高三文科数学第一轮复习及练习：第6章数列 第1讲

一、选择题

1．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的( ) A．第19项 B．第20项 C．第21项 D．第22项

解析：选C.数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…， 所以通项公式为an＝5＋6（n－1）＝6n－1， 令6n－1＝55，得n＝21.

2*

2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an－2an＋1(n∈N)，则a2 018＝( ) A．1 B．0 C．2 018 D．－2 018

222

解析：选B.因为a1＝1，所以a2＝(a1－1)＝0，a3＝(a2－1)＝1，a4＝(a3－1)＝0，…，可知数列{an}是以2为周期的数列，所以a2 018＝a2＝0.

3．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝ ( ) A．2n B．2n－1

nn

C．2 D．2－1

解析：选C.当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，所以an＝2an－1，所

n

以数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2，所以an＝2.

n*

4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1an＝2(n∈N)，则a10＝ ( ) A．64 B．32 C．16 D．8

解析：选B.因为an＋1an＝2，所以an＋2an＋1＝2法一：

a10a8a6a445

···＝2，即a10＝2＝32. a8a6a4a2

n

n＋1

an＋2

，两式相除得＝2.又a1a2＝2，a1＝1，所以a2＝2.

an

法二：数列{a2n}是首项为2，公比为2的等比数列，

4

所以a10＝2×2＝32.

*2

5．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N，都有a1·a2·a3·…·an＝n，则a3＋a5＝( ) A．C．

61 1625 16

B.D.25 931 15

92561

解析：选A.法一：令n＝2，3，4，5分别求出a3＝，a5＝，所以a3＋a5＝. 41616法二：由a1·a2·a3·…·an＝n得a1a2a3·…·an－1＝(n－1). n

所以an＝2.

（n－1）

92561

所以a3＋a5＝＋＝.故选A.

41616

6．在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9等于( ) A．256 B．510 C．512 D．1 024

*

解析：选C.在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N，都有am＋n＝am·an.所以a6＝a3·a3＝64，a3＝8.所以a9＝a6·a3＝64×8＝512.

二、填空题

*

2

2

2

1

7．数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝an－1，则a5的值为________．

2

111

解析：由an＋1＝an－1，得an＋1＋2＝(an＋2)，所以数列{an＋2}是以4为首项，为公比的等比数列，所以an＋2

222

?1?＝4×???2?

n－1

＝2

3－n

，an＝2

3－n

－2，所以a5＝2

3－5

7

－2＝－. 4

7

答案：－

4

8．(2018·兰州诊断)已知数列{an}，{bn}，若b1＝0，an＝

1

，当n≥2时，有bn＝bn－1＋an－1，则b10＝________．

n（n＋1）

解析：由bn＝bn－1＋an－1得bn－bn－1＝an－1，所以b2－b1＝a1，b3－b2＝a2，…，bn－bn－1＝an－1，所以b2－b1＋b3－b2

＋…＋bn－bn－1＝a1＋a2＋…＋an－1＝

11111＋＋…＋，即bn－b1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋1×22×3（n－1）×n1×22×3

11111111n－1n－19

＝－＋－＋…＋－＝1－＝，又b1＝0，所以bn＝，所以b10＝.

（n－1）×n1223n－1nnnn10

答案：

9

10

1＋an，n为偶数，

2

，n为奇数，

1

若an＝，则n的值为________．

4

??

9．数列{a}定义如下：a＝1，当n≥2时，a＝?1

??a

n

1

n

n－1

1111312

解析：因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋

a22a432a6311

a4＝4，a9＝＝，所以n＝9.

a84

答案：9

10．(2018·长春模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an等于________． a2a3a4an12n－1

解析：由题意知，Sn＋nan＝2，当n≥2时，(n＋1)an＝(n－1)an－1，从而···…·＝··…·，a1a2a3an－134n＋1有an＝

2

，

n（n＋1）

2

.

n（n＋1）

当n＝1时上式成立，所以an＝答案：

2

n（n＋1）

三、解答题

11．已知数列{an}的前n项和为Sn.

n＋1

(1)若Sn＝(－1)·n，求a5＋a6及an；

n

(2)若Sn＝3＋2n＋1，求an.

解：(1)因为a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，

n＋1n

an＝Sn－Sn－1＝(－1)·n－(－1)·(n－1)＝

n＋1n＋1

(－1)·[n＋(n－1)]＝(－1)·(2n－1)，

n＋1

又a1也适合此式，所以an＝(－1)·(2n－1)． (2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；

nn－1n－1

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3＋2n＋1)－[3＋2(n－1)＋1]＝2×3＋2，

??6，n＝1，

由于a1不适合此式，所以an＝? n－1

?2×3＋2，n≥2.?

121*

12．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝an＋an(n∈N)．

22(1)求a1，a2，a3，a4的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

121121*

解：(1)由Sn＝an＋an(n∈N)，可得a1＝a1＋a1，解得a1＝1；

2222121

S2＝a1＋a2＝a2＋a2，

22解得a2＝2；

同理a3＝3，a4＝4. 121

(2)Sn＝an＋an，

22

121

当n≥2时，Sn－1＝an－1＋an－1，

22

① ②

①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.

由于an＋an－1≠0， 所以an－an－1＝1， 又由(1)知a1＝1，

故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.

n＋2

1．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.

3(1)求a2，a3；

(2)求{an}的通项公式．

4

解：(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，

3解得a2＝3a1＝3.

5

由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，

33

解得a3＝(a1＋a2)＝6.

2(2)由题设知a1＝1. 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝n＋1

整理得an＝an－1.

n－1于是 a1＝1， 3

a2＝a1，

14

a3＝a2，

2… an－1＝an＝

n

an－2， n－2

n＋2n＋1

an－an－1， 33

n＋1

an－1. n－1

将以上n个等式两端分别相乘，

n（n＋1）

整理得an＝. 2显然，当n＝1时也满足上式． 综上可知，{an}的通项公式an＝2．已知数列{an}中，an＝1＋

n（n＋1）

. 2

1*

(n∈N，a∈R且a≠0)．

a＋2（n－1）

(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；

*

(2)若对任意的n∈N，都有an≤a6成立，求a的取值范围． 解：(1)因为an＝1＋又a＝－7，

1*

所以an＝1＋(n∈N)．

2n－9结合函数f(x)＝1＋

1

的单调性， 2x－9

1*

(n∈N，a∈R且a≠0)，

a＋2（n－1）

可知1>a1>a2>a3>a4，

*

a5>a6>a7>…>an>1(n∈N)．

所以数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.

121*

(2)an＝1＋＝1＋，已知对任意的n∈N，都有an≤a6成立，

a＋2（n－1）2－a

n－

2122－a

结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知5<<6，即－10

2－a2x－

2

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