等比数列前n项和优秀教案（公开课比赛教案）

等比数列的前n项和

一、教学目标

1、掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。

2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。

3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。

二、教学重点与难点

重点：掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。

难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。

三、教学设想

本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。设计思路如下：

创设情境 布疑激趣 观察实验 建立模型 探寻特例 提出猜想 深入思考 证明猜想 简单应用 总结评估 四、教学过程

（一）创设问题情景

课前给出复习：等比数列的定义及性质

课首给出引例：“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同

1

学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?

[设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中来！]

（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。

学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：

(1?30)?30'?1?2???30??465（万元） 穷人30天借到的钱：S302穷人需要还的钱：S30?1?2?22???229??

[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]

教师紧接着把如何求S30?1?2?22???229?？的问题让学生探究，

S30?1?2?22???229 ①若用公比2乘以上面等式的两边，得到 2S30?2?22???229?230②

若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：

(分) ≈1073(万元) ＞ 465（万元） S30?230?1?1073741823答案:穷人不能向富人借钱

（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。

提出问题:如何推导等比数列前n项和公式？（学生很自然地模仿以上方法推导）

Sn?a1?a1q?a1q2???a1qn?2?a1qn?1(1) qSn?a1q?a1q2???a1qn?1?a1qn(2) （1）-（2）有(1?q)Sn?a1?a1qn

q?1?na1,? Sn??a1(1?qn)a1?anq,q?1 ?1?q?1?q?推导等比数列前n项和Sn的公式，教师引导讲完课本上的推导方法后，

教师：还有没有其他推导方法？（经过几分钟的思考，有学生举手发言）

2

学生A： ?a2?a3???an?q ?a2?a3???an?q 即

a1a2an?1a1?a2???an?1sn?a1a?anq?q?sn?1(q?1)sn?an1?q。

学生B：

sn?a1?a1q???a1qn?2?a1qn?1

?a1?qa1?a1q???a1qn?2?a1?qsn?1?a1?q?sn?an??a1?qsn?anq???sn?qsn?a1?anq?sn?a1?anq(q?1)

1?q[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路！

教师让学生进行各种尝试，探寻公式的推导的方法，同时抓住机会或创设问题情景调动了学生参与问题讨论的积极性，培养学生的探究能力，发挥了组织者、推进者和指导者的作用，而学生却是实实在在的主体活动者、成为发现者、创造者！让学生享受成功的喜悦！ ] 【基础知识形成性练习】

1、求下列等比数列的各项和：

1111(1)1，3，9，…，2187 （2）1,?,,?,?,?

2485122、根据下列条件求等比数列?an?的前n项和Sn

①a1?2,q?2,n?8 ②a1?8,q?2,an?(四)数学应用

例1 求等比数列1/2，1/4，1/8……的 (1)前8项的和;

(2)第四项到第八项的和

11解 ：（1） ?a1?,q?,n?8

2211(1?n)2?255 ?S8?212561?21 23

（2）?a4?a1q3?1,n?5 1611(1?5)2?31 ?S'?1612561?2例2：在等比数列?an?中， （1）已知 a1??4,q?2, 求Sn （2）已知 a1?1,ak?243,q?2求Sk

[例1教师板演示范，强调解题的规范。例2、例3学生分析解法，学生不会时要分析出不会做的症结所在，然后再由学生板演出解题过程。] 【演练反馈巩固性练习】 1、在等比数列?an?中，

①已知a1??1.5,a7??96，求q和Sn ②已知a3?4,S3?12,求q和a1

2、求数列1?a?a2?a3??an?1??(a?0)的前n项和。

[允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。然后老师给出评价] （五）课堂小结 等差数列 等比数列 求和公式 推导方法 公式应用 [由学生对照等差数列求和总结出本节课所学内容] （六）布置作业

1、根据下列条件，求等比数列?an①: a1?的前n项和Sn

?3,q?2,n?6 ②:

11,an? 22a1?8,q?4

,n?4 ④: ③：a2?0.12,a5?0.00096a1?a3?10,a4?a6?2、在等比数列?an5, 4?中，

①:已知a1?2,S3?26，求q和Sn ②:已知S2?30,S3?115，求Sn 3、在等比数列?an?中，已知Sn?48,S2n?60，求S3n

[作业要求：允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。]

五、板书设计

公式推导 例题 等比数列的前n项和 练习 六、教学后记(教学反思)

本节课授课对象为实验班的学生，学习基础较好。同时，考虑到这是一节探究课，授课前并没有告诉学生授课内容。教学设计从学生的角度出发，采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方法分成五个步骤层次分明（1）创设问题情景、布疑激趣（2）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型（3）探寻特例、提出猜想（4）数学应用（5）知识评估。学生在未经预习不知等比数列求和公式和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，一步步发现了公式并推导了公式，感受到了创造的快乐，激发了学习数学的爱好，教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

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