ch9无穷级数

第九章 无穷级数

一、教材分析

函数是微积分研究的对象，表示函数、研究函数的方法和工具很多，无穷级数就是我们表示函数、研究函数性态，及进行数值计算的一种有效的工具。无穷级数是逼近理论中的重要内容之一，也是微积分学的重要组成部分。如某些用初等方法难以解决的定积分的计算等也有重要的应用。

级数之所以是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数来表示；另一方面又可将函数表示为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。 二、教学要求

1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。 2. 了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与p-级数的敛散性，掌握正项级数的比值审敛法。

3. 了解交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系。

4. 了解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握简单幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性不作要求）。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求幂级数的和函数（只要求作简单训练）。

5. 会利用e，sinx，cosx，ln(1?x)与(1?x)?的麦克劳林（Maclaurin）展开式将

x一些简单的函数展开成幂级数。

6. 了解利用将函数展开为幂级数进行近似计算的思想。

7. 了解用三角函数逼近周期函数的思想，了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirichlet）条件，会将定义在(?π,π)和(?l,l)上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在(0,l)上的函数展开为傅里叶正弦或余弦级数。 三、教学内容及课时划分

§9—1 常数项级数的概念与性质 2课时 §9—2 常数项级数及其审敛法 4课时 §9—3 幂级数 3课时

41

§9—4 函数展开成泰勒级数 2课时 §9—5 傅里叶级数 3课时 §9—6 级数的应用举例 2课时 习题课 2课时 合计 18课时 四、本章知识结构图

定义 级数、部分和、交错级数、一般项级数收敛、余项、条件收敛、绝对收敛

性质 常数 无项穷级 级数数

有限项改变不影响敛散性 ?u,?vnn收敛???un?vn?收敛 加括号性 必要条件：?un收敛?limunn???0 部分和法 比较审敛法（包含极限形式） 正项级数 比值审敛法：limun?1?? n??unn

收敛判别法 一般项级数 交错级数 根值审敛法：limn??un?? 莱布尼茨定理 利用正项级数?绝对收敛 ???42

定义 函数项级数通项、收敛域、和函数、收敛区间 函数根值 项级数判别法则 阿贝尔判别法 与幂比值 级数 定义 泰勒级数 无f(n)(x穷唯一性：a0)n=级n! 数 展开条件 展开步骤 正交系 定义 展开步骤傅里叶系数、傅里叶级数 傅里叶级收敛定理 狄利克雷定理 数 在对称区间[??,?],[?l,l]上展开 傅里叶展开 在半区间[0,?],[0,l]上展开 奇偶函数展开 43

第一节 常数项级数的概念与性质

教学目的：

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念； 2．掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 教学重点、难点：

1．重点：级数收敛与发散概念

2．难点：用级数收敛性及基本性质判别一些级数的收敛性问题 教学课时：2 教学过程：

一、常数项级数的概念

设已给数列?un?：u1,u2,u3,?un,?，形如u1?u2?u3???un??的式子称为常数项无穷级数，简称级数，并简记为

?un?1?n，其中un叫做级数的一般项.

??11各项都是常数的级数叫做常数项级数，如?，?等.

n?1n!n?1n(n?1)?sinn?xxn各项是函数的级数，称为函数项级数，如?2，?等. n2n?1n?1n?作常数项级数的前n项的和sn?u1?u2?u3???un，sn称为级数的部分和.从而得一个新的数列：s1?u1，s2?u1?u2，s3?u1?u2?u3,?，sn?u1?u2?u3???un,?

定义 如果级数

?un?1?n的部分和数列?sn?有极限s，即limsn?s，则称级数

n???un?1?n是收

敛的，这时极限s叫做这级数的和，记为

?un?1?n?s.

如果?sn?没有极限，则称级数

?un?1?n发散.

称rn?s?sn为级数第n项以后的余项. 例1 写出级数

?n的部分和数列，并判断级数是否收敛.

n?1? 44

解： 由部分和数列的定义，得

s1?1，s2?1?2?3，?，sn?1?2?3???n?显然，limsn??，因此所给级数是发散的.

n??n(n?1),? 2例2 证明等比级数（几何级数）a?aq?aq2???aqn?1??(a?0)当q?1时收敛，当q?1时发散.

2n?1证明： 当q?1时其前n项和sn?a?aq?aq???aq1?qn ?a?1?q1?qna若q?1，则limq?0，于是limsn?lima，即当q?1时等比级数收?n??n??n??1?q1?qn敛，且其和为

a.当1?qq?1，则limq??.n??时，sn是无穷大量，级数发散.

n??n若q?1，则级数成为a?a?a??，于是sn?na,limsn??，级数发散.

n??若q??1，则级数成为a?a?a?a??，当n为奇数时，sn?a，而当n为偶数时，

sn?0.当n??时，sn无极限，所以级数也发散.

例3 证明级数

1?1 ?n(n?1)n?1111??，因此

n(n?1)nn?1?证明： 由于un?sn?1111?1?1??11??1， ??????1????????????1??1?22?3n(n?1)?2??23?nn?1n?1??当n??时，sn?1.所以级数

?n(n?1)?1.

n?1?1例4 一皮球从离开地面8米高的地方垂直下落，设每次从地面反弹后到达的高度是前次高度的

1，求： 3（1）皮球第10次反弹的高度； （2）皮球所经过的路程的总长度.

45

解： 设第n次反弹的高度是an，则由已知条件得，un?1?（1）由上式得到u1?1un. 38188,u2?u1?2,?,un?n,?,因而第10次反弹的高度为33338m. 310（2）u0?8，每次反弹所走的路程为2un(n?1)，皮球经过的总路程为

s?u0?2u1?2u2???2un?? 222?8??8?2?8???n?8??,333该级数从第二项开始是一个公比为

116、首项是的等比级数，因此 33s?8?1611(1????n?1??)333

161?8??1?16(m)31?3即皮球经过的总路程为16米. 二、收敛级数的基本性质

由级数收敛性定义，可得下面性质： 性质1若级数

?un?1?n收敛，其和为s，则对任意常数k，级数

?ku

n?1

?

n

收敛，且其和为ks，

即

?kun?1?n?k?un.

n?1?（级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不会改变.） 性质2 若级数

?u,?vnn?1n?1??n分别收敛于和s,?，即

?un?1??n?s,?vn??,则级数

n?1???(un?1?n?vn)也收敛，其和为s??.即有?(un?vn)=?un??vn.

n?1n?1n?1?（两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减） 推论 若级数

?u,?vnn?1n?1??n一个收敛一个发散，则级数

?(un?1?n?vn)一定发散.

例5 讨论下列级数的收敛性：

46

?2113（1）?(?n)；（2）?[n?()n]

24n?1nn?13?21解：（1）因级数?是发散的，而级数?n是收敛的等比级数，因而原级数是发散的；

n2n?1n?1?13（2）因级数?n和级数?()n都是收敛的等比级数，因而原级数收敛.

n?13n?14???性质3 改变级数中有限项的值不会改变级数的敛散性. 推论 级数中去掉或加进有限多项不改变级数的收敛性. 三、级数收敛的必要条件

定理 若级数

?un?1n?n收敛，则limun?0.

n??证： 设

?un?1n????s，即limsn?s，则limsn?1?s，所以

n??n??limun?lim(sn?sn?1)?limsn?limsn?1?s?s?0

n??n??n??推论 若级数

?un?1?n的一般项un，当n??时不趋于零，则此级数必发散.

例如级数

?(?1)n?1n?1?n就是发散的级数. n?1注：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件，比如调和级数

1? 它的一般项un?例6 证明调和级数

111??????, 23n1?0(n??)，但是它是发散的. n ??1??? ? ? ? ?? ? ? ? 是发散的.

1n?1n?1123?1n 证明 假若级数?1收敛且其和为s?s是它的部分和，显然有lims?s及lims?s，

n2nnn??n??n?1n于是lim(s2n?sn)?0.

n?? 但另一方面?

47

s2n?sn?1?1? ? ? ? ?1?1?1? ? ? ? ?1?1? n?1n?22n2n2n2n21必定发散.

n?1n?故lim(s2n?sn)?0? 矛盾.这矛盾说明级数?n??四、小结

本节主要是依据级数的定义及其性质判别级数的敛散性.如 (1)

???n?1nk?1n?1?n

??sn???k?1?k???2?1???3?2???4?3?????n?1?n?

?n?1?2???n???∴级数发散 (2) ?1??11?1??11??1?1????2?2???3?3?????n?n???

3??23?3??23??2?2??111??11?1?级数为??n?n???n??n，分别为等比级数且q?,

233?n?12n?1?2n?13∴原级数收敛 (3)

1111??3???n?? 33331n?un?五、作业

3?1(n??) ∴原级数发散

P189 2（1）（4），3（1）（3）（5）

第二节 常数项级数及其审敛法

教学目的：

掌握常数项级数收敛性的判别方法 教学重点、难点：

1．重点：正项级数收敛性的比较判别法和比值、根值判别法，交错级数的莱布尼兹判别法，绝对收敛与条件收敛的概念.

48

2．难点：正项级数的比较审敛法和任意项级数收敛性的判别方法 教学课时：4 教学过程：

一、 正项级数及其审敛法

每项均为非负的级数称为正项级数.

设级数u1?u2?u3???un??是一个正项级数(un?0)，它的部分和数列?sn?显然是一个单调增加数列：s1?s2?s3???sn??，从而有

定理 正项级数

?un?1?n收敛?它的部分和数列?sn?有界.

推论 如果正项级数

?un?1?n发散，则它的部分和数列sn??? (n??).

?定理（比较审敛法）设

?un?1?n和

?vn?1n是两个正项级数.

（1）如果级数

?vn?1??n收敛?且自某项起un?vn，则级数

?un?1??n也收敛?

（2）如果级数

?vn?1nn发散?且自某项起un?vn，则级数

?un?1n发散.

证： ⑴ 设

?vn?1???，由于改变级数中的有限项的值不会改变级数的收敛性，故不妨

?设从第一项起，就有un?vn，于是级数

?un?1n的部分和

sn?u1?u2???un?v1?v2???vn??(n?1,2,?)，

可见

?un?1?n的部分和数列有界，由定理1知

?un?1?n收敛.

⑵ 用反证法，设

?vn?1?n发散，且un?vn(n?1,2,?)，这时如果

??un?1?n收敛，则根据（1），

?vn?1?n应收敛，与题设矛盾，故

?un?1n发散.

例1 用比较审敛法判别下列级数的收敛性：

49

??3?(?1)n（1）?；（2） sin?nn52n?1n?1??3?(?1)n44?解：（1）因为0?，而级数收敛，故原级数也收敛； ?nnn22n?12（2）因为0?sin?5n??5n，而级数

?5n?1??n为收敛的等比级数，故原级数也收敛.

例2 讨论p?级数1?111??????的收敛性，其中常数p?0. ppp23n?111解： 设p?1，则p?，但调和级数发散，由定理2可知，当p?1时级数?pnnn?1n发散

设p?1，当n?1?x?n时，有

11?， ppnxnn1111?11?所以p?? (n?2,3,?) dx?dx???ppp?1p?1??n?1n?1p?1nnxn??(n?1)考虑级数

?11?????*? 其部分和 ??p?1p?1?n?n?2?(n?1)??1?1??11?11?sn??1?p?1???p?1?p?1?????p?1??1??1(n??)p?1?p?13?(n?1)?(n?1)?2??2?n故级数（*）收敛，由定理2知，级数

?nn?1?1p当p?1时收敛，综上，得

当p?级数，当p?1时收敛，当p?1时发散. 例3 判定下列级数的收敛性 （1）???11；（2）? 2n(n?1)n?1n(n?1)n?1?1111?1?1? ? ? ? ?1? ? ? ? 发散，

解：（1）因，而级数???n?1n(n?1)(n?1)2n?1n?1n?123故原级数发散；

?11（2）因?32，而级数?32收敛，故原级数收敛.

n?1nn(n2?1)n1 50

定理（比较审敛法的极限形式）设

?un?1?n和

?vn?1?n都是正项级数，如果

??un（1）lim?l,(0?l???)，且级数?vn收敛，则级数?un收敛；

n??vn?1n?1n??unun（2）lim且级数?vn发散，则级数?un发散. ?l?0或lim???，n??vn??vn?1n?1nn证明（1） 由极限定义可知，对于??1，?N，使当n?N时，有

un?l?1,，即vnun?(l?1)vn，再由比较审敛法可得级数?un收敛.

n?1?vn

（2）按已知条件可知极限lim存在，如果级数?un收敛，则由结论(1)必有级数

n??un?1n??????vn?1n收敛，但已知级数

?vn?1n发散，因此级数

?un?1n不可能收敛，即级数

?un?1n发散.

例4 判别级数

?sinn?1?1的收敛性 n

sin解： ∵limn??1n1n?1

∴由定理3知此级数发散. 例5 判别级数?ln(1?n?1?1)的收敛性

n2ln(1?12)?n?1? 而级数?12收敛，根据比较审敛法的极限形式，级数解： 因为 lim1n??n?1n2nn?11?2)收敛. ?ln(n定理 比值审敛法（达朗贝尔判别法）若正项级数

?1?un?1?n的后项与前项之比值的极限等

51

于?：limun?1u则当??1时，级数收敛；??1（或limn?1??）时级数发散；??1??，

n??un??unn时级数可能收敛也可能发散.

2n?n!例6 判别级数?的收敛性： nn?1n?un?12n?1?(n?1)!nn1?n?解： ∵ ???2??2???nn?1nun(n?1)2?n!?n?1??1??1???n?∴limnun?122?lim??1 nn??un??e?1?n1????n?故级数收敛. 例7 判别级数

1?1?2?1?2?3? ? ? ? ?n !? ? ? ? 的收敛性： 1010210310n解： 因为 lim散.

例8 判别级数

un?1(n?1)!n? limn?1?10? limn?1??? 根据比值审敛法可知所给级数发

n !n??10n??unn??101的收敛性：

(2n?1)?2nn???? 解： limun?1(2n?1)?2n? lim?1，这时??1? 比值审敛法失效? 必须用其它方法

n??unn??(2n?1)?(2n?2)来判别级数的收敛性.

?11?2? 而级数?12收敛? 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. 因为

(2n?1)?2nnn?1n?定理 根值审敛法（柯西判别法）设

?un?1n为正项级数，如果它的一般项un的n次根的

极限等于?：limnun??，则当??1时，级数收敛，??1（或limnun???）时级数

n??n??发散，??1时级数可能收敛也可能发散.

证明与定理4相仿，这里从略.

52

?n?例9 判别级数???的收敛性：

n?1?2n?1?解： limnun?limn???nn1??1,所以级数收敛.

n??2n?122?(?1)n例10 判定级数?的收敛性： n2n?1解： 因为 limnun?limn????1n2?(?1)n?1? 所以? 根据根值审敛法知所给级数收敛.

2n??2an例11 讨论级数?p的收敛性，其中a,p为常数，且a?0.

n?1nna解： 根据根值审敛法，由于limnun?limnp?a，

n??n??n所以当a?1时，级数收敛；当a?1时，级数发散；当a?1时，所给级数是p级数，故仅当p?1时级数收敛.

归纳以上结果可得：当a?1时，或者当a?1，p?1时，级数收敛，否则级数发散. 二、交错级数及其审敛法

一个级数的各项如果是正负相间的就叫做交错级数.若un?0（un?0也一样）

n?1,2,3?，则u1?u2?u3?u4???(?1)n?1un??就是一个交错级数.

定理 交错级数审敛法（莱布尼茨定理）如果交错级数的一般项满足以下两个条件： （1）un?1?un(n?1,2,?)； （2）limun?0.

n???(?1)n?1?n?1un(un?0)

那么级数

?(?1)n?1?n?1un收敛，且其和s?u1.

证； 先证前2n项的和s2n的极限存在，

s2n?(u1?u2)?(u3?u4)?...?(u2n?1?u2n)?{s2n}?（括号非负）

又s2n?u1?(u2?u3)?(u4?u5)???(u2n?2?u2n?1)?u2n?s2n?u1

53

?lims2n?s?u1

n??lims2n?1?lim(s2n?u2n?1)?s

n??n??故 limsn?s?u1.

n??1111?????(?1)n?1??收敛. 234n1111?un?1(n?1,2,?)及limun?lim?0 证： un??0 un??n??n??nnnn?1例12 证明交错级数1?由莱氏判别法，知

?(?1)n?1n?1?1收敛，且其和s?1. n三、绝对收敛与条件收敛

级数

?|un?1n?n|收敛? 则称级数?un绝对收敛? 若级数?un收敛? 而级数?|un|发散?

n?1n?1n?1???则称级

?un?1?条件收敛.

例如 级数?(?1)n?1??n?1?1是绝对收敛的? 而级数(?1)n?11是条件收敛的.

?nn2n?1?定理 如果级数

?un?1n绝对收敛? 则级数

?un?1n必定收敛.

值得注意的问题? 如果级数

?|un?1?n|发散? 我们不能断定级数?un也发散.

n?1? 但是? 如果我们用比值法或根值法判定级数

?|un?1?n|发散? 则我们可以断定级数?unn?1?必定发散.这是因为? 此时|un|不趋向于零? 从而un也不趋向于零? 因此级数散的.

例13 判别级数??un?1?n也是发

sinna的收敛性.

2n?1n

??1是收敛的? sinna1 解： 因为|? 而级数|??2n2n2n?1n 54

?sinnasinna绝对收敛.

所以级数?|2|也收敛? 从而级数?2n?1nn?1n?? 例14 判别级数?(?1)nn?11(1?1)n2的收敛性.

n2n 解： 由|un|?11n211n1n|u|?(1?)limlim(1?)?e?1? ? 有nn??2nn2n??n2?可知limun?0? 因此级数?(?1)nn??n?11(1?1)n2发散.

n2n四、小结

1. 级数收敛的必要条件是其一般项趋于0，因此，如果一般项不趋于0，级数一定发散.但是，一般项趋于0的级数未必收敛，如

1的通项趋于0，但调和级数发散. ?n?1n?2．正项级数的部分和sn单调增加，所以如果证明了sn有上界，则正项级数收敛. 3．三个重要的级数： (1) p?级数：

1 p?1（发散） p?1（收敛） ?pn?1n?(2) 几何级数：

?aqn?1?n?1 q?1（发散） q?1（收敛）

(3)

?(?1)n?1?n?11收敛 n4．正项级数的审敛法是：

比较法，比较法的极限形式，比值法，根值法.

5．交错级数有莱氏判别法；任意项级数有绝对值判别法. 五、作业

P198 1（1）（3）（5），2（2）（4），3（2）（4），4（1）（3）

55

第三节 幂级数

教学目的：

1．了解函数项级数的收敛域、和函数的概念；

2．掌握幂级数以及幂级数的收敛半径、收敛区间的概念和求法； 3．理解幂级数的运算以及和函数的性质. 教学重点、难点：

1．重点：幂级数收敛半径、收敛域的求法.

2．难点：缺项幂级数收敛半径的求法以及如何利用和函数的性质求幂级数的和函数. 教学课时：3 教学过程：

一、函数项级数的概念

如果级数u1(x)?u2(x)?u3(x)???un(x)??的各项都是定义在某区间I中的函数，就叫做函数项级数.当自变量x取特定值，如x?x0?I时，级数变成一个常数项级数

?un?1?n(x0).如果这个数项级数收敛，称x0为函数项级数?un(x)的收敛点，如发散，称x0n?1?为发散点，一个函数项级数的收敛点的全体构成它的收敛域.

在收敛域上? 函数项级数?un(x)的和是x的函数s?x??s?x?称为函数项级数?un(x)n?1n?1???的和函数? 并写成s(x)??un(x).和函数的定义域就是级数的收敛域.

n?1? 例如，函数项级数

和函数为?xn?1?x?x2???xn??的收敛域为(?1,1)，

n?01. 1?x二、幂级数及其收敛性

函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数? 这种形式的级数称为幂级数? 它的形式是

?axnn?0?n?a0?a1x?a2x2???anxn?? （*）

其中常数a0,a1,?,an,?叫做幂级数的系数.

56

例如1?x?x???x??，1?x? 注? 幂级数的一般形式是

2n121x???xn?? 都是幂级数. 2!n!?a(x?x)n0n?0?n?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2???an(x?x0)n??,

经变换t?x?x0就可化为幂级数

??atnn?0?n.

从简单的一个幂级数

?xn?0n?1?x?x2???xn??当x?1时收敛；当x?1时发散

出发，它的收敛域是以0为中心，半径为1的对称区间.一般地，我们有下面的定理：

定理 幂级数

?an?0?nxn的收敛性必为下列三种情形之一：

（1） 仅在x?0处收敛；

（2） 在(??,??)内处处绝对都收敛；

（3） 存在确定的正数R，当|x|?R时绝对收敛，当|x|?R时发散.

正数R通常叫做幂级数

?an?0?nxn的收敛半径，开区间(?R,R)叫做幂级数的收敛区间.

?再由幂级数在x??R处的收敛性就可以决定它的收敛域.幂级数

n?0?anxn的收敛域是

(?R,R),(?R,R],[?R,R),[?R,R]之一.

规定? 若幂级数

n?0?anx?n只在x?0收敛? 则规定收敛半径R?0；若幂级数?anxn对

n?0?一切x都收敛? 则规定收敛半径R???，这时收敛域为(??, ??).

关于收敛半径的求法有如下定理： 定理 设有幂级数

?anxn，其收敛半径为R，如果极限limn?0?an?1??(0?????)，

n??an那么 ⑴ 当0?????时，则R?1?；

57

⑵ 当??0时，则R???； ⑶ 当????时，则R?0.

证： 考察幂级数

?an?0?nxn的各项取绝对值所成的级数

|a0|?|a1x|?|a2x2|???|anxn|??.

这级数相邻两项之比为

|an?1xn?1|an?1?|||x|.

|anxn|an（1）如果lim|n??an?11|??(??0)存在，根据比值审敛法，则当?|x|?1即|x|?时，

?an级数收敛，从而级数

?anxn绝对收敛；当?|x|?1即|x|?n?0?1?时，级数发散并且从某一个n开始|an?1xn?1|?|anxn|，因此一般项|anxn|不能趋于零，所以anxn也不能趋于零，从而级数

?anxn发散，于是收敛半径R?n?0?1?.

|an?1xn?1|(2) 如果??0，则任何x?0，有?0(n??)，所以级数收敛，从而级数

|anxn|?an?0?nxn绝对收敛.于是R???.

? (3) 如果????，则对于除x?0外的其他一切x值，级数

?an?0nxn必发散，于是

R?0.

例1 求下列各幂级数的收敛域

??xn1xn⑴ ?;(2) ?;(3) ?n!xn

n?0n?0n!n?0n?解： (1)因为liman?1n??an1?limn?1?1，所以R?1 n??1n 58

当x?1时，级数成为

?n（发散）

n?0?1(?1)n当x??1时，级数成为?（收敛）

nn?0?∴收敛域为[?1,1).

1a(n?1)! ? limn!?0? (2) 因为?? lim|n?1| ? limn??ann??n??(n?1)!1n!所以收敛半径为R???,从而收敛域为(-?, ). (3)因为?? lim|n??an?1(n?1)!| ? lim???? n??ann!所以收敛半径为R=0即级数仅在x=0处收敛. 例2 求幂级数

2n?12n?2的收敛域. x?n2n?1?解： 因为级数中只出现x的偶次幂，所以不能直接用定理来求R.

2n?12nxn?1un?1(x)x22n?12n?22?lim?x可设un?，由比值法lim

n??u(x)n??2n?12n?222nnx2nx2?1，即x?2，幂级数绝对收敛， 可知当2x2?1，即x?2，幂级数发散，故R?2. 当2当x??2时，级数成为

2n?1，它是发散的，因此该幂级数的收敛域是(?2,2). ?n2n?1n??幂级数一般形式

?an?0?n(x?x0)的讨论，可用变换x?x0?y，使之成为?anyn进行.

n?0(x?1)n例3 求幂级数?n的收敛域.

n?12n? 59

nnan?1t2| ?n?1?n?1? 解 令t?x?1? 上述级数变为?n，因为 ?? lim|n??an2?(n?1)2n?12n?所以收敛半径R?2.

?(?1)1 当t?2时? 级数成为?? 此级数发散? 当t??2时，级数成为?? 此级数收敛.

nnn?1n?1?nt因此级数?n的收敛域为?2?t?2，因为?2?x?1?2即?1?x?3，所以原级数的收n?12n?敛域为[?1,3).

三、幂级数的运算与性质

1.幂级数的加减运算 设幂级数

?axnn?0?n?a0?a1x?a2x2???anxn??

及

?bxnn?0?n?b0?b1x?b2x2???bnxn??

分别在区间(?R1,R1)及(?R2,R2)内收敛,令R?min{R1,R2}，对于这两个幂级数，有加减法：

?ax??bx??(annnnn?0n?0n?0???n?bn)xn在(?R,R)内成立.

5n+3nn例4 求幂级数?x的收敛区间. 2nn=1￥ 解：因幂级数

?￥n=1￥11115nn3nn(-,),(-,)，故原级数的收及的收敛区间分别为xx?225533nn=1n敛区间为(-11,). 552.幂级数和函数的性质 性质1 设幂级数

?an?0?nxn的收敛半径为R(R>0)，则其和函数s(x)在收敛区间

(-R,R)内连续.（连续性）

性质2 设幂级数

?an?0?nxn的收敛半径为R(R>0)，则其和函数s(x)在收敛区间

60

(-R,R)内可积，并有逐项积分公式

?x0s(x)dx??[?anx]dx???anxdx??nn0n?0n?00x??xann?1x,

n?0n?1?并且逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径和收敛区间.（可积性）

性质3 设幂级数

?a?n的收敛半径为R(R>0)，则其和函数s(x)在收敛区间xnn?0(-R,R)内可导，且有逐项求导公式

?s?(x)?(?an?n?nx)???(anx)???nanxn?1,|x|?R

n?0n?0n?1逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径和收敛区间.（可导性） 注：幂级数的和函数在其收敛区间内有任意阶导数.

?xn例5 求幂级数??1的和函数.

n?0n解： 先求收敛域，由liman?1a|?limn?1. n??|?1得收敛半径R=1nn??n?2??在端点x=-1处，幂级数成为(?1)n，是收敛的交错级数；

n?0n?1?在端点x=1处，幂级数成为

?1n?1，是发散的，因此收敛域为[-1,1].

n?0￥s(x)，即s(x)=?xn设和函数为+1,x?[1,1),于是xs(x)=n=0n?￥xn+1n+1. n=0利用性质3，逐项求导，并由

11?x?1?x?x2???xn??,(?1?x?1) ??得 [xs(x)]???(xn?1)???xn?1n?0n?1n?01?x(|x|?1)

对上式从0到x积分，得xs(x)=òx101-xdx=-ln(1-x),(-1＃x1).

于是，当x?0时，有s(x)=-1xln(1-x)， 而s(0)可由s(0)=a0=1得出， 故

61

?1??ln(1?x),x?[?1,0)?(0,1), s(x)??x??1,x?0 例6 求幂级数

?￥(n+1)x2n在收敛区间内的和函数.

n=0 解：由于幂级数缺少奇次幂项，故直接用正项级数的比值审敛法求收敛区间.

|(n+2)x2(n+1)|n+222 lim=lim|x|=|x|2nnn|(n+1)x|n+1当|x|2<1即|x|<1时，幂级数（绝对）收敛；当|x|31时，幂级数的一般项(n+1)x2n不趋于零，故幂级数发散.因此幂级数的收敛区间为(-1,1).

2 为求得和函数，令x=t，原级数成为

￥?￥(n+1)tn，

n=0并设s(t)=?(n+1)tn,(t [0,1)),

1)积分，并利用逐项积分公式，得

n=0将上式从0到t(0?t

蝌s(t)dt=0t邋n=0ゥt0(n+1)tndt=n=0tn+1=￥t, 1-t1(1-t)2再将上式对t求导，得s(t)=￥1(1-t)2，即有

?(n+1)tn=.

n=0 即

?(n+1)x2n=n=01(1-x2)2(x?(1,1)).

四、小结

对于缺项幂级数，例如只含偶次幂或只含奇次幂项的幂级数，其收敛半径可利用正项级数的比值审敛法或者根值审敛法直接求得.

幂级数与通过逐项求导和逐项积分后所得到的新的幂级数有着相同的收敛半径和收敛区间，但收敛域可能会有所不同. 五、作业

P206 1(1)(3)(5),2(1)(2)

62

第四节 函数展开成泰勒级数

教学目的：

1.了解函数的泰勒级数和麦克劳林级数的概念； 2.了解函数展开为泰勒级数的条件；

3．掌握ex,sinx,cosx，ln(1?x)和(1?x)m的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数. 教学重点、难点：

1．重点：ex,sinx,cosx，ln(1?x)和(1?x)m的麦克劳林展开式. 2．难点：利用间接法把函数展开成泰勒级数. 教学课时 2 教学过程： 一、泰勒公式

对于一些较复杂的函数? 为了便于研究? 往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于用多项式表示的函数? 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算? 便能求出它的函数值? 因此我们经常用多项式来近似表达函数.

设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数? 现在我们希望做的是? 找出一个关于(x-x0)的n次多项式

pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+?+an(x-x0)n

来近似表达f(x)，要求pn(x)与f(x)之差是比(x-x0)n高阶的无穷小,并给出误 差|f(x)-pn(x)|的具体表达式.

我们自然希望pn(x)与f(x)在x0的各阶导数(直到(n+1)阶导数)相等,这样 就有

pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+?+an(x-x0)n，

pn￠(x)=a1+2a2(x-x0)+?+nan(x-x0)n-1，

(x)=2a2+3?2a3(x pnⅱ ? ? ? ? ? ? ?

x0)+?+n?(n1)an(x-x0)n-2，

63

pn(n)(x)=n!an.

于是

(x0)=a1,pn (x0)=2!a2,?pn pn(x0)=a0,pnⅱ按要求有

(n)(x0)=n!an

f(x0)=pn(x0)=a0,fⅱ(x0)=pnⅱ(x0)=a1,f (x0)=pn (x0)=2!a2,?,

f(n)(x0)=pn(n)(x0)=n!an.

从而有

an=于是就有

1(n)f(x0) n!f??(x0)f(n)(x0)2pn(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)? ? ? ? ?(x?x0)n

2!n!该多项式称为函数f(x)按(x-x0)的幂展开的n次泰勒多项式.

11(n)f (x0)(x-x0)2+?+f(x0)(x-x0)n+Rn(x)2!n!f(n?1)(?)称为f(x)按(x-x0)的幂展开的n阶泰勒公式，其中Rn(x)?(x?x0)n?1(?介于x与f(x)=f(x0)+fⅱ(x0)(x-x0)+(n?1)!x0之间)称为拉格朗日型余项.

当x0=0时的泰勒公式称为麦克劳林公式? 就是

f??(0)2f(n)(0)nx???x?Rn(x)? f(x)?f(0)?f?(0)x?2!n!f(n?1)(?)n?1其中Rn(x)?x.

(n?1)!由此得近似公式?

f??(0)2f(n)(0)nx???x. f(x)?f(0)?f?(0)x?2!n!二、函数展开成幂级数

给定函数f(x)? 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”? 就是说? 是否能找到这样一个幂级数? 它在某区间内收敛? 且其和恰好就是给定的函数f(x).如果能找到这样

64

的幂级数? 我们就说? 函数f(x)在该区间内能展开成幂级数? 或简单地说函数f(x)能展开成幂级数? 而该级数在收敛区间内就表达了函数f(x).

泰勒多项式? 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数? 则在该邻域内近似等于 f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)(x?x0)2? ? ? ? 2!f(n)(x0)(x?x0)n?Rn(x)? ?n!f(n?1)(?)(x?x0)n?1(?介于x与x0之间). 其中Rn(x)?(n?1)!(n) 泰勒级数? 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f?(x),f??(x),?f(x),?? 则

当n??时? f(x)在点x0的泰勒多项式

f??(x0)f(n)(x0)2(x?x0)? ? ? ? ?(x?x0)n pn(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?2!n!成为幂级数

f??(x0)f???(x0)f(n)(x0)23f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)?(x?x0)? ? ? ? ?(x?x0)n? ? ? ?

2!3!n!这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数.

需回答的问题? 除x=x0外? f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛? 它是否一定收敛于f(x)?

定理 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数? 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n零? 即

n??时的极限为

limRn(x)?0 (x?U(x0)).

麦克劳林级数? 在泰勒级数中取x0=0? 得

f??(0)2f(n)(0)nx? ? ? ? ?x? ? ? ?? f(0)?f?(0)x?2!n!此级数称为f(x)的麦克劳林级数.

65

应注意的问题? 如果f(x)能展开成x的幂级数? 那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数. 但是? 反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x0=0的某邻域内收敛? 它却不一定收敛于f(x).因此? 如果f(x)在点x0=0处具有各阶导数? 则f(x)的麦克劳林级数虽然能做出来? 但这个级数是否在某个区间内收敛? 以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察. 三、直接展开法

函数展开成幂级数步骤?

第一步 求出f(x)的各阶导数?fⅱ(x),f (x),?,f(n)(x),? 第二步 求函数及其各阶导数在x=0处的值? f(0),fⅱ(0),f (0),?,f(n)(0),? 第三步 写出幂级数f(0)?f?(0)x?f??(0)2f(n)(0)nx? ? ? ? ?x? ? ? ? ? 并求出收敛半径R. 2!n!第四步 考察在区间(-R,R)内时是否

f(n?1)(?)n?1

x limRn(x)?lim

n??n??(n?1)!是否为零.如果Rn(x)0(n )，则f(x)在(-R,R)内有展开式

fⅱ(0)2f(n)(0)n(0)x+x+?+x+?(-R

1+x+(n)x(x)?ex(n?1,2,?)? 因此f(n)(x)?0(n?1,2,?)于是

121x+?xn+?? 2!n!它的收敛半径R???.

对于任何有限的数x,?(?介于0与x之间)? 有

n?1?en?1|x||x|x| ?e? |Rn(x)| ?|? (n?1)!(n?1)!|x|n?1?0? 所以 lim|Rn(x)|?0? 从而有展开式 而 limn??n??(n?1)! 66

e?1?x?x121x? ? ? ? xn? ? ? ?2!n! (???x???).

例2 将函数f(x)?sinx展开成x的幂级数. 解 因为f(n)(x)?sin(x?n? ?)(n?0,1,2,?)? 所以f(n)(0)顺序循环地取20,1,?0,?1,，于是得级数

x3x5x2n?1n?1 x?????(?1)???

3!5!(2n?1)!它的收敛半径为R???.

对于任何有限的数x,?(?介于0与x之间)? 有

sin[?? |Rn(x)| ?|因此得展开式

(n?1)?]|x|n?1n?12x| ??0(n??)，

(n?1)!(n?1)!x3x5x2n?1n?1 sinx?x?????(?1)??(???x???).

3!5!(2n?1)! 例3 将函数f(x)=(1+x)展开成x的幂级数? 其中m为任意常数.

解 f(x)的各阶导数为

mf￠(x)=m(1+x)m-1，

fⅱ(x)=m(m-1)(1+x)m-2， ??，

f(n)(x)=m(m-1)(m-2)?(m-n+1)(1+x)m-n，

??，

f(0)?1,f?(0)?m,f??(0)?m(m?1),?,f(n)(0)?m(m?1)(m?2)?(m?n?1),?

于是得幂级数 1+mx+可以证明

m(m-1)2m(m-1)?(m-n+1)nx+?+x+?. 2!n! 67

(1+x)=1+mx+四、间接展开法

mm(m-1)2m(m-1)?(m-n+1)nx+?+x+?(-1

x3x5x2n-1n-1 sinx=x-+-?+(-1)+? (-?3!5!(2n-1)!对上式两边求导得

2nx2x4nx cosx=1-+-?+(-1)+?2!4!(2n)!x<+ ).

(-?x<+ ).

例5 将函数f(x)? 解： 因为

21展开成x的幂级数. 1?x21?1?x?x2? ? ? ? ?xn? ? ? ? (?1?x?1)? 1?x把x换成?x? 得

1?1?x2?x4???(?1)nx2n??(?1?x?1) 21?x 例6 将函数f(x)?ln(1?x)展开成x的幂级数.

[ln(1+x)]￠dx= 解：f(x)=ln(1+x)=蝌0xx01dx 1+x =òx0xn+1[邋(-1)x]dx=(-1)(-1

n+1n=0n=0ゥnnn 上述展开式对x=1也成立? 这是因为上式右端的幂级数当x=1时收敛? 而ln(1+x)在x=1处有定义且连续.

例7 将函数f(x)?sinx展开成(x?)的幂级数.

?4 解： 因为

sinx?sin[?(x?)]???442[cos(x??)?sin(x??)]?

244并且有 cos(x??4)?1?1?1?(x?)2?(x?)4??(???x???)? 2!44!4 68

sin(x???1?1?)?(x?)?(x?)3?(x?)5??(???x???)? 443!45!42?1?1?[1?(x?)?(x?)2?(x?)3??] (???x???). 242!43!4所以 sinx?1展开成x?1的幂级数.

x2?4x?31111??1?1?? 解： f(x)?2 x?4x?3(x?1)(x?3)2(1?x)2(3?x)4(1?x?1)8(1?x?1)24 例8 将函数f(x)?nn??11n(x?1)n(x?1)??(?1) ??(?1)4n?08n?02n4n? ??(?1)(2nn?01n?2?2n)(x?1) (?1?x?3). 2n?31提示? 1?x?2?(x?1)?2(1?x?1)?3?x?4?(x?1)?4(1?x?1). 24?(x?1)n1x?1?1)? n ??(?1) (?1?22n1?x?1n?02?(x?1)n1x?1?1)? n ??(?1) (?1?44n1?x?1n?04x?1?1和?1?x?1?1得?1?x?3.

收敛域的确定? 由?1?24五、小结

将函数展开成幂级数有较大的应用价值，通过直接展开和间接展开的方法，我们需熟记下列展开式：

1?1?x?x2???xn?? (?1?x?1)? 1?x11ex?1?x?x2???xn?? (???x???)?

2!n!x3x5x2n?1n?1sinx?x?????(?1)?? (???x???)?

3!5!(2n?1)!2nx2x4nxcosx?1?????(?1)?? (???x???)? 2!4!(2n)!n?1x2x3x4nxln(1?x)?x??????(?1)??(?1?x?1)? 234n?1 69

(1+x)m=1+mx+m(m-1)2m(m-1)?(m-n+1)nx+?+x+?(-1

P211 1（1）（3）（5），P212 2（2）

第五节 傅里叶级数

教学目的：

1.了解周期为2?的可积周期函数的傅里叶系数的计算公式； 2.了解傅里叶级数的收敛定理及f(x)的傅里叶级数的收敛情况； 3.会将周期为2?和2l的周期函数展开成傅里叶级数；

4.会将定义在有限区间上的函数展开成傅里叶级数及按要求展开成正弦级数或余弦级数.

教学重点、难点:

1. 重点：如何将周期为2?和2l的周期函数展开成傅里叶级数及按要求展开成正弦级数或余弦级数.

2. 难点：傅里叶级数的狄利克雷收敛定理. 教学课时：3 教学过程：

一、三角级数及三角函数系的正交性

正弦函数是一种常见的而简单的函数，例如描述简谐振动的函数

y?Asin(?t??)

就是一个以

2?为周期的正弦函数.其中y表示动点的位置，t表示时间，A为振幅，?为?角频率，?为初相.

在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦函数，它们反映了叫复杂的周期运动.例如电子技术中常用的周期为T的矩形波.

70

具体的说将周期为T???2???的周期函数用一系列以T为周期的正弦函数

???Ansin?n?t??n?组成的级数来表示，记为

f?t??A0??Ansin?n?t??n? （1）

n?1?其中A0,An,?n?n?1,2,3,??都是常数.

将周期函数按上述方式展开，它的物理意义很明显，这就是把一个比较复杂的周期运动看成许多不同运动的叠加，为了以后讨论方便起见，我们将正弦函数按三角公式变形得

Ansin?n?t??n??Ansin?ncosn?t?Ancos?nsinn?t,

并令

a0?A0,an?Ansin?n,bn?Ancos?n,?t?x,则（1）式右端的级数就可以写成 2a0????ancosnx?bnsinnx? （2） 2n?1一般的，形如（2）的式的级数叫三角级数，其中a0,an,bn?n?1,2,3,??都是常数. 如同讨论幂级数是一样，我们必须讨论三角级数（2）的收敛问题，以及给定周期为2的周期函数如何把它展开成三角级数（2）为此，我们首先介绍三角函数系的正交性.

所谓三角函数系

1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,?,cosnx,sinnx,? （3）

在区间???,??上正交，就是指在三角函数系（3）中任何不同的两个函数的乘积在区间

???,??上的积分等于零，即

??cosnxdx?0?n?1,2,3,??

????sinnxdx?0?n?1,2,3,??,???sinkxcosnxdx?0?k,n?1,2,3,?k?n? ???coskxsinnxdx?0?k,n?1,2,3,?k?n????sinkxsinnxdx?0?k,n?1,2,3,?k?n??????以上等式，都可以通过计算定积分来验证，现将第四式验证如下 利用三角学中积化和差的公式

71

coskxcosnx?当k?n时，有

1?cos?k?n?x?cos?k?n?x??, 2?????coskxcosnxdx?1?cos?k?n?x?cos?k?n?x?dx ??????2?1?sin?k?n?xsin?k?n?x????? 2?k?nk?n???

?0?k,n?1,2,3,?,k?n?其余不证.

在三角函数系（3）中，两个相同函数的乘积在区间上的积分不等于零，即

????12dx?2?

?2???sinnxdx??,??cosnxdx??(n?1,2,3?)

??2二、以2?为周期的周期函数的傅里叶级数

若以2?为周期的函数f(x)可展为三角函数，即

a0?f(x)???(akcoskx?bksinkx)， （4）

2k?1我们假设上式可以逐项积分. 先求a0,对上式从??到?逐项积分：

??f?x?dx??????????a0dx???ak?coskxdx?bk?sinkxdx?

???????2k?1?根据三角函数（3）的正交性，等式右除第一项，其余都为零，所以于是得

????f?x?dx?a0?2? 2a0?1???f?x?dx

??其次求an用cosnx乘（4）式两端，再从??到?逐项积分，我们得到

??f?x?cosnxdx??a?02???ak?coskxcosnxdx?bk?sinkxsinnxdx????cosnxdx?????????k?1???

根据三角函数系（3）的正交性等式右端除k?n的一项处，其余各项均为零，所以

????f?x?cosnxdx?an?cos2nxdx?an?,

??? 72

于是得

1??a?f(x)cosnxdx(n?0,1,2,?)??n???? ??1?b?f(x)sinnxdx(n?1,2,?)n??????如果（5）式的积分都存在，这时它们的系数叫函数的傅里叶系数，将这些系数代入（4）

a0?式右，所得的三角级数???ancosnx?bnsinnx?叫做傅里叶级数.

2n?1定理（Diriclilet收敛定理） 设f(x)是周期为2?的周期函数，如果它满足： ⑴ 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 ⑵ 在一个周期内至多只有有限个极值点，

则f(x)的傅里叶级数收敛，且当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)；当x是f(x)的间断点时，级数收敛于

1???f(x)?f(x)??. 2?例1 设f(x)是周期为2?的周期函数? 它在[??,?)上的表达式为

f(x)????1 ???x?0 ，将f(x)展开成傅里叶级数.

1 0?x??? 解： 所给函数满足收敛定理的条件? 它在点x?k?(k?0,?1,?2,?)处不连续? 在其它点处连续? 从而由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛? 并且当x?k?时收敛于 [f(x?0)?f(x?0)]?(?1?1)?0? 当x?k?时级数收敛于f(x). 傅里叶系数计算如下?

1212 an?????1?f(x)cosnxdx?????10(?1)cosnxdx?0????1?01?cosnxdx?0(n?0,1,2,?)；

?0 bn?????1?f(x)sinnxdx?1?(?1)sinnxdx?1?1?sinnxdx

??1cosnx]0?1[?cosnx]??1[1?cosn??cosn??1] ?n???n0n??2?4 n?1, 3, 5, ? ? ?n[1?(?1)]??n? ? n???0 n?2, 4, 6, ? ? ? ?[ 73

于是f(x)的傅里叶级数展开式为 f(x)?11[sinx?sin3x???sin(2k?1)x??] ?32k?14(???x??;x?0,??,?2?,?)

三、定义在有界区间上的函数的傅里叶级数

周期延拓? 设f(x)只在[??,?]上有定义? 我们可以在[??,?)或(??,?]外补充函数

f(x)的定义? 使它拓广成周期为2?的周期函数F(x)? 在(??,?)内? F(x)?f(x).

例2 将函数

f(x)??展开成傅里叶级数.

解： 所给函数在区间[??,?]上满足收敛定理的条件? 并且拓广为周期函数时? 它在每一点x处都连续? 因此拓广的周期函数的傅里叶级数在[??,?]上收敛于f(x). 傅里叶系数为? a0? an???x ???x?0

x 0?x???????1?f(x)dx?1?(?x)dx?1?xdx???

0?????0????1?f(x)cosnxdx?1?(?x)cosnxdx?1?xcosnxdx

0?????04???2 n?1, 3, 5, ? ? ?2 ?2(cosn??1)??n?n???0 n?2, 4, 6, ? ? ?1?101? bn??f(x)sinnxdx??(?x)sinnxdx??xsinnxdx?0???????0于是f(x)的傅里叶级数展开式为 f(x)?(n?1,2?).

?411?(cosx?2cos3x?2cos5x??)(???x??). 2?35正弦级数和余弦级数：

当f(x)为奇函数时，f(x)cosnx是奇函数，f(x)sinnx是偶函数，故

a0?0?n?0,1,2,3,??bn?f?x?sinnxdx?n?1,2,3,????02? （5）

即知奇函数的傅里叶级数是含有正弦项的正弦级数

74

?bsinnx. （6）

nn?1?当f(x)为偶函数时，f(x)cosnx是偶函数，f(x)sinnx是奇函数，故

an???2?0f(x)cosnxdx?n?0,1,2,??, （7）

bn?0?n?1,2,3,??.即知偶函数的傅里叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数

a?02??ancosnx. n?1例3 将函数f(x)?x?1(0?x??)分别展开成正弦级数和余弦级数. 解： 先求正弦级数.为此对函数f(x)进行奇延拓.按公式（5）有 b?n?2??0f?x?sinnxdx?2???0?x?1?sinnxdx

??2??????x?1?xcosnxsinnx?n?n2? ?0?2n??1????1?cosn?? ?2.??2,n?????n?1,3,5,?

????2n,n?2,4,6,?将求得bn的代入（6）得

x?1?2???????2?sinx??2sin2x?13???2?sin3x???4sin4x?????0?x???在端点x?0及x??处级数的和显然为零，它不代表原来函数的值 再求余弦级数.为此对f(x)进行偶延拓.按公式（7）有

an???0?x?1?cosnxdx2??x?1??

???sinnx?cosnx??nn2??0

（8） 75

?2n2??cosn??1?

?0,n?2,4,6,????4,n?1,3,5,? ???n2?a0?2???0?2?x2?x?1?dx???x????2

??2?0?将所求得的代入余弦级数（8）得

x?1??2?1?4?11?cosx?cos3x?cos5x??????3252?

?0?x???四、一般周期函数的傅里叶级数

若f(x)的周期为T?2l，则有

a0?n?xn?xf(x)???(ancos?bnsin)，

2n?1ll其中

1ln?xf(x)cosdx(n?0,1,2,?)l??ll

1ln?xbn??f(x)sindx(n?1,2,?)l?llan?（只需作变量代换z??x） l当f(x)为奇函数时，f(x)??bnsinn?1?n?x，其中 l2ln?xbn??f(x)sindx(n?1,2,?)

l0la0?n?x当f(x)为偶函数时，f(x)?，其中 ??ancos2n?1lan?2ln?xf(x)cosdxl?0l(n?0,1,2,?)

注：当f(x)定义在?0,l?上时，要先对f(x)进行奇偶延拓，再周期延拓可将f(x)展开成正弦级数或余弦级数.

例4设f(x)是周期为4的周期函数? 它在[?2,2)上的表达式为

76

f(x)???0 ?2?x?0?k 0?x?2(k?0)

将f(x)展开成傅里叶级数.

12n?xkn?x2dx?[sin]0?0(n?0)? 解： 这里l?2，an??kcos202n?202 a0?1?0dx?1?kdx?k?

2?220?2k12n?xkn?x2k?, n?1, 3, 5,? bn??ksin dx?[?cos]0?(1?cosn?)??n?022n?2n???0, n?2, 4, 6,?于是

f(x)?k2k?x13?x15?x?(sin?sin?sin??) 2?23252(x?0,?2;?4,?)

四、小结

本节主要讨论了将周期为2?和2l的周期函数展开成傅里叶级数及按要求展开成正弦级数或余弦级数. 五、作业

P221 1，3，5

第六节 级数的应用举例

教学目的：

1. 了解为什么幂级数可以用来计算函数值和定积分的近似值；

2. 了解近似计算中截断误差和舍入误差的概念，并了解对这两种误差的控制和估计. 教学重点、难点：

1. 重点：如何利用函数的幂级数的展开式进行近似计算. 2. 难点：近似计算中的误差控制和估计. 教学课时：2 教学过程： 一、近似计算

77

例1 计算5240的近似值? 要求误差不超过0?0001.

1)1/5? 所以在二项展开式中取m?1? x??1? 即得

53434111?411?4?91?????). 5240?3(1??4?2535?2!3853?3!312 解： 因为5240?5243?3?3(1?这个级数收敛很快.取前两项的和作为5240的近似值? 其误差(也叫做截断误差)为

1?411?4?911?4?9?141?8?3?12??16??) 245?2!35?3!35?4!31?4111?8[1??()2??] ?3?25?2!38181611?1?1， ??8?2531?125?27?402000081 |r2|?3(于是取近似式为5240?3(1??11). 5344

为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差)与截断误差之和不超过10?? 计算时应取五位小数? 然后四舍五入，因此最后得 5240?2.9926.

例2 计算ln2的近似值? 要求误差不超过0?0001. 解： 在上节例5中? 令x?1可得 ln2?1??? ? ? ? ?(?1)n?1? ? ? ?

如果取这级数前n项和作为ln2的近似值? 其误差为|rn|?11231n1， n?1为了保证误差不超过10?4? 就需要取级数的前10000项进行计算. 这样做计算量太大了? 我们 收敛较快的级数来代替它. 把展开式

234n?1xxxnx? ? ? ? (?1?x?1) ln(1?x)?x???? ? ? ? ?(?1)234n?1中的x换成?x? 得

234xxx ln(1?x)??x???? ? ? ? (1?x?1)?

234两式相减? 得到不含有偶次幂的展开式? ln1?x?ln(1?x)?ln(1?x)?2(x?1x3?1x5? ? ? ? ) (?1?x?1) 1?x35 78

1?x?2? 解出x?1? 以x?1代入最后一个展开式? 得

331?x1111111 ln2?2(??3??5??7??)

3335373令

如果取前四项作为ln2的近似值? 则误差为

111111??????) 93911311133132112 ?11[1??()??]

39921?1?1 ?11? 31?14?397000009 |r4|?2(?于是取 ln2?2(??111?1?1?1?1). 333353573711?0.01235? 1?1?0.00082? 1?1?0.00007， 3335357371x3求sin9?的近似值，并估计误差.

3!同样地? 考虑到舍入误差? 计算时应取五位小数? ?0.33333? ?13因此得 ln2?0.6931

例3 利用sinx?x?解： 首先把角度化成弧度? 9??180??9(弧度)??(弧度)?

203??1?从而 sin??

20203!20??其次? 估计这个近似值的精确度.在sinx的幂级数展开式中令x?20?? 得

1???1???1??? sin????????????

20203!?20?5!?20?7!?20?等式右端是一个收敛的交错级数? 且各项的绝对值单调减少? 取它的前两项之和作为sin?20的近似值? 误差为

??3571???1?(0.2)5?1 |r2|?? ??5!?20?1203000005????0.157080因此取 ? ????0.003876，

20?20?于是得 sin9?0.15643，这时误差不超过10.

??53 79

2 例4 计算定积分

x??12e?x2dx的近似值? 要求误差不超过0?0001（取021?0.56419）.

? 解： 将e的幂级数展开式中的x换成?x? 得到被积函数的幂级数展开式

e?x2(?x2)(?x2)2(?x2)3?1?????

1!2!3!?n2nx ??(?1) (???x???) n!n?0于是? 根据幂级数在收敛区间内逐项可积? 得

2

??112e?x2dx?02???1?2[(?1)n0n?0x2n]dx?2n!?(?1)n12x2ndx

??0n?0n!? ??(1?111????) 22?324?5?2!26?7?3!前四项的和作为近似值? 其误差为 |r4|?所以 11?1?

?28?9?4!900002??120e?xdx?21?x(1?111??)?0.5205. 2462?32?5?2!2?7?3! 例5 计算积分 解： 由于lim?01sinxdx 的近似值? 要求误差不超过0?0001.

sinx?1? 因此所给积分不是反常积分? 如果定义被积函数在x?0处的值

x?0x为1? 则它在积分区间[0,1]上连续. 展开被积函数? 有

sinxx2x4x6?1????? (???x???)， x3!5!7!在区间[0,1]上逐项积分? 得

sinx111dx?1????? ， ?0x3?3!5?5!7?7!1因为第四项

1?1?

7?7!3000080

所以取前三项的和作为积分的近似值?

?01sinxdx?1?1?1?0.9461. x3?3!5?5!二、小结

利用函数的幂级数可以计算一些函数值的近似值，而且可以计算一些定积分的近似值，但要注意必须在展开式有效的区间上按精确度计算出来. 三、作业

P226 1（1）（4），P227 2（1）

第九章一、 知识总结:

1．基本问题： （1）判别敛散 （2）求收敛域 （3）求和函数 （4）级数展开 2．数项级数的审敛法：

（1）利用部分和判别级数的敛散性 （2）正项级数审敛法 ①利用必要性判别 ②利用比值审敛法判别 ③利用根值审敛法判别 （3）交错级数审敛法 （4）任意项级数审敛法 3．求幂级数收敛域的方法 4．幂级数和函数的求法

5．函数的幂级数和傅立叶级数的展开 6. 利用幂级数展开进行近似计算 二、 习题讲解（补充）

81

习题课例1 判定下列级数的收敛性： ??（1）

?1（2）1?

n?1nn?ann n?2ln10n （3）?n?1ns?n?0,s?0?解： （1）limunn??1?limn??n?1?1nnn?1 又 ? 发散

n?1nn???1

n?1nnn 发散（2）limn1n???ln10n?limnn??10ln9n????

? ??1 发散

n?2ln10n3）limun?1an?1n??u?limnn???n?1?s?ns（an?a ?收敛（）???1?a?1???收敛?s?1?n?1ns?s?1??a?1??? ??发散?发散?a?1?例2 讨论下列级数的绝对收敛与条件收敛：

?n?（1） ???1?1 （2）??nn?1 n?1np??1lnn?1n??解：（1）令u1n?np，p?1时，?un收敛，?un绝对收敛；

n?1n?1??0?p?1时，?un发散，又?1?un收敛.

nn?1????所以，?1?n1条件收敛；p?0时，??1?n1发散. n?1np?n?1np（2）?un?lnn?1n?ln???1?1?n?? 单调递减且limn??un?0，

?n????1?un 收敛.

n?182

n又limn??nu?1?n?limn??ln??1?n???1 ???u?nn收敛，?1?lnn?1n?1???n?1n条件收敛. 例3 求下列幂级数的收敛域：

?n2?（1）???1?1??xn （2）n?1?n??n2n2nx

n?1n解： （1）?limn?1?n??an?limn????1?n???e，

?R?1e ??1?n?nn2??1??又当x??1eu?1?1n??n???1?n???en?????1??1?n?1??e?0?n??????1?n????所以，级数在端点处发散，收敛区间为????1e,1?e?? . u2（2）因为limn?1?x?xn??u?，

n?x?2 所以当 x22?1,?2?x?2时，收敛， 又x??2,u???n??不n?2?0?n???，

所以，收敛区间为

??2,2?.

例4 求下列幂级数的和函数：

?2n?1?n（1）?2n?2 （2）xn?12nx? n?1n?n?1? 83

n??x?2????2解：（1）原式=?12n?1??2n?x?????1????2n?1?x????x??n?1??2???1???2??x? ?1?x2?? ?2?x2???x22?x2?2??0?2?1?? ??又?x?0时，原级数也收敛.x??2时，原级数发散，

?2?x2和函数sx??(2?x2)2,x???2,2?. ?（2）原式=???1???xn??1?1n?1n?1?nn?1??nx??xn n?1?n?1n?1 =?x??0???xn?1??dx?1x??n?n?1?x??0???x?dx

n?1? =?x101?xdx?1x??xx01?xdx =1???1?x?1???ln?1?x??0?x?1?

显然 当x?0,x??1时，级数均收敛. 由和函数的连续性知：

?limx?0s?x??s?0??0,limx?1s?x??s?1??1，

??1???1?x?1??s?x??????ln?1?x?0?x?1,x??1?0x?0 ??1x?1?三、 作业

P228 1（1）（3），3（2）（4），4（1），5

84

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