选修4-5不等式选讲导学学案（共14份） 人教课标版12（优秀教案）

选修学案§4..1数学归纳法证明不等式姓名 ☆学习目标：.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;

.会运用数学归纳法证明不等式 重点：应用数学归纳法证明不等式. ?知识情景：

关于正整数的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：

.验证取时命题(即＝n时命题成立)(归纳奠基）； .假设当时命题成立，证明当＋时命题 (归纳递推）. .由、知，对于一切≥n的自然数命题！(结论）

要诀:递推基础,归纳假设,结论写明.

☆ 数学归纳法的应用：

例. 用数学归纳法证明不等式sinn?≤nsin?.

例已知> ，且?，?*，≥．求证：()>

.

例 证明:如果n(n为正整数)个正数a1,a2,那么它们的和a1?a2?

,an的乘积a1a2an?1,

?an≥n.

例 证明:1?

1111?????2?(n?N,n≥2). 22223nn 例.当n≥2时,求证:1?

12?13??1n?n

选修练习§4.1.1

值为( )

数学归纳法证明不等式（）姓名

、已知()()·,存在自然数,使得对任意∈,都能使整除()，则最大的的

、.观察下列式子：1? …则可归纳出. 、已知a1?13?,221?115??,223231?1117??? 22324243an1, an?1?, 则a2,a3,a4,a5的值分别为，由此猜想

an?32an?.

nn?1*、用数学归纳法证明: An?5?2?3?1(n?N)能被整除.

、用数学归纳法证明

1?11111111???????????2342n?12nn?1n?22n

、.用数学归纳法证明

2n?1能被整除，其中∈

、求证：

11??n?1n?2?15?(n?2,n?N?) 3n6

、已知，Sn?1?11??231?,n?N?， 用数学归纳法证明： nnS2n?1?(n?2,n?N?)

2

n2*2?2?n(n?N)． 、.求证：用数学归纳法证明

答案:

.关于正整数的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性： .验证取第一个值时命题成立(即＝n时命题成立)(归纳奠基）； .假设当时命题成立，证明当＋时命题也成立(归纳递推）. .由、知，对于一切≥n的自然数命题都成立！(结论）

要诀:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.

例 ⑴当n?1时,上式左边sin??右边,不等式成立.

⑵设当n?k(k≥1)时,不等式成立,即有sink?≤ksin?.

那么,当n?k?1时,

sin(k?1)?

例证明:()当时，左＝(＋)

∵?，∴ >右,∴时不等式成立

（）假设(≥)时，不等式成立，即()> 当时，因为> ，所以>，于是 左边()右边()．

因为＞，所以左边＞右边，即()>()． 这就是说，原不等式当时也成立．

根据()和()，原不等式对任何不小于的自然数都成立.

ak?1,

例 证明:⑴当n?1时,有a1?1，命题成立.

⑵设当n?k(k≥1)时，命题成立，即若k个正数a1,a2,,ak的乘积a1a2那么它们的和a1?a2??ak≥k.

,ak,ak?1满足a1a2那么当n?k?1时,已知k?1个正数a1,a2,若k?1个正数a1,a2,若这k?1个正数a1,a2,(否则与a1a2akak?1?1.

,ak,ak?1都相等,则它们都是.其和为k?1,命题成立.

,ak,ak?1不全相等,则其中必有大于的数,也有小于的数

akak?1?1矛盾).不妨设a1?1,a2?1.

151353?2??? 故不等式成立. ,右边 ,由于2242242例证:()当时,左边1?

()假设( k?N,k≥2)时命题成立,即1?1111?????2?. 2232k2k 则当时, 1?111111??????2?? 2232k2(k?1)2k(k?1)22?11111111??2???2??(?)?2?. 2k(k?1)kk(k?1)kkk?1k?1 即当时,命题成立.

由()、()原不等式对一切n?N,n≥2都成立.

例（）当n?2时，左式?1?12?1?2?17.?2?右式?当n?2时，不等式成立 2（2）假设当n?k(?2)时，不等式成立，即1?12?1?13?1?1k?k 1k?1则当n?k?1时，左式?1?12?13?k?k?1?k? ?k(k?1)?1k?1?k?k?1k?1?k?1k?1?k?1?右式

?当n?k?1时，不等式成立。

由（1）（2）可知，对一切n?N，且n?2，不等式都成立。

练习

．解析：∵()()×()×

∴()()()能被整除，猜想()能被整除. 证明：时，由上得证，设(≥)时， ()()·能被整除，则时， ()－()()·－()· ()·－()·

－

()·()·(≥) ?()能被整除 ∵()不能被大于的数整除，∴所求最大的值等于. 答案：

1?、解析：

1312?1?1?即1??1?1222(1?1)2

1?115112?2?1??,即1???2?122323(1?1)2(2?1)2

归纳为1?1112n?1?????n?1(∈*) 2232(n?1)2答案:1?1112n?1?????n?1(∈*) 2232(n?1)213a12?3?3同理,3.解析:a2??a1?31?372?5

23a23333333a3???,a4??,a5??,猜想an?a2?383?594?5105?5n?53?33333 答案:、、、

78910n?5、证:()当时,命题显然成立.

kk?1()假设当时能被整除,即Ak?5?2?3?1是的倍数.

k?1kkk?1k?1k?1 那么:Ak?1?5?2?3?1?5(5?2?3?1)?4(3?1)?5Ak?4(3?1)

因为是的倍数是偶数即()也是的倍数,所以也是的倍数, 即当时,命题成立.

由()、()知对一切正整数, 能被整除.

1111．证明： ?当时，左边22，右边1?12，所以等式成立。

?假设当时，等式成立，

1? 即

11111111???????????2342k?12kk?1k?22k。

那么，当时，

1?1111111????????2342k?12k2k?12k?2 11111???????k?1k?22k2k?12k?2 1111111111?????????????(?)234k?2k?32k2k?1k?12k?2 ?11111??????k?2k?32k2k?12(k?1)

这就是说，当时等式也成立。 综上所述，等式对任何自然数都成立。 ．证明：()当时，×能被整除

()假设当时，能被整除，则当时， ()··－··

··()

∵·能被整除，能被整除 ∴当时也成立.

由①②知，当∈*时，能被整除.

11115????34566，不等式成立． ．证明：（）当时，右边

11??n?k(k?2,k?N) （）假设当时命题成立，即k?1k?2*?15?3k6．

则当n?k?1时，

111111??????(k?1)?1(k?1)?23k3k?13k?23(k?1)1111111?????(???)k?1k?23k3k?13k?23k?3k?151111??(???)63k?13k?23k?3k?151111??(???)63k?33k?33k?3k?15115??(3??)?.63k?3k?16

所以则当n?k?1时，不等式也成立．

*n?2,n?N 由（），（）可知，原不等式对一切均成立．

. 证明：

（）当时，

S22?1?111132???1??1?234122，∴命题成立．

*n?k(k?2,k?N)时命题成立，即 （）假设当

S2k?1?11??23?1k?1?2k2．

则当n?k?1时，

S2k?1?1??1?11??23?111???kkk22?12?2?12k?1

?12k?1

k111k11?k?k??k?1?1??k?1?k?1?22?12?22222k1k1k?1?1??2k?k?1?1???1?.22222 所以则当n?k?1时，不等式也成立．

*n?2,n?N 由（），（）可知，原不等式对一切均成立．

、证明：（） 当时， 2?2?1，不等式成立； 当时， 2?2?2，不等式成立； 当时， 2?2?3，不等式成立．

*n?k(k?3,k?N)时不等式成立，即 2k?2?k2． （）假设当

k?1k2222?2?2(2?2)?2?2k?2?(k?1)?k?2k?3， n?k?1 则当时，

1222322kk?3 ∵，∴?2k?3?(k?3)(k?1)?0，（*） k?12222?2?(k?1)?k?2k?3?(k?1) 从而， k?122?2?(k?1) ∴．

即当n?k?1时，不等式也成立．

n2* 由（），（）可知，2?2?n对一切n?N都成立．

学习是一件增长知识的工作，在茫茫的学海中，或许我们困苦过，在艰难的竞争中，或许我们疲劳过，在失败的阴影中，或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长，从哑哑学语的婴儿到无所不能的青年时，这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢？当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时，当我们在漫长的奋斗后成功时，那种无与伦比的感受又有谁能表达出来呢？因此学习更是一件愉快的事情，只要我们用另一种心态去体会，就会发现有学习的日子真好！ 如果你热爱读书，那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉；从书中找到生活的榜样；从书中找到自己生活的乐趣；并从中不断地发现自己，提升自己，从而超越自己。 明天会更好，相信自己没错的！ 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语，就能积累起相关的重要信息，于是在不经意之间，我们就已经行动起来，并且逐渐把说过的话变成现实。

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