高中数学选修2-2综合测试题

高中数学选修2-2综合测试题

一、选择题（共8题，每题5分）

1.复数z?(2?i)i在复平面内的对应点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 一质点做直线运动，由始点经过t1则速度为0的时刻是s后的距离为s?t3?6t2?32t，

3（ ）

A．t?4s B．t?8s C．t?4s与t?8s D．t?0s与t?4s

323. 函数y?2x?3x?12x?5在区间[0,3]上最大值与最小值分别是 A. 5,-4 B. 5,-15

C. -4,-15 D. 5,-16

（ ）

4. 已知a?1?7,b?3?5,c?4则a，b，c的大小关系为（ ）

A．a>b>c B．c>a>b C．c>b>a D．b>c>a 5.曲线yA．[?x3?3x?2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（ ）

33,??) B. (,??) C. (?3,??) D. [?3,??) 336. 有一段“三段论”推理是这样的：

对于可导函数f(x)，如果f?(x0)?0，那么x?x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)?x3在x?0处的导数值f?(0)?0，所以，x?0是函数f(x)?x3的极值点. 以上推理中（ ）

A．大前提错误 B． 小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 7. .在复平面内, 复数1 + i与1?3i分别对应向量OA和OB, 其中O为坐标原点,则AB=（ ）

A.2 B.2 C.

10 D. 4

x28、函数f(x)?（ ）

x?1 A．在(0,2)上单调递减 B．在(??,0)和(2,??)上单调递增 C．在(0,2)上单调递增 D．在(??,0)和(2,??)上单调递减

二、填空题（共6题，30分） 9. .观察下列式子 1?131151117?,1???,1??2?2? , ? ? , 2222222332344则可归纳出________________________________

10. 复数z?1的共轭复数是________。 1?i2211.由曲线y?x与x?y所围成的曲边形的面积为________________

1

12. 利用数学归纳法证明“1＋a＋a＋…＋a

2n＋1

1?an?2=， (a≠1，n∈N)”时，在验证n=1成1?a立时，左边应该是 。

a

－∞，?内单调递减，则a的取值范围是13. 函数g(x)＝ax3＋2(1－a)x2－3ax在区间?3??________．

14.现有12名同学分别到三个企业进行社会调查，若每个企业4人，则不同的分配方案共有 种。（只列式）

高中数学选修2-2综合测试题答题卷

一、选择题（每题5分，共40分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二、填空题（每题5分，40分）

9、 ； 10、 ； 11、 ；

12、 ； 13、 ，； 14、 。 三、解答题（共6题，80分）

15.（12分）已知复数z?(m?8m?15)?(m?9m?18)i在复平面内表示的点为A，实数m取什么值时，

（1）z为实数？z为纯虚数？ （2）A位于第三象限？

16. （12分）某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：元，0≤x≤30 ）的平方成正比。已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件。

（1）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

2

22

17（14分）、已知二次函数f(x)?ax?bx?3在x?1处取得极值，且在(0,?3)点处的切线与直线2x?y?0平行． (1）求f(x)的解析式；(2）求函数g(x)?xf(x)?4x的单调递增区间及极值。（3）求函数g(x)?xf(x)?4x在x??0,2?的最值。

18（14分）、某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数?的分布列为

2? P 1 0.4 2 0.2 3 0.2 4 0.1 5 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．?表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；（Ⅱ）求?的分布列及期望E?．

3

19（14分）、设函数f(x)?x?a(x?1)ln(x?1),(x??1,a?0).（1）求f(x)的单调区间；

（2）当a?1时，若方程f(x)?t在[?n1,1]上有两个实数解，求实数t的取值范围； 2m（3）证明：当m>n>0时，(1?m)?(1?n).

20（14分）、数列{an}的通项an?(?1)a1 = 1＝1

a1+a2 = 1－4＝－3＝－（1＋2） a1+a2+a3 = 1－4＋9＝6＝＋（1＋2＋3） ……

试写出求数列{an}的前n项和Sn的公式，并用数学归纳法证明。

n?1?n2，观察以下规律：

4

高中数学选修2-2综合测试题答案

一、选择题（每题5分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B C D A B B 二、填空题（每空5分） 9. 1?1112n?1*1?i ； 11. 1； ?????(n∈N) ；10. 2232(n?1)2n?1344412. 1＋a＋a2 ； 13. (－∞，－1]； 14. C12C8C4 a

13、【解析】 ∵g(x)在区间－∞，内单调递减，

3

a

－∞，?上的函数值非正， ∴g′(x)＝3ax2＋4(1－a)x－3a在?3??

2?a－1?a?a34?由于a<0，对称轴x＝>0，故只需g′?3?＝＋a(1－a)－3a≤0，注意到a<0，

3a33∴a2＋4(1－a)－9≥0，得a≤－1或a≥5(舍去)．

故所求a的取值范围是(－∞，－1]．

三、解答题

15.解：（1）当m?9m?18＝0即m＝3或m＝6时，z为实数； …………………………3分 当m?8m?15?0，m?9m?18?0即m＝5时，z为纯虚数.…………………………6分

222?m2?8m?15?0?3?m?5（2）当?2即?即3

?m?9m?18?0?3?m?616. 解：记一星期多卖商品kx件，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则

2f(x)?(30?x?9)(432?kx2)?(21?x)(432?kx2)

又有条件可知24?k?2解得k?6所以

2f(x)??6x3?126x2?432x?9072,x??0,30?

（2）由（1）得f(x)??18x?252x?432??18(x?2)(x?12) 所以f(x)在（0，2）递减（2，12）递增（12，30）递减

/2 5

所以x?12时f(x)取极大值，又f(0)?9072,f(12)?11664所以定价30-12=18（元）能使一个星期的商品销售利润最大。 17、(1)由

,可得

.

由题设可得解得

,

.所以

即 . ,

(2)由题意得

所以.令,得,.

4/27 0 所以函数的单调递增区间为,.在有极小值为0。

在有极大值4/27。

的最大值为2，最小值为0。

（3）由g(0)?0,g(2)?2及（2），所以函数

18、解：（Ⅰ）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”

P(A)?(1?0.4)2?0.216，P(A)?1?P(A)?1?0.216?0.784．

（Ⅱ）?的可能取值为200元，250元，300元．

P(??200)?P(??1)?0.4，P(??250)?P(??2)?P(??3)?0.2?0.2?0.4， P(??300)?1?P(??200)?P(??250)?1?0.4?0.4?0.2．

?的分布列为

?

200 6

250 300

P 0.4 0.4 0.2

． E??200?0.4?250?0.4?300?0.2?240（元）19、

20、解：通过观察，猜想

n?1Sn= a1+a2+a3+……+an＝(-1)（1＋2＋3+……+n）=(?1)?n+1

n(n?1) …………42分

下面用数学归纳法给予证明：

n?1（1）当n＝1时，S1= a1＝1，而(?1)?n(n?1)1(1?1)?(?1)2?1 22 ∴当n＝1时，猜想成立 ……………………………………6分 （2）假设当n=k(k≥1，k?N)时，猜想成立，

k?1 即Sk=(?1)?*k(k?1) ………………………………7分 2 7

那么Sk＋1=Sk＋ak+1=(?1)k?1?k(k?1)(k?1)?1?(k?1)2 ……………9分 ＋(?1)2k?2? =(?1)(k?1)[(?1)?1k?2(k?1)]………………………11分 2(k?1)(k?1)[(k?1)?1](k?1)?1k?2 =(?1)?2(k?2)?(?1) 这就是说当n=k+1时，猜想也成立. 根据(1)(2)可知，对任意n?N*猜想都成立。

8

?2 ……12分 ………………………13分 ……………………14分

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