2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系（含答案）

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2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系

编写 李占兴 审核 蔡玉科

自主学习

一、思考下列问题

1．课本思考与讨论中对位移的处理体现了什么科学思想？ 2．如何通过v-t图像表示匀速运动物体的位移

3．匀变速直线运动物体的位移如何得出的？能用v-t图像表示吗？

二、填空

前面我们学习了匀变速直线运动速度随时间的变化规律，对于运动的问题，人们不仅关注物体的速度随时间的变化规律，而且还希望知道物体运动的位移随时间的变化规律。

1．做匀速直线运动的物体，其位移公式为___________，其 v-t 图象为__________。在 v-t 图象中某段时间内位移的大小与____________相等。

2．匀变速直线运动的 v-t 图象是________________，其中图象的斜率表示物体的__________，图象与坐标轴所围面积是物体的______________。

3.如果物体以初速度v0做加速度为a的匀变速直线运动，经过时间t后，物体的速度为v= ，位移为x= ，这就是匀变速直线运动的位移与时间的公式.

说明：公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的方向为正方向。若选v0的方向为正方向，则加速运动中，a取正值；在减速运动中，a取负值.

4．匀变速直线运动的平均速度

做匀变速运动的物体初速度为v0，末速度为vt，则全过程的平均速度为v= .（想一想如何推导）

典例剖析

1题型一．公式的基本应用（x?v0t?at2）

2匀变速直线运动的位移与时间之间的关系x??0t?

12at是解决匀变速直线运动经常研究2的问题，运用此关系可以根据已知条件求解待求的物理量。

典例1.一个物体的初速度是2 m/s，以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动.

求：(1)物体在第3 s末的速度；

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(2)物体在第4 s内的位移； (3)物体在头4 s内的位移； (4)物体在第4 s内的平均速度. 【解析】：（1）由vt = v0 + at得，物体在第3 s末的速度为

v3 = v0 + at1 = 2 + 0.5×3 = 3.5（m/s）

12

at得，物体在第4 s内的位移为 211 s1 = v3t2 + at22 = 3.5×1 + ×0.5×12 = 3.75（m）

221（3）由s = v0t +at2得，物体在头4 s内的位移为

211 s2 = v0t3 + at32 = 2×4 + ×0.5×42 = 12（m）

22s（4）由v?得，物体在第4 s内的平均速度为

t（2）由s = v0t + v?s13.75＝m/s＝3.75 m/s t21【答案】 (1)3. 5 m/s (2)3.75 m （3）12（m）（4）3.75 m/s

典例2．在一段平滑的斜冰坡的中部将冰块以 8 m/s的初速度沿斜坡向上打出，设冰块与冰面

间的摩擦不计，冰块在斜坡上的运动加速度恒为2 m/s2. (设斜坡足够长) 求： (1)冰块在5 s时的速度； (2)冰块在10 s时的位移．

【解析】 (1)画出简单的情景图，如右图所示，设出发点为O，上升到的最高点为A，设沿斜坡向上为正方向，由题意可知v0＝8 m/s，a＝－2 m/s2，t1＝5 s，t2＝10 s 根据公式vt＝v0＋at可得第5 s时冰块的速度为 v1＝[8＋(－2)×5]m/s＝－2 m/s 负号表示冰块已从其最高点返回， 5 s时速度大小为 2 m/s.

2at(2)由公式x?v0t?1可得第10s时位移为 221x2?v0t2?1at?[8?10??(?2)?10]??20m 2222负号表示冰块已越过其出发点，继续向下方运动，10秒时已在出发点下方20m处。 【答案】 (1)2 m/s，沿斜面向下 (2)20 m，在出发点下方 总结：对位移公式的理解

⑴位移公式x?v0t?12at反映了位移随时间的变化规律.适用匀变速直线运动. 2(2)特别提醒:t是指物体运动的实际时间,要将位移与发生这段位移的时间对应起来. （3）因为υ0、α、x均为矢量，使用公式时应先规定正方向。（一般以υ0的方向为正方向）

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若物体做匀加速运动,a取正值,若物体做匀减速运动,则a取负值. (4)代入数据时,各物理量的单位要统一.(用国际单位制中的主单位)

题型二．利用??t图象求位移

匀变速直线运动的??t图象是一条倾斜的直线，图线下方与时间轴所围的图形的“面积”

等于该段时间内物体的运动位移。

典例3.某一做直线运动的物体，其v－t图象如图所示，根据图象求：

(1)物体距出发点最远的距离； (2) 物体在第2s的加速度a (3)前4 s内物体的位移大小； (4)前4 s内物体的路程． 1

解析：(1)3 s末时，物体距出发点最远，此时xmax＝×3×4 m＝6 m.

2

(2)因为v－t的斜率表示加速度，所以第2秒内的加速度可以由1～3秒内的斜率求得，

a??v0?4?m/s2??2m/s2． ?t3?111

(3)前4 s内，位移x＝×3×4 m－×1×2 m＝5 m.

2211

(4)前4 s内，路程s＝×3×4 m＋×1×2 m＝7 m.

22

答案：(1)6 m (2)5 m (3)7 m

点评：在运用匀变速直线运动的??t图象求位移时，一定要注意某段时间内图线下方所围的图形是在时间轴的上方，还是在其下方。若在时间轴上方，则图形面积取正值，表明该段时间内的位移为正；若在时间下方，则图形面积取负，表示该段时间内的位移为负，切不可不加区分，就将两部分图形面积直接相加，作为物体运动的总位移。

图象问题总结

图象是高中阶段经常遇到的问题，图象法也是解题中常用的一种方法．图象的优点，首先在于它的直观性，我们可以通过“看”图象来寻找规律和解题的突破口．那么，看什么呢？为方便记忆，我总结为“六看”：一看“轴”，二看“线”，三看“斜率”，四看“面”，五看“截距”，六看“交点”．下面以运动图像为例加以说明．

1．看“轴”：先要看清坐标系中横轴、纵轴所代表的物理量，即图像是描述的哪两个物理量间的关系，如是位移－时间关系？还是速度－时间关系？同时要注意单位和标度．

2．看“线”：“线”上的一个点，一般反映两个量的瞬时对应关系．如x－t图像上一个点对应某一时刻的位置，v－t图像上一个点对应某一瞬时速度；“线”上的一段一般对应一个物理过程， x－t图象反映质点的位移随时间的变化关系；v－t图象反映质点的速度随时间的变化关系．

3．看“斜率”：图象的斜率是两个轴所代表的物理量的变化之比，它往往代表另一个物理量的规律．例如， x－t图象的斜率表示速度v??x， v－t图象的斜率表示加速度?t临颍一高内部资料 注意保存 11

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a??v2．读图1知：甲中质点的速度为v?0.5m/s；乙中质点的加速度为a?0.5m/s． ?t

x/m 3 2 1 o 2 4 t /s 甲 图1 v/(m/s) 3 2 1 o 2 4 t /s 乙

4．看“面”，即“面积”：图象和坐标轴所夹的面积也往往代表另一个物理量的规律．这要看两轴所代表的物理量的乘积有无实际意义，这可以从物理公式分析，也可以从单位的角度分析．如x和t乘积无意义，我们在分析x－t图象时就不用考虑“面积”；而v和t的乘积vt?x， v－t图象下的面积就表示位移．例如图乙中4s内的位移等于图象与t轴所围的“面积”，即x?(1?3)?4m?8m． 25．看“截距”：截距一般代表物理过程的初始情况，如t=0时的位移和速度．图1甲中的截距表示t=0时刻质点的位置(即出发点)在x=1m处；乙中的截距表示质点的初速度为

v0?1m/s．

6．看“交点”：如图2中图象的交点表示A、B两质点在2s时相遇 (2s时位于同一位置)；图乙中的交点说明2s时C、D两质点速度相等．

x/m 3 2 1 o 2 4 t/ s 甲 图2 A B v/(m/s) 3 2 1 C D o 2 4 t/ s 乙 题型三．运用平均速度公式???0??2求匀变速直线运动的位移

对于匀变速直线运动，一段时间内的平均速度可以用???0??2计算，所以某段时间内的

位移即为x??0??2t。对于已知初、末速度和时间的匀变速直线运动问题，用此公式求位移

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既直接，又简便快捷。

典例4 一个滑雪的人，从85m长的山坡上匀变速直线滑下，初速度是1.8m/s，末速度是5.0m/s，他通过这段山坡需要多长时间?

解析：滑雪的运动可以看作是匀加速直线运动，可以利用匀变速直线运动的规律来求，已知量为初速度?0?1.8m/s，末速度??5.0m/s和位移x?85m，待求量是时间t，我们可以用不同的方法求解。

12at求解。设滑雪者的加速度为a，由公式211???0?at得5?1.8?at；由公式x??0t?at2得85?1.8t?at2，联立两式解得：

22t?25s。所以，滑雪者通过这段山路需要的时间为25s。

解法I：利用公式???0?at和x??0t?解法II：利用平均速度的公式x??0??2t求解。由已知初速度?0?1.8m/s，末速度

2x2?85?s?25s。所以，

?0??1.8?5??5.0m/s，位移x?85m，根据公式x??0??2t得：t?滑雪者通过这段山路需要的时间为25s。

点评：对于匀变速直线运动，计算位移时可根据已知条件灵活选取计算方法，若有图象则应考虑应用图象面积求解，若无加速度，则应考虑运用平均速度公式求解。

题型四．关于刹车时的误解问题

典例5.一辆汽车在高速公路上以30 m/s的速度匀速行驶，由于在前方出现险情，司机采取紧急

刹车，刹车时加速度的大小为5 m/s2，求： (1)汽车刹车后20 s内滑行的距离．

(2)从开始刹车汽车滑行50 m所经历的时间． (3)在汽车停止前3 s内汽车滑行的距离．

解析：(1)由于v0＝30 m/s，a＝－5 m/s2，由v＝v0＋at，汽车的刹车时间t0为：

v－v00－30t0＝＝ s＝6 s

a－5

由于t0

1

(2)设从刹车到滑行50 m所经历的时间为t′，由位移公式x＝v0t′＋at′2，

21

代入数据：50＝30t′－×5t′2

2

整理得t′2－12t′＋20＝0

解得t1′＝2 s，t2′＝10 s(刹车停止后不能反向运动故舍去)

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故所用时间为t′＝2 s.

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(3)此时可将运动过程看作反向的初速度为零的匀加速运动，由x＝at2＝×5×32 m＝22.5 m.

22答案：(1)90 m (2)2 s (3)22.5 m.

方法总结：

(1)汽车刹车、飞机降落后在跑道上滑行等都可以认为做匀减速直线运动，但是当速度减为

v0

零时，其加速度也变为零，物体不可能倒过来做反向运动，其最长的运动时间为t＝. a1

(2)应用公式v＝v0＋at和x＝v0t＋at2处理此类问题时，式中的时间t不能任意选取，应注

2意判断题目中所给的时间t是否超出了物体实际运动的时间，即是否出现了“时间过量”问题．若已知时间大于刹车时间，则计算时不能用已知时间；若已知时间小球刹车时间，则应直接应用已知时间求解。

(3)匀减速直线运动，当速度减为零时可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动.

跟踪训练

1．一个物体位移与时间的关系为x=5t+5t2(x以m为单位，t以s为单位)，下列说法中不正确的．．．

是( )

A．这个物体的初速度是2.5m/s C．这个物体的初速度是5m/s

B．这个物体的加速度大小是10m/s2

D．这个物体加速度方向一定与初速度方向一致

2．某物体做匀变速直线运动，下列说法正确的是（ ）

A．物体的末速度必与时间成正比 B．物体的位移必与时间的平方成正比

C．物体速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比

D．匀加速运动，位移和速度随时间增加，匀减速运动位移和速度随时间减少

3．对于一个做匀减速直线运动的物体，在速度减小到零之前，下列说法正确的是 （ ）

A．速度越来越小，位移越来越小 B．速度越来越小，位移越来越大 C．加速度越来越小，位移越来越大 D．速度越来越小，加速度越来越小

4．a、b两个物体从同一地点同时出发，沿同一方向做匀变速直线运动，若初速度不同，加速

度相同，则在运动过程中（ ） A．a、b的速度之差保持不变 B．a、b的速度之差与时间成正比 C．a、b的位移之差与时间成正比 D．a、b的位移之差与时间的平方成正比

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5．质点做直线运动的 v-t 图象如图所示，则（

A．3 ~ 4 s 内质点做匀减速直线运动 B．3 s 末质点的速度为零，且运动方向改变

）

C．0 ~ 2 s 内质点做匀加速直线运动，4 ~ 6 s 内质点做匀减速直线运动，加速度大小均为2 m/s2 D．6 s 内质点发生的位移为8 m

6. 若一质点从t?0开始由原点出发沿直线运动，其速度—时间图象如图所示，则关于该质点

的下列说法正确的是（ ） A．t?1s时离原点最远 B．t?2s时离原点最远 C．t?3s时回到原点 D．t?4s时回到原点

7． 2006年我国自行研制的“枭龙”战机04架在四川某地试飞成功。

假设该战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所需时间t,则起飞前的运动距离为（ ） A.vt B.

vt C.2vt D.不能确定 28．一个做匀加速直线运动的物体,初速度v0=2.0 m/s,它在第3 s内通过的位移是4.5 m,则它的加

速度为( )

A.0.5 m/s2 B.1.0 m/s2 C.1.5 m/s2 D.2.0 m/s2 9．从静止开始以

的加速度匀加速直线运动的物体，2s末的速度为 ，2s内的位移

为 ，第2s内的位移为 ，第2s内的速度变化量为 ，第2s内的平均速度为 ，速度达到10m/s所用时间为 ，发生16m的位移所用时间为 ，发生25m的位移时的速度为 ，相邻的两个1s内的位移差为 ． 10．一辆卡车初速度为v0=10m/s，以a=2m/s2的加速度行驶，求： （1）卡车在3s末的速度v

（2）卡车在6s内的位移x6与平均速度v ．．．（3）卡车在第内的位移xⅥ

．6s．．．

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11．汽车以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，刹车后经2 ｓ速度变为6 m/s，求： (1)刹车后2 ｓ内前进的距离及刹车过程中的加速度； (2)刹车后前进9 ｍ所用的时间； (3)刹车后8 ｓ内前进的距离.

12．要求摩托车由静止开始在尽量短的时间内走完一段直道，然后驶入一段半圆形的弯道，但

在弯道上行驶时车速不能太快，以免因离心作用而偏出车道．求摩托车在直道上行驶所用的最短时间．有关数据见表格.

启动加速度a1 制动加速度a2 直道最大速度v1 弯道最大速度v2 直道长度s 4m/s2 8m/s2 40m/s 20m/s 218m 某同学是这样解的：要使摩托车所用时间最短，应先由静止加速到最大速度v1＝40m/s，然v1v1－v2

后再减速到v2＝20m/s，t1＝＝……；t2＝＝……；t＝t1＋t2.

a1a2

你认为这位同学的解法是否合理？若合理，请完成计算；若不合理，请说明理由，并用你自己的方法算出正确结果．

解析：该位同学的解法不合理．

v140

加速到直道最大速度所用的时间为t1＝＝s＝10s

a141

通过的位移为s1＝a1t2＝200m

21

v1－v240－20

减速到弯道最大速度v2所用的时间为t2＝＝s＝2.5s

a281

通过的位移为s＝v1t2－a2t2＝75m

22

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总的位移为s1＋s2＝200m＋75m＝275m>218m，所以这种解法是错误的． 正确解法：

设摩托车先加速到一个较大的速度vm，然后减速到v2，加速用的时间为t′1，通过的位移为s′1，减速用的时间为t′2，通过的位移为s′2. 由题意得vm＝a1t′1，vm＝v2＋a2t′2

112s′1＝a1t′21，s′2＝vmt′2－a2t′2，s′1＋s′2＝s 22

代入数据解得

t′1＝9s，t′2＝2s，s′1＝162m，s′2＝56m，vm＝36m/s 所以最短时间为t＝t′1＋t′2＝11s.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/y40o.html