选修4-5不等式选讲导学学案(共14份) 人教课标版12(优秀教案)
更新时间:2024-03-22 23:59:01 阅读量: 综合文库 文档下载
选修学案§4..1数学归纳法证明不等式姓名 ☆学习目标:.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;
.会运用数学归纳法证明不等式 重点:应用数学归纳法证明不等式. ?知识情景:
关于正整数的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性:
.验证取时命题(即=n时命题成立)(归纳奠基); .假设当时命题成立,证明当+时命题 (归纳递推). .由、知,对于一切≥n的自然数命题!(结论)
要诀:递推基础,归纳假设,结论写明.
☆ 数学归纳法的应用:
例. 用数学归纳法证明不等式sinn?≤nsin?.
例已知> ,且?,?*,≥.求证:()>
.
例 证明:如果n(n为正整数)个正数a1,a2,那么它们的和a1?a2?
,an的乘积a1a2an?1,
?an≥n.
例 证明:1?
1111?????2?(n?N,n≥2). 22223nn 例.当n≥2时,求证:1?
12?13??1n?n
选修练习§4.1.1
值为( )
数学归纳法证明不等式()姓名
、已知()()·,存在自然数,使得对任意∈,都能使整除(),则最大的的
、.观察下列式子:1? …则可归纳出. 、已知a1?13?,221?115??,223231?1117??? 22324243an1, an?1?, 则a2,a3,a4,a5的值分别为,由此猜想
an?32an?.
nn?1*、用数学归纳法证明: An?5?2?3?1(n?N)能被整除.
、用数学归纳法证明
1?11111111???????????2342n?12nn?1n?22n
、.用数学归纳法证明
2n?1能被整除,其中∈
、求证:
11??n?1n?2?15?(n?2,n?N?) 3n6
、已知,Sn?1?11??231?,n?N?, 用数学归纳法证明: nnS2n?1?(n?2,n?N?)
2
n2*2?2?n(n?N). 、.求证:用数学归纳法证明
答案:
.关于正整数的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性: .验证取第一个值时命题成立(即=n时命题成立)(归纳奠基); .假设当时命题成立,证明当+时命题也成立(归纳递推). .由、知,对于一切≥n的自然数命题都成立!(结论)
要诀:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.
例 ⑴当n?1时,上式左边sin??右边,不等式成立.
⑵设当n?k(k≥1)时,不等式成立,即有sink?≤ksin?.
那么,当n?k?1时,
sin(k?1)?
例证明:()当时,左=(+)
∵?,∴ >右,∴时不等式成立
()假设(≥)时,不等式成立,即()> 当时,因为> ,所以>,于是 左边()右边().
因为>,所以左边>右边,即()>(). 这就是说,原不等式当时也成立.
根据()和(),原不等式对任何不小于的自然数都成立.
ak?1,
例 证明:⑴当n?1时,有a1?1,命题成立.
⑵设当n?k(k≥1)时,命题成立,即若k个正数a1,a2,,ak的乘积a1a2那么它们的和a1?a2??ak≥k.
,ak,ak?1满足a1a2那么当n?k?1时,已知k?1个正数a1,a2,若k?1个正数a1,a2,若这k?1个正数a1,a2,(否则与a1a2akak?1?1.
,ak,ak?1都相等,则它们都是.其和为k?1,命题成立.
,ak,ak?1不全相等,则其中必有大于的数,也有小于的数
akak?1?1矛盾).不妨设a1?1,a2?1.
151353?2??? 故不等式成立. ,右边 ,由于2242242例证:()当时,左边1?
()假设( k?N,k≥2)时命题成立,即1?1111?????2?. 2232k2k 则当时, 1?111111??????2?? 2232k2(k?1)2k(k?1)22?11111111??2???2??(?)?2?. 2k(k?1)kk(k?1)kkk?1k?1 即当时,命题成立.
由()、()原不等式对一切n?N,n≥2都成立.
例()当n?2时,左式?1?12?1?2?17.?2?右式?当n?2时,不等式成立 2(2)假设当n?k(?2)时,不等式成立,即1?12?1?13?1?1k?k 1k?1则当n?k?1时,左式?1?12?13?k?k?1?k? ?k(k?1)?1k?1?k?k?1k?1?k?1k?1?k?1?右式
?当n?k?1时,不等式成立。
由(1)(2)可知,对一切n?N,且n?2,不等式都成立。
练习
.解析:∵()()×()×
∴()()()能被整除,猜想()能被整除. 证明:时,由上得证,设(≥)时, ()()·能被整除,则时, ()-()()·-()· ()·-()·
-
()·()·(≥) ?()能被整除 ∵()不能被大于的数整除,∴所求最大的值等于. 答案:
1?、解析:
1312?1?1?即1??1?1222(1?1)2
1?115112?2?1??,即1???2?122323(1?1)2(2?1)2
归纳为1?1112n?1?????n?1(∈*) 2232(n?1)2答案:1?1112n?1?????n?1(∈*) 2232(n?1)213a12?3?3同理,3.解析:a2??a1?31?372?5
23a23333333a3???,a4??,a5??,猜想an?a2?383?594?5105?5n?53?33333 答案:、、、
78910n?5、证:()当时,命题显然成立.
kk?1()假设当时能被整除,即Ak?5?2?3?1是的倍数.
k?1kkk?1k?1k?1 那么:Ak?1?5?2?3?1?5(5?2?3?1)?4(3?1)?5Ak?4(3?1)
因为是的倍数是偶数即()也是的倍数,所以也是的倍数, 即当时,命题成立.
由()、()知对一切正整数, 能被整除.
1111.证明: ?当时,左边22,右边1?12,所以等式成立。
?假设当时,等式成立,
1? 即
11111111???????????2342k?12kk?1k?22k。
那么,当时,
1?1111111????????2342k?12k2k?12k?2 11111???????k?1k?22k2k?12k?2 1111111111?????????????(?)234k?2k?32k2k?1k?12k?2 ?11111??????k?2k?32k2k?12(k?1)
这就是说,当时等式也成立。 综上所述,等式对任何自然数都成立。 .证明:()当时,×能被整除
()假设当时,能被整除,则当时, ()··-··
··()
∵·能被整除,能被整除 ∴当时也成立.
由①②知,当∈*时,能被整除.
11115????34566,不等式成立. .证明:()当时,右边
11??n?k(k?2,k?N) ()假设当时命题成立,即k?1k?2*?15?3k6.
则当n?k?1时,
111111??????(k?1)?1(k?1)?23k3k?13k?23(k?1)1111111?????(???)k?1k?23k3k?13k?23k?3k?151111??(???)63k?13k?23k?3k?151111??(???)63k?33k?33k?3k?15115??(3??)?.63k?3k?16
所以则当n?k?1时,不等式也成立.
*n?2,n?N 由(),()可知,原不等式对一切均成立.
. 证明:
()当时,
S22?1?111132???1??1?234122,∴命题成立.
*n?k(k?2,k?N)时命题成立,即 ()假设当
S2k?1?11??23?1k?1?2k2.
则当n?k?1时,
S2k?1?1??1?11??23?111???kkk22?12?2?12k?1
?12k?1
k111k11?k?k??k?1?1??k?1?k?1?22?12?22222k1k1k?1?1??2k?k?1?1???1?.22222 所以则当n?k?1时,不等式也成立.
*n?2,n?N 由(),()可知,原不等式对一切均成立.
、证明:() 当时, 2?2?1,不等式成立; 当时, 2?2?2,不等式成立; 当时, 2?2?3,不等式成立.
*n?k(k?3,k?N)时不等式成立,即 2k?2?k2. ()假设当
k?1k2222?2?2(2?2)?2?2k?2?(k?1)?k?2k?3, n?k?1 则当时,
1222322kk?3 ∵,∴?2k?3?(k?3)(k?1)?0,(*) k?12222?2?(k?1)?k?2k?3?(k?1) 从而, k?122?2?(k?1) ∴.
即当n?k?1时,不等式也成立.
n2* 由(),()可知,2?2?n对一切n?N都成立.
学习是一件增长知识的工作,在茫茫的学海中,或许我们困苦过,在艰难的竞争中,或许我们疲劳过,在失败的阴影中,或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长,从哑哑学语的婴儿到无所不能的青年时,这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢?当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时,当我们在漫长的奋斗后成功时,那种无与伦比的感受又有谁能表达出来呢?因此学习更是一件愉快的事情,只要我们用另一种心态去体会,就会发现有学习的日子真好! 如果你热爱读书,那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉;从书中找到生活的榜样;从书中找到自己生活的乐趣;并从中不断地发现自己,提升自己,从而超越自己。 明天会更好,相信自己没错的! 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语,就能积累起相关的重要信息,于是在不经意之间,我们就已经行动起来,并且逐渐把说过的话变成现实。
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