D．18

【解析】选B.高h?23sin60?＝3，又因底面正方形的对角线等于23，

∴底面积为S?2?1?23?3?6，∴体积V?1?6?3?6.

236、（2008湖北高考）用与球心距离为1的平面去截面面积为?，则球的体积为( ) A.32? B.8? C.82? D. 82? 333【解析】选D.截面面积为??截面圆半径为1，又与球心距离为1?球的半径是2，

3所以根据球的体积公式知V?4?R?82?，故D为正确答案．

337、（2008辽宁高考）在体积为43?的球的表面上有A,B,C三点,AB?1,BC?2,A,C两点的球面距离 为3?,则球心到平面ABC的距离为______________.

3

12

【解析】设球的半径为

R,则V?4?R3?43?,∴R?3.设A、C两点对球心张角为?，则

3AC?R??3??3?,∴???,∴AC?3,∴AC为ABC所在平面的小圆的直径，∴?ABC?90,设ABC333所在平面的小圆圆心为O'，则球心到平面ABC的距离为d?OO'?R2?BO'2?3?()2?3.

22答案：3

28、（2008陕西高考）长方体ABCD?A1B1C1D1的各顶点都在球O的球面上，其中AB:AD:AA1?1:1:2． A1B两点的球面距离记为m，A1D1两点的球面距离记为n，则m的值为 ．

n【解析】设AB?a,则AD?a,AA1?2a?球的直径2R?a2?a2?2a2?2a，即R?a

D1 A1 O D A

B B1

C1

则?OAB是等边三角形，?m?1?2?a?1?a，

63在?AOD1中，OA?OD1?a,AD1?3a ?AOD1?120?n?1?2?a故m?1

3n2答案：1C

2

9、（2008福建高考）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .

【解析】依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径.2r?3?3?3?3,

S?4?r2?9?

答案：9?

10、（2008全国Ⅱ）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：

充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件）

答案：正确一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．

11、（2008安徽高考）如图，在四棱锥 O?ABCD中，底面ABCD四边长为1的

O

菱形，?ABC??, OA?底面ABCD,

4 OA?2,M为OA的中点。

M A D 13

B

C （Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。

【解析】（Ⅰ）

CD‖AB,

∴?MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）

作AP?CD于P,连接MP O ∵OA?平面ABCD，∴CD?MP

?ADP??4,?DP?22 M ∵MD?MA2?AD2?2，

Q A D ∴cos?MDP?DP?1MD2,?MDC??MDP??3

B

C P

所以AB与MD所成角的大小为?3

（Ⅱ）．∵AB‖平面OCD,∴点A和点B到平面OCD的距离相等， 连接OP,过点A作AQ?OP 于点Q， ∵AP?CD,OA?CD,∴CD?平面OAP,

∵AQ?平面OAP,∴AQ?CD

又 ∵AQ?OP,∴AQ?平面OCD,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

∵OP?OD2?DP2?OA2?AD2?DP2?4?1?12?322，AP?DP?22 2∴AQ?OAAP22?2OP?323，所以点B到平面OCD的距离为23 212、（2008北京高考）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥BC. （Ⅰ）求证：PC⊥AB；

P

（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小； （Ⅲ）求点C到平面APB的距离.

E 【解析】（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD.

A

B

∵AP=BP，∴PD⊥AB C

∵AC=BC,∴CD⊥AB.

∵PD∩CD=D,∴AB⊥平面PCD. ∵PC∩平面PCD.∴PC⊥AB.

（Ⅱ）∵AC=BC，AP＝BP，∴△APC≌△BPC.

14

又PC⊥BC.∴PC⊥AC.

又∠ACB=90°,即AC⊥BC.且AC∩PC＝C,∴BC⊥平面PAC. 取AP中点E，连结BE，CE.∵AB＝BP，∴BE⊥AP ∵EC是BE在平面PAC内的射影.∴CE⊥AP. P

∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.

在△BCE中，∠BCE＝90°，BC＝2，BE＝3E H 2AB＝6，

∴sin∠BEC=BCA

D BE?63.

C

∴二面角B-AP-C的大小为arcsin63. (Ⅲ)由（Ⅰ）知AB⊥平面PCD， ∴平面APB⊥平面PCD. 过C作CH⊥PD，垂足为H. ∵平面APB∩平面PCD＝PD， ∴CH⊥平面APB.

∴CH的长即为点C到平面APB的距离， 由（Ⅰ）知PC⊥AB，又PC⊥AC，且AB∩AC＝A. ∴PC⊥平面ABC.CD?平面ABC.∴PC⊥CD. 在Rt△PCD中，CD＝12AB?2,PD?32PB?6,

∴PC＝PD2?CD2?2.∴CH=PCPD?CD?233.

∴点C到平面APB的距离为233. 13、（2008湖北高考）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.

【解析】（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，

△ BCD是等边三角形.因为E是CD的中点， △ 所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB.

又因为PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD， 所以PA⊥BE.而PAAB=A,因此BE⊥平面PAB.

B

P

A

D E B

C

15

又BE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.

P

（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.

G 过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知 平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.

A

在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP.

B

在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG. 则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，

PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）. 在等腰Rt△PAF中，AG?2PA?2 2在Rt△PAB中， AH?APAB?PBAPAB?2?25.

55AP2?AB2H D E C

F

25所以，在Rt△AHG中， sin?AGH?AH?5?10.

AG52故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是arcsin10.

514、（2008陕西高考）三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，?BAC?90，A1A?平面ABC，A1A?3，AB?2，AC?2，A1C1?1，BD?1．

DC2（Ⅰ）证明：平面A1AD?平面BCC1B1；

B1

（Ⅱ）求二面角A?CC1?B的大小．

【解析】（Ⅰ）

A1

C1

A1A?平面ABC，BC?平面ABC，

A B

D C

?BC?6， ?A1A?BC．在Rt△ABC中，AB?2，AC?2，BD:DC?1:2，?BD?6，又BD?3?AB，

3AB3BC?△DBA∽△ABC，??ADB??BAC?90，即AD?BC．

又A1AAD?A，?BC?平面A1AD，

A1 B1

C1

E

BC?平面BCC1B1，?平面A1AD?平面BCC1B1．

（Ⅱ）如图，作AE?C1C交C1C于E点，连接BE， 由已知得AB?平面ACC1A1．

A

F B

（）

D C

16

?AE是BE在面ACC1A1内的射影．

由三垂线定理知BE?CC1，

??AEB为二面角A?CC1?B的平面角．

过C1作C1F?AC交AC于F点，

则CF?AC?AF?1，C1F?A1A?3，??C1CF?60． 在Rt△AEC中，AE?ACsin60?2?32?3．

在Rt△BAE中，tanAEB?AB?2?6AE33．

??AEB?arctan6，即二面角A?CC631?B为arctan3．

15、（2008全国Ⅱ）如图，正四棱柱ABCD?AD1B1C1D1中，1 C1 A1 B1 AA1?2AB?4，

点E在CC1上且C1E?3EC． E

（Ⅰ）证明：AC?平面BED； D C

1A B （Ⅱ）求二面角A1?DE?B的大小．

【解析】依题设，AB?2，CE?1．

（Ⅰ）连结AC交BD于点F，则BD?AC． 由三垂线定理知，BD?A1C．

在平面A1CA内，连结EF交A1C于点G， D1 C1

由于

AA1FC?ACA1 BCE?22， 1 故Rt△A1AC∽Rt△FCE，?AAC1??CFE， H ?CFE与?FCAG E

1互余．

D A F B C 于是A1C?EF．

A1C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，

所以A1C?平面BED．

17

（Ⅱ）作GH?DE，垂足为H，连结A1H． 由三垂线定理知A1H?DE，

故?A1HG是二面角A1?DE?B的平面角． EF?CF2?CE2?3， CG?CE?CF?EF2，

EG?CE2?CG2?3．

33EG?1，GH?1?EF?FD?2．

3DEEF315又AC?AC?CG?56． ?AA12?AC2?26，AG1113tan?A1HG?AG1?55． HG所以二面角A1?DE?B的大小为arctan55．

2007年考题

1、（2007陕西高考）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A．

33 4 B．3 3C．3 4D．3 12【解析】选C.正三棱锥的高为1，由平面几何知识知底面边长为

3，

体积为

133，选C. ?(3)2?1?3442．（2007全国Ⅰ）如图，正棱柱ABCD?A1BC11D1中，AA1?2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )

A．

1234 B． C． D． 5555D1A1B1C1【解析】选D.如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成

的角，设AB=a，AA1=2a，∴ A1B=C1B=5a，A1C1=2a，∠A1BC1的 余弦值为

4，选D。 5ADBC 18

3、（2007全国Ⅱ）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于( ) (A)

6 4 (B)

102 (C) 42 (D)

3 2【解析】选A.已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，

36∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，sin?B1AD1?2?，选A。

424、（2007湖南高考）如图，在正四棱柱 ABCD?A1BC11D1 中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立 的是( )

A．EF与BB1垂直 B. EF与BD垂直 C. EF与CD异面 D. EF与A1C1异面

【解析】选D.连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，

三角形B1AC中EF//1AC，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，∴B1B?AC 2所以EF与BB1垂直；又AC⊥BD，所以EF与BD垂直，EF与CD异面。 由EF//1AC，AC∥A1C1得EF∥A1C1. 25、(2007安徽高考)把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四点所在的球面上,B与D两点之间的球面距离为( ) (A)2?

【解析】选C.把边长为

2(B)?

(C)

? 2(D)

? 32的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四点所

1个大圆4在的球面上,球的半径为1，B与D两点恰好是两条垂直的半径的端点，它们之间的球面距离为周长，即

?，选C。 26、（2007安徽高考）半径为1的球面上的四点A,B,C,D是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面 距离为( )

? （A）arccos(

1136) （B）arccos(?) （C）arccos(?) （D）arccos(?)

343319

【解析】选C.半径为1的球面上的四点A,B,C,D是正四面体的顶点，设AB=a，P为△BCD的中心，

O为球心，则OB=1，OP=

1326222，BP=a，由OB?OP?BP解得a?， 33311)，∴ A与B两点间的球面距离为arccos(?)，选C。 33∴ 由余弦定理得∠AOB=arcos(－

7、（2007福建高考）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD－A’B’C’D’中，AB＝1，AA’＝错误！未找到引用源。，

则A、C两点间的球面距离为（ ）

A 错误！未找到引用源。 B 错误！未找到引用源。 C 错误！未找到引用源。 D 错误！未找到引用源。

【解析】选B.正四棱柱的对角线为球的直径，由4R=1+1+2=4得R=1，AC=2

所以∠AOC=2?R2?R2，?2（其中O为球心）A、C两点间的球面距离为

?，选B. 2O的表面上，E，F分别是8、（2007湖南高考）棱长为1的正方体ABCD?A1BC11D1的8个顶点都在球

棱AA1，DD1上的点，则直线EF被球O截得的线段长为（ ）

A．

2 2B．1

C．1?2 2D．2 2【解析】选D.正方体对角线为球直径，所以R?3，在过点E、F、O的球的大圆中， 4由已知得d=

13，r?,R?22312，所以EF=2r=2。 ??442H，则以下9、（2007江西高考）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点

命题中，错误的命题是（ ） ．．Ａ．点H是△A1BD的垂心 Ｂ．AH垂直平面CB1D1 Ｃ．AH的延长线经过点C1 Ｄ．直线AH和BB1所成角为45

【解析】选D.因为三棱锥A—

A B D

C H A1 B1 C1

D1

A1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射映是底面中心，A正确；面A1BD∥

面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，B正确；根据对称性知C正确。选D.

20

10、（2007江西高考）四面体ABCD的外接球球心在CD上，且CD?2，AB?3，

在外接球面上两点A，B间的球面距离是（ ） Ａ．

π 6 Ｂ．

π 3 Ｃ．

2π 3 Ｄ．

5π 6【解析】选C.由球心在CD上，且CD?2，得球的半径R=1，OA?OB?1?

12?12?(3)212?2?cos?AOB???,??AOB?.?l?R??.选C.

2?1?123311、（2007四川高考）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A 到B、C两点的球面距离都是

??，且二面角B?OA?C的大小是，则从A 23点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是（ ）

5?4?3? （C） （D） 432???4????【解析】选C.d?AB?BC?CA?．本题考查球面距离． 2323（A）

7? 6 （B）

12、（2007陕西高考）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的 一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） （A）

33333 (B) (C) (D) 43412【解析】选C.正三棱锥的高为1，由平面几何知识知底面边长为

3，

体积为

133，选C. ?(3)2?1?34413、（2007陕西高考）Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面ABC的距离是（ ） （A）5

（B）6

（C）10

（D）12

【解析】选D.Rt△ABC的斜边长为10，且斜边是Rt△ABC所在截面的直径，球心到平面ABC的

距离是d=132?52?12，选D.

14、（2007全国Ⅰ）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正 三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三 角形的斜边长为__________。

【解析】一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的

DGACFB1A1C1三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，

E

B21

则该三角形的斜边EF上的中线DG=3， ∴ 斜边EF的长为23。 答案：23

15、（2007天津高考） 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3 则此球的表面积为__________.

【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R?12?22?32?14，由S?4?R2?14?

答案：14?

16、（2007全国Ⅰ）正四棱锥S?ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为_________。

【解析】正四棱锥S?ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则

该球的球心恰好是底面ABCD的中心，球的半径是1，体积为答案：

4π。 34π 317、（2007全国Ⅱ）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.

【解析】一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正

四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴ 2R=2=12?12?h2，解得h=2cm，那么该棱柱的表面积为（2+42）cm2. 答案：2+42

18、(2007安徽高考)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点， 这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）. ．．

①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体.

【解析】在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，

这些几何形体是①矩形如ACC1A1；. ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体， 如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如A-CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，

22

如A-A1DC，所以填①③④⑤。 答案：①③④⑤

19、（2007江苏高考）正三棱锥P?ABC高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A到侧面PBC的距离是 .

【解析】设P在 底面ABC上的射影为O，则PO=2，且O是三角形ABC的中心，

设底面边长为a,则

23?a?2?a?23. 32设侧棱为b则b?22 斜高h'?5 。

3?23?265?由等体积法求 A到侧面PBC的距离 h?2.

55答案：

65 520、（2007上海高考）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，

?ACB?90，AA1?2，AC?BC?1，则异面直线A1B与 AC所成角的大小是 （结果用反三角函

数值表示）．

【解析】

?C1 B1

A1 C B

AC1B与AC所成角为?BAC11∥AC,?异面直线A11， A 易求A1B?6. 答案:arccos6 621、（2007湖南高考）棱长为1的正方体ABCD?A1BC11D1的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表

EF被球O截得的线段长面积是 ；设E、F分别是该正方体的棱AA1、DD1的中点，则直线

为 .

【解析】正方体对角线为球直径，所以R?23，所以球的表面积为3π；由已知所求EF是正方体在球中4其中一个截面的直径，d=

13,R?，所以r?22312，所以EF=2r=2。 ??442答案:3π，2

23

H．有下列22、（2007江西高考）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点

四个命题

Ａ．点H是△A1BD的垂心

A B D

C H Ｂ．AH垂直平面CB1D1

Ｃ．二面角C?B1D1?C1的正切值为2 Ｄ．点H到平面A1B1C1D1的距离为其中真命题的代号是

A1 B1 C1

D1

3 4．（写出所有真命题的代号）

【解析】因为三棱锥A—A1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面中心，A正确； 面A面CB1D1，而AH垂直平面A1BD∥1BD，所以AH垂直平面CB1D1，B正确； 连接AC11B1D1?O??COC1即为二面角C?B1D1?C1的平面角,

1?2, C正确; 对于D, 连接AC1,?AC1?面A1BD,故点H是AC1 2222?AA1?.从而D错. 33tan??的三等分点,故点H到平面A1B1C1D1的距离为则应填A，B，C. 答案:A B C.

23、（2007四川高考）在正三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是____________

【解析】BC1?3，点B到平面ACC1A1的距离为∴sin??3，设所成角大小为? 21，??30?． 2答案:30?

24、（2007江西高考）右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1?B1C1?1，?A1B1C1?90，

A C

O B AA1?4，BB1?2，CC1?3．

A1 B1 C1

24

（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；

（2）求二面角B?AC?A1的大小； （3）求此几何体的体积．

【证明】（1）作OD∥AA1交

A1B1于D，连C1D．

A C 则OD∥BB1∥CC1． A2 O H C2

B

因为O是AB的中点，

AC1

所以OD?12(AA)?3?CC1

1?BB11．

D

B1

则ODC1C是平行四边形，因此有OC∥C1D．

C1D?平面C1B1A1且OC?平面C1B1A1，

则OC∥面A1B1C1．

（2）如图，过B作截面BA2C2∥面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2． 作BH?A2C2于H，连CH．

因为CC1?面BA2C2，所以CC1?BH，则BH?平面AC12． 又因为AB?5，BC?2，AC?3?AB2?BC2?AC2．

所以BC?AC，根据三垂线定理知CH?AC，所以∠BCH就是所求二面角的平面角． 因为BH?2BH2，所以sin∠BCH?BC?12，故∠BCH?30， 即：所求二面角的大小为30．

（3）因为BH?22，所以V111B?AA2C2C?3SAA2C2CBH?32(1?2)222?12． V1A1B1C1?A2BC2?S△A1B1C1BB1?22?1． 所求几何体体积为

V?V3B?AA2C2C?VA1B1C1?A2BC2?2． 25、（2007福建高考）如图，正三棱柱ABC?A1B1C1 A

A1的所有棱长都为2，D为CC1中点．

C

D

C1

25

（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD； （Ⅱ）求二面角A?A1D?B的大小； （Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离．

【解析】 (Ⅰ）取BC中点O，连结

AO．

△ABC为正三角形，?AO⊥BC．

正三棱柱ABC?A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1， ?AO⊥平面BCC1B1．

A

A1 连结B1O，在正方形BB1C1C中，O，D分别为

F

C

G BC，CC1的中点， D CO 1?B1O⊥BD，

B

B1?AB1⊥BD．

在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，

?AB1⊥平面A1BD．

（Ⅱ）设AB1与A1B交于点

G， 在平面A1BD中，作GF⊥A1D于

F，连结AF， 由（Ⅰ）得AB1⊥平面A1BD．?AF⊥A1D，

?∠AFG为二面角A?A1D?B的平面角．

在△AA1D中，由等面积法可求得AF?455， 又

AG?12AB?sin∠AFG?AGAF?245?101?2，4． 5所以二面角A?A101D?B的大小为arcsin4． （Ⅲ）△A1BD中，BD?A1D?5，A1B?22，?S△A1BD?6，S△BCD?1．

26

在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距离为3．设点C到平面A1BD的距离为d． 由VA1?BCD?VC?A1BD得

1S3?13△BCD3S△A1BDd，

?d?3S△BCDS?2．?点C到平面A21BD的距离为． △A1BD2226、（2007辽宁高考）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，

?ACB?90，AC?BC?a，D，E分别为棱AB，BC

的中点，M为棱AA1上的点，二面角M?DE?A为30． （I）证明：A1B1?C1D；

（II）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．

【解析】（I）连接CD,因为三棱柱

ABC?A1B1C1是直角三棱柱,

所以CC1∥平面ABC，所以CD为C1D在平面ABC内的射影， 因为ABC中，AB=BC,D为AB中点，所以AB?CD， 所以AB?C1D因为A1B1∥AB,所以A1B1?C1D.

（II）过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF， ∵D、E分别为AB、CB的中点， ∴DE//AC，

又∵AF//CE，CE?AC， ∴AF?DE ∵MA?平面ABC

∴AF为MF在平面ABC内的射影。 ∴MF?DE

∴?MAF为二面角M?DE?A的平面角，?MAF?30 在Rt?MAF中，AF?12BC?a2，?MFA?30， ∴AM?36a。………………………………8分 设C到平面MDE的距离为h。 ∵VM?CDE?VC?MDE

A1 C1

M

B1

A

C D

E B

A1 C1

M B1

A C

F D

E B

27

∴S?CDE?MA?131S?MDE?h 3S?CDE1a23?CE?DE??MA?a， 28611AF32DE?MF?DE??a 22cos3012S?MDE?1a23132∴??a??a?h， 386312∴h?aa，即C到平面MDE的距离为。…………………………12分 4427、（2007全国Ⅱ）如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为正方形， 侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点． （1）证明EF//平面SAD；

（2）设SD?2DC，求二面角A?EF?D的大小．

【解析】（1）作FG//DC交SD于点G，则G为SD的中点．

S

1∥CD，又CD ∥AB，故FG ∥AE，AEFG为平行四边形． 连结AG，FG 2EF//AG，又AG?平面SAD，EF?平面SAD．

所以EF∥平面SAD．

H F

G

M C

△ADG为等腰直角三角形． （2）不妨设DC?2，则SD?4，DG?2，取AG中点H，连结DH，则DH⊥AG． 又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB所以DH⊥面AEF．

取EF中点M，连结MH，则HM⊥EF． 连结DM，则DM⊥EF．

故?DMH为二面角A?EF?D的平面角

A

D E

B

AG?A，

tan?DMH?DH2??2． HM1所以二面角A?EF?D的大小为arctan2．

28

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