计算方法试题集及答案(新)

1.x 为精确值

*x的近似值；

y*?fx*为一元函数y1?f?x?的近似值；

??y*?f?x*,y*?为二元函数y2?f?x,y?的近似值，请写出下面的公式：e*?x*?x：

*er?x*?x x*x*f'?x*?f?x*???r?x*?

??y1*??f'?x*????x*? ??y1*??r??y2??*?f?x*,y*??x???x*???f?x*,y*??y???y*?

?r?y2*???f?x*,y*?e?x*??f?x*,y*?e?y*???? *?x?yy2y2*2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。

3、 分别用2.718281，2.718282作数e的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取3?1.73（三位有效数字），则13?1.73? ?10-2 。

24、 设x1?1.216,x2?3.654均具有3位有效数字，则x1x2的相对误差限为 0.0055 。 5、 设x1?1.216,x2?3.654均具有3位有效数字，则x1?x2的误差限为 0.01 。 6、 已知近似值xA?2.4560是由真值xT经四舍五入得到,则相对误差限为 0.0000204 . ?y0=2,7、 递推公式??,如果取

???yn=10yn-1-1,n=1,2,y0?2?1.41作计算,则计算到y10时,误差为

1?108 ;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 28、 精确值??3.14159265?，则近似值?1*?3.141和?2*?3.1415分别有 3 位和 4 位有效数字。

9、 若x?e?2.71828?x,则x有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10 。 10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)的相对误差0.02n

*11、近似值x?0.231关于真值x?0.229有( 2 )位有效数字；

n

**-5

12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；

1

13、为了使计算 y?10?346?? 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改23x?1?x?1??x?1?1x?1，为了减少舍入误差，应将表达式2001?1999改写为

写为

y?10?(3?(4?6t)t)t,t?22001?1999。

14、改变函数f(x)?x?1?x (x??1)的形式，使计算结果较精确

f?x??1x?1?x。

，取5位有效数字，则所得的近似值x=_2.3150____.

15、设

16、 已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有效数字是 4 。 二、单项选择题：

1、舍入误差是( A )产生的误差。

A. 只取有限位数 B．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C． 观察与测量 D．数学模型准确值与实际值 2、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。

A． 6 B． 5 C． 4 D． 7

x3、用 1+x近似表示e所产生的误差是( C )误差。

A． 模型 B． 观测 C． 截断 D． 舍入

x34、用1+3近似表示1?x所产生的误差是( D )误差。

A． 舍入 B． 观测 C． 模型 D． 截断 5、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。 A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 6、( D )的3位有效数字是0.236×102。

(A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10－2 (C) 235.418 (D) 235.54×10－1

4x?(3?1)3?1.7327、取计算，下列方法中哪种最好？（ C ）

1616224(4?23)(4?23)(3?1)28?163(A)； (B)； (C) ； (D) 。

三、计算题

1. 有一个长方形水池,由测量知长为(50±0.01)米,宽为(25±0.01)米,深为(20±0.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限.

解：设长方形水池的长为L，宽为W,深为H，则该水池的面积为V=LWH

3

当L=50,W=25,H=20时，有 V=50*25*20=25000(米) 此时，该近似值的绝对误差可估计为

2

??V???V?L??L???V?W??W???V?H??H?

=WH??L??HL??W??LW??H?相对误差可估计为：?r?V????V?V

而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足

??L??0.01,??W??0.01,??H??0.01

故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为

??V??WH??L??HL??W??LW??H? ?25*20*0.01?50*20*0.01?50*25*0.01?27.50 ?V?27.50r?V????V?25000?1.1*10?32.已知测量某长方形场地的长a=110米,宽b=80米.若a?a*?0.1?米?，试求其面积的绝对误差限和相对误差限.

解：设长方形的面积为s=ab

当a=110,b=80时，有 s==110*80=8800(米2

) 此时，该近似值的绝对误差可估计为

??s???s?a??a???s?b??b?

=b??a??a??b?相对误差可估计为：?r?s????s?s

而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足

??a??0.1,??b??0.1

故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为

??s??b??a??a??b? ?80*0.1?110*0.1?19.0 ?r?s????s?s?19.08800?0.002159绝对误差限为19.0；相对误差限为0.002159。

3、设x*的相对误差为2％，求(x*)n

的相对误差

b?b*?0.1?米? 3

解：由于f(x)?xn,f'(x)?nxn?1,故??(x*)n?xn?n(x*)n?1(x?x*)x?x*故?r?*n?n*?n?r?0.02n(x)x

?4、计算球体积要使相对误差为1%，问度量半径R允许的相对误差限是多少？ 解：令V?f?R??4?R3，根据一元函数相对误差估计公式，得

34?R2

?R?V?????R?????R??3?R?R??1Cf?R??R3f'?R?从而得?R?R??1 3005.正方形的边长大约为100cm，问怎样测量才能使面积的误差不超过1cm2

?解：da=ds/(2a)=1cm/(2*100)cm=0.5*10cm,即边长a的误差不超过0.005cm时，才能保证其面积误差不超过1平方厘米。

6．假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为50.00m和100.00m，且已知其测量误差为0.005m。试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。

解：V??r2h

V*?V?2?rh(r*?r)=2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325

2

-2

r*?rV*?V=2=0.0002

rV

第一章 插值法 一、填空题：

1.设xi(i=0,1,2,3,4)为互异节点，li(x)为相应的四次插值基函数，则(x+2). 4

??xi?044i?2?li?x?＝

次插值基函数，则2.设xi(i=0,1,2,3,4，5)为互异节点，li(x)为相应的五

??xi?055i?2xi4?xi3?1?li?x?=x5?2x4?x3?1

3.已知

f(x)?2x3?5，则f[1,2,3,4]?2,f[1,2,3,4,5]?0

4.f(x)5.

设

?3x2?1,则f[1,2,3]?____3_____,f[1,2,3,4]?___0______。

则

=0

4

＝3,

6.设和节点则= 4.

7.设f?0??0,f?1??16,f?2??46,则f?0,1?? 16 ,f?0,1,2?? 7 ,f?x?的二次牛顿插值多项式为 0+16(x-0)+7(x-0)(x-1) 。

8.如有下列表函数:

xi f?xi?

0.2 0.04

0.3 0.09

0.4 0.16

则一次差商f?0.2,0.4?= 0.6 。

29、2、f(1)??1,f(2)?2,f(3)?1，则过这三点的二次插值多项式中x的系数为 -2 ，

拉格朗日插值多项式为L2?x???11?x?2??x?3??2?x?1??x?3???x?1??x?2?,或22?2x2?9x?8

3?x?1f(x)?x10、对,差商f[0,1,2,3]?( 1 ),f[0,1,2,3,4]?( 0 )；

11、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x系数为( 0.15 )； 12、设f(0)?0,f(1)?16,f(2)?46,则l1(x)??x?x?2?，f(x)的二次牛顿插值多项式为

2

N2(x)?16x?7x(x?1)。

l(x),l1(x),?,ln(x)是以整数点x0,x1,?,xn为节点的Lagrange插值基函数，

13、0则

n?l?x?=

kk?0n1 ，

?xklj?xk?=

k?0nxj，，当n?2时k?0?(x4k2?xk?3)lk(x)?( x?x?3 )。

4214、设一阶差商 ，

则二阶差商

15、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足三阶均差为0，则p(x)是不超过二次的多项式

4f(x)?3x?2x?1，则差商f[2,4,8,16,32]? 3 。 16、若

5

二、单项选择题：

2

1、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x的系数为( A )。 A． –0．5 B． 0．5 C． 2 D． -2

2、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。 (A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，

f(n?1)(?)Rn(x)?f(x)?Pn(x)?(n?1)! (B)

(C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，

f(n?1)(?)Rn(x)?f(x)?Pn(x)??n?1(x)(n?1)!(D)

3、有下列数表 x 0 f(-2 0.5 -1.75 1 -1 1.5 0.25 2 5 2 2.4.x) 25 所确定的插值多项式的次数是（ A ）。 （A）二次； （B）三次； （C）四次； （D）五次

4、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（ D ） xi 3.5 １ 1.5 ２ 2.5 ３ f(xi) 11.5 -1 0.5 2.5 5.0 8.0 (A)5； (B)4； (C) 3； (D) 2。

?l(x)x?k(k?0,1,?,9)ik5、设是以为节点的Lagrange插值基函数，则k?0(A)x； （B）k； （C）i； （D）1。 6、由下列数据 0 1 2 3 4 x f(x) 1 2 4 3 -5 确定的唯一插值多项式的次数为( A ) (A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。 三、问答题

1.什么是Lagrange插值基函数?它们有什么特性？

9kli(k)?( C )

答：插值基函数是满足插值条件的n次插值多

项式，它可表示为 2.给定插值点

并有以下性质，

可分别构造Lagrange插值多项式和Newton插值多项式，它

们是否相同？为什么?它们各有何优点？ 答：给定插值点后构造的Lagrange多项式为

Newton插值多项式为它们形式不同但

6

都满足条件次多项式

与

,于是

有n+1个零点，这与n次多项式只有n个零点矛盾，故

是相同的。

它表明n

即

是用基函数表达的，便于研究方法的稳定性和收敛性等理论研究和 每增加一个插值点就增加一项前面计算都有效，因此较适合于计算。

应用，但不便于计算，而

3.Hermite插值与Lagrange插值公式的构造与余项表达式有何异同？

答：Hermite插值的插值点除满足函数值条件外还有导数值条件比Lagrange插值复什一些，但它们都用基函数方法构造，余项表达式也相似，对Lagrange插值余项表达式为

，而Hermite插值余项在有条件的点看作重节点，多一个条

件相当于多一点，若一共有m+1个条件，则余项中前面因子为

即可得到Hermite插值余项。 四、计算题

1、设f?x??x?5x?1,求差商

7301012017018f??2,2??,f??2,2,2??,f??2,2,?,2??,f??2,2,?,2??

012????2?7,f2?169,f2解：f?????????16705，故 0112012?????f?2,2?162,f2,2?8268,f2,2,2???????2702

后面相因子改为

根据差商的性质，得

017f??2,2,?,2???f?f7?7!?8?????1

018?f?2,2,?,2???8!????0xi:12、求满足下列条件的埃尔米特插值多项式: yi2yi'解：根据已知条件可求得

23

1?122?0?x???2x?1??x?2?,?1?x????2x?5??x?1??0?x???x?1??x?2?,?1?x???x?2??x?1?代入埃尔米特三次插值多项式公式

22

7

'p3?x??y0?0?x??y1?1?x??y0?0?x??y0'?1?x? =2?2x?1??x?2??3??2x?5??x?1???x?1??x?2???x?2??x?1?3、如有下列表函数:

2222

xi f?xi?

0 3

1 6

2 11

3 18

4 27

试计算此列表函数的差分表,并给出它的牛顿插值多项式及余项公式. 解：查分表如下：

xi 0 1 2 3 4 fi 3 6 11 18 27 ?fi 3 5 7 9 ?2fi 1 1 1 ?3fi 0 0 ?4fi 0

2

N4(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x+2x+3,0≤x≤1 4、给出lnx的函数表如下： x 0.40 0.50 0.60 0.70 －0.356675 lnx －0.916291 －0.693147 －0.510826 试用线性插值和抛物插值求ln0.54的近似值。

5．已知

x F（x） -1 3 1 1 2 -1 请依据上述数据求f(x)的2次Lagrange插值多项式。

8

解：记x0??1,x1?1,x2?2,则f(x0)?3,f(x1)?1,f(x2)??1所以L2(x)?f(x0)?f(x2)(x?x0)(x?x2)(x?x1)(x?x2)?f(x1)(x0?x1)(x0?x2)(x1?x0)(x0?x2)(x?x0)(x?x1)(x2?x0)(x2?x1)

(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)?3??1?(?1?1)(?1?2)(1?1)(1?2)(x?1)(x?1)?(?1)?(2?1)(2?1)111?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?1)2236.用插值法求满足以下条件的不超过三次的插值多项式

f(0)=1,f(1)=2,f (2)=9,f’(1)=3,并写出插值余项。 解：根据Lagrange插值多项式和Newton插值多项式得出

L2?x??N2?x??3x2?2x?1

设待插值函数为：

H3?x??N2?x??k?x?0??x?1??x?2?

根据

’H3?1??f'?1??3, 得参数k?1, 则

H3?x??x3?1.

插值余项为： ?4?f???2 R3?x??f?x??H3?x??x?x?1??x?2?4!

7、 已知

xi f(xi) 1 2 3 6 4 5 5 4 P(x)，

分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式3并求f(2)的近似值（保

留四位小数）。

L3(x)?2答案：

(x?3)(x?4)(x?5)(x?1)(x?4)(x?5)?6(1?3)(1?4)(1?5)(3?1)(3?4)(3?5)

?5

(x?1)(x?3)(x?5)(x?1)(x?3)(x?4)?4(4?1)(4?3)(4?5)(5?1)(5?3)(5?4)

差商表为

9

xi 1 3 4 5 yi 2 6 5 4 一阶均差 2 -1 -1 二阶均差 -1 0 三阶均差 14 1P3(x)?N3(x)?2?2(x?1)?(x?1)(x?3)?(x?1)(x?3)(x?4)4

f(2)?P3(2)?5.5

8、已知sinx区间[0.4，0.8]的函数表

xi yi 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。 答案：解： 应选三个节点，使误差

|R2(x)|?M3|?3(x)||?(x)|尽量小，最靠近3!尽量小，即应使3插值点的三个节点满足上述要求。即取节点{0.5,0.6,0.7}最好，实际计算结果

sin0.63891?0.596274， 且

sin0.63891?0.596274?1(0.63891?0.5)(0.63891?9?0.6)(0.63891?0.7)3!

?0.55032?10?4?xx?0,x?0.5,x?1f(x)?e0129、取节点,求函数在区间[0,1]上的二次插值多项式P2(x),

并估计误差。

解：

P2(x)?e?0?(x?0.5)(x?1)?0.5(x?0)(x?1)?e?(0?0.5)(0?1)(0.5?0)(0.5?1)

?e?1?(x?0)(x?0.5)(1?0)(1?0.5)?2(x?0.5)(x?1)?4e?0.5x(x?1)?2e?1x(x?0.5)

又

f(x)?e?x,f???(x)??e?x,M3?max|f???(x)|?1x?[0,1]

10

|R2(x)|?|e?x?P2(x)|?故截断误差

1|x(x?0.5)(x?1)|3!。

10、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1，5)的近似值，取五位小数。

解：

L2(x)?2?(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)(x?1)(x?1)?3??4?(?1?1)(?1?2)(1?1)(1?2)(2?1)(2?1)

?234(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?1)323 1f(1.5)?L2(1.5)??0.0416724

11、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。 用Newton插值方法：差分表： 100 121 144 1 0 1 1 0.0476190 1 2 0.0434783 -0.0000941136 115?10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)

=10.7227555

3?2??f'''x?x8

5R?f'''????115?100??115?121??115?144?3!5?13?1002?15?6?29?0.0016368

12、(10分)已知下列函数表： x 0 1 f(x) 2 3 1 3 9 27 (1)写出相应的三次Lagrange插值多项式； (2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算f(1.5)的近似值。 解：（1）

L3(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?0)(x?2)(x?3)(x?0)(x?1)(x?3)(x?0)(x?1)(x?2)???(0?1)(0?2)(0?3)(1?0)(1?2)(1?3)(2?0)(2?1)(2?3)(3?0)(3?1)(3?2)?

438x?2x2?x?133

11

0113229624（2）均差表：327 18 6 3

N43(x)?1?2x?2x(x?1)?3x(x?1)(x?2)

f(1.5)?N3(1.5)?5

13、 已知y=f（x）的数据如下

x 0 2 3 f（x） 1 3 2 求二次插值多项式 及f（2.5）

解：

14、设

（1）试求 在 上的三次Hermite插值多项式H（x）以升幂形式给出。

（2）写出余项 的表达式

解 （1）

（2）

（x）使满足12

H

第四章 数值积分 一、填空题 1、求

?21x2dx，利用梯形公式的计算结果为 2.5 ，利用辛卜生公式的计算结果为

2.333 。

2． n次插值型求积公式至少具有 n 次代数精度，如果n为偶数，则有 n+1 次代数精度。

3． 梯形公式具有1次代数精度，Simpson公式有 3 次代数精度。

4.插值型求积公式

1?Akf?xk???f?x?的求积系数之和 b-a 。

k?0anb5、 计算积分0.5,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。

6、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求

?xdx?15f(x)dx≈( 12 )。

7、 设f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求f?(1)?( 2.5 )。

8、若用复化梯形公式计算个求积节点。

1?10exdx，要求误差不超过10?6，利用余项公式估计，至少用 477

2f(x)dx?[f(?1)?8f(0)?f?(1)]??199、数值积分公式的代数精度为 2 。

10、已知f(1)?1.0,f(2)?1.2,f(3)?1.3，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得

?13f(x)dx?_________答案：2.367，0.25

,用三点式求得f?(1)? 。

10、 数值微分中，已知等距节点的函数值 ， 则由三点的求导公式，有

11、

对于n+1个节点的插值求积公式

至少具有n次代数精度.

二、单项选择题：

1、等距二点求导公式f?(x1) ?( A )。

13

(A)

f(x1)?f(x0)x1?x0(B)f(x1)?f(x0)x0?x1(C)f(x0)?f(x1)x0?x1n(D)f(x1)?f(x0)x1?x0

2、在牛顿-柯特斯求积公式：

式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ A ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

i?0?baf(x)dx?(b?a)?Ci(n)f(xi)(n)Ci中，当系数是负值时，公

（A）n?8， （B）n?7， （C）n?10， （D）n?6，

三、问答题

1.什么是求积公式的代数精确度？如何利用代数精确度的概念去确定求积公式中的待定参数？ 答：一个求积公式如果当为任意m次多项式时，求积公式精确成立，而当为次数大于m次多项式时，它不精确成立，则称此求积公式具有m次代数精确度。根据定义只要令代入求积公式两端，公式成立，得含待定参数的m+1个方程的方程组，这里m+1为待定参数个数，解此方程组则为所求。 四、计算题

1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度. (1)

解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。 令

代入公式两端并使其相等，得

解此方程组得，于是有

再令，得

故求积公式具有3次代数精确度。

（2）

14

（3） 解：令

代入公式精确成立，得

解得，

得求积公式

对

故求积公式具有2次代数精确度。

2.求积公式

?10f(x)d?x0A(0?f)1'A?(f10)，B已f(知0)其余项表达式为

R(f)?kf'''(?),??(0,1)，试确定系数A0,A1,B0，使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并给出

代数精度的次数及求积公式余项。

15

解：局部截断误差为

hTn?1?y(xn?1)?y(xn)?[?f(xn,y(xn))??f(xn?1,y(xn?1))]2 h2h3h?y(xn)?hy?(xn)?y??(xn)?y???(xn)?O(h4)?y(xn)?[?y?(xn)??y?(xn?1)]2!3!2 23hhh?y(xn)?hy?(xn)?y??(xn)?y???(xn)?O(h4)?y(xn)??y?(xn)2!3!2hh2??[y?(xn)?hy??(xn)?y???(xn)?O(h3)]22!

233??hhh?h(1??)y?(xn)?(1??)y??(xn)?(??)y???(xn)?O(h4)222!3!4 ????1???0???3?22???????1 因此有?1???05h3y???(xn)局部截断误差主项为12，该方法是2阶的。

?dy??8?3y(x?0)?dx?y(0)?2h?0.212、(10分)取步长，求解初值问题?，用欧拉预报—校正法求

y(0.2)的近似值。

解：（1）欧拉预报-校正法：

(0)?yn?1?yn?0.2(8?3yn)?1.6?0.4yn??yn?1?yn?0.1(8?3yn?8?3(1.6?0.4yn))?1.12?0.58yn

y(0.2)?y1?2.28

13、(8分)已知常微分方程的初值问题：

?dydx?xy,1?x?1.2?y(1)?2 ?

.)的近似值，取步长h?0.2。 用改进的Euler方法计算y(12k1?f?x0,y0??0.5，k2?f?x1,y0?hk1??1.1?2?0.2?0.5??0.5238095

y1?y0?h?k1?k2??2?0.1??0.5?0.5238095??2.10714292

第六章 方程求根 一、填空题

1、已知方程x?x?0.8?0在x0?1.5附近有一个根，构造如下两个迭代公式：

3226

2(1)xk?1?30.8?xk(2)xk?1?-0.8?x3k

则用迭代公式(1)求方程的根收敛_，用迭代公式(2)求方程的根_发散_。 2、设f?x?可微，求方程x?f?x?的根的牛顿迭代格式为 xk?1?xk?xk?f?xk?1?f'?xk? 。

2?x?x?ax????5?,要是迭代法xk?1???xk?局部收敛到x*?5，3、

则

a的取值范围是?1?a?0 5'（2）MAX??x??L?1。

a?x?b4、迭代法的收敛条件是（1）

3x?13k3x?x?5.写出立方根13的牛顿迭代公式k?1 k3xk26．用二分法求解方程f(x)?x?x?1?0在[1，2]的近似根，准确到10，要达到此精度至少迭代 9 次。

3-3

7、设f(x)可微,求方程x?f(x)的牛顿迭代格式是

xn?1?xn?xn?f(xn)1?f?(xn) ；

b?an?18、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为 2。

39． 用二分法求方程f(x)?x?x?1?0在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为

0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。

10、若用二分法求方程f?x??0在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10 次。

11、如果用二分法求方程x?x?4?0在区间[1,2]内的根精确到三位小数，需对分10 次。

312、求方程 那么

1.5

的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ，

13、 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有局部平方收敛

14、 迭代过程 （k=1,2,…）收敛的充要条件是

< 1

二、单项选择题： 1、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=?(x)，则f(x)=0的根是( B )。

27

(A) y=?(x)与x轴交点的横坐标 (B) y=x与y=?(x)交点的横坐标 (C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=x与y=?(x)的交点

2、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( A ),则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。

(A)f(x0)f??(x)?0(B)f(x0)f?(x)?0(C)f(x0)f??(x)?0(D)f(x0)f?(x)?0

3、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。

x2?(A)

1,迭代公式:xk?1?x?11xk?1

x?1?(B)(C)

11,迭代公式:x?1?k?12x2xk

21/3x3?1?x2,迭代公式:xk?1?(1?xk)x?1?x,迭代公式:xk?1(D)

322xk?1?2xk?xk?1

4、计算3的Newton迭代格式为( B )

xk3xxx323?xk?1?k?xk?1?k?xk?1?k?2xk；(B)22xk；(C) 2xk；(D) 3xk。

(A)

1?3???103225、用二分法求方程x?4x?10?0在区间[1,2]内的实根，要求误差限为，则对

xk?1?分次数至少为( A )

(A)10； (B)12； (C)8； (D)9。

3x?2不收敛的是(

6、已知方程x?2x?5?0在x?2附近有根，下列迭代格式中在0C )

(A)； (B)三、问答题

1.什么是不动点？如何构造收敛的不动点迭代函数？ 答：将方程

改写为

若

使

xk?1?32xk?55xk?1?2?xk32xk?5x?k?132x?x?x?53x?2。k?1kkk； (C)； (D)

则称点为不动点而就是不

动点的迭代函数，迭代函数 （1）

可以有很多，但必须使构造的满足条件

' （2）MAX??x??L?1

a?x?b 若已知，且 时也收敛，称为局部收敛。

初始近似

，当

时为什么还不能断定迭代法

28

2.对于迭代法

收敛？

答：迭代法是否收敛一定要按收敛定理的条件判断，定理6.1是全局收敛性，需要在包含的区间

上证明

且

才能说明由出是迭代法

才可由

收敛

如果用局部收敛定理6.2，则要知道不动点为 证明其收敛性，由

还不能说明迭代法收敛。

3.怎样判断迭代法收敛的快慢？一个迭代公式要达到P阶收敛需要什么条件？ 答：衡量迭代法快慢要看收敛阶P的大小，若序列

收敛于

，记为

若存在

及，使则称序列

若而

为

为P阶收敛，P越大收敛越快，当P＝1，则越小，收敛越的不动点，P为大于1的整数，则此迭代公式为P阶收敛。

在

连续，且

快。一个迭代公式

4.方程敛？

答：用曲线

求根的Newton法是如何推出的？它在单根附近几阶收敛？在重根附近是几阶收

在点上的切线的零点近似曲线零点得到

就是Newton法，在单根附近2阶收敛，当为重根时是线性收敛。

5、简述二分法的优缺点

答：优点(a)计算简单，方法可靠；(b)对f (x) 要求不高(只要连续即可) ；(c)收敛性总能得到保证。缺点(a)无法求复根及偶重根 ; (b)收敛慢

6、画图说明牛顿迭代公式的几何意义。

f(xk)

xk?1?xk? f?(xk)y?f(x)?x,f(x)?牛顿迭代公式就是切线与 x 轴交点的横坐标， 所以牛顿法是用切线与 x 轴的交点的横坐标来近 似代替曲线与x 轴交点的横坐标。

xk?1xk四、计算题

y kko xx 1、用二分法求方程的正根，使误差小于0.05.

。本题f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故区间[1,2]

解 使用二分法先要确定有根区间

为有根区间。另一根在[-1,0]内，故正根在[1,2]内。用二分法计算各次迭代值如表。

29

其误差

2. 求方程迭代公式.

在

=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应

(1) (2)

，迭代公式,迭代公式

. .

(3)，迭代公式.

试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根.

解：（1）取区间且，在且

，在中，则L<1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。

（2），在中，且，在中有

，故迭代收敛。

（3），在附近，故迭代法发散。

，

在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取则

30

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