热力学与统计物理学思考题及习题

《热力学与统计物理学》思考题及习题

第一章 热力学的基本定律

§1.1 基本概念

1． 试求理想气体的定压膨胀系数?、定容压强系数?和等温压缩系数?。

2． 假设压强不太高，1摩尔实际气体的状态方程可表为 pv?RT(1?Bp) , 式中B只是 温度的函数。求?、?和?，并给出在p?0时的极限值。

2?LL0?F?kT??2??LL?0??式中k是常数，L0是张力F为零3． 设一理想弹性棒，其状态方程是

时

棒的长度，它只是温度T的函数。试证明：

3kTL0L??F?FY?????2A??L?TAAL(1) 杨氏弹性模量 ；

2??(2) 线膨胀系数 面积。

??1??L?F1??L0??????????00L??T?FAYTL0??T?F，其中，A为弹性棒的横截

2CT?BpV??BTV4． 某固体的

程。

，

，其中B、C为常数，试用三种方法求其状态方

5． 某种气体的?及?分别为：体的状态方程。

???RpV,

??1p?aV,其中?、R、a都是常数。求此气

??aVT6． 某种气体的?及k分别为：

34?f?p???VpV，

1RT2。其中a是常数。试证明：

(1) f?p??R/p；

2(2) 该气体的状态方程为：pV?RT?ap/T。

7． 简单固体和液体的体胀系数?和压缩系数?的值都很小，在一定的温度范围内可以近似视为常数。试证明其状态方程可表为：

V(T,p)?V0(T0,0)1??(T?T0)??p[]。

8． 磁体的磁化强度m是外磁场强度H和温度T的函数。对于理想磁体，从实验上测

CHC??m???m?????2????H?TT?T?HT得： ? ， ? ， m?CHT。

其中C是居里常数。试证明其状态方程为：m =9． 求下列气态方程的第二、第三维里系数：

(p?av2。

)(v?b)?RT(1) 范德瓦耳斯方程

p?；

?aT(v?c)2RTv?b(2) 克劳修斯方程

。

§1.2 热力学第一定律

1．1摩尔范德瓦耳斯气体，在准静态等温过程中体积由v1膨胀到

v2，求气体所作的功。

2． 某种磁性材料，总磁矩M与磁场强度H关系是M/V??H，其中V是材料的体积，

?

为磁化率，在弱磁场中某一温度区域内??C/T，C为常数，现保持体积恒定，通过下列两个过程使M增加为2M： (1) 等温准静态地使H增加为2H； (2) 保持H恒定，使温度由T变为T/2。

试在H?M图上画出过程曲线，并确定环境所作的功。

3． 理想气体经由图中所示两条路径 ①ABC；②ADC准静态地由初态A(p1,V1,T1)变化 到终态C(p2,V2,T2)：试证明： (1) 内能U是状态的函数，与路径无关。

B (2) 功和热量与过程有关。

D C(p2V2T2) V p A(p1V1T1)

题3图

dpd?

v?4． 小振幅纵波在理想气体中的传播速度为度。试导出：

(1) 等温压缩及膨胀时气体中的声速； (2) 绝热压缩及膨胀时气体中的声速。 5． 设理想气体的

??CP/CV,p为周围气压，?为相应气体的密

是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V关系。在这

lnF(T)?个关系中用到一个函数

F(T)，其表达式为

?(?dt?1)T。

6． 一固体的状态方程为都是常数，试计算

CVV?V0?Ap?BTA,B,C,V0，内能为U?BTV/A?CT，其中

和

CP。

7． 热容量为C（常数）、温度为T1的物体作为可逆机的热源，由于热机吸热作功而使物

体

的温度降低。设冷源的温度为

T0，试求出当物体的温度由T1下降到

T0的过程中所放出的热

量有多少转换成机械功？不能作功的热量有多少？ 8． 有一建筑物，其内温度为T，现用理想热泵从温度为

暖，

如果热泵的功率（即转换系数）为W，建筑物的散热率为(1) 求建筑物的平衡温度；

(2) 如果把热泵换为一个功率为W的加热器直接对建筑物加热，说明为什么不如用热泵合算。

*9﹒讨论以热辐射为工作物质的卡诺循环。辐射场的内能密度由斯忒藩—玻耳兹曼定律

p?13uT0的河水中吸取热量给建筑物供

?(T?T0)，?为常数。

4u??T给出，式中T为绝对温度，?为常数，辐射压强p由状态方程

给出。

§1.3 热力学第二定律

1． 从同样的A态到B态，若是可逆过程，则

SB?SA?SB?SA??BAdQT，若是不可逆过程，则

?BAdQT。有人认为上两式右端一样，但一个是等式，另一个是不等式，可见熵与

过程有关，或者说，仅在可逆过程中，熵是态函数。特别是熵不是态函数。这种认识对吗？为什么？

?dQT仅对可逆过程成立，所以

2． 已知态B的熵SB小于态A的熵SA，由熵增加定理，这是否意味着由态A不可能通过 一个不可逆过程到达态B？

3． 如图所示的循环过程，热机吸收热量多少？作功多少？效率多少？

题3图

4． 在宇宙大爆炸理论中，初始局限于小区域内的辐射能量以球对称方式绝热膨胀，随着膨

u?UV?aT4T 400 300 A C B 0 5000 1000 S p?1U3V，其中a为常数。

胀，辐射冷却。已知黑体辐射能密度，辐射压强

设T?0K时熵为零，求熵的表达式以及温度T与辐射球半径R的关系。

5． 有A和B两个容器，每个容器内都包括含有N个相同的单原子分子理想气体温表，起

T初这两个容器彼此绝热，两容器内气体的压强均为p，温度分别为A和TB。现将两个容器

进行热接触，但各自的压强仍保持在p值不变，试求二者热平衡后整个系统的熵变量。

6． 两部分完全相同的经典理想气体，具有相同的压强p和粒子数N，但它们分别装在体 积为

V1和

V2容器中，温度分别为T1和

T2。现将两容器接通，试求其熵的改变量。

7． 两相同的理想气体，开始分别处于两个大小不同的容器中，它们具有相同的温度T和

相

同的粒子数N，但具有不同的压强

p1和p2。现将两个容器连通，使两个容器内的气体通

过扩散达到平衡，在此过程中系统与外界无热量交换也未作功，求其熵的改变量。 8． 已知水的比热为4.18J/g?K。

??(1) 有1Kg0C的水与100C的大热源接触，当水温达到100C后，水的熵改变了多少？热

?源的熵改变了多少？水与热源的总熵改变了多少？

???(2) 若0C的水先与50C的热源接触达到平衡，再与100C的热源接触达到平衡，则整个

系统的熵改变了多少？

??(3) 若使整个系统的熵不变，水应如何从0C变至100C？

?c?4222?22.6tJ/(Kg?K)9． 在1atm和略低于0C的条件下，水的比热为p，冰的比

热为

cp?2112?7.5tJ/(Kg?K)'5，t为摄氏温度，冰的熔解热为3.34?10J。试计算温

??度为?10C的1Kg过冷水变为?10C的冰后熵的改变量，并判定此过程能否自动进行。

10．有两个相同的物体，其热容量为常数，初始温度为T1。今让一致冷机在此两物体之间工作，使其中一个物体的温度降低到

T2为止。假设物体维持在定压下并且不发生相变，证

2明此过程所需的最小功为Wmin?CP[(T1/T2)?T2?2T1]。 11．有两个相同物体，初温各为T1和相等，证明热机所能作的最大功为

T2，有一热机工作于此两物体之间，使两者温度变成

[

2Wmax?CpT1?T2?T1T2]。

第二章 均匀闭系的热力学关系及其应用

§2.1 均匀闭系的热力学关系

1. 试证明以下热力学关系，并思考其意义。

??U???p(1) ????T???Cv???v??p????v； ??U???U???T?????pV??TV?C????pP????p?V?V?P??P??T； ?。

2??T??TVTT??V???T?????????????SCV?H?pC????p?SHpp(2) ?；

p??T???p??T??????VC?U??U??V； V??T?V??V????T???????H?pCp??p?H。

??S???S????0???0???p?V?U?H(3) ?；?。 ??T???p(4) ????T??????S??p?V???Cp?H。

?(5)

?s?1?CpCV?；

?S?1?CVCp?s?； 其中

1??V?1??p??S?????V??T?Sp??T?S，。

??????p(6) ?????????????T??p?T。

??2p??CV????T???T2??V?T?(7)

?0?CV?CV?T??V，并由此导出

??2p?V0???T2?V??dV??V。

2??(F/T)?2??(G/T)?U??T?H??T???T??T????P V(8) ；

?2. 水的膨胀系数在0～4C之间为负值，当在此温度范围作可逆绝热膨胀时，温度升高还

是降低？

3. 利用自由能F和吉布斯函数G的定义证明能态方程和焓态方程。

U?3NB??NkT?1??3/22VT??，其中B为正的常数。试求其状态方程并说明

4. 某气体内能

32NkTNB，VT3/2的物理意义。

??(V?b)?RT?，其中a,b,n,R是常数。在V??

a??p?nTV5. 1摩尔气体的状态方程为?2时，其定容摩尔热容量

CV趋于常量

CV0，试计算其内能。

6. 试证明?摩尔理想气体从压强

p1等温降至压强p2所作的最大功为

R/CVWm??RTInp1p2

7. 试证明1摩尔范德瓦尔斯气体的绝热方程是T(V?b)?常数。

8. 试证明以T、V为自变量时，??S?UT是特性函数。

??V?Ra??V???????????Tf(p)2?p?T?T?PpT9. 已知某气体满足下列关系：?，?。其中a为常数，

f(p)只是p的函数，在低压下1摩尔气体的定压热容量为5R/2，试证明：

22C?2ap/Tf(p)?R/p(1)；（2）状态方程为pV?RT?ap/T；（3）p?5R/2。

§2.2热力学关系的应用 1. 理想气体的

Cp与压强有关吗？

CV2. 范德瓦耳斯气体的与体积有关吗？

3. 试应用热力学第二定律证明：平衡辐射场的单色能量密度在辐射场内到处均匀，且与

腔

壁的材料及形状无关。

4. 要想利用焦尔——汤姆逊效应冷却气体，试问可选取初始条件应该是(?H/?p)T大于 零、等于零还是小于零？说明理由。 5. 对1摩尔范德瓦耳斯气体，试求：（1）

的

温度变化?T。

6. 实验表明：表面张力系数仅是温度的函数，即???(T)，且d?/dT?0。 试求：（1）表面膜由表面积

AiCP?CV；（2）通过自由膨胀由

V1到

V2引起

可逆等温膨胀到

Af所吸收热量；

(2) 可逆绝热膨胀引起的温度变化。

7. 设在弹性限度内弹簧的恢复力与伸长量成正比，比例系数k是温度的已知函数。今把处

于大气中的弹簧拉长x，最终达到平衡态。求弹簧的自由能、熵和内能的变化（设大气温度不变）。

8. 试证明遵从居里定律m?aH/T的顺磁介质的等磁化强度热容量及内能仅是温度的函 数。

9. 已知超导体的磁感应强度求证：（1）(2) (3)

U?S?B??0(H?m)?0。

Cm与m无关，只是T的函数；

2?CmdT??0m/2?U0?(Cm

/T)dT?S。

10. 对电介质建立热力学方程，并证明：

??P???V???????????E?T,p??p?T,ET??P???T????????EC?T?S?E E?，?式中P、p、E、V、CE和S分别为电介质的电矩、压强、电场强度、体积、恒定电场中的热容量和熵，并说明二等式的意义。 11. 容积为

V1，具有理想反射壁空腔的平衡辐射，突然扩大到容积

V2（包括原有的容积

V1）

的空腔。这是一个不可逆绝热过程。试证明：

??V1?T?Tf?Ti?Ti????V?2??(1)

??4??1??????；

??4??1??????。

11?S?Sf(2)

??V243?Si?aTiV1????V3?1??

§2.3热力学第三定律

1. 根据德拜定律，低温时晶体的热容量试证明晶体的定压热容与定容之差

CV与热力学温度的3次方成正比：

CV?aT3。

CP?CV在T?0K时与温度的7次方成正比。

2. 试根椐热力学第三定律证明，顺磁介质的居里定律(m?aH/T)在足够低的温度下不能 成立。

第三章 相平衡和化学平衡

§3.1多元均匀开系的热力学基本方程 1. 试证明：

??????S????????T?????,V??T,V??S???i???????????T?p,?ii?(1) ；

??????p????????V????T,???T,V??V???i????????????p?T,?ii?。

????T,p,?j(2)

????T,p,?j；。

2. 已知S?S(?,V,U)，试证明3.

??S???S???S?S?U??V????????U?V?????,V??U,???U,V

全微分

克拉玛斯函数的定义是q??J/T。试证明qp?1????dq??Ud???dV??d???T?T?T? 为 ，

并由此证明

1??????U???????????????T????T,V????T,V??T?V,T，利用此结论再证明例3的（4）式。

§3.2热力学系统的平衡条件

1. 在只有膨胀功的情况下，试证明：

(1) F与V不变时，平衡态的T最小；（2）U与S不变时，平衡态的V最小； (3) p与H不变时，平衡态的S最大；（4）T与G不变时，平衡态的p最大。 2. 由?T?s??p?v?0出发，试证明

??v???p????0???0??c?0?p?S?v?Tc?0(1) v，?； （2）p，?；

(3)

cpcp??v???0T??p，

???v??????0??T??T?P。

2

以上各广延量都是1摩尔的量。

§3.3相平衡

1. 1摩尔物质作如图所示的卡诺循环，两条等温线的温线的温度分别为T1和

T2，已知

T1?300K，T2?150K，VA?0.5l，VB?1.0l，VC?2.718l，在T1时潜热为836J?mol，设物质的气态可视为理想气体。

?1(1) 说明A.、B、C、D、E、F各是什么状态；

(2) 在T～S图中画出相应的图形； (3) 计算一循环中物质所作的功。 p vA vB vC v F E D A B C p C III I A 0 II B v

题1图 题5图

2. 固态氨的蒸气压方程为Inp?23.03?3754/T，液态氨的蒸气压方程为

Inp?19.49?3063/T

其中压强的单位为试求：

Pa。假设气相可视为理想气体，凝聚相的比容相对于气相可以忽略不计。

(1) 三相点的温度；

(2) 三相点处三个潜热的数值。

3. 对用克拉珀龙方和描述的相变过程，试证明：

?dlnT??u2?u1?L?1???dlnp??(1) 物质摩尔内能的变化为：；

(2) 若一相是气相，可视为理想气体，另一相是凝聚相，则上式简化为：

u2?u1?L(1?RTL)。

????4. 试证明：在分界面是曲面的情形下，相变潜热仍为L?T(s?s)?h?h。 5. 在p?v图上范德瓦耳斯气体等温线的极大点与极小点连成一条曲线ACB，如右图所 示。试证明这条曲线的方程为pv的意义。

§3.4化学平衡

1. 绝热容器中有隔板隔开，一边装有有?2?13?a(v?2b)，并说明这条曲线分割出的区域I、II、III

摩尔的理想气体，温度为T，压强为

p1；另一边装

摩尔的理想气体，温度亦为T，但压强为p2。今将隔板抽去

(1) 试求气体混合后的压强；

(2) 若两种气体是不同的，试计算混合后的熵； (3) 若两种气体是全同的，试计算混合后的熵。

2. 求化学反应H2?I2?2HI?0的分解度与平衡恒量之间的关系。 3. 甲醇脱氢的反应方程为（气体）

量

KpCH3OH→HCHO?H2。已知在800K时，平衡恒

?2.68，求当甲醇的投料量为1摩尔时，氢的最大产量是多少?

第六章 统计物理学的基本概念

§6.1粒子运动状态的描写

1. 何谓经典粒子、量子粒子、全同粒子、定域子、非定域子？ 2. 何谓?空间、相格、相格数？

3. 试举例说明量子描述向经典描述过渡的条件。

4. 一光子的能量?与动量p的关系为??cp，其中c为光速。若光子在容器V中自由运动，试求其能量在?~??d?之间的量子态数（对应每一个动量p有两个偏振方向）。

??12m(px?py)?2212k(x?y)225. 已知二维谐振子的能量为，试求其态密度。

§6.2系统运动状态的描述

1. 何谓系统的微观状态、宏观状态？二者关系如何？

2. 何谓非简并性条件？非简并性条件成立时，费米子系统、玻色子系统与定域子系统与定域子系统三者的微观状态数有何关系？

§6.3 统计物理学的基本假设 1. 何谓等概率原理？其意义如何？

2. 何谓时间平均值？何谓统计平均值？二者有何关系？

第七章 最概然统计法

§7.1最概然统计法的理论基础

1. 何谓M?B分布、F?D分布？何谓最概然分布？

2. 在什么条件下量子系统可用经典方法计算？什么条件下F?D分布和B?E分布都过渡到M?B分布？

3. S?klnW的物理意义是什么？

4. 判定下列情况服从经典统计还是量子统计： (1) 锗中的自由电子，其数密度为10(2) 银中的自由电子，其数密度为1014cmcm?3； 。

22?35. 试计算氢和氧的简并温度，设其粒子数密度与标准条件下的粒子数密度

?25?3（2.687?10m）相同。

6. 试问晶体中自由电子数密度为何值时，其电子气的简并温度等于0C？

?n?(n?12)h?,n?0?7. 一个线性谐振子，其能谱为

1,?，，且系统温度足够(h???kT）。

(1) 试求振子处于第一激发态与基态的概率之比； (2) 若振子仅占据第一激发态与基态，试计算其平均能量。

8. 由单原子组成的顺磁气体，每单位体积中有

N0个原子，当温度不太高时可看成每个原子

都处于基态，其固有磁矩?在外磁场H中只能取平行于H和反行于H两种取向，气体服从

M?B分布。试计算：

(1) 一个原子处于?与H平行状态的几率； (2) 一个原子处于?与H逆平行状态的几率； (3) 一个原子的平均磁矩?；

(4) 写出气体的磁化强度，并讨论?H??kT和?H??kT两种极限情况。

9. 考虑两个晶格格点组成的系统，每个格点上固定一个原子（自旋为1），其自旋可以取三个方向，原子能量分别为1，0，-1，且能级无简并，两原子之间无相互作用。试求该系统的E和E。

10.试证明，对于理想的M?B、F?D、B?E气体，熵可分别代表为

SM?B??k?f?lnf??2SF?D??k?[f?lnf??(1?f?)ln(1?f?)]?SB?E??k?[f?lnf??(1?f?)ln(1?f?)]?。其中

f?是能级

??的量子态上的平均粒子数，

?s是对粒子的所有量子态取和。

11.一粒子数N很大的定域子系，处在外磁场H中，每个粒子的自旋为1/2。求系统的微观态数与总自旋Z分量

MZ的函数关系，并确定系统的微观态数最大时的

MZ的值。

12. 如图所示，一个一维的链由N??1个节组成，当节和链平行时，节的长度为a，当节和链垂直时，节的长度为零。每个节只有这两个非简并的状态，平均链长是(1) 用x表示出链的熵； (2) 求温度T、张力F和长度

NxNx。

之间的关系，设铰点可以自由活动；

(3) 什么情况下结论给出胡克定律？

13. 如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的位置构成新的一层，晶体将出现缺位。晶体的这种缺陷称为肖脱基缺陷，如图所示。以N表示晶体中的原子数，n表示晶体

中的缺位数。如果忽略晶体体积的变化，试由自由能取极小值的条件证明，当温度为T时，

n?Ne?w/kT(n??N) 其中W为原子在表面位置与下常位置的能量差。

14*. 考虑由N个没有相互作用的粒子组成的系统，每个粒子固定于某个位置并具有磁矩?。整个系统处于外磁场B中，所以每个粒子总处于能量为?1?0或?2???2?B的两个

态中之一上。把这些粒子看成是互相可以区别的。 (1) 试写出

Sn的表达式，并求出使

Sn为极大的n值。

(2) 将系统的内能U视为连续值，试证明该系统可以处于负温度状态。 §7.2.麦克斯韦—玻耳兹曼分布的应用

1. 某遵从M?B统计分布的由N个粒子组成的理想气体系统，其粒子的能量动量关系为??cp，在不考虑其内部结构的条件下，试求其热力学函数U、H、CV和Cp。

2. 某满足M?B统计的理想气体处在重力场中。设想一个很高的圆柱筒垂直地放在地面上，筒内粒子数为N。假设筒内的理想气体处于同一温度，试求该系统的内能和定容热容量。

3. 被吸附在表面上的单原子分子，能在表面上自由运动，可看作二维的理想气体，试计算其摩尔热容，设表面的大小不变。

*4. 今有单原子分子组成的理想气体，遵从M?B分布律。若两分子的相对速度为

?8kT???????1。试计算u?u的平均值u，并将结果用?m??1/2u??2表出。

vp5. 从一容器的狭缝中射出一分子束，试求该分子束中分子的最概然速率?p和最概然能量

。求得的

vp和

?p与容器内的

vp和

?p是否相同？为什么？

* 6. 今有N个理想气体分子，盛在截截积为A、高度为h的容器内，处于重力场的作用下。试求：

(1) 分子数密度按高度的分布；

(2) 若在容器的顶部开一面积为?A的小孔，凌晨位时间内从小孔飞出的分子数是多少？

*7. 某遵从M?B分布的系统，其粒子的能量为试求粒子的平均能量。

??12mp2?bq4，其中m、b为常数。

8. 假设双原子的振动是非简谐的，振动能量的经典表达式为

?v?12?p?2a2q?bq23?cq4

2式中后两项是非简谐的修正项，其数值远小于前面两项，a???明：振动的内能和定容热容量分别为 U??15b2a23v22，b、c均为常数。试证

??NkT?NkT? CV?Nk?2NkT?2

?3ca。

2其中

*9. N个刚性双原子分子（例如O2）组成的理想气体，该分子有永久磁矩?，放在感应强度为B的磁场中，分子的能量为：

??12m(px?py?px)?2221?122?p?p??????Bcos?22I?sin??

试证明：

Z?V(2?mkT)h33/2y?y?1e?e?2?24?kTI?y?h?

(1) 分子的配分函数为：

其中I是分子的转动惯量；y??B/kT。 (2) 磁化强度（单位体积内的总磁矩之和）为

?ey?e?y1?m?N?L(y)?N??y???yye?e??

其中L(y)称为朗之万函数。

(3) 讨论高温(kT???B)和低温(kT???B)时的情况。

§7.3费米——锹拉克分布和玻色——爱因斯坦分布的应用

1. 在室温(kT?0.025eV)时，电子占据费米能级、比费米能级高0.1eV、比费米能级低01.eV的态的概率分别为多大？

32. 若某能极高于费米能级0.1eV，温度从10K变到300K，问电子占有该能极的概率改

变多少？

3. 试计算T?0K时自由电子气体中一个电子能量的相对涨落。

4. 设金属中的传导电子可以近似地看成理想费米气体。再设金属宏观静止，其费米能级为

?F。试在绝对零度下

(1) 计算

vx和

vx2（

vx为电子速度的x分量）；

(2) 证明总能量的平均值E是广延量。当总体积V固定时，E与总粒子数N并不成线性关系，为什么？

5. 相对率性电子气体，其能量动量关系为?2?cp?mc（其中c为光速，m为电子质

2224量），试在T?0K时计算电子数密度，，用费米能级?F表示。

6. 某种样品中的电子服从F?D分布，其态密度有如下特征：??0时，g(?)?0；??0时，

g(?)?g0。设电子的总数为N。

?E(1) 试求T?0K时的化学势0和总能量0；

(2) 试证明系统的非简并条件为

T??N/g0k； 。

(3) 试证明当系统强烈简并（T很低）时

cv?T7. 考虑由N个无相互作用的电子组成的电子气体，假定电子是非相对论性的。试求出T?0K时，与下列情形相应的费米能量：

(1) 粒子只能沿长度为L的线段运动；

(2) 粒子只能在一个面积为A的二维平面上运动。

8. 试导出二维空间黑体辐射的普朗克公式和相应的斯忒藩定律。 9. 宇宙中充满着T?3K的黑体辐射光子，这可以看作是大爆炸的痕迹。 (1) 试求出光子数密度依赖于温度T的解析表达式，可保留一个数值因子。 (2) 试近似计算T?3K时光子的数密度。

10. 如果声子服从F?D统计而非B?E统计，则固体热容量的德拜理论发生什么变化？在这样的假设下，试求远低于德拜温度和远高于德拜温度时热容与温度的关系（常数系数不必算出）。

11. 试证明：对玻色气体，pV?NkT?0；对费米气体pV?NkT?0。

第八章 系综统计法

§8.1基本概念

1. 何为?空间？?空间与?空间有什么区别和联系？ 2. 何谓统计系综？引入统计系综的意义何在？

3. 请读者举出自已所熟悉的例子，说明系综平均值等于时间平均值。

§8.2微正则系综

1. 试证明：当N很大时，系统的能量在E~E??E之间的状态数近似等于系统的能量小于、等于E状态数。

2. 考虑N个自旋为1/2，磁矩为?的定域粒子，粒子间相互作用很弱，将此系统置于磁场

H中。

(1) 求系统总能量为E时的微观态数?(E)； (2) 求E与温度T的关系； (3) 在什么情况下出现负温度？

(4) 求系统的总磁矩M与E关系（用H和T将M表出）。 3. 处于室温下的任一宏观系统，当其能量增加10?3eV时，系统所有可能的微观态数增加

?5的百分数是多少？若系统吸收一个可见光（波长为5?10多少？

cm）的光子，系统的状态数增加

§8.3正则系综

1. 由N个单原分子组成的理想气体系统处于温度为T的平衡态，试求系统能量的最可几值。结果说明什么？ 2. 对正则系统，试证明：

dln?(E)?1kT；

s?klnZ?UT?kln?(E)(1)

dE(2) 当粒子数N很大时，其中E?U。

3. 由两个相互独立的粒子组成的系统，每个粒子可处于能量分别为0,?和2?的任一状态中，系统与大热源平衡。试就下列诸情况写出系统的配分函数。 (1) 服从M?B统计，粒子可分辨； (2) 服从M?B统计，粒子不可分辨； (3) 服从F?D统计； (4) 服从B?E统计。

4. 一固体包含有N个自旋为1的非相互作用的核，每个核均可处在由量子数m?0，?1的三个态中的任一个态。由于固体内电荷与内部场的相互作用，一个核在m?1态或m??1态具有相同的能量?(??0)，而在m?0态时其能量为零。试求系统的熵及?/kT??1的极限情况下系统的热容量。

5. 一高为h、底面积为A的柱形容器中，装有N个质量为m的单原子分子组成的理想气体，并处于重力场中，试由正则分布求系统的热容量。

6. 今有CO2和NO两种分子组成的混合理想气体处于平衡态，试用正则系综证明道尔顿分压定律 pV?(N1?N2)kT

N其中p为混合理想气体的压强，N1和2分别为两种分子的数目。

7. 设粒子的能量关系为??ap。系统由N个这样的无相互作用的粒子组成，试求系统的体积、压强和能量之间的关系。

u(r)??u08. 有某种气体，其两个分子之间的相互作用为 u(r)??(当r?a）； （当

3a?r?b）；u(r)?0（当r?b）。试计算第二维里系数。

9. 很多脂肪酸分子分布于水面上，性质很象二维气体。试证明其状态方程可表为

B??N2pA?NkT[1?B/A]，其中

?(e?u(r)/kT?1)2?rdr，A为液面的面积，u(r)为两

分子间的相互作用势能。 §8.4巨正则系综

1. 对于理想费米气体和玻色气体，试证明巨正则分布可以表为

J??kT?s?N,S?e(J??N?ES)/kT中的巨热力学势

ln[1?e(???s)/kT] ?i式中上行对应于费米子，下行对应于玻色子。对所有态求和。

和?分别为粒子的能量和化学势，

?s为

2. 试从巨正则分布出发，证明理想费米气体的熵可以表为

s??k?[nilnni?(1?ni)ln(1?ni)]i

式中

ni是量子态i中的平均粒子数。

3. 设有一单原子理想气体与一固体吸附面接触而达到平衡。被吸附的分子能够在吸附面上

p2自由地作二维运动，其能量为2m??0???0，其中p为二维动量，0为束缚能（0为常数）。

假定经典极限条件成立，试求吸附面上单位面积被吸附分子的平均数与气体压强的关系。

第九章 涨落理论

§9.1围绕平均值的涨落

1. 计算围绕平均值的涨落问题时，大致要经过哪几个步骤？如何选取独立变数？

(?p)2. 试用理想气体证明，强度量的均方涨落（如(?T)和）与粒子数N成反比，而广(?S)延量的均方涨落（如(?E)和）与粒子数N成正比，但二者的相对涨落均与

2222N成

反比。

(?G)2N222ST??V???p??2VST??V??kT?????????V2Cp??T?pCp??T?p??V?S??2*3. 试证明：

?kS2T??Cp??2。

*4 试从S(x)?klnW(x)出发导出高斯分布

W(x)dx?(2?x)2?1/2exp(?x22dx)2x

§9.2布朗运动理论

1. 试说明如何分别由(9.2.6)式和(9.2.20)式测得玻耳兹曼常数k和阿伏伽德罗常数NA。 2. 试说明如何由(9.2.19)式测得电子电荷e. §*9.3 涨落的相关性

1. 什么叫空间相关函数、时间相关函数? 其各自的性质如何? 2. 试求粒子数密度的空间相关函数和布朗粒子速度的时间相关函数。 4. 试说明什么叫涨落耗散定理。

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