初一数学易错题汇总（有理数、整式、因式分解、一元一次方程）

初一数学易错题汇总

第一章 有理数易错题练习

一．判断

⑴ a与-a必有一个是负数 .

⑵在数轴上，与原点0相距5个单位长度的点所表示的数是5.

⑶在数轴上，A点表示＋1，与A点距离3个单位长度的点所表示的数是4.

⑷在数轴的原点左侧且到原点的距离等于6个单位长度的点所表示的数的绝对值是-6. ⑸ 绝对值小于4.5而大于3的整数是3、4. ⑺ 如果-x=- (-11)，那么x= -11.

⑻ 如果四个有理数相乘，积为负数，那么负因数个数是1个.

a⑼ 若a?0,则?0.

b⑽绝对值等于本身的数是1. 二．填空题

⑴若1?a=a-1，则a的取值范围是： .

⑵式子3-5│x│的最 值是 .

⑶在数轴上的A、B两点分别表示的数为-1和-15，则线段AB的中点表示的数是 . ⑷水平数轴上的一个数表示的点向右平移6个单位长度得到它的相反数，这个数是________. ⑸在数轴上的A、B两点分别表示的数为5和7，将A、B两点同时向左平移相同的单位长度，得到的两个新的点表示的数互为相反数，则需向左平移 个单位长度.

⑹已知│a│=5，│b│=3，│a+b│= a+b，则a-b的值为 ；如果│a+b│= -a-b，则a-b的值为 .

⑺化简-│π-3│= .

11⑻如果a＜b＜0，那么 .

ab11⑼在数轴上表示数-1的点和表示?5的点之间的距离为： .

321⑽a???1，则a、b的关系是________.

bab⑾若＜0，＜0，则ac 0.

bc⑿一个数的倒数的绝对值等于这个数的相反数，这个数是 . 三.解答题

xd⑴已知a、b互为倒数，- c与互为相反数，且│x│=4，求2ab-2c+d+的值.

32

⑵数a、b在数轴上的对应点如图，化简：│a-b│+│b-a│+│b│-│a-│a││.

⑶已知│a+5│=1，│b-2│=3，求a-b的值. ⑷若|a|=4，|b|=2，且|a＋b|=a＋b，求a- b的值.

⑸把下列各式先改写成省略括号的和的形式，再求出各式的值． ①(-7)- (-4)- (＋9)＋(＋2)- (-5)； ②(-5) - (＋7)- (-6)＋4．

a-10b1

⑹改错(用红笔，只改动横线上的部分)： ⑺比较4a和-4a的大小

①已知5.0362=25.36，那么50.362=253.6，0.050362=0.02536； ②已知7.4273=409.7，那么74.273=4097，0.074273=0.04097； ③已知3.412=11.63，那么(34.1)2=116300； ④近似数2.40×104精确到百分位，它的有效数字是2，4； ⑤已知5.4953=165.9，x3=0.0001659，则x=0.5495．

⑻在交换季节之际，商家将两种商品同时售出，甲商品售价1500元，盈利25%，乙商品售价1500元，但亏损25%，问：商家是盈利还是亏本?盈利,盈了多少?亏本，亏了多少元?

⑼若x、y是有理数，且|x|-x=0，|y|+y=0，|y|>|x|，化简|x|-|y|-|x+y|.

⑽已知abcd≠0,试说明ac、-ad、bc、bd中至少有一个取正值，并且至少有一个取负值.

⑾已知a<0，b<0，c>0，判断(a+b)(c-b)和(a+b)(b-c)的大小.

⑿已知:1+2+3……+33=17×33，计算1-3+2-6+3-9+4-12+……+31-93+32-96+33-99的值.

四．计算下列各题：

1?2?137⑴(-42.75)×(-27.36)-(-72.64)×(+42.75) ⑵?????????? ⑶?7?(35?)

3?3?449

5?2?3?1?226⑷?2000???1999??4000???1? ⑸?1.43?0.57?(?) ⑹(?5)?(?6)?(?)

6?3?4?2?335

22114⑺9×18 ⑻-15×12÷6×5 ⑼?1?(1?0.5)??? ⑽-24-(-2)4 ?2?(?3)2???183

⑾(?3?2)3?3?23

有理数·易错题练习

一．多种情况的问题（考虑问题要全面）

（1）已知一个数的绝对值是3，这个数为_______； 此题用符号表示：已知

x?3,则x=_______；?x?5,则x=_______；

(2)绝对值不大于4的负整数是________； (3)绝对值小于4.5而大于3的整数是________．

(4)在数轴上，与原点相距5个单位长度的点所表示的数是________；

(5)在数轴上，A点表示＋1，与A点距离3个单位长度的点所表示的数是________；

21x(6) 平方得2的数是____；此题用符号表示：已知?412,则x=_______； 4(7)若|a|=|b|，则a,b的关系是________；

（8）若|a|=4，|b|=2，且|a＋b|=a＋b，求a－b的值．

二．特值法帮你解决含字母的问题（此方法只适用于选择、填空）

正数，从三类数中各取 有理数中的字母表示 1——2个特值代入检验，

做出正确的选择

0

负数

?a是一个________数；

(1)若a是负数，则a________－a；?（2）已知若aa-1x??x,则x满足________；若x?x,则x满足________；若x=-x,

x满足________；

?2,化简a?2?____ ；

b01(3)有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示： 则（ ）

A．a + b＜0 B．a + b＞0; C．a－b = 0 D．a－b＞0 （4）如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且，则代数式2ab-（c+d）

m?3,+m2=_______。

aab的值为_______；（注意0没有倒数，不能做除数） b（5）若ab≠0,则?在有理数的乘除乘方中字母带入的数多为1，0，-1,进行检验 （6）一个数的平方是1，则这个数为________；用符号表示为：若xx=_______；

一个数的立方是-1，则这个数为_______；

2?1,则

倒数等于它自身的数为_______； 三．一些易错的概念

（1）在有理数集合里，________最大的负数，________最小的正数，________绝对值最小的有理数．

(2)在数轴的原点左侧且到原点的距离等于6个单位长度的点所表示的数的绝对值是________．

(3)若|a-1|＋|b+2|=0，则a=_______；b=________；（属于“0+0=0”型） (4)下列代数式中，值一定是正数的是( )

A．x2 B.|－x+1| C.(－x)2+2 D.－x2+1

1（5）现规定一种新运算“*”：a*b=ab，如3*2=32=9，则（）*3=（ ）

2(6)判断：（注意0的问题） ①0除以任何数都得0；（ ） ②任何一个数的平方都是正数，（ ）③a的倒数是

1.（ ） a④两个相反的数相除商为-1.（ ）⑤0除以任何数都得0.（ ） ⑥有理数a的平方与它的立方相等，那么a= 1 ； 四．比较大小

??3 -（-4） -3.14 -7? ?5 ? 68111五．易错计算 ① ?12?(?)? ②

6363?1.53?0.75?0.53??3.4?0.75

4

1377③ -22 -（1-×0.2）÷（-2）3 ④ （??）×（-60）

54126

1⑤ 0?2???4?? ⑥

833??1?2011???1?2010 ⑦

1?23?????????2? 30?35?

六．应用题

1. 某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售，如果以每套儿童服装55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：+2，-3，+2，+1，-2，-1，0，-2．（单位：元）

（1）当他卖完这八套儿童服装后是盈利还是亏损？ （2）盈利（或亏损）了多少钱？

2.某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值 ?5 ?2 0 1 3 6 （单位：g） 袋 数 1 4 3 4 5 3 这批样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克？若每袋标准质量为450克，则抽样检测的总质量是多少？

有理数·易错题整理

1．填空：

(1)当a________时，a与－a必有一个是负数；

(2)在数轴上，与原点0相距5个单位长度的点所表示的数是________；

(3)在数轴上，A点表示＋1，与A点距离3个单位长度的点所表示的数是________； (4)在数轴的原点左侧且到原点的距离等于6个单位长度的点所表示的数的绝对值是________．

2．用“有”、“没有”填空：

在有理数集合里，________最大的负数，________最小的正数，________绝对值最小的有理数．

3．用“都是”、“都不是”、“不都是”填空： (1)所有的整数________负整数； (2)小学里学过的数________正数；

(3)带有“＋”号的数________正数； (4)有理数的绝对值________正数； (5)若|a|＋|b|=0，则a，b________零； (6)比负数大的数________正数．

4．用“一定”、“不一定”、“一定不”填空： (1)－a________是负数；

(2)当a＞b时，________有|a|＞|b|；

(3)在数轴上的任意两点，距原点较近的点所表示的数________大于距原点较远的点所表示的数；

(4)|x|＋|y|________是正数； (5)一个数________大于它的相反数； (6)一个数________小于或等于它的绝对值； 5．把下列各数从小到大，用“＜”号连接：

并用“＞”连接起来． 8．填空：

(1)如果－x=－(－11)，那么x=________； (2)绝对值不大于4的负整数是________；

(3)绝对值小于4.5而大于3的整数是________． 9．根据所给的条件列出代数式：

(1)a，b两数之和除a，b两数绝对值之和； (2)a与b的相反数的和乘以a，b两数差的绝对值； (3)一个分数的分母是x，分子比分母的相反数大6； (4)x，y两数和的相反数乘以x，y两数和的绝对值． 10．代数式－|x|的意义是什么？

11．用适当的符号(＞、＜、≥、≤)填空： (1)若a是负数，则a________－a； (2)若a是负数，则－a_______0；

(3)如果a＞0，且|a|＞|b|，那么a________ b． 12．写出绝对值不大于2的整数． 13．由|x|=a能推出x=±a吗？ 14．由|a|=|b|一定能得出a=b吗？

15．绝对值小于5的偶数是几？

16．用代数式表示：比a的相反数大11的数． 17．用语言叙述代数式：－a－3． 18．算式－3＋5－7＋2－9如何读？

19．把下列各式先改写成省略括号的和的形式，再求出各式的值． (1)(－7)－(－4)－(＋9)＋(＋2)－(－5)； (2)(－5)－(＋7)－(－6)＋4．

20．判断下列各题是否计算正确：如有错误请加以改正；

(2)5－|－5|=10；

21．用适当的符号(＞、＜、≥、≤)填空： (1)若b为负数，则a＋b________a； (2)若a＞0，b＜0，则a－b________0； (3)若a为负数，则3－a________3．

22．若a为有理数，求a的相反数与a的绝对值的和． 23．若|a|=4，|b|=2，且|a＋b|=a＋b，求a－b的值． 24．列式并计算：－7与－15的绝对值的和．

25．用简便方法计算：

26．用“都”、“不都”、“都不”填空： (1)如果ab≠0，那么a，b________为零；

(2)如果ab＞0，且a＋b＞0，那么a，b________为正数；

(3)如果ab＜0，且a＋b＜0，那么a，b________为负数； (4)如果ab=0，且a＋b=0，那么a，b________为零． 27．填空：

(3)a，b为有理数，则－ab是_________； (4)a，b互为相反数，则(a＋b)a是________． 28．填空：

(1)如果四个有理数相乘，积为负数，那么负因数个数是________；

29．用简便方法计算：

30．比较4a和－4a的大小： 31．计算下列各题：

(5)－15×12÷6×5．

34．下列叙述是否正确？若不正确，改正过来． (1)平方等于16的数是(±4)2； (2)(－2)3的相反数是－23；

35．计算下列各题；

(1)－0.75； (2)2×3．

36．已知n为自然数，用“一定”、“不一定”或“一定不”填空： (1)(－1)n＋2________是负数； (2)(－1)2n＋1________是负数； (3)(－1)n＋(－1)n＋1________是零．

37．下列各题中的横线处所填写的内容是否正确？若有误，改正过来． (1)有理数a的四次幂是正数，那么a的奇数次幂是负数； (2)有理数a与它的立方相等，那么a=1； (3)有理数a的平方与它的立方相等，那么a=0； (4)若|a|=3，那么a3=9；

(5)若x2=9，且x＜0，那么x3=27．

38．用“一定”、“不一定”或“一定不”填空： (1)有理数的平方________是正数；

2

2

(2)一个负数的偶次幂________大于这个数的相反数； (3)小于1的数的平方________小于原数； (4)一个数的立方________小于它的平方． 39．计算下列各题：

(1)(－3×2)3＋3×23； (2)－24－(－2)÷4； (3)－2÷(－4)-2；

第三章 整式加减易做易错题选

例1 下列说法正确的是（ ） A. b的指数是0 B. b没有系数 C. －3是一次单项式 D. －3是单项式

分析：正确答案应选D。这道题主要是考查学生对单项式的次数和系数的理解。选A或B的同学忽略了b的指数或系数1都可以省略不写，选C的同学则没有理解单项式的次数是指字母的指数。

例2 多项式2?6xy?7xy?x?x的次数是（ ）

A. 15次 B. 6次 C. 5次 D. 4次

分析：易错答A、B、D。这是由于没有理解多项式的次数的意义造成的。正确答案应选C。

例3 下列式子中正确的是（ ） A. 5a?2b?7ab

22632234

2

B. 7ab?7ba?0 D. 3x?5x?8x

235 C. 4xy?5xy??xy

分析：易错答C。许多同学做题时由于马虎，看见字母相同就误以为是同类项，轻易地就上当，学习中务必要引起重视。正确答案选B。

例4 把多项式3x?5?2x?4x按x的降幂排列后，它的第三项为（ ） A. －4

B. 4x

C. ?4x

D. ?2x

323 分析：易错答B和D。选B的同学是用加法交换律按x的降幂排列时没有连同“符号”考虑在内，选D的同学则完全没有理解降幂排列的意义。正确答案应选C。 例5 整式?[a?(b?c)]去括号应为（ ）

A. ?a?b?c B. ?a?b?c C. ?a?b?c D. ?a?b?c 分析：易错答A、D、C。原因有：（1）没有正确理解去括号法则；（2）没有正确运用去括号的顺序是从里到外，从小括号到中括号。

例6 当k取（ ）时，多项式x2?3kxy?3y2? A. 0

B.

1 3 C.

1 9

1xy?8中不含xy项 31 D. ?

9 分析：这道题首先要对同类项作出正确的判断，然后进行合并。合并后不含xy项（即缺xy项）的意义是xy项的系数为0，从而正确求解。正确答案应选C。

例7 若A与B都是二次多项式，则A－B：（1）一定是二次式；（2）可能是四次式；（3）可能是一次式；（4）可能是非零常数；（5）不可能是零。上述结论中，不正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

分析：易错答A、C、D。解这道题时，尽量从每一个结论的反面入手。如果能够举出反例即可说明原结论不成立，从而得以正确的求解。 例8 在(a?b?c)(a?b?c)?[a?(（ ）

A. c?b，c?b C. b?c，b?c

B. b?c，b?c D. c?b，c?b

)][a?()]的括号内填入的代数式是

分析：易错答D。添后一个括号里的代数式时，括号前添的是“－”号，那么b、?c这两项都要变号，正确的是A。

例9 求加上?3a?5等于2a?a的多项式是多少？ 错解：2a?a?3a?5

?2a?4a?5

这道题解错的原因在哪里呢？

分析：错误的原因在第一步，它没有把减数（?3a?5）看成一个整体，而是拆开来解。 正解：(2a?a)?(?3a?5)

2222

?2a2?a?3a?5?2a?4a?522

答：这个多项式是2a?4a?5

例10 化简?3(ab?2b)?(3ab?13b) 错解：原式??3ab?2b?3ab?13b ??11b

分析：错误的原因在第一步应用乘法分配律时，2b这一项漏乘了－3。 正解：原式??3ab?6b?3ab?13b

22222222222222 ??19b2 巩固练习

1. 下列整式中，不是同类项的是（ ） A. 3x2y和?12yx 3

B. 1与－2 D.

C. m2n与3?102nm2

121ab与b2a 33 2. 下列式子中，二次三项式是（ ） A.

12 ?2xy?2y23x22

B. x2?2x D. 4?3x?y

C. x?2xy?y

3. 下列说法正确的是（ ） A. 3a?5的项是3a和5

2233

C. 3xy?xy?z是三次多项式 4. ?x?x合并同类项得（ ）

a?c与2a2?3ab?b2是多项式 8x1xy1D. ?和?都是整式

8816xB.

2 A. ?2x B. 0 C. ?2x 5. 下列运算正确的是（ ） A. 3a?2a?a

22 C. 3a?a?3

222

2D. ?2

B. 3a?2a?1

22D. 3a?a?2a

2 6. (a?b?c)的相反数是（ ） A. (a?b?c)

3

3B. (a?b?c) D. (a?b?c)

33 C. (?a?b?c)

7. 一个多项式减去x?2y等于x?y，求这个多项式。

参考答案 1. D

2. C

3. B

4. A

5. A

6. C

7. 2x?y

33

初一数学因式分解易错题

1xy3 21错解：原式=(36x2?y2)

2例1.18x3y-分析：提取公因式后，括号里能分解的要继续分解。

1xy（36x2-y2） 21 =xy（6x+y）（6x-y）

2正解： 原式=

例2. 3m2n（m-2n）?6mn(m?2n) 错解：原式=3mn（m-2n）（m-2n） 分析：相同的公因式要写成幂的形式。 正解：原式=3mn（m-2n）（m-2n） =3mn（m-2n）2

?2?1 4111错解：原式=(x?x?1)

424例3．2x+x+

分析：系数为2的x提出公因数

变为4。

11后，系数变为8，并非；同理，系数为1的x的系数应421(8x?4x?1) 41 =(12x?1)

41例4.x2?x?

4111错解：原式=(x2?x?1)

44411 =(x?1)2

42正解：原式=

分析：系数为1的x提出公因数

11后，系数变为4，并非。 441(4x2?4x?1) 41 =(2x?1)2

4正解：原式=

例5.6x?x?y?+3?y?x?

23错解：原式=3

3??y?x?22??y?x??2x

2?分析：3?y?x?表示三个?y?x?相乘，故括号中(y?x)与(y?x)之间应用乘号而非加号。 正解：原式=6x?y?x?+?y?x?

2 =3?y?x??2x??y?x??

2 =3?y?x??x?y?

2例6.?x?2??4x?8

2错解：原式=??x?2??4?

2 =?x?2?

2分析：8并非4的平方，且完全平方公式中b的系数一定为正数。 正解：原式=?x?2?－4（x+2）

2 =(x+2)??x?2??4? =（x+2）（x－2） 例7.?7m?9n???5m?3n?

22错解：原式=??7m?9n???5m?3n??

2 =?2m?12n?

2分析：题目中两二次单项式的底数不同，不可直接加减。 正解：原式=??7m?9n???5m?3n????7m?9n???5n?3n?? =?12m?6n??2m?12n? =12（2m+n）（m+6n） 例8.a4?1 错解：原式=a????22?1

=（a2+1）（a2－1）

分析：分解因式时应注意是否化到最简。 正解：原式=a22?1

=（a2+1）（a2－1） =（a2+1）（a+1）（a－1） 例9.?x?y??4?x?y?1?

2错解：原式=（x+y）（x+y－4）

分析：题目中两单项式底数不同，不可直接加减。 正解：原式=?x?y??4?x?y??4

2 =?x?y?2?

2例10.16x4?8x2?1 错解：原式=4x?1

分析：分解因式时应注意是否化到最简。 正解：原式=4x?1 =??2x?1??2x?1??

2??2??222 =?2x?1??2x?1?

22

因式分解错题

例1.81（a-b）2-16（a+b）2 错解：81（a-b）2-16（a+b）2 =（a-b）2（81-16） = 65（a-b）2

分析：做题前仔细分析题目，看有没有公式，此题运用平方差公式 正解： 81（a-b）2-16（a+b）2 = [9（a-b）] 2 [4（a+b）] 2

= [9（a-b）+4（a+b）][ 9（a-b）-4（a+b）] =（9a-9b+4a+4b)（9a-9b-4a-4b） =（13a-5b）（5a-13b） 例2.x4-x2 错解： x4-x2

=（x2）2-x2

=（x2+x）（x2-x）

分析：括号里能继续分解的要继续分解 正解： x4-x2

=（x2）2-x2

=（x2+x）（x2-x）

=（x2+x）（x+1）（x-1） 例3.a4-2a2b2+b4 错解： a4-2a2b2+b4

=（a2）2-2×a2b2+（b2）2 =（a2+b2）2

分析：仔细看清题目，不难发现这儿可以运用完全平方公式，括号里能继续分解的要继续分解 正解：a4-2a2b2+b4

=（a2）2-2×a2b2+（b2）2 =（a2+b2）2

=（a-b）2（a+b）2 例4.（a2-a）2-（a-1）2 错解：（a2-a）2-（a-1）2

=[（a2-a）+（a-1）][ （a2-a）-（a-1）] =（a2-a+a-1）（a2-a-a-1） =（a2-1）（a2-2a-1）

分析：做题前仔细分析题目，看有没有公式，此题运用平方差公式，去括号要变号，括号里能继续分解的要继续分解 正解：（a2-a）2-（a-1）2

=[（a2-a）+（a-1）][ （a2-a）-（a-1）] =（a2-a+a-1）（a2-a-a-1） =（a2-1）（a2-2a+1） =（a+1）（a-1）3

1例5. x2y3-2 x2+3xy2

21错解： x2y3-2 x2+3xy2

213 =xy（x2y3-x+y）

22分析：多项式中系数是分数时，通常把分数提取出来，使括号内各项的系数是整数，还要注意分数的运算

1正解：x2y3-2 x2+3xy2

21 =xy（x2y3-4x+6y）

2例6. -15a2b3+6a2b2-3a2b

错解：-15a2b3+6a2b2-3a2b

=-（15a2b3-6a2b2+3a2b）

=-（3a2b×5b2-3a2b×2b+3a2b×1） =-3a2b（5b2-2b）

分析：多项式首项是负的，一般要提出负号，如果提取的公因式与多项式中的某项相同，那么提取后多项式中的这一项剩下“1”，结果中的“1”不能漏些 正解：-15a2b3+6a2b2-3a2b

=-（15a2b3-6a2b2+3a2b）

=-（3a2b×5b2-3a2b×2b+3a2b×1） =-3a2b（5b2-2b+1） 例7.m2（a-2）+m（2-a）

错解： m2（a-2）+m（2-a） = m2（a-2）-m（a-2） = （a-2）（m2-m）

分析：当多项式中有相同的整体（多项式）时，不要把它拆开，提取公因式是把它整体提出来，有的还需要作适当变形，括号里能继续分解的要继续分解 正解： m2（a-2）+m（2-a） = m2（a-2）-m（a-2） =（a-2）（m2-m） =m（a-2）（m-1） 例8.a2-16 错解： a2-16

=（a+4）（a+4）

分析：要熟练的掌握平方差公式 正解：a2-16

=（a-4）（a+4） 例9.-4x2+9 错解： -4x2+9

= -（4x2+32） 分析：加括号要变符号 正解：-4x2+9

= -[（2x）2-32] =-（2x+3）（2x-3） =(3+2x)（3-2x） 例10. （m+n）2-4n2 错解：（m+n）2-4n2

=（m+n）2×1-4×n2 =（x+y）2（1-n）

分析：做题前仔细分析题目，看有没有公式，此题运用平方差公式

正解： （m+n）2-4n2 =（m+n）2-（2n2）

=[（m+n）+2n][（m+n）-2n] =[m+n+2n][m+n-2n] =（m+3n）（m-n)

因式分解错题

例1.a2-6a+9 错解： a2-6a+9 = a2-2×3×a+32

=（a+3）2

分析：完全平方公式括号里的符号根据2倍多项式的符号来定 正解：a2-6a+9 = a2-2×3×a+32

=（a-3）2 例2. 4m2+n2-4mn 错解：4m2+n2-4mn =(2m+n) 2

分析：要先将位置调换，才能再利用完全平方公式 正解：4m2+n2-4mn =4m2-4mn+n2 =（2m）2-2×2mn+n2 =（2m-n）2

例3.（a+2b）2-10（a+2b）+25 错解：（a+2b）2-10（a+2b）+25 =（a+2b）2-10（a+2b）+52 = (a+2b+5)2

分析：要把a+2b看成一个整体，再运用完全平方公式

正解：（a+2b）2-10（a+2b）+25 =（a+2b）2-2×5×（a+2b）+52 =（a+2b-5）2 例4.2x2-32 错解：2x2-32

=2(x2-16)

分析：要先提取2，在运用平方差公式括号里能继续分解的要继续分解 正解：2x2-32

=2（x -16）

=2（x2+4）（x2-4）

=2（x2+4）（x+2）（x-2） 例5.（x2-x）2-（x-1）2 错解：（x2-x）2-（x-1）2

=[（x2-x）+（x-1）][ （x2-x）-（x-1）] =（x2-x+x-1）（x2-x-x-1） =（x2-1）（x2-2x-1）

分析：做题前仔细分析题目，看有没有公式，此题运用平方差公式，去括号要变号，括号里能继续分解的要继续分解 正解：（x2-x）2-（x-1）2

=[（x2-x）+（x-1）][（x2-x）-（x-1）] =（x2-x+x-1）（x2-x-x-1） =（x2-1）（x2-2x+1） =（x+1）（x-1）3 例6. -2a2b2+ab3+a3b 错解：-2a2b2+ab3+a3b =-ab(-2ab+b2+a2) =-ab(a-b) 2

分析：先提公因式才能再用完全平方公式 正解：-2a2b2+ab3+a3b

=-（2a2b2-ab3-a3b）

=-（ab×2ab-ab×b2-ab×a2） =-ab（2ab-b2-a2） =ab（b2+a2-2ab） =ab（a-b）2

例7.24a（a-b）2-18 （a-b）3

错解：24a（a-b）2-18 （a-b）3

=（a-b）2[24a-18(a-b) ] =（a-b）2(24a-18a+18b)

分析：把a-b看做一个整体再继续分解 正解： 24a（a-b）2-18 a-b）

= 6（a-b）2×4a-6（a-b）2×3（a-b） = 6（a-b）2[4a-3（a-b）] =6（a-b）2（4a-3a+3b） =6（a-b）2（a+3b） 例8.（x-1）（x-3）+1 错解：（x-1）（x-3）+1

= x2+4x+3+1 = x2+4x+4 =（x+2）2

分析：无法直接分解时，可先乘开再分解 正解：（x-1）（x-3）+1 = x2-4x+3+1 = x2-4x+4 =（x-2）2

例9.2（a-b）3+8（b-a）

错解：2（a-b）3+8（b-a） =2(b-a) 3+8（b-a） = 2(b-a) [(b-a) 2+4]

分析：要先找出公因式再进行因式分解 正解： 2（a-b）3+8（b-a） = 2（a-b）3-8（a-b）

= 2（a-b）×（a-b）2-2（a-b） = 2（a-b）[（a-b）2-4]

= 2（a-b）（a-b+2）(a-b-2) 例10. （x+y）2-4（x+y-1）

错解： （x+y）2-4（x+y-1）

=（x+y）2-(4x-4y+4) =(x2+2xy+y2)-(4x-4y+4)

分析：无法直接分解时，要仔细观察，找出特点，再进行分解 正解： （x+y）2-4（x+y-1） =（x+y）2-4（x+y）+4 =（x+y-2）2

因式分解错题

例1.-8m+2m3 错解： -8m+2m3

= -2m×4＋（-2m）×（-m2） = -2m（4- m2）

分析：这道题错在于没有把它继续分解完，很多同学都疏忽大意了，在完成到这一步时都认为已经做完，便不再仔细审题了 正解： -8m+2m3

= -2m×4＋（-2m）×（-m2） = -2m（4- m2）

= -2m（2+ m）（2- m） 例2.-x2y+4xy-5y 错解： -x2y+4xy-5y

= y×（-x2）+4x×y-5x×y = y（-x2+4x-5）

分析：括号里的负号需要提到外面，这道题就因为一开始的提取公因式混乱，才会有后面的y（-x2+4x-5）没有提负号。 正解： -x2y+4xy-5y

= -y×x2+（-4x）×（-y）-（-5x）×（-y） = -y（x2-4x+5） 例3.m2（a-3）+m（3-a） 错解： m2（a-3）+m（3-a） = m2（a-3）- m（a-3） =（m2- m）（a-3）

分析：括号里还能提取公因式的要全部提取出来 正解：m2（a-3）+m（3-a） = m2（a-3）- m（a-3） =（m2- m）（a-3） = m（m-1）（a-3）

例4. 5ax+5bx+3ay+3by 错解：= 5(ax+bx)+3(ay+by)

分析：系数不一样一样可以做分组分解，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。 正解： 5ax+5bx+3ay+3by

= 5x(a+b)+3y(a+b) = (5x+3y)(a+b) 例5. –xy3+x3y 错解： –xy3+x3y

=–xy×y2＋（﹣xy）×（﹣x2） =–xy（y2-x2）

分析：括号里能继续分解的要继续分解

正解：–xy3+x3y

=–xy×y2＋（﹣xy）×（﹣x2） =–xy（y2-x2）

=–xy（x-y）（x+y） 例6.（x+y）2-4（x-y）2 错解：（x+y）2-4（x-y）2

=（x+y）2×1-4×（x-y）2 =（x+y）2（1-4） =-3（x+y）2

分析：做题前仔细分析题目，看有没有公式，此题运用平方差公式 正解： （x+y）2-4（x-y）2

=（x+y）2-[2（x-y）2]

=[（x+y）+2（x-y）][（x+y）-2（x-y）] =[x+y+2x-2y][x+y-2x+2y] =（3x-y）（3y-x） 例7.x2（a-1）+4（1-a） 错解： x2（a-1）+4（1-a） = x2（a-1）-4（a-1） = （a-1）（x2-4）

分析：括号里能继续分解的要继续分解 正解：x2（a-1）+4（1-a） = x2（a-1）-4（a-1） =（a-1）（x2-4） =（a-1）（x-4）(x+4) 例8.4（x+1）2-9 错解： 4（x+1）2-9 = 4（x+1）2-8-1 =4×（x+1）2-4×2-4× =4[（x+1）2-2- =4（x2+2x-1] 41 45） 4分析：做题前仔细分析题目，看有没有公式，此题运用平方差公式

正解： 4（x+1）2-9 = [2（x+1）]2-32

= [2（x+1）+3][ 2（x+1）-3] = [2x+2+3][2x+2-3] =（2x+5）（2x-1）

例9.x（x+y）（x-y）-x（x+y）2

错解： x（x+y）（x-y）-x（x+y）2 = x（x2-y2）-x（x+y）2 = x（x2-y2-x2-2xy-y2） = x（-2y2-2xy） = -x（2y2+2xy）

分析：提取公因式错误，要仔细看题，准确找出公因式 正解： x（x+y）（x-y）-x（x+y）2

= x（x+y）（x-y）-x（x+y）（x+y） = x（x+y）[（x-y）-（x+y）] = -2xy（x+y）

例10.（x2-2）2-14（x2-2）2+49 错解：（x2-2）2-14（x2-2）2+49 =（x2-2）2-2×7（x2-2）2+72 =（x2+5）2

分析：仔细看清题目，不难发现这儿可以运用完全平方公式 正解：（x2-2）2-14（x2-2）2+49 =（x2-2）2-2×7（x2-2）2+72 =（x2-9）2

=（x-3）2（x+3）2

第五章《一元一次方程》 查漏补缺题 供题：宁波七中 杨慧

一、 解方程和方程的解的易错题

一元一次方程的解法：

重点：等式的性质，同类项的概念及正确合并同类项，各种情形的一元一次方程的解法； 难点：准确运用等式的性质进行方程同解变形(即进行移项，去分母，去括号，系数化一等步骤的符号问题，遗漏问题)；

学习要点评述：对初学的同学来讲，解一元一次方程的方法很容易掌握，但此处有点类似于前面的有理数混合运算，每个题都感觉会做，但就是不能保证全对。从而在学习时一方面要反复关注方程变形的法则依据，用法则指导变形步骤，另一方面还需不断关注易错点和追求计算过程的简捷。 易错范例分析： 例1.

(1)下列结论中正确的是( )

A.在等式3a-6=3b+5的两边都除以3，可得等式a-2=b+5 B.在等式7x=5x+3的两边都减去x-3，可以得等式6x-3=4x+6 C.在等式-5=0.1x的两边都除以0.1，可以得等式x=0.5 D.如果-2=x，那么x=-2

(2)解方程20-3x=5，移项后正确的是（ ）

A.-3x=5+20 B.20-5=3x C.3x=5-20 D.-3x=-5-20 (3)解方程-x=-30，系数化为1正确的是( )

A.-x=30 B.x=-30 C.x=30 D.

(4)解方程 ，下列变形较简便的是( )

A.方程两边都乘以20，得4(5x-120)=140

B.方程两边都除以 ，得

C.去括号，得x-24=7

D.方程整理，得 解析：

(1) 正确选项D。方程同解变形的理论依据一为数的运算法则，运算性质；一为等式性质(1)、(2)、(3)，通常都用后者，性质中的关键词是“两边都”和“同一个”，即对等式变形必须两边

同时进行加或减或乘或除以，不可漏掉一边、一项，并且加减乘或除以的数或式完全相同。选项A错误，原因是没有将“等号”右边的每一项都除以3；选项B错误，原因是左边减去x-3时，应写作“-(x-3)”而不“-x-3”，这里有一个去括号的问题；C亦错误，原因是思维跳跃短路，一边记着是除以而到另一边变为乘以了，对一般象这样小数的除法可以运用有理数运算法则变成乘以其倒数较为简捷，选项D正确，这恰好是等式性质③对称性即a=b

(2) 正确选项B。解方程的“移项”步骤其实质就是在“等式的两边同加或减同一个数或式”性质①，运用该性质且化简后恰相当于将等式一边的一项变号后移到另一边，简单概括就成了“移项”步骤，此外最易错的就是“变号”的问题，如此题选项A、C、D均出错在此处。解决这类易错点的办法是：或记牢移项过程中的符号法则，操作此步骤时就予以关注；或明析其原理，移项就是两边同加或减该项的相反数，使该项原所在的这边不再含该项----即代数和为0。

(3)正确选项C。选项B、D错误的原因虽为计算出错，但细究原因都是在变形时，法则等式性质指导变形意识淡，造成思维短路所致。

(4)等式性质及方程同解变形的法则虽精炼，但也很宏观，具体到每一个题还需视题目的具体特点灵活运用，解一道题目我们不光追求解出，还应有些简捷意识，如此处的选项A、B、D所提供方法虽然都是可行方法，但与选项C相比，都显得繁。 例2.

(1)若式子 3nxm+2y4和 -mx5yn-1能够合并成一项，试求m+n的值。

(2)下列合并错误的个数是( )

①5x6+8x6=13x12②3a+2b=5ab③8y2-3y2=5④6anb2n-6a2nbn=0 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 解析：

(1)3nxm+2y4和-mx5yn-1能够合并，则说明它们是同类项，即所含字母相同，且相同字母的指数也相同。此题两式均各含三个字母n、x、y和m、x、y，若把m、n分别看成2个字母，则此题显然与概念题设不合，故应该把m、n看作是可由已知条件求出的常数，从而该归并

b=a。

为单项式的系数，再从同类项的概念出发，有：解得m=3 ,n=5从而m+n=8

评述：运用概念定义解决问题是数学中常用的方法之一，本题就是准确地理解了“同类项”、“合并”的概念，认真进行了逻辑判断；确定了m、n为可确定值的系数。

(2)“合并”只能在同类项之间进行，且只对同类项间的系数进行加减运算化简，这里的实质是逆用乘法对加法的分配律，所以4个合并运算，全部错误，其中②、④就不是同类项，不可合并，①、②分别应为：5x6+8x6=13x6 8y2-3y2=5y2

例3.解下列方程 (1)8-9x=9-8x

(2)

(3)

(4)

解： (1)8-9x=9-8x -9x+8x=9-8 -x=1 x=1

易错点关注：移项时忘了变号；

(2)

法一：

4(2x-1)-3(5x+1)=24 8x-4-15x-3=24 -7x=31

易错点关注：两边同乘兼约分去括号，有同学跳步急赶忘了，项分配，

-3(5x+1)化为-15x+3忘了去括号变号；

法二：(就用分数算)

4(2x-1)化为8x-1，分配需逐

此处易错点是第一步拆分式时将 ，忽略此处有一个括号前面是负

号，去掉括号要变号的问题，即

；

(3)

6x-3(3-2x)=6-(x+2) 6x-9+6x=6-x-2 12x+x=4+9 13x=13

x=1易错点关注：两边同乘，每项均乘到，去括号注意变号；

(4)

2(4x-1.5)-5(5x-0.8)=10(1.2-x) 8x-3-25x+4=12-10x -7x=11

评述：此题首先需面对分母中的小数，有同学会忘了小数运算的细则，不能发现

，而是两边同乘以0.5×0.2进行去分母变形，更有思维跳跃的

同学认为0.5×0.2=1，两边同乘以1，将方程变形为：0.2(4x-1.5)-0.5(5x-0.8)=10(1.2-x)

概述：无论什么样的一元一次方程，其解题步骤概括无非就是“移项，合并，未知数系数化1”这几个步骤，从操作步骤上来讲很容易掌握，但由于进行每个步骤时都有些需注意的细节，许多都是我们认识问题的思维瑕点，需反复关注，并落实理解记忆才能保证解方程问题――做的正确率。若仍不够自信，还可以用检验步骤予以辅助，理解方程“解”的概念。

例4.下列方程后面括号内的数，都是该方程的解的是( )

A.4x-1=9

B.

C.x2+2=3x (-1，2) D.(x-2)(x+5)=0 (2，-5)

分析：依据方程解的概念，解就是代入方程能使等式成立的值，分别将括号内的数代入方程两边，求方程两边代数式的值，只有选项D中的方程式成立，故选D。

评述：依据方程解的概念，解完方程后，若能有将解代入方程检验的习惯将有助于促使发现易错点，提高解题的正确率。

例5.根据以下两个方程解的情况讨论关于x的方程ax=b(其中a、b为常数)解的情况。 (1)3x+1=3(x-1)

(2) 解:

(1)3x+1=3(x-1) 3x-3x=-3-1 0·x=-4

显然，无论x取何值，均不能使等式成立，所以方程3x+1=3(x-1)无解。

(2)

0·x=0

显然，无论x取何值，均可使方程成立，所以该方程的解为任意数。

由(1)(2)可归纳： 对于方程ax=b

当a≠0时，它的解是 ；

当a=0时，又分两种情况：

①当b=0时，方程有无数个解，任意数均为方程的解； ②当b≠0时，方程无解。

二、从实际问题到方程

（一）本课重点，请你理一理 列方程解应用题的一般步骤是：

（1）“找”：看清题意，分析题中及其关系，找出用来列方程的____________； （2）“设”：用字母（例如x）表示问题的_______；

（3）“列”：用字母的代数式表示相关的量，根据__________列出方程；

（4）“解”：解方程；

（5）“验”：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答 （6）“答”：答出题目中所问的问题。 （二）易错题，请你想一想

1.建筑工人浇水泥柱时，要把钢筋折弯成正方形.若每个正方形的面积为400平方厘米，应选择下列表中的哪种型号的钢筋？

型号 A B C D

长度（cm） 90 70 82 95

思路点拨：解出方程有两个值，必须进行检查求得的值是否正确和符合实际情形，因为钢筋的长为正数，所以取x=80，故应选折C型钢筋.

2.你在作业中有错误吗？请记录下来，并分析错误原因.

三、行程问题

（一）本课重点，请你理一理

1.基本关系式：_________________ __________________ ; 2.基本类型： 相遇问题; 相距问题; ____________ ;

3.基本分析方法：画示意图分析题意，分清速度及时间，找等量关系（路程分成几部分）. 4.航行问题的数量关系：

（1）顺流（风）航行的路程=逆流（风）航行的路程 （2）顺水（风）速度=_________________________ 逆水（风）速度=_________________________

（二）易错题，请你想一想 1.甲、乙两人都以不变速度在400米的环形跑道上跑步，两人在同一地方同时出发同向而行，甲的速度为100米/分乙的速度是甲速度的3/2倍，问（1）经过多少时间后两人首次遇（2）第二次相遇呢？

思路点拨：此题是关于行程问题中的同向而行类型。由题可知，甲、乙首次相遇时，乙走的路程比甲多一圈；第二次相遇他们之间的路程差为两圈的路程。所以经过8分钟首次相遇，经过16分钟第二次相遇。

2.你在作业中有错误吗？请记录下来，并分析错误原因.

四、调配问题

（一）本课重点，请你理一理

初步学会列方程解调配问题各类型的应用题；分析总量等于_________一类应用题的基本方法和关键所在.

（二）易错题，请你想一想

1．. 为鼓励节约用水，某地按以下规定收取每月的水费：如果每月每户用水不超过20吨，

那么每吨水按1.2元收费；如果每月每户用水超过20吨，那么超过的部分按每吨2元收费。若某用户五月份的水费为平均每吨1.5元，问，该用户五月份应交水费多少元？ 2．. 甲种糖果的单价是每千克20元，乙种糖果的单价是每千克15元，若要配制200千克单价为每千克18元的混合糖果，并使之和分别销售两种糖果的总收入保持不变，问需甲、乙两种糖果各多少千克？

五、工程问题

（一）本课重点，请你理一理 工程问题中的基本关系式：

工作总量＝工作效率×工作时间 各部分工作量之和 = 工作总量

（二）易错题，请你想一想

1.一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，甲单独做5天,然后甲、乙合作完成，共得到1000元，如果按照每人完成工作量计算报酬，那么甲、乙两人该如何分配？

思路点拨：此题注意的问题是报酬分配的根据是他们各自的工作量。所以甲、乙两人各得到800元、200元.

2.你在作业中有错误吗？请记录下来，并分析错误原因.

六、储蓄问题

（一）本课重点，请你理一理

1.本金、利率、利息、本息这四者之间的关系： （1）利息=本金×利率 （2）本息=本金+利息

（3）税后利息=利息-利息×利息税率

2．通过经历“问题情境——建立数学模型——解释、应用与拓展”的过程，理解和体会数学建模思想在解决实际问题中的作用.

（二）易错题，请你想一想

1.一种商品的买入单价为1500元，如果出售一件商品获得的毛利润是卖出单价的15%，那么这种商品出售单价应定为多少元？（精确到1元）

思路点拨：由“利润=出售价-买入价”可知这种商品出售单价应定为2000元. 2.你在作业中有错误吗？请记录下来，并分析错误原因。

五、工程问题

（一）本课重点，请你理一理 工程问题中的基本关系式：

工作总量＝工作效率×工作时间 各部分工作量之和 = 工作总量

（二）易错题，请你想一想

1.一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，甲单独做5天,然后甲、乙合作完成，共得到1000元，如果按照每人完成工作量计算报酬，那么甲、乙两人该如何分配？

思路点拨：此题注意的问题是报酬分配的根据是他们各自的工作量。所以甲、乙两人各得到800元、200元.

2.你在作业中有错误吗？请记录下来，并分析错误原因.

六、储蓄问题

（一）本课重点，请你理一理

1.本金、利率、利息、本息这四者之间的关系： （1）利息=本金×利率 （2）本息=本金+利息

（3）税后利息=利息-利息×利息税率

2．通过经历“问题情境——建立数学模型——解释、应用与拓展”的过程，理解和体会数学建模思想在解决实际问题中的作用.

（二）易错题，请你想一想

1.一种商品的买入单价为1500元，如果出售一件商品获得的毛利润是卖出单价的15%，那么这种商品出售单价应定为多少元？（精确到1元）

思路点拨：由“利润=出售价-买入价”可知这种商品出售单价应定为2000元. 2.你在作业中有错误吗？请记录下来，并分析错误原因。

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