第四章 大数定律与中心极限定理答案

第四章 大数定律与中心极限定理答案

一、单项选择

1. 设?(x)为标准正态分布函数，Xi???1,事件A发生；100i?1i?1,2,?,100，且

?0,事件A不发生，P(A)?0.8，X1,X2,?,X100相互独立。令Y??Xi，则由中心极限定理知Y的分

布函数F(y)近似于（ ）

y?80（A）?(y) （B）Ф() （C）?(16y?80) （D）?(4y?80)

4答案：D 二、填空

1. 设X的期望和方差分别为

?和?2，则由切比雪夫不等式可估计

P(X???2?) 。

答案：?

3 42．设随机变量X和Y的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式，有P{|X?Y|?6}?________． 答案：

1 123． 已知随机变量?的均值μ=12，标准差σ=3，试用切比雪夫不等式估计?落在6到18之间的概率为________．与3到21之间

解 由题意得，E??12,D???2?32, 由切比雪夫不等式得

P{6???18}?P{??12?6}D?323?1?2?1?2?466

?P{6???18}?3 4

4． 已知随机变量?的均值μ=12，标准差σ=3，试用切比雪夫不等式估计?落在3到21之间的概率为________．

解 由题意得，E??12,D???2?32, 由切比雪夫不等式得

P{3???21}?P{??12?9}D?328?1?2?1?2?999

?P{3???21}?8 9

5．假定生男孩、生女孩的概率均为0.5，用切比雪夫不等式估计200个新生婴儿中男孩在80个到120个之间的概率为________．

解 设?表示在200个新生婴儿中男孩的个数, 则?~B(n,p), 其中n?200, p?0.5, 则

E(?)?np?200?0.5?100,

D(?)?np(1?p)?200?0.5?(1?0.5)?50.

由切比雪夫不等式得

P{80???120}?P{??100?20}?1?

6．用切比雪夫不等式估计下题的概率: 废品率为0.03, 求1000个产品中废品多

D?507?1??2022028

于20个且少于40个的概率为________.

答案：0.709

7．用切比雪夫不等式估计下题的概率:

求200个新生婴儿中, 男孩多于80个且少于120个的概率为________. (假定生女孩和生男孩的概率均为0.5.)

答案： 0.875

8． 设随机变量X~U?0,1?，由切比雪夫不等式可得P(X?1411?)? . 23答案：

三、计算题

11．现有一批种子, 其中良种占, 今任取6000粒种子,试以0.99的概率推断在这

616000粒种子中良种占的比例与的差是多少? 相应的良种数在哪个范围内?

6解 用随机变量Xk表示第k粒种子, 用Xk?1表示第k粒种子为良种, 用Xk?0表示第k粒种子不是良种, k?1,2,?,6000

15E(X)?,D(X)?,Xk(k?1,2,?,6000)是相互独立同分布的随机变量序则ii6366000列,

?Xk?16000k表示这6000粒种子中良种的粒数,记X??Xk?1k,

则EX?6000EX1?1000,DX?6000DX1?6000?则由独立同分布的中心极限定理得

5, 36160001P(X???)?k6000k?166000?P{1X??6000?k6k?115156000??6000??6666??(207.85?)??(?207.85?)?2?(207.85?)?1?6000?}

根据题意,令2?(207.85?)?1?0.99.即有?(207.85?)?0.995,

8?5查正态分布表得 207.?2.,???0.0124

160001P(X??0.0124)?0.99 ?并由 k6000k?16得 P(925??Xk?1075)?0.99

k?160001因此, 以0.99的概率推断在这6000粒种子中良种占的比例与的差是0.0124.

6这时, 相应的良种粒数在925粒到1015粒之间.

2．某单位有120个电话分机，每个分机有5%的时间使用外线，假设各分机使用外线与否是相互独立的，试用中心极限定理计算，使用外线的分机个数?在6个到12个之间的概率.

(已知?(2.51)?0.994,?(0)?0.5.)（8分）

解：?～B(n,p), 其中 n=120, p=5%

?E?=6, D?=5.7, 由中心极限定理，得

P（6

3. （10分）一大批种子，良种占20%，从中任选5000粒。试计算其良种率与20%之差小于1%的概率。（用?表示）

p)，其中n?5000，解 设?表示在任选5000粒种子中良种粒数，则?~B(n，p?0.2，则 E??np?1000，D??np(1?p)?800，

由中心极限定理得，良种率与20%之差小于1%的概率为

P(?5000?0.2?0.01)?P(??1000?50)?5050)??()??(1.77) 800800

?P(??10008004 已知生男孩的概率为 0.515, 求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率.

解 设X为10000个新生婴儿中男孩的个数,则X~B(n,p), 其中n?10000, p?0.515. 10000个新生婴儿中女孩不少于男孩,

即X?5000. 由De Movire-Laplace 中心极限定理,得新生婴儿中女孩不少于男孩的概率

P(X?5000)?P{??(X?npnp(1?p)?5000?npnp(1?p))}

5000?10000?0.51510000?0.515?0.485??(?3)?0.00135

5 试利用(1) 切比雪夫不等式; (2) 中心极限定理分别确定投掷一枚均匀硬币的次数, 使得出现”正面向上”的频率在0.4到0.6之间的概率不小于0.9.

解 设X表示投掷一枚均匀硬币n次出现”正面向上”的次数, 则 则X~B(n,p),其中p?0.5, 则

E(X)?np?0.5n, D(X)?np(1?p)?0.25n.

(1) 利用切比雪夫不等式求解

XP(0.4??0.6)?P(0.4n?X?0.6n)n?P(?0.1n?X?0.5n?0.1n)?P(X?0.5n?0.1n)?1?D(X)0.25n25?1??1??0.9,22n(0.1n)0.01n

25?0.1,?n?250. 由此得n(2) 利用中心极限定理求解

由De Movire-Laplace 中心极限定理得, X近似服从正态N(np,np(1?p)). 即X~N(0.5n,0.25n).所以,

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/y4fv.html