理论力学(40) - 答案

第一篇 静力学

第一章 静力学的基本量与计算

1-1 判断题

（1）由力的解析表达式 F = Fxi + Fyj + Fzk能确定力的大小、方向和作用线。（√） （2）力在空间直角坐标轴上的投影和此力沿该轴的分力相同。（×） （3）合力一定比分力大。（×）

（4）合力对于某一轴之矩，等于力系中所有力对同一轴之矩的代数和。（√） （5）力矩和力偶矩相同。（×）

（6）力偶矩矢是自由矢量，力对点的矩矢也是自由矢量。（×） （7）位于两相交平面内的两力偶能等效组成平衡力系。（×） （8）空间力偶对坐标轴之矩等于力偶矩矢在坐标轴上的投影。（√） （9）力偶不能合成为合力，也不能与力等效。（√）

（10）力偶中两个力在任一轴上投影的代数和可以不等于零。（×）

1-2已知力F沿六面体一个面的对角线AD作用，且F?1000 N。则该力在x轴上的投影为 0 N，力在y轴上的投影为 5003 N，力在z轴上的投影为 500 N。

zzDF10 cmyAFOxyAx

O103 cm10 cmD

1-3在边长为a的正方体内，沿对角线DA方向作用一个力F。该力对x轴的力矩为

3Fa3 。对z轴的力矩 0 。对O点力矩大小为 6Fa3 。

1

1-4水平圆盘的半径为r，外缘C处作用有已知力F。力F位于圆盘C处的切平面内，且与C处圆盘切线夹角为60，尺寸如图所示。求力F对x，y，z轴之矩。

or3r,h) 解：力F的作用点C的坐标为(,22力F沿三个坐标轴的投影为：

3Fx?Fcos600sin600?F

41Fy??Fcos600cos600??F

43Fz??Fsin600??F

2

则有：

zBFO60?r30?Chyx331Fr?(?F)?h?(?F)?(h?3r) 22443r33FMy?zFx?xFz?h?F??(?F)?(r?h)

4224r133FrMz?xFy?yFx??(?F)?r?F??

24242Mx?yFz?zFy?oAo1-5 已知：F?100N，??30，??60，求力F在x，y，z轴上的投影以及力F对x，

y，z轴之矩。

解：力F在x，y，z轴上的投影为

zFx??Fsin?cos???25 N

Fy??Fcos??503 N

Fz??Fsin?sin???253 N

力F对x，y，z轴之矩为

?xF?2myMx??253?2??503 N?m

My?0

Mz?25?2??50 N?m

2

1-6 已知：F?102kN，M?5kN?m，求图示力系对x，y，z轴之矩。 解：力系对x，y，z轴之矩为

zMx?Fsin45o?3?30 kN?m

FMMy??Fsin45o?4?Mcos???44 kN?m

Mz?Fcos45?3?Msin???27?m

o4m?My

x3m4m1-7己知力沿直角坐标轴的解析式为F?4i?5j?6k，单位为kN，求这个力的大小和方向。

解：Fx?4 kN，Fy?5 kN，Fz??6 kN 所以 F?Fx2?Fy2?Fz2?8.77 kN

Fx?0.4?56?Fi(?,)o62.87FF(j,?)y?0.5?70?Fj(?,)o55. cosF 25FFcosF(k,?)z??0.6?84?Fk(?,)o133.16FcosF(i,?)1-8 图中力F = 5 kN，求力F对A，B，C，D点的矩。 解：

43MA?F??5?F??4?8 kN?m

553MB??F??4??12 kN?m

5MC?0

F 4 B 5 m C 3 A 4 m D 4MD?F??5?20 kN?m

5

3

1-9托架AC如图所示，点C在Axy平面内，在C点作用一力F，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为α，求力F对各坐标轴之矩和力F对A点的矩矢。 解：

Mx??Fcos??2l??2Elcos? zMy??Fcos??l??Flcos?ll

Mz??Fsin??2l??2Flsin?

A所以

x MA?Mxi?Myj?Mzk?2?Fclo?si?Flco?sj?2Fl?si 4

lCF?xFyzF

nk第二章 物体的受力分析

2-1 判断题

（1）刚体上作用三个力，如果三个力的作用线交于一点，刚体必然平衡。（×） （2）在某刚体的A、B两点分别作用有力FA和FB，如果这两个力大小相等、方向相反且作用线重合，该物体一定平衡。（√）

（3）刚体上A点作用力F平行移到另一点B不会改变对刚体的作用效应。（×） （4）二力平衡公理、加减平衡力系公理和力的可传性只适用于刚体。（√） （5）二力构件受力时与构件的形状无关。（√） （6）凡两端用铰链连接的杆都是二力杆。（×） 画出以下各题中物体的受力图 2-2 轮A

FN2APFN1

AP2-3 轮A

FTAPAFN1PFN

2-4 杆AB AFNAAPPBBFNB1FNB2

5

主矩：

MOx??Mx??F2?a?F5?a?(2?1)Fa，MOy??My??F1?a?F2?a?0 MOz??Mz?F3?a?F5?a??(2?1)Fa

22? MO?Mx?My?Mz2?(2?2)Fa?0

故力系简化结果为力偶： MO?(2?2)Fa?0.586Fa 方向：

cos(MO,i)?cos(MO,j)?cos(MO,k)?MOx2???(MO,i)?45oMO2MOyMO?0??(MO,j)?90o

MOz2????(MO,k)?135oMO23-5 如图所示，已知：平面任意力系中F1 = 402N，F2 = 80 N，F3 = 40 N，F4 = 110 N， M = 2000N?m。求（1）力系向O点简化的结果；（2）力系合力的大小、方向及合力的作用线。

解：将该力系向O简化则有 主矢：

F2 oy F1 (0,30) 45o(20,20) (-50, 0) M O F3 F4 (20,-30) x FRx??Fx?F1cos45?F2?F4??150 N FRy??Fy?F1sin45o?F3?0

? FR?Fx2?Fy2?150 N，方向水平向左

主矩：

MO??MO?F2?30?F3?50?F4?30?M??900 N?m，方向为顺时针

故力系简化结果为合力：FR?150 N，方向水平向左，距O点的距离为

d?|MO|?6 m FR即力系合力大小为150 N，方向水平向左，y=-6 m。

11

第四章 力系平衡方程及其应用

4-1 判断题

（1）平面任意力系只有三个独立的平衡方程，任何第四个方程只是前三个方程的线性组合。（√）

（2）对整体受力分析后，如果未知量总数大于独立平衡方程数，此即超静定问题。（×）

（3）平面汇交力系的平衡方程中，可取一个力矩方程和一个投影方程。（×） （4）空间力系中各力作用线分别汇交于两个固定点，则该力系有三个独立的平衡方程。（×）

（5）平面桁架体系中，不共线的两杆节点上无荷载，则此两杆均为零杆。（√） （6）摩擦角为主动力和接触面法线的夹角。（×）

4-2．图示三铰刚架受力F作用，则A支座力的大小为 2Fa2 ，B支座力的大小为

2Fa2 。

FCaAaaB

4-3．两个尺寸相同的直角杆，受相同的力偶M作用，则A1处约束力大小 M2l 。

A2处约束力大小 Ml 。

2l2lA1lMlMA2B1B2(a)(b)

12

4-4．平面系统受力偶矩为M?10 kN?m的力偶作用。当力偶M作用于AC杆时，A支座力的大小为 10 kN ；B支座力的大小为 10 kN ；当M作用于BC杆时，A支座力的大小为 5 kN ；B支座力的大小为 5 kN 。

CCM300M300ABA2 m(b)2 m(a)B

4-5已知梁AB上作用一力偶M，梁长为l，梁重不计，求a,b,c三种情况下，支座A和B处的约束力。

l解：（a）AB： 2M?M?0；?M?F（b）AB：

A?l?0

ABl(a)l3M解得：FA??FB

lFAFB?M?0；?M?FA?l?0

解得：FA?（c）AB：

MBl(b)l2M?FB l?lcos??0

AFAFB?M?0；?M?F

AM解得：FA??FB

lcos?AM?BFA(c)lFB13

4-6两个完全相同的矩形受力偶M作用，尺寸如图所示，求A、B处约束力。 解：整体相当于二力构件，则有FA?FB， 受力如图所示 BC：

FC C

FAAMMBCaFBMBbFB?M?0；?M?FB?解得：FB?2(b?a)?0 22M?FA

(b?a)4-7物体重P=20kN，用绳子挂在支架的滑轮B上，绳子的另一端连在绞车D上，如图所示。转动绞车，物体便能升起。设滑轮B的大小、AB与CB杆自重及摩擦略去不计，A，B，C三处均为铰链联接。当物体处于平衡状态时，求拉杆AB和支杆CB所受的力。 解：AB、BC是二力构件，假设受拉， 取B为研究对象 其中：FT?FT1?P

A30oB30o?Fx?0；

C?FBCsin30o?FTcos30o?FT1?0

解得：

PFBC??(40?203)??74.64 kN（压）

D?Fx?0；

FABFBCFTo?FAB?FBCcos30o?FTsin30o?0

解得：

30B30oFT1FAB?(20?203)?54.64 kN（拉）

14

4-8 梁受集中力F和分布载荷q作用，求A,B支座约束力。 解：整体：

qFD?Fx?0；FAx?0

AC?M?0；

B1 mA2 mFBFAyFAx1 mF?3?FB?2?q?3?0.5?0

解得：FB?33F?q 24?Fy?0；?F?FB?q?3?FAy?0

19F?q 24?解得：FAy??4-9水平梁AB由铰链A和杆BC所支持，如图所示。在梁上D处用销子安装半径为r=0.1m

的滑轮。有一跨过滑轮的绳子，其一端水平地系于墙上，另一端悬挂有重P=1800N的重物。如AD=0.4m，BD=0.4m，??45，且不计梁、杆、滑轮和绳的重量。求铰链A和杆BC对梁的约束力。

解：以杆AB和滑轮为研究对象：（FT?P）

C?MA?0；

ADr?BFT?0.1?FBCsin??(0.4?0.4)?2?P?(0.4?0.1)?0 解得：FBC?9002 N

PFAyFT?F?F

x?0；FAx?FBCcos??FT?0

AFAxFBCD?B解得：FAx?2700 N

y?0；FAy?FBCsin??P?0

P解得：FAy?900 N

15

4-10在图示刚架中，已知q?3kN/m，F?62kN，M?10kN?m，不计刚架自重。求固定端A处的约束力。 解：整体：

?Fx?0；FAx?q?4?Fcos450?0

解得： FAx??6 kN

BMCF45o?Fq3 mMA4 my?0；FAy?Fsin450?0

解得： FAy?6 kN

AFAxFAy?MA?0 ；

MA?q?4?2?M?Fcos45o?4?Fsin45o?3?0

解得： MA?28 kN?m

4-11图示构架中，物体重1200N，由细绳跨过滑轮E而水平系于墙上，尺寸如图，不计杆和滑轮的重量。求支承A和B处的约束力，以及杆BC的内力FBC。

C解：BC是二力构件，假设受拉 整体：（FT?P）

FAy2 m1.5 m2 m?Fx?0；FAx?FT?0

解得： FAx?1200 N

AFAx1.5 mBDFB?M?FA?0；

EPFAyFDyFB?4?P?(2?r)?FT?(1.5?r)?0 解得：FB?1050 N y?0；FAy?P?FB?0

FBC解得：FAy?150 N ADB：

AFAxDFDxFB?MD?0；FB?2?FBCsin??2?FAy?2?0 解得：FBC??1500 N（压）

16

4-12 由AC和CD构成的组合梁通过铰链C连接。已知均布载荷q?10kN/m，力偶矩

M?40kN?m，不计梁重。求支座A、B、D的约束力和铰链C受的力。

解：CD：

qFCxMDFDFCy?MC?0；?q?2?1?M?FD?4?0 解得：FD?15 kN

xC?F?F?0；FCx?0

?0；?q?2?FCy?FD?0

qFAxAMD2 myB2 m2 m解得： FCy?5 kN 整体：

C2 mFAyFDFB?Fx?0；FAx?0

A?M?F?0；FB?2?q?4?4?M?FD?8?0

解得：FB?40 kN

y?0；FAy?FB?q?4?FD?0

解得： FAy??15 kN

4-13构架尺寸如图所示 (尺寸单位为m)，不计各杆自重，载荷F=60 kN。求A，E铰链的约束力及杆BD，BC的内力。

解：BC、BD是二力构件，假设受拉。 AB： F FAy BA

FAx

FBD

?M

B?0；?FAy?6?F?3?0

FBC17

解得： FAy?30 kN 整体：

?FFAy3F3y?0；FAy?F?FEy?0

BAFAx4解得：FEy?30 kN

FEyE?M?FE?0；?F?3?FEx?4?FEy?2?0

D解得： FEx?60 kN

xFEx53C?0；FAx?FEx?0

解得： FAx??60 kN AB：

?F?Fx?0；FAx?FBDsin??0

解得：FBD??100 kN（压）

y?0；FAy?F?FBDcos??FBC?0

解得： FBC?50 kN（拉）

4-14图示结构，已知q，M和尺寸a, 求A，B，C三处的约束力。 解：BC： FBy

B

xBxqFBxCFC1 解得：FBy?qa

2整体：

?F?0； F?0 aM?0；?q?a??F?a?0 解得：F?2?F?0；F?q?a?F?0 FBCC?1qa 2yByCMBaaqCFCAyMAAFAx?F

x?0； FAx?0

18

?Fy?0；FAy?q?a?FC?0

解得：FAy?1qa 23；M?M?q?a?a?FC?2a?0 M?0?AA212解得：MA?M?qa

24-15图示结构由梁ABC、CDE二构件铰接而成，尺寸和载荷如图。已知：M?2qa，

2F?qa。求A、B和D处的约束力。

解： CDE：

EFFCyCMFCxDFDC?M?0；?M?FD?2a?F?2a?0 EFa解得：FD?qa 整体：

FAyqMBCaaA?Fx?0； FAx?F?0 FAxaD解得：FAx?qa

FBFD?M?0；?q?2a?a?F?F?0；F?q?2a?FAyAyB?a?M?FD?3a?F?a?0 解得：FB?0 ?FD?0 解得：FAy?qa

oBo4-16 物块重Q，放在粗糙的水平面上，其摩擦角??20，P?Q。若??50，物体能

保持静止? 不能 。若??30，物体是否能保持静止? 能 。

o?PWQ30oFP

19

?4-17物块重量W?20kN，受到FP力作用，FP?60kN，物块与接触面之间的摩擦因数

为f?0.2，则物块与接触面间的摩擦力大小为 10 kN 。

4-18置于铅垂面内的均质正方形薄板重 Q?100kN，与地面间的摩擦系数f?0.5，欲使薄板不动，则作用在A点的力F的最大值应为 252 kN 。

FA45o45o45oMOQ 4-19如图所示，置于V型槽中的棒料上作用一个力偶，力偶的矩为M?15 N?m 时，刚好能转动此棒料。已知棒料重P?400N， 直径d?0.25m，不计滚动摩阻。求棒料与V型槽间的摩擦系数fs。 解：棒料：临界状态时

?F?Fx?0； FNA?FSB?Psin45?0 ?0；FNB?FSA?Pcos45?0 FSAoo45o45oyOMxFSByDD；F??F??M?0 M?0?OSASB22FSA?fsFNA；FSB?fsFNB

解得：fs?0.223

AFNABFNB4-20平面机构如图所示。OA?l，在杆OA上作用有一力矩为M的力偶，OA水平。连杆AB与铅垂线的夹角为?，滑块与水平面之间摩擦因数为f，不计重量，且tan??f，求机构在图示位置平衡时F力的值。

解：AB是二力构件，假设受压。 OA：

AMO

AMOFO?BF?OFAB??M

?0；M?FAB?lcos??0

20

6-10图示直角曲杆OBC绕O轴转动，使套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动。已知：OB=0.1m，OB与BC垂直，直杆的角速度??0.5rad/s，求当??60时，小环M的速度。 解：动点：M，动系：与OBC固结

οvrva?ve?vr

而：ve?OM???0.1 m/s，所以

COMA??ve?vaB6-11 在水面上有两只舰艇A 和 B均以匀速度v?36km/h行驶，A 舰艇向东开，B舰艇

沿以O为圆心、半径为R =100 m的圆弧行驶。在图示瞬时，两艇的位置S=50m, ??30，试求：（1）B艇相对 A艇的速度。（2）A艇相对B艇的速度。 解：（1）动点：B，动系：与A固结 北 va1?ve1?vr1 va1 而：va1?vB?36 km/h?10 m/s，

ova?vetan??0.173 m/s

vr1ve1?vA?10 m/s，所以

22ovBA?vr1?va?v?2vvcos1201e1a1e1 ?103?17.32 m/s方向如图所示。

（1）动点：A，动系：与B固结

va2?ve2?vr2

Rve2OSBva2ve1东 A?vr2v 而：va2?vA?10 m/s，ve2?OA???OA?A?5 m/s，所以

R22vAB?vr2?va2?ve2?55?11.2 m/s，方向如图所示，tan??ve21?。 va226-12半径为r偏心距为e的凸轮，以匀角速度?绕O轴转动，AB杆长l，A端置于凸轮上, B端用铰链支承，在图示瞬时AB杆处于水平位置。试求该瞬时AB杆的角速度。 解：（1）动点：A，动系：与轮O固结 veAva?ve?vr

而：ve?OA???r?sin?，所以

Br??e?vavr?ABOva?vecot??r?sin?cot??r?cos??e? ?AB?vae?? ABl

26

第七章 刚体平面运动

7-1判断题

（1）平面图形的运动可以看成是随着基点的平移和绕基点的转动的合成。（√） （2）平面图形上任意两点的速度在某固定轴上投影相等。（×） （3）平面图形随着基点平移的速度和加速度与基点的选择有关。（√） （4）平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择有关。（×） 7-2有一正方形平面图形在自身平面内运动，则图（a）的运动是否可能? 不可能 。 图（b）的运动是否可能? 可能 。

DvD vC CovD 45DvC 45oC45ovB

vA

(a)vB

ABA45ovA B(b)

7-3 曲柄连杆机构中，曲柄OA以匀角速度?绕O轴转动，则图示瞬时连杆AB的角速度大小为 0

AC?OBvA vB AB

7-4 相同二直杆在C处用铰链连接，在图示平面内运动。当二杆垂直时，A、B端各有速度vA?vB?1 m/s，并分别垂直AC、BC杆，则该瞬时C点的速度大小为 0 。 7-5 在筛分机构中，筛子的摆动是由曲柄连杆机构所带动。已知曲柄OA的转速nOA?40r/min，OA=0.3m。当筛子BC运动到与点O在同一水平线上时，∠BAO=90o。求此瞬时筛子BC的速度。 解：BC平动

??2πnOA4?π rad/s 60327

4vA?OA???0.3?π?0.4π m/s 3P是AB的瞬心，所以

?ABP?AB?vA4?π rad/s AP34vB?BP??AB?0.6?π?2.513 m/s 3CvBvAA?60o O2O160o

7-6四连杆机构中，连杆AB上固连一个三角形ABD，如图所示。机构由曲柄O1A带动，已知：曲柄?O1A?2rad/s，O1A=0.1m，水平距离O1O2?0.05m，AD=0.05m；当O1A 垂直O1O2时，AB平行于O1O2，且AD与AO1在同一直线上；角??30，求三角形ABD的角速度和点D的速度。 D 解：vA?OA??O1A?0.1?2?0.2 m/s vP是ABD的瞬心，所以

DoBO

?ABD?ABD?vA0.2??1.072 rad/s AP0.1?0.053

A vAB

vD?DP??ABD?(0.1?0.053?0.05)?1.072 ?0.254 m/s

?OA1?O2 O1

P7-7图示机构中，已知：OA=0.1m，BD=0.1m，DE=0.1m，EF=0.13m；曲柄OA的角速度??4rad/s。在图示位置时，曲柄OA与水平线OB垂直；且B，D和F在同一铅直线

上，又DE垂直于EF。求杆EF的角速度和点F的速度。 解： vA?OA???0.4 m/s 杆AB作瞬时平动，所以

vB?vA?0.4 m/s

28

D是BC瞬心，所以

?BCv0.4?B??4 rad/s BD0.1vAvCA vC?DC??BC

?O ?BCvBB C ? ?DCEv?C??BC?4 rad/s DCD ?CDEvEE vE?DE??DCE?0.1?4?0.4 m/s P是EF的瞬心，所以

vFvE0.44?? rad/s?1.333 rad/s PE0.33F P

4vF?PF??EF?0.23??0.462 m/s 37-8图示平面机构，曲柄OA以匀角速度 ??2 rad/s绕O轴转动， OA?15cm， O1B?10cm，在图示瞬时O1B?AB， ??60?，??30?，试求图示瞬时杆O1B的角

?EF?EF?速度。

解：vA?OA???30 cm/s 由[vA]AB?[vB]AB得

vBB?O1?1vAvAsin??vB

所以

?ovB?30sin60?153 cm/s

O?A?1?vB153??1.53 rad/s O1B10o7-9在图示曲柄连杆机构中，曲柄OA绕O轴转动，其角速度为?。在某瞬时曲柄与水平线间成60角，而连杆AB与曲柄OA垂直。滑块B在圆形槽内滑动，此时半径O1B与连

o杆AB成30角。如OA=r，AB?23r，求在该瞬时，滑块B的速度。

解：vA?OA???r? 由[vA]AB?[vB]AB得

vBO B vA?vBcos60

所以：vB?2vA?2r?

29

o60o30oO1 ?vAA 7-10曲柄滚轮机构，已知曲柄OA?r，角速度为?，滚子纯滚动，半径为r。图示时刻

??60?，OA垂直于AB，求该瞬时B点的速度及滚轮的角速度??。

解：vA?OA???r? P1是AB瞬心，所以

P1?AB?AB?vAr?1??? AP3r31123vB?BP???23r???r? 1AB33P2是轮B的瞬心，所以

vAA?O?B?

vB23?? P2B3?vBP2B?B

7-11如图所示四连杆机构，曲柄OA以匀角速度?绕O轴转动，当曲柄OA处于水平位置时，曲柄O1B恰好在铅垂位置。设OA?O1B?度。

解：vA?OA???l? O1是AB瞬心，所以

1AB?l，试求杆AB和曲柄O1B的角速2?ABAvBB?ABvl?3?A??? AO133l3?l? 3O?O1BO1?vAvB?BO1??AB?OB?1vB3?? O1B3

30

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/y42v.html