1数学软件认识试验

第二篇 实验篇

“数学实验”是一种新的教学模式，是“技术数学”的重要组成部分，是与前面的理论篇和后面的建模篇相配合的重要教学环节，起着承上启下的重要作用。它将数学知识、数学建模与计算机应用三者融为一体，通过数学实验使学生深入理解数学基本概念和基本理论，熟悉常用的数学软件，培养学生运用所学知识建立数学模型、使用计算机解决实际问题的能力。

第十三章 基础实验

[学习目的]

1． 掌握Mathematica软件的基本操作；

2． 掌握绘制函数图像的方法；

3． 理解并掌握微积分和线性代数的计算方法；

4． 理解并掌握统计分析和规划运算的方法；

5． 通过实验，掌握有关的基本数学方法与数学思想。

§13.1

[学习目标]

1. 能表述Mathematica软件的特点；

2. 会使用Mathematica软件进行数值计算；

3. 会利用Mathematica软件进行代数运算；

4. 能运用Mathematica软件解代数方程。

一、 数学软件简介

到目前为止，所有的理工科大学生都必须花大量的时间练习求极限、导数和积分的技能，需要死背大量的公式、方法和技巧，这些重复劳动令人厌烦，直接影响了一些学生的学习兴趣，挤占了学生在理解数学概念和理论方面所花的时间。正是为了使学生和其他人员摆脱重复劳动的需要，像Mathematica这样具有符号推导功能的软件应运而生，突破了计算机只能进行数值计算的局限性，那些既令人厌烦又容易出错的计算、推导可由计算机完成。新一代的数学软件就是计算器的升级换代产品。当人们接触到这类软件后，就像当年看到计算器那样爱不释手。当前，数学机械化的条件已经具备，应当教会学生用计算机软件求解，这样既可以减轻学生的负担，又可节省出时间来加强数学概念与理论方面的教学。

同类优秀的数学软件还有MATLAB和Mathcad等，但它们基本上都还是以数值计算为主，有的也有符号运算的功能。而Mathematica软件以符号运算为主，进行符号运算比它们都方便，因此Mathematica更适于作为数学教学软件。一方面，通过这类软件，改变了靠一本书、一支笔、一张纸学习数学的传统，有利于数学的大众化，能激发学生学习、应用数学的兴趣。另一方面，以计算机软件为助手，使枯燥的数值计算和符号运算方便、快捷，善于死背死算的人已无可取之处，迫使学生从“死记”转向“理解”，这真是一件非常有意义的事。Mathematica的绘图功能也十分强大，使用方便、快捷，适合在教学中使用。在数值计算方面，注重计算精度，更具有数学上的严肃性，为精确计算的首选软件。现在，Mathematica数学软件认识实验

软件已经成为科技人员和大学师生们的得力工具，被广泛传播。

我们由于Mathematica涉及的数学与计算机知识十分广泛，一般人都会有既被吸引而又望而生畏的感觉。为此我们提醒读者，既不要害怕，也不必像学习数学与计算机基础课那样逐字逐句地认真推敲。首先全面了解一下它的功能，做到心中有数还是必要的。然后，等需要用到哪一部分时，再仔细学习钻研，不必面面俱到。读者主要应靠认真阅读书中的实例，去学习具体的操作方法和技巧，一般能模仿着使用就够了。尽管本书在讲解上力求准确、细致，然而有些内容比较复杂，仅靠几行文字解释是弄不清楚的。遇到看书和Help仍弄不清的问题，大都可以通过实例试验来解决。

最后还应指出，机械可以代替人做重复、繁重的工作，但不如人灵活。Mathematica的符号运算功能虽然强大，能代替人解《技术数学》教材中的绝大多数计算题，但也有技不如人的情况。令人鼓舞的是，随着版本的不断更新，功能日趋完善。作为教学软件，4.x版已相当令人满意。不过，无论在数学上还是在计算机语言方面，这个软件与常规既相似又有差别，经常会由于忽略了差别而在理解和使用上出现错误，这一点务必注意。

二、 Mathematica起步

1. Mathematica软件的主要功能

（1） 符号运算

Mathematica是美国Wolfram Research公司开发的著名数学软件，以符号运算为主，能像人一样进行带字母的运算，得到的是精确的结果。符号运算功能可以分成4大类：

（A） 初等数学

可以进行各种数和初等函数式的计算与化简。

（B） 微积分

可以求极限、导数（包括高阶导数和偏导数等）、不定积分和定积分（包括多重积分），将函数展成幂级数，进行无穷级数求和及积分变换。

（C） 线性代数

可进行行列式的计算、矩阵的各种运算（加法、乘法、求逆矩阵等）、解线性方程组、求特征值和特征向量、进行矩阵分解。

（D） 解方程组

能解各类方程组（包括微分方程组）。

下面展示了Mathematica符号运算的实际运行效果。

24 In[1]:= 37

Out[1]=2 21

In[2]:=Apart[1] 2x(x 1)

Out[2]=111 ( 1 x)2 1 xx

11= =1，x] xx In[3]:=Solve[

1 Out[3]={{x→(3 )}} 2

In[4]:=

Out[4]=2311 x2ydydx 28 3

In[5]:= 1 2k 1k

2

Out[5]= 6

（2） 数值计算

Mathematica的数值计算更具科学性。它与通常的数值计算程序有所不同，允许用户指定任意精度，例如能轻而易举地求出π的300位近似值；也可以求出1000！和210000等整数的准确值，令人惊叹。Mathematica具有众多的数值计算函数，能满足线性代数、插值与拟合、数值积分、微分方程数值解、求极值、线性规划及概率统计等方面的常用计算需求。

（3） 绘图

它的绘图功能也很出色，能绘制各种二维和三维彩色图形，自动化程度很高。

如图13-1和图13-2所示是绘图功能的演示。

In[1]：=ParametricPlot[{3 Sin[3θ] Cos[θ]，3 Sin[3θ] Sin[θ]}，

{θ，0，2π}，AspectRatio→Automatic]

图13-1 二维图形演示。

Out[1] = -Graphics-

In[1]:=ParametricPlot3D[{Sin[t]，Sin[2t] Sin[u]，Sin[2t] Cos[u]}，

{t，-Pi/2，Pi/2}，{u，0，2Pi}，Ticks→None]

图13-2 三维图形演示。

Out[1]= -Graphics3D-

（4） 编程

在Mathematica中，用户可以自己编写各种程序（文本文件），开发新的功能。用户开发的功能可以在软件启动时被调入，与软件本身的功能一样使用。Mathematica 4.0 版自带一百多个专门的程序包，都是另外编写的程序文件，补充并完善了Mathematica的功能。Mathematica良好的底层环境极具吸引力，为数学编程提供了广阔天地。

2. Mathematica界面简介

Mathematica 4.0版在Windows 9x以上环境中运行，一般占用150MB以上的硬盘空间，软件的安装与一般Windows应用程序的安装过程相同。本书假定Mathematica安装在目录D:\Mathematica\4.0中，Mathematica启动后的界面如图13-3所示。

图13-3 Mathematica启动后的界面

图13-3所示的界面由工作区窗口、基本输入模板和主菜单组成。

（1） 工作区窗口

左边的大窗口为工作区，是显示一切输入、输出的窗口。无论直接输入各种算式或命令，

还是运行已经编好的程序，所有操作都在这个窗口中进行。可以同时打开多个工作区窗口。在这样的窗口中，不仅可以显示文字与数学表达式，还可以显示图形、按钮等对象，将这种类型的窗口称为Notebook。

（2） 基本输入模板

位于工作区窗口右边的是基本输入模板，由一系列按钮组成。用鼠标左键单击一个按钮，就可以将它表示的符号输入到当前的工作区窗口中。用户应该认真观看并大致记忆它的内容。Mathematica提供多个这样的模板，用于简化数学表达式、特殊字符及Mathematica函数的输入，还可以根据需要自制特殊的模板。模板的引入大大加快了输入速度、减轻了记忆负担，这也是人们乐于使用Mathematica的原因之一。

（3） 主菜单

位于如图13-3上方所示的是主菜单。Mathematica的菜单项很多，初学时不必一次搞清楚。以下只介绍一些最常用的菜单项。

File菜单

File中的New，Open，Close及Save命令用于新建、打开、关闭及保存用户的文件，这些选项的功能与Word类似，不再赘述。另外有几个选项是Mathematica特有的，其中最有用的是：

Palettes 用于打开各种模板。

Generate Palette from Selection 用于生成用户自制的模板。

Notebooks 记录最近使用过的文件。

模板

Palettes中最有用的是BasicCalculations（基本计算模板）选项，这个模板分类给出了各种基本计算的按钮。例如Calculus子项中的Common Operations，就包含各种微积分基本计算按钮。模板是解决输入困难的好办法，使用户无须死记大量的命令及相关参数，便于查询和输入。

联机帮助系统

记不清或不了解某些操作时，可以打开Help菜单，查询有关帮助。其中的Master Index是字典式查询，其它是分类的帮助内容，可自行观看。

三、 数、变量、函数、算式和表

1. 数的表示和计算

（1） 准确数与近似数

2 Mathematica以符号运算为主，这与C、BASIC和FORTRAN语言不同。例如，π，，3

2等符号表示准确数。近似数用带小数点的数表示，例如1.2，2.3*10^5等。无论准确数还是近似数，都没有位数的限制（当然，实际上受到计算机内存的限制），可以求出2100000的准确值，也可以求出π的任意位数的近似值。

（2） 数的输入、输出方法和格式

例1计算：（1）23+，（2） 23+32 ，（3）4。 32

解：In[1]:=2/3+

Out[1]=3 213 6

In[2]:= 2^3 + 32

Out[2]=17

In[3]:=4

Out[3]=2

说明：上例中以不同的方式输入了分式和幂式，并得到计算结果。

以下通过例1讲解数的输入、输出方法和格式。

（A） 分式的输入

在例1中，第1行分别以两种形式输入了两个分数。分数线的输入可键入“/”或“Ctrl+/”来实现。前者的分式表示法与C，BASIC等程序语言相同；后者产生常规的分数线和一个表示分母位置的小方块，光标停在小方块内，键入分母后可以按键盘上的“→”退出分母，也可按End键或单击分数后面的位置退出分母，使光标处于分数后面的位置，就可以继续输入后面的表达式了。输入分式也可用基本输入模板中的分式按钮输入分式形式，可以通过Tab键或单击使光标从分子跳到分母。对分数进行四则运算的结果是准确数，分子、分母的公因数已经被自动约去。

（B） 指数的输入

在例1中，第3行分别以两种形式输入了两个幂式。指数的输入可通过按“^”键或“Ctrl+6”键来完成。前者的指数表示法与C，BASIC等程序语言相同，后者按数学的常规方式产生一个表示指数位置的小方块。也可用基本输入模板中的幂式按钮输入幂式形式，通过按Tab键或单击使光标从底跳到指数。

说明：根式也可通过键盘输入，但不如用基本输入模板中的根式按钮输入方便，且无须记忆键盘命令。

注意：准确数的运算结果都是准确数，准确数与近似数运算的结果是近似数（保持最大可能的精度）。

（C） 输入与输出提示

从例1中看到Mathematica自动在输入的式子前面加上如 In[1]：= 等符号，在输出的答案前面加上Out[1]= 等符号，以便分清输入与输出并自动加上编号。用户也可以通过Kernel菜单中的Show In/Out Names选项去掉这些提示。

（D） 计算的执行

当输入完整个算式后按Shift+Enter键（或小键盘上的Enter键），Mathematica立即开始计算。在例1中共进行了三次计算，也可以一次计算三个算式。只要在前两次输入完算式后

按Enter键（只换行不计算），最后一个算式输入完后按Shift+Enter键即可。Mathematica启动后的首次计算开始时，才将执行计算的核心程序调入，因此需要等待片刻。再次执行计算时，速度就很快了。由于键入匆忙，有时会产生输入错误。一经执行后才被发现，当然得不到正确的结果。这时不必重新输入，只要将原式修改后，再次按Shift+Enter键，就能重新计算，并用新的输出覆盖原来的输出。可以将工作区窗口当成一张“无限”长的草稿纸，不断进行输入输出，所有的内容都会被保留。

（E） 强制中断计算

如果执行计算后，由于各种原因使计算长时间不能完成，可以通过键盘命令“Alt + ，”或“Alt + .”停止计算。使用后者将立即停止计算，而使用前者后则弹出一个对话框供选择。

（F） 特殊字符的输入

π和e分别用专用字符Pi和E表示，也可以由基本输入模板的特殊字符按钮输入。I表示虚数单位（注意必须用大写字母），也可以由基本输入模板的特殊字符按钮输入。复数用a+bI表示。Infinity表示无穷大，也可以由基本输入模板的特殊字符按钮输入符号 ∞。注意符号 ∞与 +∞相同，没有双侧无穷的概念（而MATLAB是有的）；-Infinity表示 -∞。

（3） 近似数的精度控制

求近似值的函数N。Mathematica允许用户任意指定数值计算的精度，函数N的调用格式如下：

N[表达式，数字位数] 用于指定计算表达式的具有任意数字位数的近似值（指定的数字位数应该大于16），结果在末位后是四舍五入的。

N[表达式] 用于计算表达式的近似值，具有机器规定的精度（16位有效数字），但是按标准输出只显示前6位有效数字，如果想要全部显示应该改为按InputForm形式输出（使用Cell菜单中的选择输出形式选项可以更改输出形式或使用InputForm[ ]函数）。还可以使用函数NumberForm[Real，n]规定实数的显示位数n。

注意：在Mathematica中，π和e都表示准确数。

例2求π和e的6位、8位、16位和50位有效数字的近似值。

解：In[1]：=N[π]

Out[1]=3.14159

In[2]:=N[π] // InputForm

Out[2] // InputForm=

3.141592653589793

In[3]：= NumberForm[N[π]，8]

Out[3] // NumberForm=

3.1415927

In[4]：=N[π，50]

Out[4]=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

In[5]：=N[e，50]

Out[5]=2.7182818284590452353602874713526624977572470937000

说明：其中，π和e由基本输入模板中的相应按钮输入。

2. 变量

（1） 变量命名

Mathematica中的变量名必须是以字母开头的并由字母或数字组成的字符串（长度不限），但是不能含有空格或标点符号，大写与小写字母用于表示不同的变量。例如x，a1，b12，Tc都是合法的变量名，2a是不合法的变量名，a1与A1是不同的变量。

（2） 变量赋值

一个变量可以表示各种类型的数或字符串，也可以表示一个算式。与C语言不同，不必事先声明变量的类型，Mathematica会根据用户给变量所赋的值自动处理。

使用等号给变量赋值，具体格式如下：

x =Value 给x赋值。

x = y =Value 同时给x，y赋相同的值。

{x，y， }={Value1，Value2， } 同时给x，y， 赋不同的值。

例3 观察下面给x、a、b、c等变量的赋值方法和输出效果。

In[1]：=x=2

Out[1]=2

In[2]：=a1=s+t

Out[2]=s+t

In[3]：=a=b=c=1

Out[3]=1

In[4]：={u，v}={1，2}

Out[4]={1，2}

In[5]：=x=a

Out[5]=1

In[6]：=x

Out[6]=1

In[7]：=s=1

Out[7]=1

In[8]：=a1

Out=1+t

说明：上例分成两部分：

In[1]~In[4]是4个赋值式。第1个式子引入了符号x，同时声明x表示2。第2个式子引入了符号a1，s，t，同时说明了它们之间的关系。第3个式子同时给多个变量赋以同一值。第4个式子同时给多个变量赋以不同值。

In[5]重新给x赋值为a，因为已知a=1，因此输出结果是1。In[6]查看x的值，答案也表

明x=1。In[7]赋值s=1，In[8]查看a1，输出表明a1=1+t。这时x被重新赋值，s由原来无值变为有值且影响到a1。也就是说用户输入的变量及其值或关系式一直被Mathematica记忆，并随着用户的重新赋值而更新，即使同时打开多个工作区窗口变量也是共享的。这一特性既给使用者带来了方便，但也容易因忘记前面已经使用过哪些变量而产生错误。

（3） 清除变量

为了避免隐蔽的错误，应该及时清除不再使用的变量。其方法有以下几种：

x= . 清除x的值但保留变量x。

Clear[x] 清除x的值但保留变量x（在复杂的使用情况下清除更多的定义）。 Remove[x] 将变量x清除。

（4） 表示输出的专用符号

%是一个重要的Mathematica符号，其用途如下：

% 表示前一个输出的内容。

%% 表示倒数第2个输出的内容，依此类推。

% n 表示第n个（即Out[n]）输出的内容。

所有%的内容一直被Mathematica记忆，它们可以像其它变量一样被后面的计算引用，如下面的例子所示。

例4 观察下面输出专用符号“ % ”的使用方法和输出效果。

In[1]：=a=x^2+2 Out[1]=2+x2 In[2]：=2+3 Out[2]=5 In[3]：=% Out[3]=5 In[4]：=%%% Out[4]= 2+x2 In[5]：=a+%2 In[6]：=%1+%2 Out[6]= 7+x2 Out[5]= 7+x2

注意：这些 % n的内容是被保护的，Clear或Remove不能清除它们。其实，所有的输入内容也同样被保留和保护，这些内容当然会占据计算机内存。为了节约内存，可以在解除保护后清除它们。清除的方法是使用Unprotect[In，Out]和Clear[In，Out]，不过一般无此必要。

3. 函数

Mathematica的基本功能是作为一个高级的函数计算器来使用的，各种操作主要靠函数来实现。Mathematica提供的函数种类繁多且功能强大，函数一词也不限于数学上的含义，有实现各种操作的函数。本书将Mathematica本身的内部函数和它自带的软件包中的函数统称为

系统函数。还可以由用户自定义函数，加入到Mathematica中，能像系统函数一样使用。学习Mathematica主要是分门别类地学习各种函数的功能及其调用方法。下面只介绍一些简单而又常用的数学函数。

函数的一般形式是：函数名[参数1，参数2， ]。

（1） 基本初等函数

在Mathematica中基本初等函数的格式如下：

Sin[x] 正弦函数 Cos[x] 余弦函数

Tan[x] 正切函数 Cot[x] 余切函数

Sec[x] 正割函数 Csc[x] 余割函数

ArcSin[x] 反正弦函数 ArcCos[x] 反余弦函数

ArcTan[x] 反正切函数 ArcCot[x] 反余切函数

Exp[x] 表示ex Sqrt[x] 表示x

Log[x] 表示lnx（一般以a为底的对数函数用Log[a，x]表示）

Mathematica系统函数的书写规则很严格，务必注意以下几点：

（A） 函数名首字符用大写、后面的字符一般用小写，当函数名分成几段时，每段的首字符应大写，函数名中不能含有空格（但自定义函数的首字符不必大写）。

（B） 参数用方括号括起来，但是不能用圆括号。这是很科学的表示法，事实上常规的数学表示法有问题，比如f（x+y）既可以理解成求函数f当自变量等于x+y时的值，又可以理解为f乘以x+y，Mathematica认为圆括号表示相乘。

（2） 常用函数

下面列出一些经常用到的函数：

Abs[x] 求实数的绝对值或复数的模。

Sign[x] 符号函数

Max[x1，x2， ] 一组数的最大值。

Min[x1，x2， ] 一组数的最小值。

n！ 求n的阶乘。

k Binomial[n，k] 求Cn。

（3） 随机函数

Mathematica中产生多种类型随机数的函数，如下所述。

Random[type，range，n] 产生指定类型、范围的、具有n位数字的随机数，其中类型type只能是Integer，Real，Complex，范围range由{min，max}指定（默认值是0，1），位数n的默认值是按机器规定的精度，三个精度都可以缺省。

Random[ ] 产生一个0，1之间的一个实数。

Random[Integer] 只能取0和1。

Random[Real，max] 产生{0，max}范围内的一个实数。

4. 算式

（1） 用字母表示一个算式

一个字母不仅能表示一个变量，还可以表示一个算式，示例如下：

In[1]：=p=x^2 + 2x y + y^2

x=1；

y=2；

p

Out[1]=x2 2xy y2

Out[4]=9

In[5]：=x= . ；

y= . ；

p

Out[7]=x2 2xy y2

说明：上例中In[1]用p表示一个x，y的多项式，当两个变量相乘时中间应该用空格或*号隔开，否则Mathematica将xy当成一个新的变量！2x不必隔开，括号也起分隔的作用。以上连续输入了4个表达式后才输出结果，输入完第1行后按Enter键换行，但是Mathematica不立即输出该行结果，第2、3行表达式后面加分号表示不显示该表达式的输出结果（但是对应的Out[n]仍然存在），第4行键入p表示求p的值，然后按Shift+Enter键通知Mathematica开始计算。第1个输出是第1行输入的结果，p表示一个算式。第2个输出是第4行输入的结果，p的值已经改变为9！使用者如不警惕，经常会忘记这种改变，因而铸成大错。第5、6行输入清除了x，y的值，p的原来值又显示出来。

（2） 变量替换

使用变量替换是求算式的值而不改变算式本身的方法，示例如下：

In[1]：= p = x^2 + 2x y + y^2

Out[1]= x2 2xy y2

In[2]：=p / . x→1

Out[2]= 1 + 2y + y2

In[3]：=p / . {x→1，y→2}

Out[3]=9

In[4]：=p

Out[4]= x2 2xy y2

In[5]：=q=p / . {x→Sin[t]，y→Cos[t]}；

q

Out[6]= Cos[t]2 + 2Cos[t] Sin[t] + Sin[t] 2

说明：以上In[2]中p / . 表示对p进行替换，x→1表示将算式p中的x用1代入，其中的箭头是由键入负号“-”和大于号“>”拼成的。在In[3]中同时替换x，y，一次进行多项替换时用花括号将替换表达式括起来，各项之间用逗号分开。Out[4]说明p本身并没有改变！

在In[5]中将替换结果赋值给q，Out[6]显示了q的值。使用化简函数，还可以将这个结果化简。

（3） 续行问题

最后讲一下续行问题，如果一个式子太长可以换行后继续书写，这时可以在行尾加“\”后再按Enter键换行。如果不加“\”，直接按Enter键换行，Mathematica将自动识别：当一行的算式不完整时，将认为后一行是续行；如果前一行已经独立构成一个完整的算式，则认为算式已经结束，后一行是另一个算式。在4.0版中，其实不必考虑续行问题，不管式子多长尽管放心键入，Mathematica会自动换行。

5. 表

表是存储多个数、变量或算式等对象的一种数据结构，一个表用一对花括号表示，它的成员（元素）在括号内用逗号隔开，同一个表的成员可以有不同的数据类型，表的成员还可以是一个表（子表）。

例如：

In[1]：={1，2，3}

Out[1]={1，2，3}

In[2]：={1，2x，Sin[x]，{2，Cos[x]}}

Out[2]={1，2x，Sin[x]，{2，Cos[x]}}

经常要提取或改变一个表中的元素，因而以下函数是常用：

t[[n]] 表示表t的第n个元素。

t[[-n]] 表示表t的倒数第n个元素。

t[[{n1，n2， }]] 表示表t的第n1，n2， 个元素。

t[[i，j]] 表示表t的第i个子表的第j个元素。

Length[t] 表示表t的元素的个数。

例5 观察下面表元素的操作方法和输出结果。

In[1]：=b={{1，2，3}，{4，5}，6}

Out[1]= {{1，2，3}，{4，5}，6}

In[2]：=b[[1]]

Out[2]={1，2，3}

In[3]：=b[[1，3]]

Out[3]=3

In[4]：=Part[b，2，2]

Out[4]=5

In[5]：=b[[2，2]]=Sin[x]；

b

Out[6]= {{1，2，3}，{4，Sin[x]}，6}

In[7]：={{1，2，3}，{4，5}，6}[[2，1]]

Out[7]=4

注意：上例In[4]和In[7]中的表达式，含义仍是提取表中的元素。

说明：b[[2，2]]与b[[2]][[2]]含义相同。对于3层表，可用t[[i，j，k]]或t[[i]][[j]][[k]]，依此类推。

可以通过函数提取、添加、删除、替换一个表中的元素得到一个新表，也可以通过函数进行表的运算，从而生成新表。最主要的建表函数是Table，其调用格式如下：

Table[f，{i，imin，imax，stepi}，{j，jmin，jmax，stepj}]

用于建立通项为f的表，其中f是i，j的函数，min，max，step规定了初值、终值、步长，min和step的默认值为1。

说明：以上参数设置用于建立一个2层表，实际上表的层数可以任意的，读者应能举一反三，这里不再赘述。

四、 表达式的查阅、保存和文件的调入

1. 表达式的查阅

前面已经提到，如果不清除使用过的变量，它将始终被Mathematica记忆，当使用者忘记时就会导致错误的发生，以下介绍如何查阅已经使用了哪些变量。

操作符？用于某些内容的查询，用法如下：

？变量名 显示一个变量的信息。

？ab* 显示以字母ab打头的全部变量。

？Global`* 显示已经使用的全部变量。

问号还可以用于查阅帮助信息，用法如下：

？函数名 显示函数的帮助信息。

？？函数名 显示函数更为详细的帮助信息。

？Ab* 显示以字母Ab打头的所有帮助信息。

例如：

In[1]：=？Sin

Sin[z] is gives the sine of z

In[2]：=？？Sin

Sin[z] gives the sine of z

Attributes[Sin]={Listable，NumbericFunction，Protected}

2. 表达式的保存

在退出Mathematica时，总是询问是否将用户窗口的内容保存到一个文件中，一般约定以*.nb型文件保存。但是用户窗口犹如一张草稿纸，其中内容未必都有保存价值，经常需要的是选择部分内容予以保存。以下介绍保存表达式和计算结果的方法。

可以运用Windows的拷贝、粘贴功能，用鼠标选中想要保存的内容，然后单击Edit菜单中的Copy，将其复制到Windows的剪贴板，再利用Edit菜单中的Paste将其复制到另一个新打开的工作区窗口中，最后存盘（为*.nb型文件）。使用这种方法，既可以保存用户键入的

表达式，又可以保存Mathematica输出的计算结果。

Mathematica提供了保存变量的值的操作符，用法如下：

变量名 >> “文件名” 将变量的值保存到指定文件中。

变量名 >>> “文件名” 将变量的值添加到指定文件中。

3. 文件的调入

用户以*.nb型文件保存的内容，可以通过File菜单的Open或Notebooks项查找调入。Mathematica将专门为调入的文件打开一个工作区窗口，显示出保存的内容，可以修改或再次执行其中的语句（调入时并不自动执行）。应该注意，这种Notebooks文件格式特殊，并不是Mathematica的程序文件，Mathematica的程序文件是标准的文本文件（一般扩展名为m）。 调入程序文件使用的操作符如下：

<<“文件名” 将指定的文件调入并立即运行，其中双引号也可以省略。

五、 基本代数运算

代数运算是一切符号运算（简单说来，就是让计算机能像人一样进行带字母的运算，得到的是准确结果）的基础，下面介绍实现各种基本代数运算的Mathematica函数，用于变换数学表达式、解方程和解不等式。其中最重要的是化简函数，在各种符号演算中到处都会用到。

1. 化简计算结果

在Mathematica中，符号运算的结果经常是没有化简的，与人工计算的答案不同。但是Mathematica提供了很强的化简功能，能自动或在人工参与下将结果化简，最终得到形式满意的答案。

常用的化简函数有两个：

Simplify[expr] 使用变换化简表达式。

FullSimplify[expr] 使用更广泛的变换化简表达式。

如果使用前一个函数不满意，再使用后一个函数。

例6 化简表达式（1）cos2x + sin2x，（2）cos2x + 2sinxcosx + sin2x，（3）a2。 解：In[1]：=Simplify[Cos[x]^2 + Sin[x]^2]

Out[1]=1

In[2]：=Simplify[Cos[x]^2 + 2Sin[x] Cos[x] + Sin[x]^2]

Out[2]=(Cos[x] + Sin[x])2

In[3]：=FullSimplify[Cos[x]^2 + 2Sin[x] Cos[x] + Sin[x]^2]

Out[3]=1 + Sin[2x]

In[4]：=Simplify[a^2]

Out[4]=a2

In[5]：=Simplify[a^2，a>0]

Out[5]=a

说明：从上例中的Out[2]和Out[3]可以看到这两个函数的差异，后一个功能更强。从Out[4]

看到根式并没有化简，因为Mathematica不知道a是什么类型的数，不化简反倒是正确的。从In[5]中可以看出，这两个函数允许加上含有条件的第二个可选参数，使化简得以进行。

2. 常用的因式分解函数

（1） 因式分解

用于因式分解的函数是：

Factor[expr] 用于和式的因式分解，也可以分解分式的分子、分母（还可以先通分再分解）。

x2 4xx2 3x 4 例7 分解因式：（1）x –1，（2）Sinx-Sinx，（3）2。 x xx2 143

解：In[1]：=Factor[x^4 - 1]

Out[1]=( -1 + x )( 1 + x )( 1 + x2)

In[2]：=Factor[Sin[x] - Sin[x]^3]

Out[2]= - ( -1 + Sin[x] )Sin[x](1 + Sin[x])

x2 4xx2 3x 4 In[3]：=Factor[2] x xx2 1

Out[3]=2( 2 x)(2 x) ( 1 x)(1 x)

（2） 合并同类项

合并同类项的函数是Collect，其调用格式如下：

Collect[expr，x] 将表达式expr中的x的同次幂合并。

Collect[expr，{x，y， }] 将表达式expr按x，y， 的同次幂合并。

（3） 表达式的展开

将表达式展开的函数有：

Expand[expr]

ExpandAll[expr]

这两个函数都可用于乘积的展开，也可以展开分式。后者展开得更为彻底，前者展开分式时只展开分子，而后者将分子、分母都进行展开。

还有两个特殊的展开函数：

ExpandNumerator[expr] 只展开分式的分子。

ExpandDenominator[expr] 只展开分式的分母。

（4） 分式的化简与展开

下列函数分别用于有理式的合并、化简与展开：

Together[expr] 用于通分，把所有的项放在同一个分母上并化简。

Cancel[expr] 用于约去分子、分母的公因式。

Apart[expr] 将有理式分解为最简分式的和。

x2 4xx2 3x 41例8 化简分式：（1）2， （2）。 x xx2 1(a x)(b x)3

x2 4xx2 3x 4 解：In[1]：= r =2； 2x xx 1

Together[r]

2( 4 x2) Out[2]= ( 1 x)(1 x)

In[3]：=Cancel[r]

Out[3]= 4 x4 x 1 x1 x

In[4]：=Apart[r]

Out[4]=2 33 1 x1 x

In[5]：=Apart[

Out[5]=

1，x] (a x)(b x)311 (a b)3(a x)(a b)(b x)311 223(a b)(b x)(a b)(b x)

说明：由上例可以看出，这三个函数对于同一个分式的作用效果不同。函数Apart通常用于求有理式的积分，它的第二个可选参数表明谁是变量，在上例In[5]中的a，b则作为常数。

（5） 输出缩减形式

有时输出结果很长，并不需要了解其中的细节，只需知道它的结构，这时可以使用函数Short简化结果的输出形式，具体用法如下：

Short[expr] 将输出结果缩略成一行显示。

Short[expr，n] 将输出结果缩略成n行显示。

（6） 三角函数式的化简

还有三角函数专用的分解、展开、化简函数：

TrigExpand[expr] 将三角函数式展开。

TrigFactor[expr] 将三角函数式因式分解。

TrigReduce[expr] 用倍角化简三角函数式。

TrigToExp[expr] 将三角函数式转换成指数形式。

ExpToTrig[expr] 前一个函数的逆变换。

Mathematica在求不定积分时，答案经常出现双曲函数，不符合人工解题的习惯，可以使

用TrigToExp转换。

3. 多项式的运算

两个多项式的四则运算使用通常的 + ，- ，* ，/ 运算符，其中乘号可以用空格代替。

例9 进行1 + x与1 - x2的和、差、积、商运算。

解：In[1]：= p1 = 1 + x；

p2 = 1 - x^2；

p1 + p2

Out[3]=2 + x - x2

In[4]：= p1 - p2

Out[4]= x + x2

In[5]：=p1*p2

Out[5]=（ 1 + x）（1 - x2 ）

In[6]：= p2/p1

1 x2

Out[6]= 1 x

注意：从Out[5]和Out[6]可以看到，乘法和除法其实什么也没做，需要用前面介绍的化简函数将结果化简。

以下介绍四个常用函数：

PolynomialQuotient[p1，p2，x] 求x的多项式p1被p2除的商。

PolynomialRemainder[p1，p2，x] 求x的多项式p1被p2除的余式。

PolynomialGCD[p1，p2， ] 求多个多项式的最大公因式。

PolynomialLCM[p1，p2， ] 求多个多项式的最小公倍式。

4. 解方程

（1） 解符号方程（组）

在Mathematica中“=”号用于给变量赋值，而方程中的等号使用符号“= =”（即两个等号）表示。方程组用花括号括起来，各个方程用逗号分隔。所有未知量也用花括号括起来，未知量之间用逗号分隔。单个方程和未知量不必使用花括号。以下用eqns表示方程组，用vars表示未知量组。

下列函数用于解符号方程（组）：

Solve[eqns，vars] 对系数按常规约定求出方程（组）的全部解。

Reduce[eqns，vars] 讨论系数出现的各种可能情况，分别求解。

ax by 0例10 解方程或方程组：（1）ax + b = 0，（2） 。 cx dy 1

解：In[1]：=Solve[a x + b = = 0，x]

b Out[1]= x a

In[2]：=Reduce[a x + b = = 0，x]

Out[2]= a = =0 && b= =0 | | x= = b && a≠0 a

In[3]：=Solve[{a x + b y= =0，c x + d y= =1}，{x，y}]

ba Out[3]= x ,y bc ad bc ad

说明：上例首先用这两个解方程的函数解同一个方程，Solve不考虑a=0的情况，而Reduce则进行讨论。然后再用它们解同一个方程组，Solve给出的答案遵循通常的“系数行列式不等于0”的约定，而Reduce给出的答案就令人厌烦了，因此解符号方程（组）时主要使用Solve。应当指出它们不仅能解一般的代数方程，还可以解一些无理方程、三角函数方程和含有指数、对数的方程等（但是在解超越方程时，Mathematica有时会提示答案不是全部解）。如果在方程的系数中使用小数，则改为求近似解。

例11 解下列方程或方程组：

（1）15x6 - 13 x5 - 73x4 - 55x3 - 86x2 +140x – 24 = 0，（2）x 1 x 1 = 0，（3）

x y 1。 x 1 x 1 = a，（4） 22 x y 1

解：In[1]：=Solve[15x6 - 13x5 - 73x4 - 55x3 - 86x2 +140x – 24 = = 0，x]

12 Out[1]={{x 2},{x {x {x 3}, 53

11 {x ( 1 ii7)},{x ( 1 ii7)} 22

In[2]：=Solve[x 1 x 1= =0，x]

Out[2]={ }

In[3]：=Solve[x 1 x 1= =a，x]

4 a4

Out[3]={{x }} 4a2

In[4]：=Solve[{x+y= =1，x^2+y^2= =1}，{x，y}]

Out[4]={{x→0，y→1}，{x→1，y→0}}

说明：上例中In[2]无解，则输出一个空括号。Mathematica的解集输出优于MATLAB的同类函数输出，有几个解、各个未知量的值都一目了然。

（2） 求近似解

众所周知，很多方程是根本不能求出准确解的，前面介绍的那些函数也无能为力。下列函数专门用于求方程（组）的数值解，其调用格式如下。

NSolve[eqns，vars] 求代数方程（组）的全部数值解。 FindRoot[eqns，{x，x0}，{y，y0}， ] 从（x0，y0， ）出发找方程（组）的一个解。 例12 求下列方程或方程组的近似解：

x3 y 0 （1）x– 1 = 0， （2） 2。 2x y 1 3

解：In[1]：=Solve[x^3-1.0 = = 0，x]

Out[1]={{x→ - 0.5 - 0.866025ii}，{x→ - 0.5 + 0.866025ii}，{x→1.}}

In[2]：=NSolve[x^3 - 1 = = 0，x]

Out[2]={{x→ - 0.5 - 0.866025ii}，{x→ - 0.5 + 0.866025ii}，{x→1.}}

In[3]：=FindRoot[x^3 - 1= = 0，{x，5}]

Out[3]={x→1.}

In[4]：=FindRoot[x^3 - 1= = 0，{x，I}]

Out[4]= {x→ - 0.5 + 0.866025ii}

In[5]:=FindRoot[{x^3 – y = = 0，x^2 + y^2 = = 1}，{x，1}，{y，1}]

Out[5]={x→0.826031，y→0.563624}

注意：上例中In[1]说明，如果方程中出现小数，则Sovle也求近似解。

还有求多项式根的函数Roots，通常可用Solve代替，这里就不介绍了。

（3） 消去某些变量

最后介绍一个很有用的函数：

Eliminate[eqns，elims] 从一组等式中消去变量（组）elims。

x2 y2 z2 1例13 （1）从方程组 2中消去未知数z， 22 x (y 1) (z 1) 1

x2 y2 z2 1 （2）从方程组 x2 (y 1)2 (z 1)2 1 中消去未知数y、z，

x y 1

x2 y2 z2 1 （3）从方程组 x2 (y 1)2 (z 1)2 1 中消去未知数y、z，解出x。

x y 1

解：In[1]：=Eliminate[{x^2+y^2+z^2= =1，x^2+(y -1)^2 +(z -1)^2= =1}，z]

Out[1]=（2 - 2y）y = = x2

In[2]：=Eliminate[{x^2 + y^2 + z^2= =1，x^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = =1， x + y= = 1}，{y，z}]

Out[2]= - 2x + 3x2 = = 0

In[3]：=Solve[{x^2 + y^2 + z^2 = =1，x^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = = 1，

x + y = = 1}，x，{y，z}]

2 Out[3]={{x→0}，{x→}} 3

注意：上例中In[3]表明，Solve[eqns，vars，elims]的功能是消去y，z，求出x的值。同样，函数Reduce也有此用法。

5. 解不等式

Mathematica没有解不等式的内部函数，但是它自带的外部函数有此功能，必须将含有此函数的程序文件调入后才能使用，文件位于Mathematica的标准扩展程序包集中。

调入方法是键入：

<<程序包子集名 `文件名` （文件名不必带扩展名）

也可以调入整个程序包子集：

<<程序包子集名 `

标准扩展程序包集是Mathematica的一个子目录StandardPackages，它的子目录本书称为程序包子集。程序包子集按数学学科分类，如Algebra，Calculus等。每个程序包子集中有多个文件，文件扩展名为m。每个文件中有一个或多个外部函数，这里将这类文件称为程序包（文件）。在标准程序包集的代数程序包子集Algebra中，有解不等式的程序文件InequalitySolve.m，它位于子目录：

D:\ Mathematica\ 4.0\ AddOns\ StandardPackages\ Algebra\

下。其中有函数：

InequalitySolve[不等式（或等式）组，变量组]

用于解不等式（或等式）组。将该函数调入后，如同内部函数一样使用。这个函数功能强大，在表达式中允许使用各种不等号和等号。其中，符号≥可以由基本输入模板中的相应按钮输入，也可以输入“> =”。

习题13.1

1．学会使用基本输入模板输入各种数学符号和特殊字符，例如：

∞，π，α，e，λ，4，25，7，。 5

2．打开并浏览Mathematica的Help窗口。

3．表达式输入后，执行计算按哪些键？

2114．计算： ； 2.5 +; 210000； π的300位近似值。 325

5．计算：sin2； cos1350； arcsin1； tg0.2； 2

200！； ln5.0； log210； e。

6．求30位近似值重解第5题。

7．取很小的正数x直接计算验证：sinx 1。 x

n 1 8．取很大的正整数n直接验证： 1 e，体验这样做的效果很不理想，当遇到计算时间 n

太长时学会中止计算。

9．因式分解：

（1） x（y + z）2 + y（z + x）2 + z（x + y）2 - 4xyz；

（2） （x + 1）2 +（4y + 1）2 + 8xy - 1；

（3） x（y - z）3 + y（z - x）3 + z（x - y）3 。

10． 将下列分式分解成部分分式之和：

x5 x4 8x2 1（1） ； （2） 。 32x x(x 1)(x 1)

11． 解下列方程（组）：

x y 1（1） x5 – x3 – 4x2 - 3x – 2 = 0； （2） 2 。 2x y 1

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