选讲精选试题

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专题六：选讲精选演练

选修4-1：几何证明

1、如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED． （I）证明：CD//AB；

（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F

四点共圆． 解：（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.

因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA， 所以CD//AB.

（II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC.

连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，

又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°.

故A，B，G，F四点共圆

2、如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上. 求证：PE

是⊙O的切线．

证明：如图，连结OP、BP. ∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°. 又∵CE=BE，∴EP=EB. ∴∠3=∠1. ∵OP=OB，∴∠4=∠2.

∵BC切⊙O于点B，∴∠1+∠2=90°. ∠3+∠4=90°.

又∵OP为⊙O的半径， ∴PE是⊙O的切线.

3、已知，如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E （1） 求证：FA∥BE

（2）求证：

APPC?FAABA P O A P O 2 1 B

E

4 3 B

E C

C

（3）若⊙O的直径AB=2，求tan∠CPE的值。

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1

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证明：（1）在⊙O中，∵直径AB与FP交于点O ∴OA=OF ∴∠OAF=∠F ∵∠B=∠F ∴∠OAF=∠B ∴FA∥BE （2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦 ∴∠PAC=∠F

∵∠C=∠C ∴△APC∽△FAC ∴

∴ ∵AB=AC ∴

2

（3）∵AC切⊙O于A，CPF为⊙O割线则 AC=CP?CF=CP（CP+PF），∵PF=AB=AC=2 ∴CP（CP+2）=4 整理得CP2+2CP-4=0, 解得CP=-1± ∵FP为⊙O的直径 ∴∠FAP=900

∵CP>0 ∴CP=

∵FA∥BE ∴∠CPE=∠F

由（2）中证得 在Rt△FAP中，tan∠F=

∴tan∠CPE=tan∠F=

4、如图，已经圆上的弧（Ⅰ）∠ACE=∠BCD； （Ⅱ）BC2=BF3CD。

，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明：

解：

?, 所以?BCD??ABC. AC?BC（I）因为? 又因为EC与圆相切于点C，故?ACE??ABC， 所以?ACE??BCD. （II）因为?ECB??CDB,?EBC??BCD, 所以?BDC∽?ECB，故

BCBE?CDBC， 即BC?BE?CD.

2

5、如图，已知BC为⊙O的直径，点A、F在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于E，且AE＝BE．

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(1)求证：AB＝AF； (2)如果sin∠FBC＝

35，AB＝45，求AD的长．

＝

∴∠AFB＝∠BAE．

(1)延长AD与⊙O交于点G． ∵直径BC⊥弦AG于点D， ∴

∵AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE． ∴∠ABE＝∠AFB． ∴AB＝AF．

(2)在Rt△EDB中，sin∠FBC＝

EDBE?35．

设ED＝3x，BE＝5x，则AE＝5x，AD＝8x，在Rt△EDB中，由勾股定理得BD＝4x．

222

在Rt△ADB中，由勾股定理得BD＋AD＝AB．

∵AB＝45，∴(4x)2＋(8x)2＝(45)2．∴x＝1(负舍)． ∴AD＝8x＝8．

6、如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，且AB2＝AP2AD

(1)求证：AB＝AC；

(2)如果∠ABC＝60°，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长． (1)证明：联结BP．

∵AB＝AP2AD， ∴

2

ABAP?ADAB． ∵∠BAD＝∠PAB， ∴△ABD∽△APB，

∴∠ABC＝∠APB， ∵∠ACB＝∠APB， ∴∠ABC＝∠ACB． ∴AB＝AC．

(2)由(1)知AB＝AC．∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝60°，∵P为弧AC的中点，

1∴∠ABP＝∠PAC＝∠ABC＝30°，∴∠BAP＝90°，∴ BP是⊙O的直径，

22012年高考第二轮复习专题选讲演练

3

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∴ BP＝2， ∴AP＝

12BP＝1，

ABAP2在Rt△PAB中，由勾股定理得 AB＝BP－AP＝3， ∴AD＝

22

＝3．

7、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，CA＝12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于

点E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F．

(1)求证：AC是⊙O的切线；

EF(2)联结EF，求的值．

AC证明(1)∵DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆，∴BE是⊙O的直径，

连结OD，∵∠C＝90°，∴∠DBC＋∠BDC＝90°． 又∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC． ∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB

∴∠ODB＋∠BDC＝90°，即∴∠ODC＝90° 又∵OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．

22

(2)设⊙O的半径为r，在Rt△ABC中，AB＝BC＋CA＝9＋12＝225， ∴AB＝15∵∠A＝∠A，∠ADO＝∠C＝90°，∴△ADO∽△ACB． AOOD15?rr4545??．∴r?∴．∴．∴BE? ABBC15948又∵BE是⊙O的直径．∴∠BFE＝90°．∴△BEF∽△BAC

2

2

2

45?EFAC?BE3?4?． BA1548、已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E (1)求证：AD的延长线DF平分∠CDE；

(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋3，求△ABC外接圆的面积．

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解：(1)如图，∵A，B，C，D四点共圆， ∴∠CDF＝∠ABC

又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠CDF，

又由对顶角相等得∠EDF＝∠ADB，故∠EDF＝∠CDF，即AD的延长线DF平分∠CDE. (2)设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC.连接OC，

由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，∴∠OCH＝60°，设圆半径为r，则r＋解得，r＝2，外接圆的面积为4π

9、 如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1?r2)，圆O1的弦AB交圆O2于点C（O1不

在AB上），求证：AB:AC为定值。

解析：考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质，容易题。 证明：由弦切角定理可得?AO2C??AO1B,?ABAC?O1BO2C?r1r3

r＝2＋3，2

10如图，D，E分别是AB,AC边上的点，且不与顶点重合，已知AE?m,AC?n,AD,AB 第21-A图为方程x2?14x?mn?0的两根， （1） 证明 C,B,D,E四点共圆；

（2） 若?A?90?,m?4,n?6，求C,B,D,E四点所在圆的半径。

ADBCE第10题图

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选修4-4：坐标系与参数方程

1.在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为???x?3cosa.

??y?sina（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，

点P的极坐标为（4，

π2），判断点P与直线l的位置关系；

（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.

?解：（I）把极坐标下的点P（4,）化成直角坐标得P(0，4)

2 因为P的直角坐标（0,4）满足直线l的方程x-y+4=0 所以点P在直线x-y+4=0上 （II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q(3cos?,sin?) 从而点Q到直线l的距离为

2cos(???2?6d?|3cos??sin??4|2)?4=2cos(???6)?22

(? 由此得，当cos??6)??1时，d取得最小值，且最小值为2

?x?cos??y?sin??x?acos??y?bsin?2、在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?（?为参数），曲线C2的参数方程为?（a?b?0，?为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=?与C1，C2各有一个交点．当?=0时，这两个交点间的距离为2，当?=

?2时，这两个交点重合．

（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值； （II）设当?=

?4时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当?=??4时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四

边形A1A2B2B1的面积． 解：（I）C1是圆，C2是椭圆.

当??0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以

a=3. 当???2时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1.

x2 （II）C1，C2的普通方程分别为x?y?1和229?y?1.

2 当???4时，射线l与C1交点A1的横坐标为x??422，与C2交点B1的横坐标为 x??31010.

当???为梯形.

时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此，四边形A1A2B2B1

故四边形A1A2B2B1的面积为

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(2x??2x)(x??x)26

?25.

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3、在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为??????????OP?2OM，点P的轨迹为曲线C2．

?x?2cos??y?2?2sin?，M为C1上的动点，P点满足(?为参数）

（I）求C2的方程；

（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线??异于极点的交点为B，求|AB|. 解：（I）设P(x，y)，则由条件知M(

?x?2cos?,??2??y?2?2sin??2X2,Y2?3与C1的异于极点的交点为A，与C2的

).由于M点在C1上，所以

???x?4cos??? 即 ?? ??y?4?4sin??????x?4cos??y?4?4sin?

从而C2的参数方程为?（?为参数）

（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为??4sin?，曲线C2的极坐标方程为??8sin?。

射线??

?3与C1的交点A的极径为?1?4sin?3，射线???3与C2的交点B的极径为?2?8sin?3。

所以|AB|?|?2??1|?23. 1t??tx?(e?e)cos???24、分别在下列两种情况下，把参数方程?化为普通方程：

?y?1(et?e?t)sin???2（1）?为参数，t为常数； （2）t为参数，?为常数； 解：（1）当t?0时，y?0,x?cos?，即x?1,且y?0； 当t?0时，cos??x12(e?e)x14t2,sin???ty12(e?e)t?t

t 而x?y?1，即

22??t2y14t2?1

?t2(e?e)(e?e)12（2）当??k?,k?Z时，y?0，x??当??k???2(e?e)，即x?1,且y?0；

12(e?e)，即x?0；

t?tt?t,k?Z时，x?0，y??2012年高考第二轮复习专题选讲演练 7

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2x2x2y?t?t?te?e?2e????k???cos?cos?sin?当??，即? ,k?Z时，得?2?et?e?t?2y?2e?t?2x?2y??sin?cos?sin???得2et?2e?t?(x222xcos?22?2ysin?)(2xcos??2ysin?)

即

5、过点P(

102cos??ysin??1。

求PM?PN的值及相应的?的值。 ,0)作倾斜角为?直线与曲线x?12y?1交点M,N，

22?103?tcos??x?22解：设直线为?(t为参数)，代入曲线并整理得(1?sin?)t?(10cos?)t??0 22?y?tsin??32 21?sin??3?所以当sin2??1时，即??，PM?PN的最小值为，此时??。

242π

6、在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直

3

则PM?PN?t1t2?角坐标系，曲线C??x＝2cos α，

的参数方程为?

?y＝1＋cos 2α?

(α为参数)，求直线l与曲线C的交点P的直角坐标．

解析： 因为直线l的极坐标方程为θ＝

又因为曲线Cπ

(ρ∈R)，所以直线l的普通方程为y＝3x，① 3

??x＝2cos α，

的参数方程为?

?y＝1＋cos 2α?

(α为参数)，

12

所以曲线C的直角坐标方程为y＝x(x∈[－2,2])，②

2

??x＝0，

联立①②解方程组得?

?y＝0?

或?

?x＝23，

?y＝6.

根据x的范围应舍去?

7、在椭圆

x2?x＝23，?y＝6，

故P点的直角坐标为(0,0)．

16?y212?1上找一点，使这一点到直线x?2y?12?0的距离的最小值。

4cos??43sin??12??x?4cos?解：设椭圆的参数方程为?，d?

5??y?23sin?2012年高考第二轮复习专题选讲演练

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?455cos??3s?in??34552c?o?s(3?? )3 当cos(??

?3)?1时，dmin?455，此时所求点为(2,?3)。

8、已知点P(x,y)是圆x2?y2?2y上的动点，

（1）求2x?y的取值范围； （2）若x?y?a?0恒成立，求实数a的取值范围。

?x?cos?解：（1）设圆的参数方程为?，

y?1?sin??2x?y?2cos??sin??1???5?1?2x?y?5?1

5sin(???)?1

（2）x?y?a?cos??sin??1?a?0

?a??(co?s??a??2?1s?in?)??12?s?in(? 4?)1

??x?1?t9、求直线l1:???y??5?3t及点P与Q(1,?5)的距离。 (t为参数)和直线l2:x?y?23?0的交点P坐标，

解：将???x?1?t??y??5?3t代入x?y?23?0得t?23，

得P(1?23,1)，而Q(1,?5)，得PQ?

(23)?6?43 22π??5??10、在极坐标系中，已知三点M2，π，N(2,0)，P23，.

?3??6?

(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标． (2)判断M、N、P三点是否在一条直线上．

??x＝ρcos θ

解(1)由公式?

?y＝ρsin θ?

，∴M的直角坐标为(1，－3)，N的直角坐标为(2,0)，P的直角坐标为(3，3)．

33－0

(2)∵kMN＝＝3，kNP＝＝3， ∴kMN＝kNP， ∴M、N、P三点在同一条直线上．

2－13－2

选修4-5：不等式选讲

1、已知函数f(x)=|x-2|?|x-5|．

（I）证明：?3≤f(x)≤3； （II）求不等式f(x)≥x2?8x+15的解集．

2012年高考第二轮复习专题选讲演练

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??3,?解：（I）f(x)?|x?2|?|x?5|??2x?7,?3,?x?2,2?x?5, x?5.当2?x?5时,?3?2x?7?3. 所以?3?f(x)?3. （II）由（I）可知，

当x?2时,f(x)?x2?8x?15的解集为空集； 当2?x?5时,f(x)?x2?8x?15的解集为{x|5?3?x?5}；

当x?5时,f(x)?x2?8x?15的解集为{x|5?x?6}. 综上，不等式f(x)?x2?8x?15的解集为{x|5?2、设函数f(x)?|x?a|?3x，其中a?0．

（I）当a=1时，求不等式f(x)?3x?2的解集．

（II）若不等式f(x)?0的解集为｛x|x??1}，求a的值． 解：（Ⅰ）当a?1时，f(x)?3x?2可化为|x?1|?2。

由此可得 x?3或x??1。故不等式f(x)?3x?2的解集为{x|x?3或x??1}。 (Ⅱ) 由f(x)?0 得 x?a?3x?0 此不等式化为不等式组

?x?a?x?a???a?x?a??aa 或? 即 x? 或a??

???a?3x?0?4?2?a?x?3x?0a2a23?x?6}. …

?x??x

因为a?0，所以不等式组的解集为?x|x??? 由题设可得?= ?1，故a?2

3、设函数f(x)?2|x?1|?|x?1|，求使f(x)≥22的x取值范围

3

解：由于y＝2x是增函数，f(x)≥22等价于|x+1|－|x－1|≥， ①

2(i)当x≥1时，|x+1|－|x－1|＝2。∴①式恒成立

33

(ii)当－1＜x＜1时，|x+1|－|x－1|＝2x。①式化为2x≥，即≤x<1

24(iii)当x≤－1时，|x+1|－|x－1|＝－2。∴①式无解

综上，x的取值范围是[

2012年高考第二轮复习专题选讲演练

3

，＋∞)。 4

10

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4、⑴已知a,b是正常数，a?b，x,y?(0,??)，求证：

2x91?2x1a2x?b2y?(a?b)x?y2，指出等号成立的条件；

⑵利用⑴的结论求函数f(x)?解：（1）由均值不等式，得

(a2?（x?(0,)）的最小值，指出取最小值时x 的值．

2x2?b2y2)(x?y)?a?b?a222yx?b2xy?a?b?2a222yxb2xy2?(a?b)，

故

ax?by?(a?b)x?y2． 当且仅当a222yx?b2xy，即

ax

?

by

时上式取等号

（2）由（1）f(x)?22x322x?31?2x?15(2?3)22x?(1?2x)?25．

当且仅当?1?2x，即x?时上式取最小值，即[f(x)]min?25

5、解下列不等式:

(1)|x?3|?|2x?6|?3 (2)|x?1|?|2?x|?3?x (3)|x?2|?|x|?4

6.已知对于任意实数x,不等式|x?1|?|x?2|?k恒成立,求实数k的取值范围?

7.若不等式|x?1|?|x?1|?m的解集是非空数集,求实数m的取值范围?

8、若0?x?1，证明loga(1?x)?loga(1?x)（a?0 且a?1）． 解法1 （1）当a?1时，因为 0?1?x?1,1?x?1，

2所以 loga(1?x)?loga(1?x) ??loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)?0．

（2）当0?a?1时，因为 0?1?x?1,1?x?1

2所以 loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x) ?loga(1?x)?0．

2012年高考第二轮复习专题选讲演练 11

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综合（1）（2）知loga(1?x)?loga(1?x)．

解法2 作差比较法．

因为 loga(1?x)?loga(1?x)?1lgalg(1?x)lga?lg(1?x)lga2?1lga?lg(1?x)?lg(1?x)?

???lg(1?x)?lg(1?x)???1lgalg(1?x)?0， 所以loga(1?x)?loga(1?x)．

9、已知a、b、c?R?，a?b?c?1，求证

证明：∵a?b?c?1

∴

1a?1b?1c?a?b?caba??aa?b?cb?a?b?cc1a?1b?1c?9.

?(1?ba?ca)?(ab?1?cb)?(ac?bc?1)

?3?(baabcacb)?(?)?(? )bacbc∵?1a?21cbacacb??2， 同理：??2，??2。 abacbc?3?2?2?2?9.

∴

?1b?10、已知，x，y，z?R?，且x?y?z?1，求证x?证明：要证x?y?z?y?z?3．

3，只需证x?y?z?2(xy?xz?yz)?3，

xy，x?z?2xz，y?z?2x?y?z?yz， 3．

只需证xy?xz?yz?1．∵x，y，z?R?，∴x?y?2xz?yz)，∴

∴2(x?y?z)?2(xy?

xy?xz?yz?1成立．∴

2012年高考第二轮复习专题选讲演练 12

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